流体流动连续性方程和动量方程
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
矢量形式的ns方程
矢量形式的ns方程
矢量形式的Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程。
它由连续性方程和动量方程组成。
1. 连续性方程：
连续性方程描述了质量守恒，即流体在任何给定点的流入和流出的质量必须保持平衡。
矢量形式的连续性方程可以表示为：
∇·u = 0。
其中，∇是向量算子的散度运算符，u是流体的速度矢量。
2. 动量方程：
动量方程描述了流体的运动和力的作用。
矢量形式的动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∇u + u∇²u + u。
其中，∂u/∂u是速度矢量的时间导数，u·∇是速度矢量的对流项，u是压力，u是流体的密度，u是动力黏度，u是外力矢量。
这个方程可以进一步展开为三个独立的方程，即x、y和z方向的方程。
以x方向为例，动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∂u/∂u +
u(∂²u/∂u² + ∂²u/∂u² + ∂²u/∂u²) + uu。
其中，uu是外力在x方向上的分量。
总结起来，矢量形式的NS方程包括连续性方程和动量方程，用于描述流体的质量守恒和运动。
这些方程可以进一步展开为三个方向上的方程，用于求解流体的速度和压力分布。
连续性方程与动量方程
v1A1 = v2A2
《液压传动》
二、 动量方程
动量定理在流体力学中的表达
作用在物体上的外力等于物体单位时间内动量的变化量
探秘液体动力学
∑F=mv2/△t—mv1/△t=ρqv △t(v2/△t—v1/△t) = ρqv (v2—v1)
《液压传动》
动量方程在工程实际中的应用：（玩具制造或武器装备）
探秘液体动力学 《液压传动》
探秘液体动力学 《液压传动》
探秘液体动力学
某液压系统两液压缸串联，小液压缸活塞的运动是主运动，大液压缸 活塞的运动是从动运动并推动负载工作，如下图所示。已知1截面处面 积A1=20cm2 ，2截面处面积A2=28cm2 ， 连接两液压缸管路的流 量q=50L/min，求两液压缸活塞的运动速度。
v1 = q /A1
探秘液体动力学
如图所示，油在喷管中的流速
v1=6m/s，喷管直径d1=5mm，油 液密度ρ=900kg/m3，喷管前设一
挡板，下列情况下管口射流对挡板
壁面作用力F是多少？ 杀F=伤ρ力q的v (评1估—测v2试) ）
（枪支
F= ρv12πd2/4
《液压传动》
F= ρqv (v1—v2) F= ρv12cos30°πd2/4
项目一 组合机床动力滑台速度控制回路设计
《液压传动》课程
单元一 探秘液体动力学
知识点一 连续性方程与动量方程
目
01
录 02
连续性方程 动量方程
探秘液体动力学 《液压传动》
一、 连续性方程的意义
质量守恒定律在流体力学中的表达
m1=ρA1V1t 因为 m1=m2 即qv1=qv2
m2=ρA2V2t 所以有A1V1=A2V2
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学知识概要
一、守恒型控制方程（连续性方程、动量方程和能量方程）二、非守恒型控制方程（连续性方程、动量方程和能量方程）三、守恒型控制方程的通用形式，解向量、通量项和源项。
四、守恒变量和原始变量。
五、拟线性方程组的概念六、特征线的概念及其求法七、试判断下列方程组在亚音速流时方程的性质()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂'∂-∂'∂=∂'∂+∂'∂-∞0012x y u y x u Ma υυ 八、试证明一阶波动方程是双曲型方程0=∂∂+∂∂x uc t u九、双曲型方程影响区域和依赖区域的概念。
十、试构造差分格式并判断其截断误差xu∂∂的向前、向后和中间差分格式。
22xu∂∂的中间差分格式。
y x u∂∂∂2的中间差分格式。
十一、离散误差和截断误差的概念及其求法十二、差分方程的性质1. 相容2. 收敛3. 稳定性4. LAX 等价定理 十三、试构造一维热传导方程（22x T t T ∂∂=∂∂α）的各式差分方程1. 显式格式2. 隐式格式十四、克兰克—尼克尔森格式 十五、试判断一阶波动方程（0=∂∂+∂∂x uc t u）欧拉显式格式的稳定性。
十六、CFL 条件的物理解释？十七、SIMPLE 算法的步骤是什么？十八、Galerkin 加权余量法及其应用十九、强解与弱解的概念二十、Ritz —Galerkin 法及其应用二十一、单元和总体有限元方程的推导如：1．试推导下列一维对流扩散方程边值问题的Galerkin 弱解积分表达式，并推导如题图4所示（1）单元的单元有限元方程（选择单元基函数为线性函数）。
()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧==<<=+∂∂10,2,11,01022x u t u t u x dx u d dx du t u βα2．试推导下列一维对流扩散方程边值问题的Galerkin 弱解积分表达式，并推导如题图4所示（2）单元的单元有限元方程（选择单元基函数为线性函数）。
流体的管道水力特性和分析
流体的管道水力特性和分析流体在管道内的传输是工程中常见的现象，我们需要了解流体在管道内的水力特性以及进行相应的分析。
本文将从流体的运动方程、管道内的压力损失以及流速分布等方面进行论述。
一、流体的运动方程为了了解流体在管道内的水力特性，我们首先需要了解流体的运动方程。
