流体流动连续性方程和动量方程

z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
Mass conservation or continuity equation
(u) (v) (wwenku.baidu.com 0
t x
y
z
Navier-Stocks equations for velocity components u, v, and w
( u ) t
u
( u ) x
v
( u ) y
w
(u) z
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）
线角旋平变转移形
流体微元的速度：
1.平移速度：ux，uy，uz
2.线变形速度：
x方向线变形
u x
ux x
x dt
u x dt
ux x
xdt
xxdt
x
ux x
是单位时间微团沿x方向相 对线变形量（线变形速度）
同理
y
u y y
z
uz z
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度
(T ) u (T ) v (T ) w (T ) ( t ) T ( t ) T ( t ) T
t
x
y
z x Pr Prt x y Pr Prt y z Pr Prt z
Mass transfer equation for humidity D
(D) u (D) v (D) w (D)
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
解：流线方程：
dx ky
dy kx
x2
y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z
1 2
k
k
k
（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
( k ) t
u
( k ) x
v (k) y
w (k) z
x
(
t k
)
k x
y
(
t k
) k y
z
(
t k
)
k z
( k
)
( ) t
u
( ) x
v
( ) y
w
( ) z
x
(
t
)
x
y
(
t
)
y
z
(
t
)
z
(c1Gk
k
c2
2 k
)
Energy equation for the temperature T
x
(
t
)
u x
y
(
t
)
u y
z
(
t
)
u z
p x
( v) t
u
( v) x
v
( v) y
w
(v) z
x
(
t
)
v x
y
(
t
)
v y
z
(
t
)
v z
p y
(w) t
u
(w) x
v
( w) y
w
(w) z
x
(
t
)
w x
y
(
t
)
w y
z
(
t
)
w z
p z
Equations for turbulence energy k and dissipation rateε
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
流体流动控制方程
Governing equations high-Reynolds-number k-ε model
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(
t
) D
(
t
) D
(
t
) D