向量减法运算及其几何意义(数学_优秀课件)
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向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
向量减法运算及其几何意义PPT优秀课件
作业： P91习题2.2A组：4，6，7.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值�
向量减法及其几何意义
定义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量减法运算及其几何意义优质课课件
解析
根据向量减法的定义，$vec{a} - frac{vec{b}}{2}$ 等于$vec{a}$加上$-frac{vec{b}}{2}$，即$vec{a} frac{vec{b}}{2} = (2,3) + (-2,-2.5) = (0,0.5)$。
综合练习题
题目
已知点$A(1,2,3)$和点$B(4,5,6)$，求向量$overrightarrow{AB}$。
向量减法运算及其几何意义优 质课课件
目录
CONTENTS
• 向量减法的定义与性质 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法在数学中的拓展 • 向量减法的练习题与解析
01
CHAPTER
向量减法的定义与性质
向量减法的定义
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后反向延长线段 得到的向量。
进阶练习题
题目
已知$vec{a} = (1,2,3)$，$vec{b} = (4,5,6)$，求 $vec{a} - 2vec{b}$。
题目
已知$vec{a} = (2,3)$，$vec{b} = (4,5)$，求 $vec{a} - frac{vec{b}}{2}$。
解析
根据向量减法的定义，$vec{a} - 2vec{b}$等于 $vec{a}$加上$-2vec{b}$，即$vec{a} - 2vec{b} = (1,2,3) + (-8,-10,-12) = (-7,-8,-9)$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。
详细描述
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。具体来说，如果$vec{A}$和$vec{B}$是两 个向量，那么$vec{A} - vec{B}$表示从点B出发沿与$vec{B}$相反方向移动到点A的向量。这个过程可 以通过平移和反向延长线段来实现。
根据向量减法的定义，$vec{a} - frac{vec{b}}{2}$ 等于$vec{a}$加上$-frac{vec{b}}{2}$，即$vec{a} frac{vec{b}}{2} = (2,3) + (-2,-2.5) = (0,0.5)$。
综合练习题
题目
已知点$A(1,2,3)$和点$B(4,5,6)$，求向量$overrightarrow{AB}$。
向量减法运算及其几何意义优 质课课件
目录
CONTENTS
• 向量减法的定义与性质 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法在数学中的拓展 • 向量减法的练习题与解析
01
CHAPTER
向量减法的定义与性质
向量减法的定义
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后反向延长线段 得到的向量。
进阶练习题
题目
已知$vec{a} = (1,2,3)$，$vec{b} = (4,5,6)$，求 $vec{a} - 2vec{b}$。
题目
已知$vec{a} = (2,3)$，$vec{b} = (4,5)$，求 $vec{a} - frac{vec{b}}{2}$。
解析
根据向量减法的定义，$vec{a} - 2vec{b}$等于 $vec{a}$加上$-2vec{b}$，即$vec{a} - 2vec{b} = (1,2,3) + (-8,-10,-12) = (-7,-8,-9)$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。
详细描述
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。具体来说，如果$vec{A}$和$vec{B}$是两 个向量，那么$vec{A} - vec{B}$表示从点B出发沿与$vec{B}$相反方向移动到点A的向量。这个过程可 以通过平移和反向延长线段来实现。
2.2.2向量减法运算及其几何意义(共18张PPT)
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
a
B
作法：
bb
b
O
b
b
（(12）)以在点平O面为内起任点取，一以点向O量a, b为邻边作平行四边形OB CD.
即OD BC a,OB DC b; （3）则以点O为起点的对角线OC a b.