根据连续性方程和动量方程，可以得到管道内流体的运动方程。
连续性方程表达了在任意截面上流入和流出的质量守恒关系，即流体的质量流量守恒。
连续性方程可以用以下公式表示：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度矢量。
动量方程则描述了流体受到的外力以及流体内部存在的压力等因素的影响。
动量方程可以用以下公式表示：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·(τ) + F其中，p表示流体的压力，τ表示应力张量，F表示流体受到的外力。
通过解动量方程，可以得到流体在管道内的速度分布。
二、管道内的压力损失在管道内，由于摩擦、弯头、阀门等因素，流体会发生压力损失。
压力损失是指流体流动过程中由于摩擦力的作用，导致流体能量的损失。
了解管道内的压力损失是进行水力分析的重要一步。
在管道内流动的流体，其压力损失可以用以下公式表示：Δp = f(ρv^2L/D)其中，Δp表示压力损失，ρ表示流体的密度，v表示流体的平均流速，L表示管道的长度，D表示管道的直径，f表示摩阻系数。
通过计算压力损失，可以评估管道内流体的流动状态以及流体运输的效率。
三、流速分布流体在管道内的流速分布对管道的设计和分析具有重要影响。
在一般情况下，流体在直管道内的流速分布呈现为中心流速最大，沿着半径方向逐渐减小的分布特性。
这种流速分布又被称为剖面速度分布。
剖面速度分布可以用以下公式表示：v(r) = v_avg[1 - (r/R)^2]其中，v(r)表示距离管道中心距离为r处的流速，v_avg表示平均流速，R表示管道的半径。
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
输出项
外力项 不包括惯 性力 输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。 当流体有分流或汇流时 当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不 同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
横向边界：
恒定总流的动量方程 4
选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、 流速、压力等矢量。
凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。
5
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2V2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
恒定总流的动量方程
二、应用恒定总流动量方程的注意事项
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
带热源的边界层对流传热方程
带热源的边界层对流传热方程
数组存储大数的原理带热源的边界层对流传热方程是描述带热源的边界层内流体流动和传热过程的数学方程。
它由动量方程、能量方程和连续性方程组成。
一、动量方程
1．∂u/∂x+∂v/∂y=0
2．ρ(u∂u/∂x+v∂u/∂y)=-∂p/∂x+μ(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)
3．ρ(u∂v/∂x+v∂v/∂y)=-∂p/∂y+μ(∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2)+ρg
二、能量方程
1．ρ(u∂T/∂x+v∂T/∂y)=k(∂^2T/∂x^2+∂^2T/∂y^2)+q
三、连续性方程
●∂u/∂x+∂v/∂y=0
其中：
●u、v：流体在x、y方向的速度分量
●p：压力
●ρ：流体密度
●μ：流体粘度
●k：流体导热系数
●g：重力加速度
●T：温度
●q：热源
四、边界条件：
1．在壁面，u=v=0，T=Tw
2．在远场，u=U∞，v=0，T=T∞
其中：
3．Tw：壁面温度
4．T∞：远场温度
五、求解带热源的边界层对流传热方程，可以采用以下方法：
1．相似解法
相似解法是假设边界层内的流场和温度场与相似变量有关，从而将方程组简
化为一组常微分方程。
2．数值解法
数值解法是利用有限差分法、有限元法等方法将方程组离散化，然后利用计算机求解。
管道中流体压力与流速的公式
管道中流体压力与流速的公式在管道中，流体的压力与流速之间存在一定的关系，可以通过一些公式来描述。
以下是一些常见的与管道中流体压力和流速相关的公式。
1. Bernoulli方程：Bernoulli方程是描述流体流动中压力、速度和高度之间关系的基本方程。
该方程适用于稳态、无粘流体在水平管道中的流动情况。
Bernoulli方程如下：P1 + 0.5ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 0.5ρv2^2 + ρgh2其中，P1和P2分别为两个不同位置的压力，v1和v2为流体在这两个位置的流速，ρ为流体的密度，g为重力加速度，h1和h2为两个位置的高度差。
2.流量公式：在管道中，流量即单位时间内通过管道截面的流体体积。
根据流量公式，流量与流体的平均速度和管道横截面积成正比，其公式如下：Q=Av其中，Q为流量，A为管道的横截面积，v为流体的平均速度。
3.流体连续性方程：流体连续性方程描述了在稳态条件下，流体在不同截面的流速和流量之间的关系。
根据连续性方程，流量在整个管道中保持恒定。
连续性方程如下：A1v1=A2v2其中，A1和A2分别为两个截面的横截面积，v1和v2分别为流体在这两个截面的速度。
