四川省渠县崇德实验学校2021年九年级中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题
2021年中考一轮复习九年级数学综合复习典型题型：一次函数 压轴题专题练习
中考九年级数学综合复习典型题型：一次函数 压轴题专题练习1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （43，53），点D 的坐标为（0，1）． （1）求直线AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．2、如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +4（k ≠0）与x 轴，y 轴，交于A 、B 两点，点C 是BO 的中点且tan ∠ABO ＝ （1）求直线AC 的解析式；（2）若点M 是直线AC 的一点，当S △ABM ＝2S △AOC 时，求点M 的坐标．3、如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
4、如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a>2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数和y ＝x 的图象于点C ，D ． （1）求点A 的坐标； （2）若OB ＝CD ，求a 的值．5、、如图，在直角坐标系中，A 点坐标为（0，6），B 点坐标为（8，0），点P 沿射线BO 以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q 从A 到O 以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q 运动到点O 时两点同时停止运动．（1）设P 点运动时间为t 秒，M 为PQ 的中点，请用t 表示出M 点的坐标为________ （2）设△BPM 的面积为S ，当t 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请画出M 点的运动路径，并说明理由；（4）若以A 为圆心，AQ 为半径画圆，t 为何值时⊙A 与点M 的运动路径只有一个交点？1y x b 2=-+1y x b 2=-+6、平面直角坐标系中，直线AC ：y=-x+b 交坐标轴于点A 、点C ，且△AOC 面积为252.（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，点D 在x 轴的负半轴上，OD=OC ，E 在线段OA 上，连DE ，作EF ⊥DE 交线段OC 于F ，若E 点纵坐标为t ，OF 长度为d ，求d 与t 的函数关系式（不写自变量取值范围）；（3）如图3，在（2）问条件下，当d=1645时，G 是线段DE 上一点，连AG ，作DH ∥AG 交线段CG 延长线于H ，若DH+GH=CG ，求tan ∠GFE 的值.7、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数122 3y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线2 (0)y kx b k=+≠经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．（1）求△ABO的面积；（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。
四川省渠县第三中学2021年中考九年级数学：一次函数压轴题 专题复习题
四川省渠县第三中学2021年中考九年级数学：一次函数压轴题 专题复习题1、如图，过点(1,3)A 的一次函数6(0)y kx k =+≠的图象分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点．（1）求k 的值；（2）直线l 与y 轴相交于点(0,2)D ，与线段BC 相交于点E ．()i 若直线l 把BOC ∆分成面积比为1:2的两部分，求直线l 的函数表达式；（ⅱ）连接AD ，若ADE ∆是以AE 为腰的等腰三角形，求满足条件的点E 的坐标．2、如图，已知直线11:21l y x =+与坐标轴交于A 、C 两点，直线22:2l y x =--与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点． （1）求P 点的坐标； （2）求APB ∆的面积；（3）x 轴上存在点T ，使得ATP APB S S ∆∆=，求出此时点T 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，直线26=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点By x=．的直线交x轴于点C，且AB BC（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP CQ=，设点Q横坐标为m，求点P的坐标（用含m的式子表示，不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP MQ=，若45∠=︒，求直线PQBQM的解析式．4、等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标=18．分别以AC、（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQACQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．5、如图，在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），且+|b ﹣2|+（c+2）2=0．（1）直接写出A、B、C各点的坐标：A、B、C；（2）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H，证明：PA=PH；（3）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP=PQ，∠APQ=90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．6、已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA之间有和数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，A（﹣3，0），B（0，﹣4），点E（﹣6，4）在射线BA上，以BC 为边向下构成等边△BCM，以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证：．7、已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．（1）求D点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．8、如图1，在平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），C（0，﹣4），点B在y轴=20，点P（m，0），（﹣4＜m＜0），线段PB绕点P顺时针正半轴上，满足S△ABC旋转90°至PD．（1）求证：OB=OC；（2）求点D的坐标；（用含m的式子表示）（3）如图2，连接CD并延长交x轴于点E，求证：∠PDC=45°+∠PBO．9、如图1，A、B分别为x、y轴上的点，O为坐标原点，设OA=a，OB=b，AB=c，（1）若正数a、b、c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0，且OP⊥AB于P，求OP 的长；（2）如图2，若P为线段AB的中点，试探究线段OP与AB间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若P是线段AB上一动点（不与A、B点重合），在射线OP上取一点E，使AE=a，此时∠AOE=∠AEO．在第一象限内，过E作AE的垂线，并截取ED=b，连AD、BD，BD交射线OP于F点．当P点运动时，的值不变，请说明理由，并求这个不变的值．10、已知，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b），a、b满足．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE ⊥AB于E．（1）求∠OAB的度数；（2）设AB=6，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值；（3）设AB=6，若∠OPD=45°，求点D的坐标．11、如图1，在直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（0，b），且a、b满足．（1）求证：∠OAB=∠OBA．（2）如图2，△OAB沿直线AB翻折得到△ABM，将OA绕点A旋转到AF处，连接OF，作AN平分∠MAF交OF于N点，连接BN，求∠ANB的度数．（3）如图3，若D（0，4），EB⊥OB于B，且满足∠EAD=45°，试求线段EB的长度．12、如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b 满足．（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM ﹣S的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改△ADN变，求该式子的值．13、如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA=AB．（1）如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若A（﹣3，1），请求出A1点的坐标：（2）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F，连接EF，作AG∥EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；（3）当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若A（，3），C为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P作PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN﹣PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值．14、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．15、如图①所示，直线L：y=kx+5k与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连接OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=3，求MN的长；（3）当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想△ABP的面积是否改变，若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．（4）当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE，则动点E在直线上运动．（直接写出直线的表达式）16、如图，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作CD⊥AB，垂足为D，点P是直线AB上以动点．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，线段AB的长为；（2）试说明：△ACD≌△ABO；（3）求点D的坐标；（4）若△PAC是以PC为腰的等腰三角形，则点P的坐标为．17、Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直线AB上取一点M，使AM=BC，过点A作AE ⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB=15°，求∠AFM的度数．18、已知△ABC 中，∠ABC=90゜，AB=BC ，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点．（1）如图1，若点C 的横坐标为﹣4，求点B 的坐标；（2）如图2，BC 交x 轴于D ，若点C 的纵坐标为3，A （5，0），求点D 的坐标．（3）如图3，分别以OB 、AB 为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，EF 交y 轴于M ，求 S △BEM ：S △ABO ．。
