南大复变函数与积分变换课件(PPT版)4.3 泰勒级数
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高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)4.4 洛朗级数
1
2
③ 2 |z| .
(2) 将函数进行部分分式分解
1 1 1 . f (z) 1 z 2 z ( z 1) ( z 2)
14
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 (3) 将函数在每个解析环内分别展开 ① 当 0 | z | 1 时，
解 (3) 将函数在每个解析环内分别展开 ② 当 1 | z | 2 时，
1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 z
1 1 1 2 z 1 1 z 2
1
z n 1 z n 1 1 1 n n n1 n1 . 2 n 0 2 z n 0 z n 0 z n 0 2
z
| z | 1.
zn z2 z3 e 1 z , | z | . 2! 3! n 0 n!
12
§4.4 洛朗级数 第 三、将函数展开为洛朗级数的方法 四 章 注意 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前， 都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定 解 的展开区域 )分为若干个解析环。 析 函 数 比如 设函数的奇点为 z1 , z2 , z3 , 的 展开点为 z0 , 则复平面 级 z1 数 被分为四个解析环： r2 r1 表 z2 z0数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
P97 例4.13
解 (1) 将复平面分为若干个解析环 函数 f (z ) 有两个奇点：
z 1, z 2 ,
以展开点 z 0 为中心， 将复平面分为三个解析环： ① 0 | z | 1; ② 1 | z | 2;
§4.4 洛朗级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]
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级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1.1 复数
z2
5
5
14
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
P4 例1.1
证明 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 ) .
15
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
轻松一下吧 ……
16
第 附：历史知识 —— 虚数史话 一 章 1545 年，卡尔丹第一个认真地讨论了虚数，他在《大术》 复 数 与 复 变 函 数 中求解这样的问题： 两数的和是 10 , 积是 40 , 求这两数． 卡尔丹发现只要把 10 分成 5 15 和 5 15 即可。
卡尔丹称它们为“虚构的量”或“诡辩的量”。他还把它 们与 负数统称为“虚伪数”；把正数称为“证实数”。 卡尔丹的这种处理，遭到了当时的代数学权威韦达和他的 学生哈里奥特的责难。
发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗 贝尔、拉普拉斯等。 为这门学科的发展作了大量奠基工作的
则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数领域的推广和发展 。
(虚数史话)
5
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的几种表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数
13
§1.1 复数 第 一 章 复 解 (1) ( 3 4 i ) ( 3 4 i ) z2 3 4i 数 与 7 1 35 5 i 复 i. 变 5 5 25 函 数 z1 z1 7 1 i . (2)
z2 z1 5 5i ( 5 5 i ) ( 3 4 i )
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
由加法定理, 可以推出exp z的周期性。 它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开
( n 0,1, 2,
).
注： 这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接
4.3.2
将函数展开成泰勒级数
将函数展开为泰勒级数的方法: 1. 直接方法; 1. 直接方法 由Taylor展开定理直接计算级数的系数
1 (n) an f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
2 n 1 z ( 1)n , (2n 1)! ( z )
( z 1)
z2 z4 (5) cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
,
( z )
n 1 z2 z3 z (6) ln(1 z ) z ( 1)n , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛
圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析
函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数 —亦即泰勒级数. 这是解析函数的重要特征.
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数
f (z) dz ( n 0, 1, 2, ), n 1 ( z z0 )
曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.
注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的, 因此为
函数展开成罗朗级数的间接方法奠定了基础.
将函数在圆环域内展开成罗朗级数, 理论
上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.