4.流体动量守恒方程：流体动量守恒方程描述了流体在管道中流动时动量的守恒现象。
根据动量守恒方程，可以推导出流体在管道中的危险速度和压力变化之间的关系。
动量守恒方程如下：ΔP=ρΔv其中，ΔP为流体流动过程中压力的变化量，ρ为流体的密度，Δv 为流体流动过程中速度的变化量。
综上所述，上述公式是描述管道中流体压力与流速之间关系的常见公式。
通过这些公式，可以计算出流体在管道中的压力与流速的变化情况，对于管道系统的设计和运行具有重要意义。
需要注意的是，这些公式适用于一定的假设条件，如稳态、无粘流体等，并且实际应用中可能需要考虑一些修正因素，如管道材料的摩擦阻力等。
流体流动连续性方程和动量方程
3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
uy
AA' x
xdt uy
dt
x x x
ux ydt
BB' y
ux dt
y y y
微团的旋转：
1
2
1 2 uxy uyxd tzd
t
z
12uxy
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1ux 2 z
uz x
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由 得
ux uy uz 0 x y z uz 4x4y z
积分 uz 4(xy)zc
由z=0，uz=0 得 c=0
uz4(xy)z
2.连续性方程的积分形式
v1 A1
1
A2 v2 2
u y ux x y
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
uy x
ux y
1(0a)1a0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
流体流动控制方程
Governing equations high-Reynolds-number k-ε model
线角旋平变转移形
流体微元的速度：
1.平移速度：ux，uy，uz
2.线变形速度：
x方向线变形 ux u xxx d tuxd t u xxxd txxd t
x
流体力学中的流体流动方程
流体力学中的流体流动方程流体力学是研究流体运动行为的学科，其中涉及到的重要概念之一就是流体流动方程。
流体流动方程是描述流体流动中物理量随时间和空间的变化关系的数学模型。
本文将详细介绍流体力学中的流体流动方程，包括连续性方程、动量方程和能量方程等各个方面。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质量守恒的基本方程。
它的数学表达式为：\[ \frac{{\partial \rho}}{{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，\(\rho\) 表示流体的密度，\(\mathbf{v}\) 表示流体的速度矢量。
该方程表示了流体质量的变化率与流体速度和流体密度的关系。
通过连续性方程，我们可以了解到在流体流动过程中，质量的变化与流速的关系。
2. 动量方程动量方程是描述流体运动动力学性质的方程。
它的数学表达式为：\[ \rho \left( \frac{{\partial \mathbf{v}}}{{\partial t}} + \mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v} +\rho \mathbf{g} \]其中，\(P\) 表示流体的压力，\(\mu\) 表示流体的动力粘度，\(\mathbf{g}\) 表示重力加速度。
该方程描述了流体运动过程中的力和速度的关系，包括压力、粘度和重力等因素的影响。
3. 能量方程能量方程是描述流体能量守恒的方程。
它的数学表达式为：\[ \rho \left( \frac{{\partial e}}{{\partial t}} + \mathbf{v} \cdot \nabla e \right) = - P \nabla \cdot \mathbf{v} + \nabla \cdot (\mu \nabla \mathbf{v}) + \rho \mathbf{g} \cdot \mathbf{v} + Q \]其中，\(e\) 表示流体的单位质量内能，\(Q\) 表示单位质量的流体所受到的热量。
流体力学公式 ns 方程
流体力学公式 ns 方程流体力学公式ns方程是描述流体运动的基本方程之一，在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
本文将以ns方程为题，从人类视角出发，描述流体力学的一些基本概念和现象，以增强读者的阅读体验和理解。
第一段：引入流体力学和ns方程的背景流体力学是研究流体运动的力学学科，广泛应用于航空航天、水利工程、气象学等领域。
ns方程是流体力学中最基本的方程之一，它描述了流体的连续性和动量守恒。
通过ns方程，我们可以推导出各种流体流动的特性和行为。
第二段：介绍ns方程的数学表达ns方程是一个偏微分方程，包括连续性方程和动量方程两个部分。
连续性方程描述了流体的质量守恒，即流体在运动过程中质量的变化率等于流体的入流量减去出流量。
动量方程描述了流体的动量守恒，即流体的动量变化率等于外力对流体的作用力减去流体对外界施加的作用力。
第三段：解释连续性方程的物理意义连续性方程可以理解为流体的不可压缩性条件，即流体在运动过程中密度保持不变。
这意味着流体的体积不会发生变化，只会发生形状和速度的变化。
通过连续性方程，我们可以推导出流体的速度分布和流速的变化规律。
