北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2讲课教案
高等代数与解析几何考研试题 (2)
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,,lim sup sin 11x x x x x x x x x x x x x x →+∞-≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()0.sin sin x x x x x x f x f x x x x x→+∞→+∞→+∞===--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
2018年北京大学高等代数与解析几何试题及解答
6. (1) 显然V = 0及V = Mn (K )为两个平凡的公共子空间,但不是n维的. 设 Vi = span {E1i , E2i , · · · , Eni } , i = 1, 2, . . . , n. 则Vi 是n维公共子空间. 另外, V = {(α, α, 0, . . . , 0) | α ∈ K n }也是n维公共子空间. (2) 若V ⊂ V , 但是V = 0, 则存在B ∈ V 设bij = 0, 则
u v w
可得 yw − vz = 0
(x − 1)w − (z − 1)u = 0 , (x + 1)v − (y + 1)u = 0 因为(u, v, w) = 0, 因此上述线性方程组有非零解, 从而 0 1−z −z 0 y x−1 w = 0.
−y − 1 x + 1
B= sin θ3
cos θ2 cos θ3 − sin θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ1 sin θ3 − cos θ1 sin θ2 cos θ3 + sin θ1 sin θ3 sin θ2 sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2
= cos θ2 sin θ3
9. (15分) 记A是与下面三条直线都相交的直线的并集: 达式f (x, y, z ) = 0,其中f 是一个三元多项式.
y = 0 z = 0
,
x = 1 z = 1
,
x = −1 y = −1
. 给出A的一个一般表
10. (15分) 证明几何空间中任意一个旋转变换f , 只要转轴通过原点, 就一定可以写成f = gz ◦ gy ◦ gx 的形式, 其 中gx , gy , gz 分别表示绕x, y, z 轴的旋转变换.
北京大学基础数学专业-数学基础考试2 (高等代数、解析几何) 讲义-考研资料-考研真题
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北京大学基础数学专业内部讲义。
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高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。
证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数秩r，则。
即，22222 若令，y，则可得非零解使。
这与所给条件矛盾，故。
充分性。
由，知，222故有，即证二次型半正定。
．证明：是半正定的。
证（）可见：。
21）当不全相等时2）当时f。
2故原二次型是半正定的。
AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。
X1。
证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。
由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。
不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。
17．A是一个实矩阵，证明：。
证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。
事实上，即证与同解，故。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。
n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。
北京大学考研真题试题-高等代数与解析几何2007[试卷+答案]
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例如，设V = P[x] 是数域 P 上多项式全体所构成的线性空间，定义 Af (x) = f ′(x) ， Bf (x) = xf (x) ， ∀f (x) ∈V ，
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间V 上的线性变换 A ，B ，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
容易验证： AB − BA = E . （2）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和为常数 c ，则 A3 的各行元素之和是否为常数？若是，
是多少？说明理由.
【解】是.设 η = (1,1, ,1)T 是 n 维列向量，则由 A 的各行元素之和为常数 c ，知 Aη = cη ，从而 A3η = c3η .所以 A3 的各行元素之和为常数 c3 .
北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答
5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更 精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.
北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何试题及答案 2.pdf
点 P' : (x, y, z)
PP' ⊥ x +1− 3k = z − k x − 3z +1 = 0
3
1
P 3x + By + z = 0
整理即知，
l
到
上的正交投影轨迹满足方程
x − 3z +1 = 3x + By + z
0 =
0
由于 1 1 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 + B −1 = 0 和 3 + B + 2 = 0 不同时成立，因此 l 到 31
上的正交投影轨迹是一条直线
从而
l
到
上的正交投影轨迹的方程就是
x − 3z + 3x + By
1 +
= z
0 =
0
2． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状： x2 + y 2 + 2xy + = 0 .