n 1 z 1 ( z 1) n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0 n
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数泰勒级数课件
03
复变函数中的泰勒
级数展开
幂函数展开
幂函数展开
对于形如 (z^n) 的幂函数，泰勒级 数展开为 (z^n = sum_{k=0}^{infty} frac{n!}{(n-k)!} cdot frac{1}{k!} cdot z^k)
举例
(z^2 = z cdot z = z + frac{1}{2}z^2 + frac{1}{24}z^4 + ldots)
在数值分析中的应用
函数的近似计算
对于一些难以解析的函数，可以利用泰勒级数进 行近似计算，得到其数值解。
数值积分与微分
通过泰勒级数，可以对函数进行数值积分或者微 分，从而得到函数的定积分或者导数。
求解微分方程
利用泰勒级数，可以将微分方程转化为代数方程 组，从而方便求解。
05
复变函数泰勒级数
的进一步研究
04
泰勒级数的应用
在信号处理中的应用
信号的近似表示
泰勒级数可以将复杂的信 号表示为简单的多项式之 和，从而方便分析信号的 特性。
信号的滤波
通过泰勒级数，可以设计 出特定的滤波器，用于提 取信号中的特定频率成分 或者抑制噪声。
信号的合成与调制
泰勒级数的展开可以用于 生成新的信号，或者对现 有信号进行调制，实现信 号的频谱搬移。
复变函数泰勒级数课 件
目录
CONTENTS
• 复数与复变函数础 • 泰勒级数展开 • 复变函数中的泰勒级数展开 • 泰勒级数的应用 • 复变函数泰勒级数的进一步研究
01
复数与复变函数基 础
复数的概念与性 质
复数的定义
复数是实数和虚数的和，形式为 $z=a+bi$，其中$a$和$b$是实数， $i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
复变函数与积分变换课件(南昌大学)
的 根,则z也 是 其 根. (实 多 项 式 的 零 点 成 对 出现)
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
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f ( z ) a0 a n ( z z 0 )
f (z) ( z z0 )
n 1
n
a0 ( z z0 )
n 1
a n 1 ( z z0 )
2
C
R z0
l D
f (z)
0) n1
an z z0
a n 1 ,
l ( z z
1 2
( 1)
( z 1) 2
n
n
( 1) 2
n
n0
n0
n1
( z 1 ) , | z 1| 2 .
n
0 1
z
f ( z ) d z
[
n0
( 1) 2
n
n1
0 1
z
( z 1) d z ] ,
f ( z ) f (1 )
比如 将函数 f ( z )
方法一
1 1 z
1 1 z
在 z 0 点展开为幂级数。
利用已知的结果(§4.2 ):
1 z z , ( | z | 1) .
(n)
2
方法二
利用泰勒定理 : a n
f
(0)
1.
n!
方法三 利用长除法。
(长除法)
6
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (4) 对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数 解 析 函 数 的 级 数 表 示 的情况下，就知道其收敛域？ 可以知道。
1
f ( 0 ) e , f ( 0 ) e , f ( 0 ) 3 e , f ( 0 ) 13 e , ,
f (z) e ez
3e 2!
z
2
13e 3!
z ,
3
| z | 1.
17
§4.3 泰勒级数
泰勒级数的应用举例 —— 计算斐波拉契数列的通项 第 四 章 1. 斐波拉契 Leonardo Fibonacci，约1170 ~ 约1240，意大利业余数学家。 解 析 函 2. 兔子问题 数 一对(超级)小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又 的 级 可生一对(超级)小兔，问 n 个月后，共可得到多少对兔子？ 数 表 示 3. 斐波拉契数列
§4.3 泰勒级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
§4.3 泰勒级数
一、泰勒(Taylor)定理 二、将函数展开为泰勒级数的方法
1
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 定理 设函数 f (z ) 在区域 D 内解析，C 为 D 的边界，z0 D , 解 析 函 数 的 级 数 表 示
( 1) 2
n
1 n1 1
n0
n1
( z 1)
n1
,
f ( z ) ln 2
( 1) 2
n
n0
n1
n1
( z 1)
n1
, | z 1| 2 .
13
§4.3 泰勒级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 f (z)
A z2
证明 (略)
(进入证明?)
2
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (1) 为什么只能在圆域 | z z0 | R 上展开为幂级数， 解 析 函 数 的 级 数 表 示 而不是在整个解析区域 D 上展开？
回答 这是由于受到幂级数本身
的收敛性质的限制： 幂级数的收敛域必须 是圆域。 幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。
( n) n n 1 n1
,
( z ) 0 n! an ( z z0 ) p( z ) , ( z0 ) n! an ,
1 n! f
( n)
( n)
an
( z0 ) .
4
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (2) 展开式中的系数 a n 还可以用下列方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示 方法二
2i 2i
1 2i
(1 i ) n!
n
z
n
1 2i
n
(1 i ) n!
n
z
n
| z | .
n0
n0
1 2i
(1 i ) (1 i ) n!
n
n
z
n
n0
f (z)
( 2) n!
sin
nπ 4
z ,
n
| z | .
n0
15
C R
z0
D
3
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (2) 展开式中的系数 a n 还可以用下列方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示 方法一
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) an1 ( z z0 ) a n ( z z0 ) a n 1 ( z z 0 ) f f
1 1 z 1 (1 i ) ( z i )
1 1 i
1
1 zi 1 i
n
1 1 i
1
n0
zi 1 i
n
(z i) (1 i )
n1
n0
n1
,
|z i|
2.