四川省渠县崇德实验学校2021年九年级中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题
四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点C，B两点在一次函数y kx bA--，(1,3)交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，//AB OC，-．∠=︒，BC=C的坐标为(18,0)BCOAOC90∠=︒，45（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且4OFE∠=︒，求直OE=，45线DE的解析式；（3）求点D的坐标．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线:=交OC y x于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+ ①求点C 的坐标； ②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．（1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ． （1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图直线:6-，点A =+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0) l y kx的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，PAC∆的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得BCM∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A 、点(4,1)B ，点P 是x 轴正半轴上一动点．给出4个结论： ①线段AB 的长为5；②在APB ∆中，若AP =APB ∆的面积是 ③使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个；④设点P 的坐标为(,0)x 其中正确的结论有 ．11、如图1，直线3y x =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ．点A 在x 轴负半轴上且30CAO ∠=︒．（1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG ，G 点与A 点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G 与点O 重合时停止运动．设正方形DEFG 与ACB ∆重合部分的面积为S ，正方形DEFG 运动的时间为t ，求s 关于t 的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q ，点M 为线段AC 上一动点，点N 为直线BC 上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．12、如图1，已知直线22y x=+与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC∆（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD AC=，求证：BE DE=．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，5(2P-，)k是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使BPN∆面积等于BCM∆面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13、如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求证：OP ﹣DE 为定值．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x =2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝OB ，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为y ＝x ，过点C 作CM ⊥y 轴，垂足为M ，OM ＝9． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．参考答案四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)A --，(1,3)B 两点在一次函数y kx b =+的图象上，并且直线交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求出C ，D 两点的坐标； （2）求AOB ∆的面积．【解答】解：（1）将(2,1)A --、(1,3)B 代入y kx b =+，得： 213k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得4353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4533y x =+， 当0x =时53y =，则5(0,)3D ； 当0y =时，45033x +=，解得54x =-，则5(4C -，0)；（2）AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1||(||||)2C A B x y y =+ 15(13)24=⨯⨯+ 52=． 2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，//AB OC ，90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-．（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且4OE =，45OFE ∠=︒，求直线DE 的解析式； （3）求点D 的坐标．【解答】解：（1）过B 作BG x ⊥轴，交x 轴于点G ， 在Rt BCG ∆中，45BCO ∠=︒，BC =12BG CG ∴==，(18,0)C -，即18OC =，18126OG OC CG ∴=-=-=，则(6,12)B =-；（2）90EOF ∠=︒，45OFE ∠=︒，OEF ∴∆为等腰直角三角形， 4OE OF ∴==，即(0,4)E ，(4,0)F ，设直线DE 解析式为y kx b =+， 把E 与F 坐标代入得：440b k b =⎧⎨+=⎩，解得：1k =-，4b =，∴直线DE 解析式为4y x =-+；（3）设直线OB 解析式为y mx =，把(6,12)B -代入得：2m =-，∴直线OB 解析式为2y x =-，联立得：42y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得：48x y =-⎧⎨=⎩，则(4,8)D -．3、在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线:OC y x =交于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+ ①求点C 的坐标； ②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB 、OC 的函数表达式得：212y x y x =⎧⎨=-+⎩，44x y =⎧⎨=⎩，点(4,4)C ；②直线AB 的解析式：212y x =-+ 令0y =，则6x =，即6OA =，11641222OAC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯⨯=；（2）ON 是AOC ∠的平分线，且AB ON ⊥， 则点A 关于ON 的对称点为点C ，4AO OC ==，当C 、Q 、P 在同一直线上，且垂直于x 轴时，AQ PQ +有最小值CP ， 设：CP OP x ==，则222416x ==，解得：x CP ==．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得，22x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为(2,2)，将0y =代入112y x =+，得2x =-，即点C 的坐标为(2,0)-， 将0x =代入4y x =-+，得4y =，即点A 的坐标为(0,4)， 设过点A 和点C 的直线的解析式为y kx b =+， 204k b b -+=⎧⎨=⎩，得24k b =⎧⎨=⎩， 即直线AC 的解析式为24y x =+；（2）将0y =代入4y x =-+得，4x =，即点D 的坐标为(4,0)，A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,2)，点C 的坐标为(2,0)-，点D 的坐标为(4,0)，6462622ABC ACD CBD S S S ∆∆∆⨯⨯∴=-=-=， 即ABC ∆的面积的是6．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 (4,0) ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0y =，则4x =；令0x =，则3y =， 故点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)． 故答案为(4,0)，(0,3)；（2）设OC x =，直线CD 垂直平分线段AB ，4AC CB x ∴==-， 90BOA ∠=︒，222OB OC CB ∴+=， 2223(4)x x +=-，解得78x =， 78OC ∴=， 7(8C ∴，0)，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有3708b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2473k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为2437y x =-+．（3）过点O 作//OM AB 交直线BC 于M ．