注意起点相同.共线向量不适用
我们知道AC a b
uuur uuur uuur r r 同样，由向量的减法，知DB AB AD a b
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（a 1） b （3） a
b
（2）a
b
（4）a
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
2.2.2向量的减法运算 及其几何意义
三维目标： 1.通过探究活动，使学生掌握向量 减法概念，理解两个向量减法就是 转化为加法来进行，掌握相反向量。 2.启发学生能够发现问题和提出问 题，善于独立思考，学会分析问题 和创造地解决问题。能熟练地掌握 用三角形法则和平行四边形法则作 出两个向量的差向量。
有什么规律？
1.在平面内任取一点O, 作OA
a, OB
b（共起点）
2.连接两向量终点，方向由减向量指向被减向量。
即连接B, A，方向由点B指向点A。
B
b
rr ba
o a A
(1)如果从
a的终点到
b 的终点作向量，
那么Байду номын сангаас得向量是什么？
(作2出)改变aab,
b 的方向，使
呢？
a // b ，怎样
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（ ）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（ ）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（ ）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。
向量加减运算及几何意义
B
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
人教A版数学必修 向量减法运算及其几何意义 课件(共21)
B
a +(b)
b
b
O
a
A
a
b
a +(b)
C
D
作 图 方 法 ： 已 知 a,b,在 平 面 内 任 取
一 点 O， 作 OA=a,OB=b,则 BA=a-b.
四、向量减法的几何意义:
a b 的 作 图 方 法 : ①将两向量平移,使它
们有相同的起点.
b a
B
ab
②连接两向量的终点.
b
O
a
A ③箭头点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意共起点.共线向量不适用
3.向量加法的交换律 :
rr rr a + b = b + a.
4.向量加法的结合律 :
rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
则BA=ab,DC=cd.
例 2 .已 知 平 行 四 边 形 A B C D ,A B =a ,A D =b ,
你 能 用 a ,b表 示 向 量 A C ,D B 吗 ？ D C
b
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道
AC=a+b;
Aa
B
同样，由向量的减法，知
D B = A B A D = a b .
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B 水速
(2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
D C
2 3 tan CAB 3 2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习2
填空：
重要提示
AB BA
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
练习3
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
高一数学必修4课件：2-2-2向量减法运算及其几何意义
[例1]
如图所示的向量a，b，c是不共线的向量，求作
向量a＋b－c. [分析] 向量(加)减法作图的依据是三角形法则，先观
察各向量的位置，再寻找或构造相应的平行四边形或三角 形，最后依据几何意义确定其图形表示．
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ → 作法一：在平面上任取一点O，作 OA ＝a， AB ＝
第二章 2.2 2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
向量的表示
[例3]
如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE
→ → → 是平行四边形，且 AB ＝a， AC ＝b， AE ＝c，试用向量a、 → → → → → b、c表示向量BD、BC、BE、CD及CE.
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[分析]
解答本题可先根据向量的加、减法运算法则，
→ 把易求的向量表示出来，再表示BD.
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵四边形ACDE是平行四边形，
→ → → → → ∴CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a， → → → → → → BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b， → → → ∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c.
第二章
2.2
2.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
→ → 当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，AC＝a，AB → → → ＝b，则 BC ＝ AC －AB ＝a－b，根据三角形中任意两边之差总 小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a|－|b||<|a－ b|<|a|＋|b|.综合可知，对任意的向量a与b都有||a|－|b||≤|a－ b|≤|a|＋|b|.只当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，||a| －|b||≤|a－b|中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个 为零向量时，|a－b|≤|a|＋|b|中的等号成立．
向量的减法及其几何意义课件
向量的减法及其几何意义课 件
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
目 录
• 向量的概念 • 向量的减法 • 向量减法的应用 • 向量减法的扩展知识
01
向量的概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的一种量，它由大小和方向两个要素组成。在二维平面上，向量通常表示为 一条有向线段，起点为原点，终点为任意点。在三维空间中，向量则表示为一个有向线段，其起点和终点都是空 间中的点。
向量的模
总结词
向量的模是衡量向量大小的一个量，用于描述向量在空间中的长度。
详细描述
向量的模定义为向量起点到终点的距离，即向量的长度。在二维平面上，向量的模可以通过勾股定理 计算得到；在三维空间中，向量的模则是通过欧几里得距离公式计算得到的。向量的模具有传递性、 非负性、齐次性和三角不等式等性质。
02
THANKS
感谢观看
如果有一个标量$k$和一个向量 $vec{A}$，则数乘后的向量是 $kvec{A}$。
向量减法与数乘的关系
向量$vec{A} - vec{B}$可以看作是标 量1与$vec{A}$的数乘减去标量1与 $vec{B}$的数乘，即$vec{A} - vec{B} = 1vec{A} - 1vec{B}$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是平移和反向延长。
详细描述
向量减法的几何意义可以通过平移和反向延长来解释。给定两个向量$vec{A}$和 $vec{B}$，向量$vec{A} - vec{B}$表示将向量$vec{B}$平移到向量$vec{A}$的终点，
然后反向延长至向量$vec{A}$的起点得到的向量。这个过程可以理解为将向量 $vec{B}$沿其方向相反的方向延长相同的长度，得到的结果就是$vec{A} - vec{B}$。
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
向量的减法运算课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
D.不确定
Ԧ|的取值范围.