对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
ci
2
于是方程组
AX
=
0
解空间的维数是
n−2
，取向量组
1, 2 ,..., n−2
，其中
i
=
，
cin
b2 − bn−i
b1
− b2
,
j
=1
cij
=
b1 − bn−i b2 − b1
,
j
=
2
，i
=1, 2,..., n − 2
1, j = n − i
0,
其他
可知
高等代数教案(北大版)--高等代数试题以及解答
高 等 代 数(上)(No. 8)一、填空题(每小题1分, 共8分)1．一非空复数集P 为数域, 若其 包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭. 2． 设d (x )为f (x ), g (x ) 的一个最大公因式, 则d (x )与(f (x ), g (x ))的关系 倍数关系即d (x )＝k (f (x ), g (x )) .3．设{i 1,i 2,…,i n }={1,2,…, n },则τ( i 1i 2…i n )+ τ( i n i n -1…i 1)=n(n -1)2. 4．设n ≥2, a 1,…,a n 两两不同, 则xa a a x a a a xnn.....................2211的不同根为 a 1, a 2,…,a n .5．设t 1,…,t r 两两不同, 则αi =(1,t i ,…,1-r i t ), i =1,…, r 线性 无关 .6．若β可由α1,…,αr 唯一表示, 则α1,…,αr 线性 无关 . 7．设α1,…,αm 为n 维向量组, 且R (α1,…,αm )=n , 则n ≤ m . 8．若A 为n 级实对称阵且AA '= O , 则A= O . 二、选择题(每小题1分, 共8分)1． 对于“命题甲：将n (>1)级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为-D ；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立2．整系数多项式f (x )在Z 不可约是f (x )在Q 上不可约的( B ) 条件.A . 充分B . 充分必要C . 必要D . 既不充分也不必要3．设D=|a ij |n , A ij 为a ij 的代数余子式, 则nnnnn n A A A A A A A A A D (212)221212111∙=( C ) .A . DB . -DC .D n D . (-1)n D 4．下述中, 错误的是( D ) .A . 奇数次实系数多项式必有实根B . 代数基本定理适用于复数域C . 任一数域包含QD . 在P [x ]中, f (x )g (x )= f (x )h (x )⇒g (x )=h (x ) 5．设A , B 为n 级方阵, m ∈N , 则“命题甲：|-A|=-A ；命题乙：(AB )m = A m B m ”中正确的是( D ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立 6. 任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( B ) .A . |A|=-|A|B . AX =0 与(-A )X =0同解C . 若A 可逆, 则(-A )-1=(-1)n A -1D . A 反对称, -A 反对称7． 向量组α1,…,αs 线性无关⇔( C ) .A . 不含零向量B . 存在向量不能由其余向量线性表出C . 每个向量均不能由其余向量表出D . 与单位向量等价8． 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( A ) 不能断言A ≌B .A . R (A )= R (B ) B . 存在可逆阵P 与Q 使A=PBQC . A 与B 均为n 级可逆D . A 可经初等变换变成B三、简要回答(每小题5分, 共20分)1．设f (x), g (x )∈P [x ], g (x )≠0, 若f (x )= g (x )q (x )+r (x ), 则 (f (x ), g (x ))=(f (x ), r (x ))成立吗？为什么？答: 不一定成立. 如：f (x )=6x 2, g (x )=2x , q (x )=3x , r (x )=0, (f (x ), g (x ))= x , (f (x ), r (x ))=x 2. 2． 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A , 则当a ,b ,c ,d 满足何条件时, A =A '？ A =A 2？为什么？ 答: 当b =c 时, A 是一个对称矩阵, 因此A =A '.当a+d =1或c=b=0且a , d ∈{0,1}时, A =A 2.直接根据矩阵相等的定义.3．若α1,…,αs 与β1,…,β s 均相关, 则α1+β1,…,αs +β s 相关吗？为什么？答: 不一定. 如：α1=(0, 2, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(2, 1, 2), β1=(0, -1, 0), β2=( -1, 0, 0), β3=(-1, -1, 0), 显然α1, α2, α3; β1, β2, β3两组向量均相关, 但α1+β1, α2+β2, α3+β3是线性无关的.4．若A , B 均为n 级阵, 且A ≌B , 则A 与B 的行向量组等价吗？为什么？ 答：等价。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