(2)
2 (1 z ) 1 z 1
'
n(z i) (1 i )
n1
n1
n1 (1 i )
n 2
(z i) ,
n
|z i|
2.
n0
11
§4.3 泰勒级数 第 例 将函数 f ( z ) ln ( 1 z ) 分别在 z 0 , z 1 点展开为幂级数。 四 P92 例4.11 修改 1 1 n n 章 解 (1) f ( z ) ( 1) z , | z | 1.
a1 1 , a 2 1 , a n 2 a n1 a n , (n 1 , 2 , 3 , ) . { a n } { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , }.
1 z 1 ( z )
n n0
解 析 函 数 的 级 数 表 示
0 0
z
f ( z ) d z
[( 1)
n0
0 0
z
z dz],
n
f ( z ) f (0)
n
( 1)
n
n0
n1
n1
z
n1
,
f (z)
( 1)
n0
n1
z
,
| z | 1.
两个重要的已知展开式
1 1 z z 1 z z z ,
n 2 3 n 0
| z | 1.
ez
zLeabharlann n 1 zz
2
z
3
n0
n!
2!
3!
, | z | .
10
§4.3 泰勒级数 第 四 P92 例4.10 章 解 函数 f ( z ) 有奇点 z 1 , 故收敛半径 R | 1 i | 2 . R 1 2 1 (z ) 解 析 函 数 的 级 数 表 示 (1)
7
§4.3 泰勒级数 第 二、将函数展开为泰勒级数的方法 四 章 1. 直接展开法 利用泰勒定理，直接计算展开系数 an
f
( n)
( 0)
解 n! 析 z 函 例 将函数 f ( z ) e 在 z 0 点展开为幂级数。 数 P90 例4.6 ( n) 的 f ( 0) 1 (n) z , 级 解 f ( 0 ) e z 0 1 , an n! n! 数 表 | z | . 示
解 2 4 6 (2 z ) (2 z ) (2 z ) 析 , | z | . 2 2! 2 4! 2 6! 函 数 的 例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 级 数 解 sin z sin[ 1 ( z 1 )] sin 1 cos( z 1 ) cos 1 sin( z 1 ) 表 2n ( z 1) 示 n sin 1 ( 1)
结论 函数 f ( z ) 在 z 0 点展开为泰勒级数，其收敛半径
z 等于从 z 0 点到 f ( z ) 的最近一个奇点 ~ 的距离。 z 理由 (1) 幂级数在收敛圆内解析， 因此奇点 ~ 不可能
在收敛圆内；
z (2) 奇点 ~ 也不可能在收敛圆外，不然收敛半径 z 还可以扩大，故奇点 ~ 只能在收敛圆周上。
Bz C z 1
1 2
2
1 z2
z2 z 1
z 2
n
2
,
(1)
1 z2
1 1 z 2
n0
n1
, |z| 2.
(2)
z2 z 1
2
z2 1 ( z )
2
(z 2)
f (z) ( z z0 )
n 1
n
a0 ( z z0 )
n 1
a n 1 ( z z0 )
2
C
R z0
l D
f (z)
0) n1
an z z0
a n 1 ,
l ( z z
1 2
( 1)
( z 1) 2
n
n
( 1) 2
n
n0
n0
n1
( z 1 ) , | z 1| 2 .
n
0 1
z
f ( z ) d z
[
n0
( 1) 2
n
n1
0 1
z
( z 1) d z ] ,
f ( z ) f (1 )
比如 将函数 f ( z )
方法一
1 1 z
1 1 z
在 z 0 点展开为幂级数。
利用已知的结果(§4.2 ):
1 z z , ( | z | 1) .
(n)
2
方法二
利用泰勒定理 : a n
f
(0)
1.
n!
方法三 利用长除法。
(长除法)
6
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (4) 对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数 解 析 函 数 的 级 数 表 示 的情况下，就知道其收敛域？ 可以知道。
1
f ( 0 ) e , f ( 0 ) e , f ( 0 ) 3 e , f ( 0 ) 13 e , ,
f (z) e ez
3e 2!
z
2
13e 3!
z ,
3
| z | 1.
17
§4.3 泰勒级数
泰勒级数的应用举例 —— 计算斐波拉契数列的通项 第 四 章 1. 斐波拉契 Leonardo Fibonacci，约1170 ~ 约1240，意大利业余数学家。 解 析 函 2. 兔子问题 数 一对(超级)小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又 的 级 可生一对(超级)小兔，问 n 个月后，共可得到多少对兔子？ 数 表 示 3. 斐波拉契数列
§4.3 泰勒级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
§4.3 泰勒级数
一、泰勒(Taylor)定理 二、将函数展开为泰勒级数的方法
1
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 定理 设函数 f (z ) 在区域 D 内解析，C 为 D 的边界，z0 D , 解 析 函 数 的 级 数 表 示
( 1) 2
n
1 n1 1
n0
n1
( z 1)
n1
,
f ( z ) ln 2
( 1) 2
n
n0
n1
n1
( z 1)
n1
, | z 1| 2 .
