论2平方根是无理数
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论2平方根是无理数
12n
a
b
≠成立，那么1
2n
必为无理数。
这是经典的反证法，但是在逻辑上属于不太充分的证明，它的思想是非正及反的逻辑，虽然结论是正确的，但是逻辑上依然不够充分，我们有没有直接证明呢，哈哈当然有 现在开始阐述它
条件：设整数(p ，q)互素q>p ，实数n>1，设m 为充分大
的整数, p u q
=
()
1
1n n
a q u
=+求a 的值
利用牛顿二项式广义定理展开上式
得：
11
k k kn
k n
a q q C u →∞
=-=∑
12233111111
(.......)k k kn n n n k kn
k n
n
n
n
n
a q q C u q C u C u C u C u →∞
=-==+++∑
12233111111
(.....)k k kn n n n k kn k n
n
n
n
n
a q q C u q C u C u C u C u →∞=-==+++++∑ 1.设
1 ()()()()1 1 1 2211111 11lim =lim 2..(1)(1)!k k k kn kn kn n x n n n C u k u u n k k n n n k ++→∞ →∞----⎛ ⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪-⎝ ⎭⎝ ⎭ 我们现在从无穷处到M 求级数之和 ()()() 1 13 1211lim 2k kn bm bm k kn m k m k m n n n q u q C u n k +→∞ ==---= ∑ ∑ ()() 1 130 1211lim lim ln 21bm bmn bm k kn m mn m b k m n q n n x u q C u n x u →∞→∞=⎡⎤--⎛⎫+=⎢⎥ ⎪+⎝ ⎭⎣⎦∑()()()()13 3 1211211lim limln ln(1)212bmn bm k kn mn mn m b k m n n n q n n q u q C u u n u n →∞ →∞ =----⎛⎫+==-+ ⎪+⎝⎭ ∑ ()()( )13 121lim ln 12bm k kn mn m k m n n n q q C u u n →∞ =--=-+∑ ()()1 13 1 121lim(ln(1)1) 2m k kn nm m k n n n a q C u u n ε-→∞ =--=-+++∑ 2.设n=2 ()()()()1 k 122 1.3.5..212!lim 1lim 2!2!k k k k k k k C k k +→∞→∞-==- () () 21 1 k 12 2 2lim 1lim 12k k k k k k k k e C k e ++→∞ →∞ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ () 1 k 12 lim 1k kn kn k C u u +→∞ =- 则k=M,以后的项为等比数列 ()1 12211 2 lim(11)k m k bm k k k m k k m a q C u u ε+-=→∞ ===+-++∑∑ ()1 222462112 lim(1....1) m k bm k k k m m k k m a q C u u u u u u ε-=→∞==⎡⎤=--+--++⎢⎥⎣ ⎦∑∑21 21212 lim(1)1m m k k m k u a q C u u ε-→∞==-+++∑ 2.设n>2 () ()() () 1 1 12 2 111111lim =1lim 2..(1)1!k k k k k n n n C k n k k n n kn ++→∞ →∞---⎛⎫⎛⎫ ----= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()1 13 1 121lim(ln(1)1) 2m k kn nm m k n n n a q C u u n ε-→∞ =--=-+++∑ 综上所述： 仅仅n=2时可能存在a 为有理数的可能它的公式为