2006年北京大学高等代数真题解答
2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。
解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。
北京大学高等代数与解析几何试题解答(初稿)
2008年 北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答说明: 本试题解答由SCIbird 提供, 继续在博士家园论坛首发. 若有转载, 请注明转载自博士家园论坛. 在看证明前, 建议读读下面一段话,将有助于对本套试题解答的理解.现在看到的这套试题的解答, 算是我本人在过去两个月学习高代的一个阶段总结. 考虑到自身水平, 我觉得十分有必要声明两点:(1). 和数分一样, 高代也是自学的. 只不过刚学不久, 但没数分学的时间长, 也没数分用的熟练. 于是我决定在这套试题解答中使用尽可能使用比较基本的方法, 这样会降低自己出错的机会. 但这样写可能在一些高手的眼里就显的太基础了, 太俗了, 甚至方法很笨拙. 可这也是没办法的事, 比如我目前还不怎么会用约当标准型.(2). 在本解答中,我尽量写的通俗些, 但为避免引起大家的困惑和不必要的争议, 需要先说明下我在这里所使用的定理和结论皆出自下面两本书:《高等代数简明教程》 蓝以中 编著, 《解析几何》尤承业 编著. 如果你对本解答中所使用的定理或结论不理解的话, 请查阅上面的两本书.高等代数部分解答1. (1) 若A 是m n ×矩阵，非齐次线性方程组Ax β=有解，且()r A r =，则方程组Ax β=的解向量中线性无关的最多有多少个? 并找出一组最多的线性无关的解向量.解: 最多有1n r −+个线性无关的解向量. 理由如下:a). 设Ax β=的一个特解为0X , 对应的齐次方程的一个基础解系为12,,,n r ηηη− . 令0k k x X η=+, 12,,,n k r =− . 则0X 与k x 都是Ax β=的解,我们断定01,,,n r X x x − 是线性无关的.令 00110n r n r k x k X k x −−+++= , 两边乘以矩阵A 得到010010()()n r n r k k AX k k k k β−−++=+++=+ .因为0β≠, 所以010()n r k k k −+++= .代回上式得 11220n r n r k k k ηηη−−+++= .考虑到基础解系是线性无关的, 故 10n r k k −=== , 进而00k =.这就证明了01,,,n r X x x − 是线性无关的.b). 往下只需证明Ax β=的任意2n r −+个解向量必线性相关. 任取2n r −+个解向量, 记为12,,,s y y y (这里2s n r =−+).其中 0i i y X α=+ , 12,,(,)i n r L αηηη−∈设11220s s y y y λλλ+++= ,即 12011220()s s s X λλλαλλαλα++++++=+两边乘以矩阵A 得到, 120()s λλλ+++= --------(1),代入上式有, 11220s s λαλααλ+++= ---------(2).下面我们证明, 确实存在一组不全为0的常数12,,,s λλλ ,使得(1)(2)均成立.注意到12,(,),i s n r L ααηηη−∈− , 2s n r =−+.则 121,,,s s s s αααααα−−−− 必定线性相关. 因此存在一组不全为0的常数 121,,,s k k k − 使得110()s i i i s k αα−=−=∑. 令11s i s i k λ−==−∑, 121,,,,i i s k i λ==−则满足(1)(2)式, 这就证明了12,,,s y y y 是线性相关的.c). 显然, 0010,,,n r X X X ηη−++ 就是一组满足要求的解向量.注: 本题按理说不难, a)也容易想到, 证明也不是很难. 到是b)的证明有些难度. 这就好像求最大值, 找到一个备选的可能最大值可能比较容易, 但要证明没有其他元素比她大可能就困难了. 本题的困难之处在于非齐次线性方程组的解集不是一个线性空间(没有0元素), 这就比较麻烦了, 需要转化一下. 下面我们来梳理一下证明思路:首先, 直观上向量个数越多, 其线性相关的可能性越大. 注意到非齐次线性方程组的解是: "特解+齐次基础解系" 的形式, 特解必须有, 而基础解系向量越少, 则线性无关的可能性就越大. 很自然的我们应该考察这样一组解向量: 0010,,,n r X X X ηη−++ . 证明它们是线性无关的, 只能用定义了. 我们知道12,,,n r ηηη− 是线性无关的. 而这个0X 有点碍事, 于是两边用A 作用把它消去.其次, 要证明最大性, 我们还得证明任意2n r −+解向量必线性相关. 这就要有一点技巧了! 如果你观察的足够仔细会发现我上面b)的证明实际上是从两边出发往中间(1)(2)夹的. 虽然把0X 消去了, 但又多了一个条件(1). 注意到我们取的2n r −+个i α中至多有n r −个是独立的, 也就是说至少有两个向量是多余的. 于是我们可这样考虑由(1), 得11s i s i λλ−==−∑. 代入(2), 发现110()s i i i s λαα−=−=∑.上面的1s −个向量是线性相关的, 因而i λ有非零解. 显然满足(1)(2).