高考数学专题（三）代数推理题怎么解

高三数学专题（三） 代数推理题怎么解数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例1设函数134)(,4)(2+=--+=x x g x x a x f ，已知]0,4[-∈x ，时恒有)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.讲解: 由得实施移项技巧,)()(x g x f ≤,134:,4:,134422a x y L x x y C a x x x -+=--=-+≤--令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时, 直线L 的y 截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得35(5=-=a a 舍去）. 故)()(,5x g x f a ≤-≤时.本例的求解在于,实施移项技巧 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.例2 已知不等式32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 对于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围.讲解: 构造函数nn n n f 212111)(+++++=，易证(请思考:用什么方法证明呢?))(n f 为增函数.∵n 是大于1的 正整数，.127)2()(=≥∴f n f 32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 要使对一切大于1的正整数恒成立，必须12732)1(log 121≤+-a a ,即.2511,1)1(log +≤<-≤-a a a 解得这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.例3 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求b 的值.讲解: 由已知二次函数配方, 得 .34)21(3)(22+++-=b x x f2321,121)1(≤≤-≤-≤-b b b 即当时，)(x f 的最大值为4b 2+3=25. ;23214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,210,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增， ;25)23()(2<+=-∴b b f]1,[)(23,121)3(b b x f b b -->->-在时，即当上递增， ∴25,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得.关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标21在不在区间[－b ，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.例4已知).1(1)(-≠+=x x xx f )()1(x f 求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 111)(+-=x x f , .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=+ 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由)()()(y x f y f x f +>+∴,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c.34222≥++≥+∴aa a c a43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f .函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采用逆向分析法, 给出你的想法!例5 已知函数f (x )=aa a xx +（ａ＞０，ａ≠１）．(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称． (2) 令a n ＝)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,并证明之．(3) 求证：n n n n )(!(lg 3lg )1(41>+∈Ｎ). 讲解: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (21,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），yx f aa aa a a y a a a a a a a aa a xxxxxx x -=-∴+=+-=-+=⋅+=+--1)1(1111∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上， 故函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称.(2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3,即3ｎ＞ｎ２．下面用数学归纳法证明．设n =k (k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２．那么n =k +1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k ２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－21）２－23≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）∴３ｎ＞ｎ２.(3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k =1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg )1(4),21lg(23lg 2)1(n n n n n n >-⨯>+故函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.例6 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实根为x 1和x 2.（1）如果4221<<<x x ，若函数)(x f 的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞－1； （2）如果2||,2||121=-<x x x ，求b 的取值范围.讲解:（1）设01)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且，由4221<<<x x 得0)4(,0)2(><g g 且, 即,81,221443.221443034160124>-<--<<-∴⎩⎨⎧>-+<-+a a a a b a b a b a 得由 aa b a 4112832->->-∴， 故1841120-=⋅->-=ab x ； （2）由,01,01)1()(212>==+-+=ax x x b ax x g 可知21,x x ∴同号. ①若0124)2(,22,2,2012121<-+=∴>+=∴=-<<b a g x x x x x 则.又0(1)1(1244)1(||222212>+-=+=--=-a b a a ab x x 得，负根舍去）代入上式得b b 231)1(22-<+-，解得41<b ；②若,0)2(,22,02121<-∴-<+-=<<-g x x x 则 即4a －2b+3＜0. 同理可求得47>b . 故当.47,02,41,2011><<-<<<b x b x 时当时对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题,你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.例7 对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点。

如果函数),()(2N c b cbx ax x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立.讲解: 依题意有x cbx ax =-+2,化简为 ,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理, 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+,102,102b a bc解得 ,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2，由,2112)2(-<+-=-c f 得 x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，).1(,)1(2)(,2,22≠-===∴x x x x f b c 故（2）由题设得,2:1)11(2)1(422n n n nn n a a S a a S -==-⋅得 （*）且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （**）由（*）与（**）两式相减得：,0)1)((),()(2112121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即,2:(*)1,1211111a a a n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或解得01=a （舍去）或11-=a ，由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，n a n -=∴；（3）采用反证法，假设),2(3≥≥n a n 则由（1）知22)(21-==+n nn n a a a f a ),2(,143)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴++即,有 21a a a n n <<<- ，而当,3;338281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛盾，故假设不成立，3<∴n a .关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上: 由2121)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a <0或.21≥+n a ,30,011<<<++n n a a 则若结论成立； 若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33222≥<=≤n a a n 在上成立. 比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.例8 设a ，b 为常数，F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a +（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当M t x f x f M x f ∈+=∈)()(,)(010时，这里t 为常数；（3）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.讲解: （1）假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同，即 x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立.特别令x =0，得a =c ；令2π=x ，得b=d 这与（a ，b ），（c ，d ）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数.（2）当M x f ∈)(0时，可得常数a 0，b 0，使)()(,sin cos )(01000t x f x f x b x a x f +=+==,sin )sin cos (cos )sin cos ()sin()cos(000000x t a t b x t b t a t x b t x a -++=+++ 由于t b a ,,00为常数，设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数. 从而M x n x m x f ∈+=sin cos )(1.（3）设M x f ∈)(0，由此得,sin cos ,sin cos )(000t b t a m x n x m t x f +=+=+其中 ,sin cos 00t a t b n -=在映射F 之下，)(0t x f +的原象是（m ，n ），则M 1的原象是 },sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+=.消去t 得22022b a n m +=+，即在映射F 之下，M 1的原象}|),{(202022b a n m n m +=+是以原点为圆心，2020b a +为半径的圆.本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.例9 已知函数f (t )满足对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y)+x y+1,且f (－2)=－2.（1）求f (1)的值;（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有f (t)>t ； （3）试求满足f (t)=t 的整数t 的个数，并说明理由.讲解 （1）为求f(1)的值，需令.1)0(,0-===f y x 得 令2)1(,2)2(,1-=-∴-=--==f f y x . 令1)1(),1()1()0(,1,1=-+=∴-==f f f f y x 即.（2）令2)()1(2)()1(,1+=-+++=+∴=y y f y f y y f y f x 即(※)0)()1(,>-+∈∴y f y f N y 有时当.由0)(,1)1(),()1(>=>+y f y f y f y f 都有对一切正整数可知,111)(2)()1(,+>+++=++=+∈∴y y y f y y f y f N y 时当,于是对于一切大于1的正整数t ，恒有f (t )>t. （3）由※及（1）可知1)4(,1)3(=--=-f f .下面证明当整数t t f t >-≤)(,4时.由,02)2(,4>≥+-∴-≤t t (※)得,0)2()1()(>+-=+-t t f t f即,0)5()6(,0)4()5(>--->---f f f f 同理……，.0)1()(,0)2()1(>+->+-+t f t f t f t f将诸不等式相加得t t f t f t f >∴-≤∴->=->)(,4,41)4()(.综上，满足条件的整数只有t=1，2-.本题的求解显示了对函数方程f (x +y )=f (x )+f (y)+x y+1中的x 、y 取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.例10 已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满足x 、y ∈（－1，1） 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+．（1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数； （2）对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ； （3）求证.252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n 讲解 （1）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数.（2）1)21()(1-==f x f ， ),(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=⋅++=+=+)}({.2)()(1nn n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列．.2)(1--=∴n n x f（3）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f,2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n 而 ,2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n .252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.。