//OM AB ，AOB ABM S S ∆∆∴=，直线AB 的解析式为334y x =-+，//OM AB ，∴直线OM 的解析式为34y x =-，由342437y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得28252125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，28(25M ∴，21)25-，根据对称性可知，经过点(0,6)O '与直线AB 平行的直线与直线BC 的交点M '，也满足条件，易知BM BM '=，设(,)M m n '，则有282502m +=，212532n -=， 2825m ∴=-，17125n =，28(25M ∴'-，171)25， 综上所述，满足条件的点M 坐标为28(25，21)25-或28(25-，171)25．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ． （1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【解答】解：（1）把(,3)C m 代入一次函数152y x =-+，可得1352m =-+，解得4m =， (4,3)C ∴，设2l 的解析式为y ax =，则34a =， 解得34a =， 2l ∴的解析式为34y x =； （2）如图，过C 作CD AO ⊥于D ，CE BO ⊥于E ，则3CD =，4CE =，152y x =-+，令0x =，则5y =；令0y =，则10x =，(10,0)A ∴，(0,5)B ，10AO ∴=，5BO =，11103541510522AOC BOC S S ∆∆∴-=⨯⨯-⨯⨯=-=；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴当3l 经过点(4,3)C 时，12k =； 当2l ，3l 平行时，34k =； 当1l ，3l 平行时，12k =-；故k 的值为12或34或12-．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线1y k x =+y 轴B 点，(0B ∴，，OB ∴= 36OA ==，(6,0)A ∴，把(6,0)A 代入1y k x =+1k =，∴直线1l 的解析式为y =+（2）如图1中，作CM OA ⊥于M ，DN CA ⊥于N ．90CME DNE ∠=∠=︒，MEC NED ∠=∠，EC DE =，()CME DNE AAS ∴∆≅∆，CM DN ∴=(1,3)C -，CM DN ∴==当y ==+ 解得3x =，D ∴，把(1,C，D 代入2y k x b =+，得到223k b k b ⎧+=⎪⎨+⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴直线CD的解析式为y =-(0,F ∴-，132BFD S ∆∴=⨯=（3）①如图③1-中，当PC PD =，90CPD ∠=︒时，作DM OB ⊥于M ，CN y ⊥轴于N ．设(0,)P m ．90DMP CNP CPD ∠=∠=∠=︒，90CPN PCN ∴∠+∠=︒，90CPN DPM ∠+∠=︒， PCN DPM ∴∠=∠， PD PC =，()DMP NPC AAS ∴∆≅∆，1CN PM ∴==，PN DM m ==+(D m ∴1)m +，把D 点坐标代入y =+1m m +=++解得6m =，(0P ∴，6)．②如图③2-中，当PC PC =，90CPD ∠=时，作DM OA ⊥于M ，CN OA ⊥于N ．设(,0)P n ．同法可证：DMP PNC ∆≅∆，PM CN ∴=1DM PN n ==-，(D n ∴-1)n -，把D 点坐标代入y =+1n n -=-+解得n =P ∴，0)．综上所述，满足条件的点P 坐标为(0，6)或0)8、如图直线:6l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C 两点，点B 的坐标是(8,0)-，点A 的坐标为(6,0)-． （1）求k 的值．（2）若点P 是直线l 在第二象限内一个动点，当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积为3，求出此时直线AP 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线:6l y kx =+过点(8,0)B -，086k ∴=-+，34k ∴=． （2）当0x =时，3664y x =+=， ∴点C 的坐标为(0,6)．依照题意画出图形，如图1所示，设点P 的坐标为3(,6)4x x +，PAC BOC BAP AOC S S S S ∆∆∆∆∴=--，1131862(6)662242x =⨯⨯-⨯+-⨯⨯， 334x =-=，4x ∴=-，∴点P 的坐标为(4,3)-．设此时直线AP 的解析式为(0)y ax b a =+≠，将(6,0)A -，(4,3)P -代入y ax b =+， 得：6043a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：329a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴当点P 的坐标为(4,3)-时，PAC ∆的面积为3，此时直线AP 的解析式为392y x =+． （3）在Rt BOC ∆中，8OB =，6OC =，10BC ∴==．分三种情况考虑（如图2所示）: ①当CB CM =时，18OM OB ==，∴点1M 的坐标为(8,0)；②当BC BM =时，2310BM BM BC ===， 点B 的坐标为(8,0)-，∴点2M 的坐标为(2,0)，点3M 的坐标为(18,0)-；③当MB MC =时，设OM t =，则448M B M C t ==-，22244CM OM OC ∴=+，即222(8)6t t -=+，解得：74t =， ∴点4M 的坐标为7(4-，0)．综上所述：在x 轴上存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形，点M 的坐标为(18,0)-，7(4-，0)，(2,0)或(8,0)．9、如图，平面直角坐标系中，Q （0，6），直线y ＝x ﹣4交y 轴、x 轴于A 、B 两点，P 为直线AB 上一动点．（1）求证：以PQ 为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D ，把∠AQD 绕点Q 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．【解答】（1）证明：证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，∴∠PDQ＝90°，∵以PQ为直径的圆过定点D，∵∠MAD+∠ADM＝∠ADM+∠QDM＝90°，∴∠MAD＝∠QDM，∵∠AMD＝∠DMQ＝90°，∴△DMQ∽△AMD，∴，即DM2＝AM•MQ，设D（m，m﹣4），∴m2＝（m﹣4+4）（6﹣m+4），m2＝m（10﹣m），5m2﹣20m＝0，m1＝0（舍），m2＝4，∴定点D（4，﹣2）；证法二：如图2，连接BQ，直线y＝x﹣4，当y＝0时，x﹣4＝0，∴x＝8，∴OB＝8，当x＝0时，y＝﹣4，∴OA＝4，∵Q（0，6），∴AQ＝6+4＝10，BQ＝＝10，∴AQ＝BQ，取AB的中点D，连接DQ，则QD⊥AB，∴以PQ为直径的圆过定点D，∵A（0，﹣4），B（8，0），∴定点D（4，﹣2）；（2）解：∵△AQD旋转得到△A'QD'，∴∠A'QD'＝∠AQD，由图1知：tan∠AQD＝＝＝，∴tan∠A'QD'＝tan∠AQD＝，∴＝，过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，∵EF⊥FQ，∴∠EFG+∠QFH＝∠EFQ＝90°，∵∠EFG+∠FEG＝90°，∴∠QFH＝∠FEG，∵∠EGF＝∠FHQ＝90°，∴△EGF∽△FHQ，∴，设EG＝n，则，∴FH＝2n，∴F（﹣2n，﹣n），∴F在直线y＝x上，∴AF的最小值即是A到直线y＝x的距离，如图4，过F作FM⊥y轴于M，∵F（﹣2n，﹣n），∴OF＝n，∴tan ∠MOF ＝，∵∠MOF +∠AOF ＝∠AOF +∠OAF ＝90°， ∴∠MOF ＝∠OAF ， ∴tan ∠OAF ＝， ∴sin ∠OAF ＝＝， ∴，OF ＝， ∴AF ＝2OF ＝．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A 、点(4,1)B ，点P 是x 轴正半轴上一动点．给出4个结论： ①线段AB 的长为5；②在APB ∆中，若AP =APB ∆的面积是 ③使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个；④设点P 的坐标为(,0)x 其中正确的结论有 ③④ ．【解答】解：①如图1，过B 作BC OA ⊥于C ， 点(0,3)A 、点(4,1)B ，312AC ∴=-=，4BC =，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：AB =， 故①结论不正确；②如图2，在Rt APO ∆中，3AO =，AP2OP ∴=， 过B 作BD x ⊥轴于D ，1BD ∴=，422PD =-=，APB AOP PDB AODB S S S S ∆∆∆∴=--梯形，111()222OD BD AO AO OP PD BD =⨯⨯+--， 1114(13)3221222=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯， 831=--，4=，故②结论不正确； ③如图3，)i 以A 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点1P ，得△1APB 是等腰三角形； )ii 作AB 的中垂线，交x 轴的正半轴有一交点2P ，得△2AP B 是等腰三角形；)iii 以B 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点3P ，得△3AP B 是等腰三角形； 综上所述，使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个； 故③结论正确；④如图4，过B 作BD x ⊥轴于D ， (,0)P x ，OP x ∴=，4PD x =-，由勾股定理得：AP =，PB 作A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于P ，则PA PA '=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，此时AP PB +的值最小， 过B 作BC OA ⊥于C ， 则3324A C '=+-=，4BC =，由勾股定理得：A B '==AP PB ∴+的最小值是即设点P 的坐标为(,0)x 故④结论正确；综上所述，其中正确的结论有：③④；故答案为：③④．11、如图1，直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且y xCAO∠=︒．30（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．【解答】解：（1）直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为(3,0)、y x(0,3)，AC OC==，则OA=∠=︒，则26CAO30将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+并解得：直线AC的表达式为：3y x =+； （2）如图2所示：①当03t 时，（左侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点M 处，则点(M t -，0)，则点(H t -)，21122AHM S S AM HM t ∆==⨯⨯=⨯=， ②当333t <时，（右侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点G 处，E 、F 交直线AC 于点R 、S ，AG t =，则3AS t =-，则3)RS t =-，同理HG ，同理可得：132RSHG S S ==⨯⨯+=⎝梯形；故：2(03)33)t S t =⎨<；（3）点M 为线段AC 上一动点，经画图，MQN ∠分别为90︒时，点M 不在线段AC 上， ①90NMQ =︒时，三角形QMN 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点N 作x 轴的平行线交MG于点R 、交y 轴于点H ，设点M 、N的坐标分别为(3)m +、(,3)n n -，90NMR RNM ∠+∠=︒，90MNR GMQ ∠+∠=︒，GMQ RNM ∴∠=∠，90NRM MGO ∠=∠=︒，MR MQ =，()NRM MGO AAS ∴∆≅∆，则MG RN =，GQ RM =，即：3n m -+，33)1n m --+=-，解得：m =-故点M 的坐标为(-1)； ②当90MNQ ∠=︒时，同理可得：点(M 2)；综上，点M 的坐标为：(-1)或(，2)．