(2). 若Ax β=对所有m 维非零向量β都有解，求()r A解: ()r A m =. 理由如下:不妨A 是m s ×矩阵, 即12(,,,)s A ηηη= , 其中i η为m 维列向量.方程组有解, 意味着β可由A 的列向量线性表示, 因此12(,,,)s L βηηη∈ .显然当0β=时方程组也有解(零解). 因为对所有m 维非零向量β都有解, 也就是说 任取m K β∈, β可由A 的列向量线性表示. 因此12(,,,)m s K L ηηη⊂ .所以 12dim (,,,)s m L ηηη≤ .注意到12()dim (,,,)s r A L ηηη= 及 ()r A m ≤, 因此有()r A m =.注: 方程Ax β=有解的几何意义, 就是向量β可由矩阵A 的列向量线性表示. 即12(,,,)s L βηηη∈ . 再由β取法的任意性, 得到12(,,,)m s KL ηηη⊂ . 往下的思路就自然了.2. (1) 若A 是s n ×矩阵，B 是n m ×矩阵，()()r AB r B =.则对于所有m l ×矩阵C 是否有()()r ABC r BC =? 并给出理由。
北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题与答案2
北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。
2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。
x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。
北京大学数学系《高等代数》考点讲义
绪 论 １ 第一章 多项式 ４ 第二章 行列式 １３ 第三章 线性方程组 １９ 第四章 矩阵 ２５ 第五章 二次型 ３１ 第六章 线性空间 ３５ 第七章 线性变换 ４０ 第八章 λ－矩阵 ４３ 第九章 欧氏空间 ４４
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研 室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点． ２．全国采用该教材的学校所占比例非常大． ３．该教材荣获全国高等学校优秀教材． ４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势
— １—
量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概 念，分值占到 １５０分中的 １０５分．
厦门大学 ２０１２年考题中，１６道题中有 １０道题考察了矩阵的相关概念和理论． 中科院研究生院 ２０１２年考题中，８道题中有 ５道题考察了矩阵的相关内容． （２）线性空间和线性变换理论． 南开 ２０１２年试题中，９道题中有 ４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的 ７０分． （３）多项式理论． 多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到 １５０分的 １５分至 ２５分，但这部分内容 是各校考试题中的必考内容． ３．从方法看，考察的热点有： （１）矩阵的初等变换方法； （２）特征值和特征向量方法； （３）标准正交化方法； （４）子空间直和的判定方法． ４．发展趋势 （１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用 知识解决问题的能力． 但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． （２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． （３）注意新的概念和新的理论的出现． 中山大学 ２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． （４）反问题的讨论． （南京航天航空大学 ２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ａ（ｘ２ １ ＋ｘ２ ２ ＋ｘ２ ３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２ ＋ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２ｘ３）经过正交变换 Ｘ ＝ＣＹ化为二次型 ３ｙ２ １ ＋３ｙ２ ２，求参数 ａ，ｂ的值及正交矩阵．
北京大学1997年高等代数与解析几何试题及解答
1. 求 A 的全部特征值和特征向量. 2. 设 B = A 3 − 5A , 求 B 的一个非平凡的不变子空间.
注 法二的想法源于蓝以中的《高等代数》第二版下册第 173 页的例 2.4.
六. 1. 设 λ 对应的一个特征向量为 ξ, 则 A ξ = λξ,
λ(ξ, ξ) = (A ξ, ξ) = −(ξ, A ξ) = −λ(ξ, ξ),
故 2λ(ξ, ξ) = 0, 由 ξ ̸= 0 知 (ξ, ξ) ̸= 0, 故 λ = 0.
0 或纯虚数.
1
一. 1. 对应的矩阵为
−132
−
3 2
1
−55 ,
5 −5 21
I1 = 2, I2 = −5/4, I3 = −5/4, 曲线为双曲线.
2. 对应的矩阵为
1 2
2 4
−510 ,
−10 5 −50
I1 = 5, I2 = 0, I3 = −625, 曲线为抛物线.
