离散数学期末考试试题(有几套带答案)

离散数学试题(A卷及答案）

一、证明题（10分）

1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R

证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R

⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R

2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)

证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔m0∨m1∨m2∨m7

⇔M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1）C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A ∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S

证明：(1) (C∨D)→⌝E

(2) ⌝E→(A∧⌝B)

(3) (C∨D)→(A∧⌝B)

(4) (A∧⌝B)→(R∨S)

(5) (C∨D)→(R∨S)

(6) C∨D

(7) R∨S

2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明（1）∃xP(x)

(2)P(a)

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))

(4)P(a)→Q(y)∧R(a)

(5)Q(y)∧R(a)

(6)Q(y)

(7)R(a)

(8)P(a) (9)P(a)∧R(a)

(10)∃x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍

证明设

1

a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数只能

是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知，

1

a，2a，…，1+m a这m＋1个整数中至少

存在两个数

s

a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）

证明∵x∈A-（B∪C）⇔x∈A∧x∉（B∪C）⇔x∈A∧（x∉B∧x∉C）⇔（x∈A∧x∉B）∧（x∈A∧x∉C）⇔x∈（A-B）∧x∈（A-C）⇔x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x,y∈N∧y=x2}，S={| x,y∈N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、

R{1,2}、S[{1,2}]（10分）解：R-1={| x,y∈N∧y=x2}，R*S={| x,y∈N∧y=x2+1}，S*R={| x,y∈N∧y=（x+1）2}，

七、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1⇔存在z（∈g-1∧∈f-1）⇔存在z（∈f∧∈g）⇔∈gf⇔∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

八、（15分）设是半群，对A中任意元a和b，如a≠b必有a*b≠b*a，证明：

(1)对A中每个元a，有a*a＝a。

(2)对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。

(3)对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。

证明由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。

(1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以a*a＝a。

(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有a*b*a＝a。

(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c＝a*c。

九、给定简单无向图G＝，且|V|＝m，|E|＝n。试证：若n≥2

1-

m

C＋2，则G是哈密尔顿图

证明若n≥2

1-

m

C＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。

若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝∑

∈V

w

w

d)

(＜m＋(m－

2)(m－3)＋m＝m2－3m＋6，与（1）矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m，所以G是哈密尔顿图。

离散数学试题(B卷及答案）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T

证明左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ⇔ ((P ∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ⇔((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ⇔T (代入)

2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))

证明∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q) ⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3