Ԧ|,则四边形
(1)答案 B
解析 ∵ Ԧ =
∵| Ԧ −
Ԧ ,∴四边形 ABCD 为平行四边形,
Ԧ|=| Ԧ −
Ԧ |,∴|
Ԧ|=| Ԧ|.
∴四边形 ABCD 为矩形.故选 B.
(2)解 ∵|| Ԧ |-| Ԧ||≤| Ԧ −
∴3≤| Ԧ −
Ԧ|≤| Ԧ|+| Ԧ|,且| Ԧ|=9,| Ԧ|=6,
本节课重点
向量减法的定义、向量减法的三角形法则
本 课 结 束
A
O
A
B
B
|a − b| = |a| + |b|
a b
||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|
|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ − | ≤ ||
Ԧ + ||
|a − b| = |a| + |b|成立的充要条件是与反向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|a − b| = ||a| − |b||成立的充要条件是与同向或
Ԧ − ≥ Ԧ − ，当且仅当 Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
二、课堂练习
探究一
向量减法的几何意义
例 1.
(1)如图所示,四边形 ABCD 中,若 Ԧ=a, Ԧ=b, Ԧ =c,则 Ԧ=(
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
向量减法运算及其几何意义课件
(1)|a-b|=|a|. (2)|a+(a-b)|=|b|.
【审题路线图】1.向量相等⇒对边平行且相等⇒平行四 边形⇒对角线相等⇒矩形. 2.化简等式左边的向量式⇒利用直角三角形的性质⇒向 量的模相等.
【解析】1.选B.由 AB＝DC，可得四边形ABCD为平行四边 形,由 AD AB BC BA 可得, BD AC ,故平行四边形 ABCD为矩形.
类型三 利用向量证明简单的几何问题 【典例】1.(钦州高一检测)在四边形ABCD中, AB＝DC，若 AD AB BC BA ，则四边形ABCD是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
2.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边 AB的中点, CM a,CA b. 求证:
向量减法运算及其几何意义
1.相反向量
定 如果两个向量长度_相__等__,而方向_相__反__,那么称 义 这两个向量是相反向量
①对于相反向量有:a+(-a)=0
性 质
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
定 义 a-b=a+(-b) 减去一个向量等于加上这个向量的
A.0 B.BP C.PQ D.PC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.化简: AD BM BC MC=________.
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
质⇒向量减法的运算⇒化简.
2.向量加减法的混合运算⇒向量运算的运算律⇒向量
类型一 向量减法的几何意义 【典例】1.如图, AB BC AD 等于 ( )
【审题路线图】1.向量相等⇒对边平行且相等⇒平行四 边形⇒对角线相等⇒矩形. 2.化简等式左边的向量式⇒利用直角三角形的性质⇒向 量的模相等.
【解析】1.选B.由 AB＝DC，可得四边形ABCD为平行四边 形,由 AD AB BC BA 可得, BD AC ,故平行四边形 ABCD为矩形.
类型三 利用向量证明简单的几何问题 【典例】1.(钦州高一检测)在四边形ABCD中, AB＝DC，若 AD AB BC BA ，则四边形ABCD是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
2.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边 AB的中点, CM a,CA b. 求证:
向量减法运算及其几何意义
1.相反向量
定 如果两个向量长度_相__等__,而方向_相__反__,那么称 义 这两个向量是相反向量
①对于相反向量有:a+(-a)=0
性 质
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
定 义 a-b=a+(-b) 减去一个向量等于加上这个向量的
A.0 B.BP C.PQ D.PC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.化简: AD BM BC MC=________.
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
质⇒向量减法的运算⇒化简.