13
§4.3 泰勒级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
解 f (z)
A z2
证明 (略)
(进入证明?)
2
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (1) 为什么只能在圆域 | z z0 | R 上展开为幂级数， 解 析 函 数 的 级 数 表 示 而不是在整个解析区域 D 上展开？
回答 这是由于受到幂级数本身
的收敛性质的限制： 幂级数的收敛域必须 是圆域。 幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。
( n) n n 1 n1
,
( z ) 0 n! an ( z z0 ) p( z ) , ( z0 ) n! an ,
1 n! f
( n)
( n)
an
( z0 ) .
4
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (2) 展开式中的系数 a n 还可以用下列方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示 方法二
2i 2i
1 2i
(1 i ) n!
n
z
n
1 2i
n
(1 i ) n!
n
z
n
| z | .
n0
n0
1 2i
(1 i ) (1 i ) n!
n
n
z
n
n0
f (z)
( 2) n!
sin
nπ 4
z ,
n
| z | .
n0
15
C R
z0
D
3
§4.3 泰勒级数 第 一、泰勒(Taylor)定理 四 章 注 (2) 展开式中的系数 a n 还可以用下列方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示 方法一
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) an1 ( z z0 ) a n ( z z0 ) a n 1 ( z z 0 ) f f
1 1 z 1 (1 i ) ( z i )
1 1 i
1
1 zi 1 i
n
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1
n0
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n0
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,
|z i|
2.
(2)
2 (1 z ) 1 z 1
'
n(z i) (1 i )
n1
n1
n1 (1 i )
n 2
(z i) ,
n
|z i|
2.
n0
11
§4.3 泰勒级数 第 例 将函数 f ( z ) ln ( 1 z ) 分别在 z 0 , z 1 点展开为幂级数。 四 P92 例4.11 修改 1 1 n n 章 解 (1) f ( z ) ( 1) z , | z | 1.
a1 1 , a 2 1 , a n 2 a n1 a n , (n 1 , 2 , 3 , ) . { a n } { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , }.
1 z 1 ( z )
n n0
解 析 函 数 的 级 数 表 示
0 0
z
f ( z ) d z
[( 1)
n0
0 0
z
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n
f ( z ) f (0)
n
( 1)
n
n0
n1
n1
z
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,
f (z)
( 1)
n0
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,
| z | 1.
两个重要的已知展开式
1 1 z z 1 z z z ,
n 2 3 n 0
| z | 1.
ez
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2
z
3
n0
n!
2!
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, | z | .
10
§4.3 泰勒级数 第 四 P92 例4.10 章 解 函数 f ( z ) 有奇点 z 1 , 故收敛半径 R | 1 i | 2 . R 1 2 1 (z ) 解 析 函 数 的 级 数 表 示 (1)
7
§4.3 泰勒级数 第 二、将函数展开为泰勒级数的方法 四 章 1. 直接展开法 利用泰勒定理，直接计算展开系数 an
f
( n)
( 0)
解 n! 析 z 函 例 将函数 f ( z ) e 在 z 0 点展开为幂级数。 数 P90 例4.6 ( n) 的 f ( 0) 1 (n) z , 级 解 f ( 0 ) e z 0 1 , an n! n! 数 表 | z | . 示
解 2 4 6 (2 z ) (2 z ) (2 z ) 析 , | z | . 2 2! 2 4! 2 6! 函 数 的 例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 级 数 解 sin z sin[ 1 ( z 1 )] sin 1 cos( z 1 ) cos 1 sin( z 1 ) 表 2n ( z 1) 示 n sin 1 ( 1)
结论 函数 f ( z ) 在 z 0 点展开为泰勒级数，其收敛半径
z 等于从 z 0 点到 f ( z ) 的最近一个奇点 ~ 的距离。 z 理由 (1) 幂级数在收敛圆内解析， 因此奇点 ~ 不可能
在收敛圆内；
z (2) 奇点 ~ 也不可能在收敛圆外，不然收敛半径 z 还可以扩大，故奇点 ~ 只能在收敛圆周上。
Bz C z 1
1 2
2
1 z2
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