12、如图1，已知直线22y x =+与y 轴，x 轴分别交于A ，B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC ∆（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式；（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD AC =，求证：BE DE =．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x 轴于点M ，5(2P -，)k 是线段BC 上一点，在x 轴上是否存在一点N ，使BPN ∆面积等于BCM ∆面积的一半？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，则点A 、B 的坐标分别为：(0,2)、(1,0)-，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，90HCB CBH ∠+∠=︒，90CBH ABO ∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠， 90CHB BOA ∠=∠=︒，BC BA =，()CHB BOA AAS ∴∆≅∆， 2BH OA ∴==，CH OB =，则点(3,1)C -，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx b =+得：213b m b =⎧⎨=-+⎩，解得：132m b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线AC 的表达式为：123y x =+；（2）同理可得直线CD 的表达式为：1122y x =--⋯①，则点1(0,)2E -，直线AD 的表达式为：32y x =-+⋯②， 联立①②并解得：1x =，即点(1,1)D -，点B 、E 、D 的坐标分别为(1,0)-、1(0,)2-、(1,1)-，故点E 是BD 的中点，即BE DE =；（3）将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：1122y x =--，将点P 坐标代入直线BC 的表达式得：34k =， 直线AC 的表达式为：123y x =+，则点(6,0)M -，11551222BMC C S MB y ∆=⨯=⨯⨯=，15132428BPN BCM S S NB k NB ∆∆===⨯=，解得：103NB =， 故点13(3N -，0)或7(3，0)． 13、如图1，直线y ＝x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以A 为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝3，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣7，3）．（2）如图2中，当点N在x轴上方时，CN∥x轴，此时N（﹣，3），可得M（﹣，0）或M′（，0）．当点N′在x轴下方时，可得N′（﹣，﹣3），此时M（﹣，0）．综上所述，满足条件的点N（﹣，3），M（﹣，0）或N（﹣，3），M（，0）或N（﹣，﹣3），M（﹣，0）．（3）如图3中，过点D作DQ⊥OP于Q点，则OP﹣DE＝PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP ﹣DE ＝PQ ＝OA ＝3．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x =2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时2PF +的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．【解答】解：（1）由题意知：b =∴直线2:l y =+当0y =时，1x = 3(1,0)C ∴直线1:l y +∴当0y =0=， 3x ∴=-(3,0)A ∴-1[1(3)]2ABC S ∆∴=⨯--=；（2）在Rt ABO ∆中，22222312AB AO BO =+=+=在Rt BOC ∆中，2222214BC OC OB =+=+= 在ABC ∆中，22212416AB BC AC +=+==ABC ∴∆是直角三角形，AB BC ∴⊥作C 点关于直线AB 的对称点(1C '-，，连接C E '交直线1l 于F ，(1C '-， (5,0)E∴直线:C E y '=+y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨⎪⎩F ∴ 作二、四象限的角平分线3l ，过点P 作3PQ l ⊥于Q ，则PQ ，2PF FP PQ ∴+=+， 当F ，P ，Q 三点共线时最小，即过F 作3PQ l ⊥于Q 交y 轴于P ，作//FG OB 交直线3l 于G ．此时FQG ∆为等腰直角三角形，斜边1FG =+，PF ∴的最小值为：FQ ==（3）①如图2中，当11B M B N =时，点1C 中直线y =上运动，设1(C m ，11B O 交x 轴于E ，则1EB -=， 2133OE m ==+，1142233MB NB OE m ===+，42()33M m m ∴-++，把点M 坐标代入直线y =，得到：421)33m m ++=-+，解得m ．②如图3中当1MN MB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =- 解得，85m =．③如图4中，当11B M B N =时，同法可得42()33M m m -+-，把点M 代入y =421)33m m -+-=-，解得m ．④如图5中，当1NM NB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =- 解得1m =（舍弃），综上所述，1C 或85． 15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝OB ，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为y ＝x ，过点C 作CM ⊥y 轴，垂足为M ，OM ＝9． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC ＝OM ，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴＝．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，∴SR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠F AR＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG＝AF，∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠F AR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴＝，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝＝＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝＝2，∴HT＝2，∵OT＝OD+DH+HT，∴4a+6a+2＝8，∴a＝，∴OD＝，PD＝12×＝，∴P（，）．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝2x﹣4，直线CD的表达式为：y＝﹣x+5…①，则点C、D的表达式分别为：（5，0）、（0，5），联立直线AB表达式与直线CD表达式：y＝﹣x+5并解得：x＝3，故点E（3，2）；（2）如图，设点M（m，2m﹣4），过点M作MN⊥CD交于点N，则MN＝3，∵MN⊥CD，∴直线MN表达式中的k值为1，设直线MN的表达式为：y＝x+b′，将点M坐标代入上式并解得：直线MN的表达式为：y＝x+（m﹣4）…②，联立①②并解得：x＝，则点N（，），MN2＝（m﹣）2+（﹣2m+4）2＝（3）2，解得：m＝1或5（舍去），故点M（1，﹣2）；（3）①如图2（左侧图），当2≤t≤3时，图象到达O′Q′P′A′的位置，OA＝2，OB＝4，∵GA′∥OB，则＝2，则GA′＝2AA′则S＝AA′×A′G＝AA′×AA′tanα＝（t﹣2）2；②3＜t≤4时，如图3，设A′P′交直线CD于点H，此时，点A′（t，0），则A′C＝5﹣t＝A′H，∴P′H＝P′E＝2﹣A′H＝3﹣（5﹣t）＝t﹣3，∴S＝S梯形AA′P′E﹣S△EHP′＝（t﹣3+t﹣2）×2（t﹣3）2＝﹣t2+5t﹣；③如图4，4＜t≤5时，图象到达O′′Q′′P′′A′′的位置，直线BE交O″Q″于点H′，直线CD交A″P″于点G′，AA''＝t﹣2，AO''＝t﹣4，A''C＝5﹣t，H'O''＝2AO''＝2（t﹣4）＝2t﹣8，G'A''＝A''C＝5﹣t，S△AO″H′＝×AO''×O''H'＝（t﹣4）2，同理S△A″CG′＝（5﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣4）2﹣（5﹣t）2＝﹣t2+13t﹣．则AA″＝t，AO″＝t﹣2，A″C＝3﹣t，H′O″＝2AO″＝2（t﹣2），G′A″＝A″C＝3﹣t，S△AO″H′＝×AO″×O″H′＝（t﹣2）2，同理：S△A″CG′＝（3﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣2）2﹣（3﹣t）2＝﹣t2+7t﹣，故：S＝．。
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第一轮复习：圆 压轴题专题练习