2.向量加减法的混合运算⇒向量运算的运算律⇒向量
类型一 向量减法的几何意义 【典例】1.如图, AB BC AD 等于 ( )
向量的减法运算(优秀经典公开课课件)
[素养聚焦] 利用向量减法的几何意义，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过 程中．
[规律方法] 1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题． 2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明 对应有向线段所表示的向量相等即可． (2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题 的关键．
(1)可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然后作 a＋(－b) 即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为 连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[触类旁通] 2.如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a－b－c.
解析 在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－b＝B→A，再 作向量B→C＝c，则向量C→A＝a－b－c.
2．几何意义： 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则向量 a－b＝B→A，如图所示．
3．文字叙述：如果把两个向量的__起__点____放在一起，那么这两个向量的差 是以减向量的终点为__起__点____，被减向量的终点为__终__点____的向量．
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于 0.( ) (2)两个相反向量之差等于 0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[答案] B
(2)[解析] ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|， 且|A→D|＝9，|A→B|＝6，∴3≤|A→B－A→D|≤15. 当A→D与A→B同向时，|A→B－A→D|＝3； 当A→D与A→B反向时，|A→B－A→D|＝15. ∴|A→B－A→D|的取值范围为[3,15]．
必修4课件2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.
若 AB 8, AC 5, 则 BC的取值范围是_____.
解： BC AC AB , AC AB AC AB AC AB 3 BC 13
三 【应用】
你能用 a ,b 表示向量AC和DB吗? D C 解:AC=a + b; b DB=a - b.
三 【应用】
2.
类比
|| a | | b ||| a b || a | | b |
能得到其它结论？
|| a | | b ||| a b || a | | b |
（1）等号何时成立？ （2）如何证明该结论？
三 【应用】
二 【新课】
1 在平面内任取一点O
2 作OA a,OB b
3.减法的三角形法则
A
3 则向量BA a b
O
.
a
a b
B
b
BA OA OB
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须 相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点
a
B
四
【课堂小结】Leabharlann (一).知识1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义及其几何意义 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则: 1）共起点 2）连终点 3）方向指向被减向量的终点
(二)方法 类比,数形结合,几何作图,分类讨论等思想方法
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一 【复习回顾】
1、向量加法的三角形法则
A
a a a a a a a a a a b O
B
b b
b b
b a+b
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例2：选择题
D
C
例3：如图，平行四边形ABCD，AB= ，
AD= ，用 、 表示向量AC、DB。
D
C
学案例2：
A
B
求：
D
C
b
c
O
A
a
B
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
学案例3：
C
O
D b
rr
rr r r
rr
若a，b方向相同，| a b || a | | b （| 或 | b | | a |）
rr
rr r r
若a，b不共线，则 | a b || a | | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
2.减法化加法
学案例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
书本87 第1题
B
D r ur
A
d cd
b
C a
c
O
向量的减法 书本87 第2题
1.共线同向 a
2.共线反向 a
AC
B
B
AC
rr
rr r r
若a，b方向相反，| a b || a | | b |
3.向量加法满足交换律及结合律
bC
aBΒιβλιοθήκη 一架飞机由北京飞往香港,然后再由 香港返回北京,我们把北京记作A点,香港 记作B点,那么这辆飞机的位移是多少?怎样用向 量来表示呢?
北京A
B
香港
像上面例子一样，我们把与a长度相同， 方向相反的向量，叫做 a 的相反向量,记 作 –a。
其中a 和 – a 互为相反向量。
`
120o
a
B
A
D ab
C
ab
A
B
变式训练一：当a ,b满足什么条件时，
a +b与a b垂直？_____________
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
|a +b|=|a b|？_____________________
小结
1、向量减法的定义及运算 不共线
2、向量减法的作图 共线
2.2.2《向量减法运算 及其几何意义》
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
“首尾相连”(位移)
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b
注意：
bb
b
A
b
b
各向量“同一起点”（力的合成）
同向
不同向
做一做
1、若 a , b 是互为相反向量,那么
a =_–_b__, b =_–__a_, a + b =_0___
2 、– ( – a)=___a___
a + b 的相反向量是_–_(_a__+_b_) a +(– b)的相反向量是_–_[a__+_(_–__b_)_]
a
b
Oa A
b
a-b
B
特点:1.同一起点，向被减