√ 五. (10 分) 设 f (x) 是有理数域 Q 上的一个 m 次多项式 (m ⩾ 0), n 是大于 m 的正整数. 证明: n 2 不是 f (x)
的实根. 六. (20 分) 设 A 是 n 维欧式空间 V 上的一个线性变换, 满足
(A α, β) = −(α, A β), (∀α, β ∈ V ). 1. 若 λ 是 A 的一个特征值, 证明 λ = 0. 2. 证明 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵为 A. 证明: 把 A 看做复数域 C 上的 n 阶方阵, 其特征值必为
北京大学801高等代数解析几何2006年(回忆版含答案)考研专业课真题试卷
2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。
(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。
要求说明理由。
2.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上的,s n n s ××矩阵，证明：()()()n rank A ABA rank A rank E BA n −=+−−.(2) 设,A B 分别是实数域上n 阶矩阵。
证明：矩阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变。
3. (16分)(1) 设A 是数域K 上的n 阶矩阵，证明：如果矩阵A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以分惟一的分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即。
(2) 设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵，试问：A 是否可以分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即？说明理由。
4.(10分)(1) 设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式()f λ的所有不同的复根为实数12,,,s λλλ⋅⋅⋅. 把A 的最小多项式()m λ分解成R 上不可约多项式的乘积。
说明理由。
(2) 设A 是n 阶实对称矩阵，令Α()A αα=, R n α∀∈根据第(1)问中()m λ的因式分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
北京大学2009年高等代数与解析几何试题及解答
2. (法一) 设
∏s f (x) = (x − xi)ni ,
i=1
其中 x1, x2, . . . , xs 为互不相同的实数, 则
f ′(x) ∑s =
ni
,
f (x) i=1 x − xi
2. (10 分) 设多项式 f (x) 的所有复根都是实数, 证明: 如果 a 是 f (x) 的导数 f ′(x) 的重根，则 a 也是 f (x) 的 根.
3. (10 分) 设 S 为 n 阶实对称矩阵, S1, S2 都是 m 阶实对称矩阵, 证明: 若准对角矩阵
(
)(
)
S0 与 S0
0 S1
12. (13 分) 给出空间中半径为 1 的球面 S 和到球心距离为 2 的一点 P, 考虑过 P 点且与 S 相交的任一条直 线, 取两个交点的中点, 用解析几何的方法证明这些中点的轨迹在一个球面上, 并求出球心和半径.
2
1. 如果一个向量组除去零向量后所剩的向量组线性无关, 则该向量组的极大线性无关部分组是唯一的.
dim W = dim im B = dim U − dim ker B = p − r(AB) − (p − r(B)) = r(B) − r(AB).
0 S2
合同, 则 S1 与 S2 合同.
4. (15 分) 解方程组
x+y+z = 2
(x
−
y)2 + (y x2y2z
− +
z)2 + x2yz2
(z +
− x)2 xy2z2
北京大学1999年高等代数与解析几何试题及解答
因此 V1 ∩ V2 = {0}.
∀α ∈ V, 可设 α = x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn, 那么
() ∑n
( ∑n
) ∑n
α=
xi (α1 + α2 + · · · + αn) +
xi − xj αi ∈ V1 + V2.
i=1
i=1
j=1
综合上面两点得 V = V1 ⊕ V2. (3) 设 A αi = αpi, 1 ⩽ i ⩽ n. 其中 p1, p2, . . . , pn 为 1, 2, . . . , n 的一个重排, 则
x + 48
=
y+
95 2
=z+
35 .
8
7
2
注 丘维声的《解析几何》第三版第 69 页习题 2.3 第 10 题的 (3).
二. (1) 因为点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 在 S 上, 故 a11 = a22 = a33 = 0.
(2) 作正交坐标变换
−−−→ Q1Q2 = (23 + 5s − 2t, −12 + 4s − 3t, s − t),
由
−−−→ Q1Q2
//
⃗v
得
23 + 5s − 2t −12 + 4s − 3t s − t
=
=
8
7
1
=⇒
s
=
−
82 3
t
=
−
35 2
95 35 =⇒ Q1(−48, − 2 , − 2 )
北京大学2012年高等代数与解析几何试题及解答
3. 因为 | det A| = 1, 故 A 为可逆矩阵. 设每行每列恰有一个元素为 1 或 −1, 其余元素均为 0 的 n 阶方阵组 成的集合为 S, 则 A ∈ S. 任取 B ∈ S, AB 可以看作对 B 的行做一个置换, 并且对某些行倍乘 −1 而得的矩 阵, 从而 AB ∈ S, 于是 A, A2, A3, . . . , An, . . . 均属于 S. 而 S 是有限集, 故存在 p > q ∈ N 使得 Ap = Aq, 所以 Ap−q = E.
4. 证法一: 利用一点点张量的知识, 先来考虑 A, B 的张量积
A ⊗ B =
a11B
a21B ...
a12B
a22B ...