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第一轮复习：圆压轴题专题练习1．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．2．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．4．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．7．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．9．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是（只需写出三种情况）．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（2）如图（2），若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．12．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．13．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．（1）求证：BF与⊙O相切．（2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．15．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC的中点D，DE与⊙O相切，且交BC于E．若⊙O的直径为5，AC＝8．求DE的长．16．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC＝50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD＝AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO 的大小．17．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．18．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．21．已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．22．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．24．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠F AH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．参考答案1．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠ECD＝90°，∵ED⊥AD，∴∠A+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝DE．（2）方法一：∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∵OC⊥CD，∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2，∴或（舍去）．方法二：由弦切角定理得∠DCB＝∠DAC，∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴，即CD2＝AD•BD＝（2+BD）•BD，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（2+BD）•BD＝32﹣（2+BD）2，解得或（舍去）．（3）如图，连接BF，PB，AF，∵CF平分∠ACB，∴，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP，∴∠FPB＝∠FBP，∴．方法二：如图，连接AF，BF，AP，∵CF平分∠ACB，∴，∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠BAP，∵∠P AF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，∴∠P AF＝∠APF，∴．2．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．【解答】解：（1）连接AF，∵AE是⊙O的直径，∴AF⊥EG，∵四边形BDGE是平行四边形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF；（2）∵当F为BC的中点，∴BF＝BC，∵AB＝BF，∴AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2，∴⊙O的直径长为2．4．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD 为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．【解答】解：（1）如图1，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，∴∠ABC＝∠P，∴∠P+∠P AB＝90°，∴∠ABP＝90°，∴BP与⊙O相切；（2）如图2，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．∵CD，AB是直径，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC＝2OF＝6，∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，∴△AON≌△BOM（AAS），∴OM＝ON，AN＝BM，设OM＝ON＝a，∵∠CGB＝∠HGB，∴∠OGH＝2∠CGB，∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，∴∠BOG＝∠OGH，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG，∵AN⊥OG，∴ON＝NG＝a，∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，∴BM＝＝a，在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，∴36＝15a2+9a2，∵a＞0，∴a＝，∴MG＝CM＝3a＝，∴DG＝2a＝，∴CD＝2×+＝4，∴⊙O半径的长为2．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．【解答】解：（1）如图，连接OE，∵FG＝EG，∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠F AH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；（2）连接OC，设⊙O的半径为r，∵AH＝3、CH＝4，∴OH＝r﹣3，OC＝r，则（r﹣3）2+42＝r2，解得：r＝，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴＝，即＝，解得：EM＝．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；∵ED切⊙O于点D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED，∴AE＝CE，即E为AC的中点；∴BE＝CE；（2）解：连接OD，∵∠ACB＝90°，∴AC为⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴EO平分∠CED，∴OE⊥CD，F为CD的中点，∵点E、O分别为AC、BC的中点，∴OE＝AB＝＝5，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE＝AC＝＝4，在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，由三角形的面积公式得：S△EDO＝，即4×3＝5×DF，解得：DF＝2.4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．7．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．9．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是（只需写出三种情况）．（Ⅰ）EF⊥AB（Ⅱ）∠BAE＝90°（Ⅲ）∠ABC＝∠EAC（2）如图（2），若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？【解答】（1）解：如图1中，当AB⊥EF或∠BAE＝90°可判断EF为⊙O的切线；当∠ABC＝∠EAC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∴AB⊥EF，∴EF为⊙O的切线；故答案为AB⊥EF、∠BAE＝90°、∠ABC＝∠EAC；（2）证明：如图2，作直径AD，连接CD，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B，∴∠CAE＝∠D，∴∠EAC+∠CAD＝90°，∴AD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；（2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度．【解答】解：（1）BC与⊙O相切．证明：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD．又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．（2）由（1）知OD∥AC．∴△BDO∽△BCA．∴＝．∵⊙O的半径为2，∴DO＝OE＝2，AE＝4．∴＝．∴BE＝2．∴BO＝4，∴在Rt△BDO中，BD＝＝2．12．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为600；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD＝OC＝CD＝2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°∴∠DBC＝30°∴∠EBD＝30°∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴∠E＝90°﹣300＝600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠EBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°．13．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BIE＝∠EBI，∴EB＝EI；（2）解：连接EC．∵∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴BE＝EC＝2，∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，∴△ADB∽△CDE，∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，同法可证：△ADC∽△BDE，∴＝，∴＝，∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，∴△ECD∽△BAC，∴EC2＝ED•EA，∴4＝m•（m+2n），∴4＝2k（2k+6k）∴k＝或﹣（舍弃），∴DE＝1，AD＝3，∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，∴AI＝AE﹣EI＝2．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．（1）求证：BF与⊙O相切．（2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．【解答】（1）证明：连接AE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝2∠4，∴∠1＝∠4，∵∠1+∠3＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴AB⊥BF，∴BF与⊙O相切；（2）解：∵BC＝CF＝4，∴∠F＝∠4，而∠BAC＝2∠4，∴∠BAC＝2∠F，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴BF＝＝＝4．15．