第四段：探讨动量方程的影响因素动量方程描述了流体运动中的力学特性，包括惯性力、压力和粘性力等因素的影响。
惯性力与流体的加速度相关，压力与流体的压强差相关，粘性力与流体的黏度相关。
通过动量方程，我们可以分析流体在不同情况下的流动特性和力学行为。
第五段：总结ns方程的应用和意义ns方程是研究流体力学的基本工具，通过求解ns方程，可以得到流体的速度分布、压力分布等重要参数。
这对于工程设计、流体力学研究和实际应用具有重要的意义。
通过深入理解ns方程，我们可以更好地理解和预测流体流动的行为，为相关工程和科学问题提供有效的解决思路和方法。
通过以上的描述，我们从人类视角出发，以简洁明了的语言，向读者介绍了流体力学公式ns方程的基本概念和应用意义。
通过合理的结构和流畅的叙述方式，我们希望读者能够更好地理解和应用这一重要的流体力学方程。
流体力学中的三大基本方程讲解
推导过程：
⑴取微小六面控制体
⑵推导依据：
牛顿第二定律or动量定理：
d d（m ） F ma m dt dt
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
⑶分析受力：
① 质量力：
单位质量力： f f i f j f k x y z
X方向上所受质量力为：
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
流体质点加速度
d x x x x x ax x y z dt t x y z d y y y y y ay x y z dt t x y z d z z z z z az x y z dt t x y z
推导得：
d
gdz 1
1
dp gdz
Or
dp d 0
——伯努方向流线流动时的能量平衡关 系式。
①适用范围：理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线； ②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
向量形式：
d 1 f gradp dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
p p p gradp i j k x y Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用 这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程：
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解：流线方程：
dx ky
dy kx
x2
y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z1 2Βιβλιοθήκη kkk（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
流体流动控制方程
Governing equations high-Reynolds-number k-ε model
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
(
t
) D
(
t
) D
(
t
) D
Mass conservation or continuity equation
(u) (v) (w) 0
t x
y
z
Navier-Stocks equations for velocity components u, v, and w
( u ) t
u
( u ) x
v
( u ) y
w
(u) z
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
( k ) t
u
( k ) x
v (k) y
w (k) z
x
(
t k
)
k x
y
(
t k
) k y
z
(
t k
)
k z
( k
)
( ) t
u
( ) x
v
( ) y
w
( ) z
x
(
t
)
x
y
(
t
)
y
z
(
t
)
z
(c1Gk
k
c2
2 k
)
Energy equation for the temperature T
(T ) u (T ) v (T ) w (T ) ( t ) T ( t ) T ( t ) T
t
x
y
z x Pr Prt x y Pr Prt y z Pr Prt z
Mass transfer equation for humidity D
(D) u (D) v (D) w (D)
x
(
t
)
u x
y
(
t
)
u y
z
(
t
)
u z
p x
( v) t
u
( v) x
v
( v) y
w
(v) z
x
(
t
)
v x
y
(
t
)
v y
z
(
t
)
v z
p y
(w) t
u
(w) x
v
( w) y
w
(w) z
x
(
t
)
w x
y
(
t
)
w y
z
(
t
)
w z
p z
Equations for turbulence energy k and dissipation rateε
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
线角旋平变转移形
流体微元的速度：
1.平移速度：ux，uy，uz
2.线变形速度：
x方向线变形
u x
ux x
x dt
u x dt
ux x
xdt
xxdt
x
ux x
是单位时间微团沿x方向相 对线变形量（线变形速度）
同理
y
u y y
z
uz z
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）