··· ···
a1nB
a2nB ...
,
an1B an2B · · · annB
那么有 rank(A ⊗ B) = rank(A) · rank(B), 由于 A ◦ B 正好是 A ⊗ B 的主子式，故
i=1
∏n 由根与系数的关系知 σi ∈ Q, i = 1, 2, . . . , n, 于是 f (λi) ∈ Q.
i=1
2. 矩阵的行列式展开式告诉我们: 矩阵的行列式为矩阵中元素进行有限次加减乘法后所得的结果, 因此先将矩 阵中的元素都模 2 取余再计算行列式得到的数与先按原矩阵元素计算行列式再模 2 取余所得的数在模 2 的 意义下相等. 将题中矩阵的每个元素都模 2 取余后所得矩阵的次对角线下方元素均变为了 0, 对角线上的元 素全是 1, 不用关心对角线上方的元素是什么就知道这个时候最后的结果一定是模 2 余 1, 从而原矩阵的行 列式不为 0.
(2) 当 a > 0 时. i. 若 ac − b2 > 0, 则为单叶双曲面. ii. 若 ac − b2 = 0, 则为锥面.
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证明：
记
其中 ，
因此 ，
于是
可知 ，其中 是 阶单位矩阵， 是一个 的矩阵，从而
并且对任意的 ，有
因此 都属于方程组 解空间，从而是方程组 解空间的一组基
4．（1）设数域 上 级矩阵，对任意正整数 ，求
[C是什么？]
（2）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上 级矩阵 称为循环矩阵。用 表示 上所有 级循环矩阵组成的集合。
（2）设 是 级正定矩阵（ ） ，且 是非零列向量。令 ，求 的最大特征值以及 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基
解：
(1) 是 上的一个内积，证明如下：
容易验证 是 上的一个双线性函数
对 中任意的非零向量 ，
令 ，是 上的一个多项式函数，有
可得
若 ，由于 在 上连续，则必有 ，
则 ，即 ，与 是 中非零向量矛盾。所以 ，
北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何。
1．在直角坐标系中，求直线 到平面 的正交投影轨迹的方程。
其中B是常数
解：
可以验证点 ，从而
把 写成参数方程： ，任取其上一点 ，设该点到 上的投影为点
整理即知， 到 上的正交投影轨迹满足方程
由于 ，上述方程表示一条直线，而 和 不同时成立，因此 到 上的正交投影轨迹是一条直线
2) 时，曲线方程为 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 ，即
3) 时， ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为
4) 时，曲线方程为 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为
5) 时， ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为
6) 时，曲线方程为 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 ，即
7) 时， ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为
从而 到 上的正交投影轨迹的方程就是
2．在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状： .
对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；
对于线心型曲线，写出称直线的方程。
解：
记 ，容易验证 ，因此直角坐标变换 是一个正交变换
在这个变换下，曲线方程变为
1) 时， ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为
证明： 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
证：
对任意的 ，以及 ，有
因此
对任意的 ，和 ，有
因此
可知 是 的一个子空间。
记 ，其中 ， ，
对任意的 ，有 ，即 所有向量都能用向量组 线性表出
设一组数 ，满足 ，亦即
可得 ，向量组 线性无关
综上向量组 是 的一组基
5．（1）设实数域 上 级矩阵 的 元为 （ ）。在实数域上 维线性空间 中，对于 ，令 。试问： 是不是 上的一个内积，写出理由。
3．设数域 上的 级矩阵 的 元为
（1）.求 ;
(2).当 时， .求齐次线性方程组 的解空间的维数和一个基。
解：
(1)
若 ，
若 ，
若 ，
(2)
若 ，则 ，方程组 只有零解，其解空间维数为0
若 ，则由(1)知道 的任意一个3级子式的行列式为0，而 的一个2级子式 的行列式为 ，从而
于是方程组 解空间的维数是 ，取向量组 ，其中 ， ，
所以 是 上的一个内积
(2)由于 正定， ，可得 ， ， ，
由 知方程组 解空间 的维数为 ， 同时也是 的属于0特征值的特征子空间
由 ， 和 ，知 是 的特征值， 是B的属于特征值 的特征向量
设 的属于这个特征值的特征子空间为 ，由 ， ，所以
即 ，而 ， ， 的一组基为
，因此 没有其他特征值， 是 的唯一非零特征值，也是 最大的特征向量