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC的中点D，DE与⊙O相切，且交BC于E．若⊙O的直径为5，AC＝8．求DE的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵D点为AC的中点，∴BA＝BC，AD＝CD＝AC＝4，∴∠A＝∠C，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠ADO＝∠C，∴OD∥BC，∵DE与⊙O相切，∴OD⊥DE，∴BC⊥DE，在Rt△ABD中，BD＝＝3，∵∠A＝∠C，∠ADB＝∠DEC＝90°，∴△ABD∽△CDE，∴＝，即＝，∴DE＝．16．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC＝50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD＝AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO 的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AD＝AC，∠A＝50°，∴∠C＝∠ADC＝65°，∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°∵∠AOE＝2∠C＝130°，∴∠CEO＝∠AOE﹣∠ADE＝130°﹣115°＝15°（Ⅱ）∵AD＝AB，∠A＝50°∴∠D＝∠B＝65°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠B＝65°，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠BEC＝180°﹣∠A＝130°∴∠CEO＝∠CEB﹣∠OEB＝130°﹣65°＝65°17．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵M点为GE的中点，∴MC＝MG＝ME，∴∠G＝∠1，∵OB＝OC，∴∠B＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，∴∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而∠1＝∠G，∠5＝∠A，∴∠G＝∠A，∵∠4＝2∠A，∴∠4＝2∠G，而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，∴∠EMC＝∠4，而∠FEC＝∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴＝＝，即＝＝，∴CE＝4，EF＝，∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．18．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、理由如下：连接OD，如图1，∵∠AOD＝2∠ACD＝2×45°＝90°，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图2∵点F是CD的中点，∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴△CDE的面积＝×3×＝．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．21．已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC、OD，∵CD＝1，OC＝OD＝1，∴△OCD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CBD＝∠COD＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣30°＝60°；（Ⅱ）如图2，连接OC、OD，同理可得∠CBD＝30°，∠ADB＝90°，∴∠AEB＝90°+∠DBE＝90°+30°＝120°．22．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．【解答】证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，。
2021年九年级中考数学压轴专题复习：一次函数的综合练习
2021中考数学压轴专题复习：一次函数的综合练习1、如图,直线AB ：643+=x y 与直线CD 交于点E (-4,m)，连接BC ，tan ∠CBO =31。
（1）求直线CD 的解析式；（2）将直线BC 沿x 轴平移与直线CD 交于点M ，与y 轴交于点N ，连接AM ，当△AMC 的面积是△BCD 面积的2倍时，求点N 的4坐标。
2、如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：12y x b =+与直线2l ：7y kx =+交于点(2,4)A ，直线1l 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，将直线1l 向下平移7个单位得到直线3l ，3l 与y 轴交于点D ，与2l 交于点E ，连接AD .（1）求交点E 的坐标； （2）求ADE ∆的面积.3、如图，直线与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B ．点C （0，t ）是线段OB 上一点，作直线AC ．（1）若BC ＝2，求直线AC 的函数解析式；（2）当1≤t ≤4时，求△ABC 面积的取值范围；（3）若AC 平分∠OAB ，记△ABC 的周长为m ，△AOC 的周长为n ，求m ﹣n 的值．4、如图，已知直线l 的函数表达式为y=-34x+8，且l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q 、P 移动的时间为t 秒.⑴求出点A ，B 的 坐标；⑵当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？⑶求出⑵中当△APQ 与△AOB 相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式.5、已知一次函数y=﹣x+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．直线l 过点A且垂直于x 轴．两动点D 、E 分别从A B 两点间时出发向O 点运动（运动到O 点停止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和个单位长度．点G 、E 关于直线l 对称，GE 交AB于点F ．设D 、E 的运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG 与AGB 是否相似，并说明理由；（2）当△ADF 是直角三角形时，求△BEF 与△BFG 的面积之比．6、如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴上，∠ACB=90°，OC 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＜OB ． （1）求点A 的坐标；（2）D 是线段AB 上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），过点D 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边AC 或边BC 于点P ，设点D 的横坐标为t ，线段DP 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，当d=时，请你直接写出点P 的坐标．7、已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；OAB 9024AOB OA OB ∠===°，，OB C AB D B A C B OA B 'OB x '=OC y =y x y（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．8、如图1，已知直线l 1:y ＝kx ＋4交x 轴于A (4，0)，交y 轴于B ． (1)直接写出k 的值为 ．(2) 如图2，点C 坐标为(p ，0)，点D 坐标为(0，q )， 点E 、F 在直线l 1上，四边形CDEF 为正方形，求EF 的长；(3)如图3，直线l 2:y ＝12x ＋n 经过AB 的中点P ，点Q (t ，0)为x 轴上一动点，过Q 作y 轴平行线分别交直线l 1，l 2于M 、N ，且MN ＝2MQ ，求t 的值．如9、图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y ＝2x +6交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，且AO ＝BC ． （1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，点P 在线段AC 上，连接PB 交OA 于点D ，设点P 的横坐标为t ，△ABP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A 作∠CAO 的平分线交DP 于点E ，点L 在BP 的延长线上，连接CE 、CL ，若∠ABP ＝2∠ACE ，CL ＝AC ，求DL 的长．B OA B 'B D OB '∥C xy BOAxyB OAxyB OA10、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC．点E是y轴上任意一点记点E 为（0，n）．（1）求直线BC的关系式；（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形DEFG的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有的n值并直接写出此时正方形DEFG与△ABC重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．11、（1）如图①，菱形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，∠AOC=60°，点D 是对角线OB，AC的交点，将菱形折叠，折痕经过点D，且点B的对应点B′落在x轴上，此时B′点的坐标为；（2）如图②，正方形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，M点为OA的中点，将正方形折叠，使点B与点M重合，请利用尺规作图作出此时的折痕（保留作图痕迹，不写作法），并计算出这条折痕的长；（3）如图③，矩形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，AB=6，点P在y轴上，点Q在边AB上，将矩形沿线段PQ折叠，使点B的对应点B′落在x轴上，其中AQ= AB，求点P的坐标．12、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t （秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．13、已知：如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A、D在y轴上，点A在点D上方，点C（3，2）．（1）求点B的坐标．（2）直线l与y轴交于点P，点B关于直线l的对称点为B’，且点B’到x轴的距离为1．①如图2，若直线l∥x轴，点B’在第一象限，点P（0，n），求n的值．②若直线l的解析式为y x n=-+，求n的值．（3）将（2）中的“点B’到x轴的距离为1”改为“点B’到直线34y x b=-+的距离为1”，其他的条件不变．直线34y x b=-+与y轴交于点Q，且PB=PQ．若这种直线l有且恰好只有3条，直接写出b的值．14、已知直线AC 经过点)02(，-A ,)40(，C ,过点C 作x 轴的平行线，交直线BD ：b kx y +=于点D ，且点坐标为)05(，B ，2=CD ，过点A 作直线BD 的垂线交直线BD 于点E .（1）求直线BD 的解析式；（2）线段CD 上有一点P ,过P 作BD 的平行线交AD 于点G ，在直线AE 有一动点M ，线段AD 上有一动点N ，当75=PG 时求NB MN PM ++的最小值及P 的坐标； （3）如图（2）是否存在线段AE 上有一点M ,在线段AB 上有一点N ，使得线段MN 将ABM ∆分割成AMN ∆和BMN ∆两个三角形，这两个三角形其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，若存在求出所有符合条件的N 的坐标；若不存在，请说明理由.。
