19-20 第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用

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2．已知 a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．
[解] 法一：1a＋1b＝1a＋1b·1
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
A.72 B．4 C.92 D．5
C [∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1. ∴1a＋4b＝1a＋b4a＋2 b ＝52＋2ba＋2ba≥52＋2 2ba·2ba＝92 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时，等号成立. 故 y＝1a＋4b的最小值为92.]
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2．若 x>0，则 x＋2x的最小值是
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112， 当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
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利用基本不等式求条件最值 【例 2】 已知 x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求 x＋2y 的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
∴1a＋1b的最小值为 3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时，等号成立，
∴1a＋1b的最小值为 3＋2 2.
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结合 x＋2y＝1，得 x＝23，y＝16， ∴当 x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值 18.
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1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形， 配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会 变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形 式有 f(x)＝ax＋bx型和 f(x)＝ax(b－ax)型．
即xy＝ ＝132， 时，等号成立， 故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
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若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小 值．
[解] ∵x，y∈R＋， ∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18. 当且仅当1x6y＝xy时取等号，
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1．(1)已知 x>0，求函数 y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [解] (1)∵y＝x2＋5xx＋4＝x＋4x＋5≥2 4＋5＝9，
当且仅当 x＝4x即 x＝2 时等号成立． 故 y＝x2＋5xx＋4(x>0)的最小值为 9.
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
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(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
A.72
B．4
C.92
D．5
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C [∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1. ∴1a＋4b＝1a＋b4a＋2 b ＝52＋2ba＋2ba≥52＋2 2ba·2ba＝92 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时，等号成立. 故 y＝1a＋4b的最小值为92.]
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1．已知 a＞0，b＞0， a＋Leabharlann Baidu＝2，则 y＝1a＋4b的最 小值是( )
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数 1.通过基本不等式求最值，提升数学
的最值问题．(重点)
运算素养．
2．会用基本不等式求解实际应用 2．借助基本不等式在实际问题中的
题．(难点)
应用，培养数学建模素养.
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自主预习 探新知
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已知 x、y 都是正数， (1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值S42. (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
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1．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值是( )