第一次数学危机

的左端，m因 是奇数而不能
被4整除，右端却n 因 是偶数而可以被 4整除。这
个矛盾说明开始的假c设? n
m
是错误的。从c而
不能表成两个整数的比。证毕。
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[ 注]：这是“反证法”的 开始。
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2）不可公度的线段
设正方形的边长为 a，对角线长为 ，d 如图：
d
a
a
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根据毕达哥拉斯定理， d 2 ? 2a 2 。如果存在第三
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ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正
多边形地砖的情形）
只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者 4个正方形，或者 3个正六边形 ，如图：
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毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。 “万物皆数”学说产生了很大的影响。
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三、 2 与第一次数学危机
三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
M
M
M
M
?
?
1? 3 ? L ? (2n ? 1) ? n2
?
?
1 ? 5 ? L ? (4n ? 3) ? 2n2 ? n
1? 2 ? L ? n ? n(n ? 1) 2
1? 4 ? L ? (3n ? 2) ? n(3n ? 2) 2
对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是 毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的 符号，这就是 。 2
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1. 2 的发现和危机的产生
1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为 1的正方形，其对
角线长度若记为 c ，则 c2 ? 12 ? 12 ? 2 ，推出 c2 ? 2
C
1
1
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下边证明，当 c2 ? 2 时， c 不能表成整数比。
2
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学 上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。
人类最早认识的是 自然数。从引进零及负数就经 历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就 行不通；
引进分数使乘法有了逆运算 ——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用 有理数来表示 ?于是发现无理数就导致了 第一次数学 危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的 体系化。
1）“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整 数，同时还包含它们的比，即正分数 n 。
m
②任意两条线段 a、d 都是可公度的
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
a ? mt
d ? nt
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2）实例
① 形数 三边形数、四边形数、五边形数、 六边形数；
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个线段长为 t ，使得 a 和 d 都是 t 的整数倍，
如 a ?，mt d ?，n这t 里 ，m 是整n 数.
a
a ? mt
d
d ? nt
t
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由 d 2 ? 2a 2 得 n2t 2 ? 2m2t2 ，从而，又可以 类
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中国数学史上最先完成勾股定理证明： 公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀 算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图， 相当于运用面积的“出入相补”方法（刘 徽），证明了勾股定理。如图
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西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。
曾经有人编书，收集了勾股定理的370 种证法。
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3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
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“形数”体现了数与形的结合； 让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。
毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说， 加强了数学中的理论化倾向。
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② 多个场合下的小整数比
ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数 比，就会发出谐音。例如， 1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高 5度，3︰4时短弦音高 4 度；当三根弦的长度之比为 3︰4︰6时，就得 到谐音。
意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原 词 ????????意??为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
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2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
1）数学证明的起始
泰勒斯?毕达哥拉斯?欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何《原本》前两 卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
如果不然，有两个正整数 m 和 n 使 c ? n
（不妨设
n
是既约分数即
m
(m, n) ? 1）。两端
m
平方得
2?
n2 ，即
m2
2m2
?
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数， ∴ n是偶数。
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因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是m 是奇
m
数。这2m样2 ? n2
3 第一次数学危机
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历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的 挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意 味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危 机，都是 数学的基本部分 受到质疑。实际上，也恰 恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放 ， 大大推动了数学科学的发展。
毕达哥拉斯是公元前 500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
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毕达哥拉斯(公元前570 年～公元前500年)
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毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
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相传“哲学”（希腊原词 ?????????
方程的解导致了 虚数的出现，虚数从一开始就被 认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数 所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何 的一统天下发展到 各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数”
1. 毕达哥拉斯 Pythagoras
(约前570年—前500年）
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2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。
3）毕达哥拉斯定理
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
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《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时期 周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理 的特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈 子（约公元前6、7世纪）的对话 中，则包含了勾股定理的一般形式 ：“……以日下为勾，日高为股， 勾股各自乘，并而开方除之，得邪 至日。”