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第二轮反比例函数压轴综合试题
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第二轮反比例函数压轴综合试题1、如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值．（2）求k的取值范围．2、如图，反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣1的图象相交于A（m，2m），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式＜kx﹣1的x的取值范围．3、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=m（x＞0）的图象经过点A（3，4），x过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．4、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=m的图象相交于A（1，2），xB（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在OA的廷长线上，BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若S△ACD＝，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．6、如图，在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数2y x=-的图象与一次函数y kx k =-的图象的一个交点为(1,)A n -．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A ，点D 的坐标为（3，0），AB ＝BD ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA +PB 的值最小时，求出点P 的坐标．8、如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y=k上，过点A的直线与双曲线的另x一支交于点B（1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．9、如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．10、如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数12yx的图象经过点A.(1)求点A的坐标；(2)如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,求这个一次函数的解析式.11、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y=kx的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．12、双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m ﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．13、反比例函数1m y x+=在第二象限的图象如图所示. (1)直接写出m 的取值范围；(2)若一次函数112y x =-+的图象与上述反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为32，求m 的值.14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4y x=（x ＞0）的图象与一次函数y x b =-+的图象的一个交点为A （4，m ）．(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y x b =-+的图象与y 轴交于点B ，P 为一次函数y x b =-+的图象上一点，若△OBP 的面积为5，求点P 的坐标．15、如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．16、已知反比例函数1k y x=的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，4）和点B （m ，﹣2）. (1)求这两个函数的关系式；(2)观察图象，写出使得y 1﹤y 2成立的自变量x 的取值范围；(3)在x 轴的正半轴上存在一点P ，且△ABP 的面积是6， 请直接写出点P 的坐标．17、如图，P 是反比例函数()0k y x x=>的图象上的一点，PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2，且ON =1，一次函数y x b =+的图象经过点P ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线y x b =+与x 轴的交点为A ，点Q 在y 轴上，当△QOA 的面积等于矩形OMPN 的面积的14时，直接写出点Q 的坐标．18、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝（x＜0）的图象上，并说明理由．19、如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=k（k＞0）的图象上，直线ABx交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．。
四川省渠县崇德实验学校2021年九年级中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点B两点在一次函数y kx bA--，(1,3)C，交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，//AB OC，-．∠=︒，BC=C的坐标为(18,0)BCO∠=︒，45AOC90（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且4OFE∠=︒，求直OE=，45线DE的解析式；（3）求点D的坐标．3、在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线:OC y x =交于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+ ①求点C 的坐标； ②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ． （1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F、D三点．（1）求直线l的解析式；1（2）如图①：若EC ED=，求点D的坐标和BFD∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使PCD∆是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图直线:6-，点A l y kx=+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0)的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，PAC∆的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得BCM∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆的面积是∆中，若AP APB③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有．11、如图1，直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且y x∠=︒．30CAO（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．12、如图1，已知直线22y x=+与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC∆（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD AC=，求证：BE DE=．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，5(2P-，)k是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使BPN∆面积等于BCM∆面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13、如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，若M 为x 轴上的一个动点，N 为直线AB 上的一个动点，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M 点、N 点坐标；（3）如图3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿y 轴负方向向下运动时，以P 为顶点，以AP 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求证：OP ﹣DE 为定值．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y =+和直线2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时2PF +的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应t 的取值范围．参考答案四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)A --，(1,3)B 两点在一次函数y kx b =+的图象上，并且直线交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求出C ，D 两点的坐标； （2）求AOB ∆的面积．【解答】解：（1）将(2,1)A --、(1,3)B 代入y kx b =+，得： 213k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得4353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4533y x =+， 当0x =时53y =，则5(0,)3D ； 当0y =时，45033x +=，解得54x =-，则5(4C -，0)；（2）AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1||(||||)2C A B x y y =+ 15(13)24=⨯⨯+ 52=． 2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，//AB OC ，90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-．（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且4OE =，45OFE ∠=︒，求直线DE 的解析式； （3）求点D 的坐标．【解答】解：（1）过B 作BG x ⊥轴，交x 轴于点G ， 在Rt BCG ∆中，45BCO ∠=︒，BC =12BG CG ∴==，(18,0)C -，即18OC =，18126OG OC CG ∴=-=-=，则(6,12)B =-；（2）90EOF ∠=︒，45OFE ∠=︒，OEF ∴∆为等腰直角三角形， 4OE OF ∴==，即(0,4)E ，(4,0)F ，设直线DE 解析式为y kx b =+， 把E 与F 坐标代入得：440b k b =⎧⎨+=⎩，解得：1k =-，4b =，∴直线DE 解析式为4y x =-+；（3）设直线OB 解析式为y mx =，把(6,12)B -代入得：2m =-， ∴直线OB 解析式为2y x =-，联立得：42y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得：48x y =-⎧⎨=⎩，则(4,8)D -．3、在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线:OC y x =交于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+ ①求点C 的坐标； ②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB 、OC 的函数表达式得：212y x y x =⎧⎨=-+⎩，44x y =⎧⎨=⎩，点(4,4)C ；②直线AB 的解析式：212y x =-+ 令0y =，则6x =，即6OA =，11641222OAC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯⨯=；（2）ON 是AOC ∠的平分线，且AB ON ⊥， 则点A 关于ON 的对称点为点C ，4AO OC ==，当C 、Q 、P 在同一直线上，且垂直于x 轴时，AQ PQ +有最小值CP ， 设：CP OP x ==，则222416x ==，解得：x CP ==．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得，22x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为(2,2)，将0y =代入112y x =+，得2x =-，即点C 的坐标为(2,0)-， 将0x =代入4y x =-+，得4y =，即点A 的坐标为(0,4)， 设过点A 和点C 的直线的解析式为y kx b =+， 204k b b -+=⎧⎨=⎩，得24k b =⎧⎨=⎩， 即直线AC 的解析式为24y x =+；（2）将0y =代入4y x =-+得，4x =，即点D 的坐标为(4,0)，A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,2)，点C 的坐标为(2,0)-，点D 的坐标为(4,0)，6462622ABC ACD CBD S S S ∆∆∆⨯⨯∴=-=-=， 即ABC ∆的面积的是6．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 (4,0) ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0y =，则4x =；令0x =，则3y =， 故点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)． 故答案为(4,0)，(0,3)；（2）设OC x =，直线CD 垂直平分线段AB ，4AC CB x ∴==-， 90BOA ∠=︒，222OB OC CB ∴+=，2223(4)x x +=-，解得78x =， 78OC ∴=， 7(8C ∴，0)，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有3708b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2473k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为2437y x =-+．（3）过点O 作//OM AB 交直线BC 于M ．//OM AB ，AOB ABM S S ∆∆∴=，直线AB 的解析式为334y x =-+，//OM AB ，∴直线OM 的解析式为34y x =-，由342437y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得28252125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，28(25M ∴，21)25-，根据对称性可知，经过点(0,6)O '与直线AB 平行的直线与直线BC 的交点M '，也满足条件，易知BM BM '=，设(,)M m n '，则有282502m +=，212532n -=， 2825m ∴=-，17125n =，28(25M ∴'-，171)25， 综上所述，满足条件的点M 坐标为28(25，21)25-或28(25-，171)25．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ． （1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【解答】解：（1）把(,3)C m 代入一次函数152y x =-+，可得1352m =-+，解得4m =， (4,3)C ∴，设2l 的解析式为y ax =，则34a =， 解得34a =， 2l ∴的解析式为34y x =； （2）如图，过C 作CD AO ⊥于D ，CE BO ⊥于E ，则3CD =，4CE =，152y x =-+，令0x =，则5y =；令0y =，则10x =，(10,0)A ∴，(0,5)B ，10AO ∴=，5BO =，11103541510522AOC BOC S S ∆∆∴-=⨯⨯-⨯⨯=-=；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形， ∴当3l 经过点(4,3)C 时，12k =； 当2l ，3l 平行时，34k =；当1l ，3l 平行时，12k =-；故k 的值为12或34或12-．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线1y k x =+y 轴B 点，(0B ∴，，OB ∴=， 36OA ==，(6,0)A ∴，把(6,0)A 代入1y k x =+1k =，∴直线1l 的解析式为y x =+（2）如图1中，作CM OA ⊥于M ，DN CA ⊥于N ．90CME DNE ∠=∠=︒，MEC NED ∠=∠，EC DE =，()CME DNE AAS ∴∆≅∆，CM DN ∴=(1,3)C -，CM DN ∴==当y ==+ 解得3x =，D ∴，把(1,C，D 代入2y k x b =+，得到223k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线CD的解析式为y =-(0,F ∴-，132BFD S ∆∴=⨯=（3）①如图③1-中，当PC PD =，90CPD ∠=︒时，作DM OB ⊥于M ，CN y ⊥轴于N ．设(0,)P m ．90DMP CNP CPD ∠=∠=∠=︒，90CPN PCN ∴∠+∠=︒，90CPN DPM ∠+∠=︒， PCN DPM ∴∠=∠， PD PC =，()DMP NPC AAS ∴∆≅∆，1CN PM ∴==，PN DM m ==+(D m ∴+1)m +，把D 点坐标代入y =+1m m +=+解得6m =，(0P ∴，6)．②如图③2-中，当PC PC =，90CPD ∠=时，作DM OA ⊥于M ，CN OA ⊥于N ．设(,0)P n ．同法可证：DMP PNC ∆≅∆，PM CN ∴==，1DM PN n ==-，(D n ∴1)n -，把D 点坐标代入y =+1n n -=+解得n =P ∴，0)．综上所述，满足条件的点P 坐标为(0，6)或0)8、如图直线:6l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C 两点，点B 的坐标是(8,0)-，点A 的坐标为(6,0)-． （1）求k 的值．（2）若点P 是直线l 在第二象限内一个动点，当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积为3，求出此时直线AP 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线:6l y kx =+过点(8,0)B -，086k ∴=-+，34k ∴=． （2）当0x =时，3664y x =+=， ∴点C 的坐标为(0,6)．依照题意画出图形，如图1所示，设点P 的坐标为3(,6)4x x +，PAC BOC BAP AOC S S S S ∆∆∆∆∴=--，1131862(6)662242x =⨯⨯-⨯+-⨯⨯， 334x =-=，4x ∴=-，∴点P 的坐标为(4,3)-．设此时直线AP 的解析式为(0)y ax b a =+≠，将(6,0)A -，(4,3)P -代入y ax b =+， 得：6043a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：329a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴当点P 的坐标为(4,3)-时，PAC ∆的面积为3，此时直线AP 的解析式为392y x =+． （3）在Rt BOC ∆中，8OB =，6OC =，10BC ∴==．分三种情况考虑（如图2所示）: ①当CB CM =时，18OM OB ==， ∴点1M 的坐标为(8,0)；②当BC BM =时，2310BM BM BC ===， 点B 的坐标为(8,0)-，∴点2M 的坐标为(2,0)，点3M 的坐标为(18,0)-；③当MB MC =时，设OM t =，则448M B M C t ==-，22244CM OM OC ∴=+，即222(8)6t t -=+，解得：74t =， ∴点4M 的坐标为7(4-，0)．综上所述：在x 轴上存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形，点M 的坐标为(18,0)-，7(4-，0)，(2,0)或(8,0)．9、如图，平面直角坐标系中，Q （0，6），直线y ＝x ﹣4交y 轴、x 轴于A 、B 两点，P 为直线AB 上一动点．（1）求证：以PQ 为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．【解答】（1）证明：证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，∴∠PDQ＝90°，∵以PQ为直径的圆过定点D，∵∠MAD+∠ADM＝∠ADM+∠QDM＝90°，∴∠MAD＝∠QDM，∵∠AMD＝∠DMQ＝90°，∴△DMQ∽△AMD，∴，即DM2＝AM•MQ，设D（m，m﹣4），∴m2＝（m﹣4+4）（6﹣m+4），m2＝m（10﹣m），5m2﹣20m＝0，m1＝0（舍），m2＝4，∴定点D（4，﹣2）；证法二：如图2，连接BQ，直线y＝x﹣4，当y＝0时，x﹣4＝0，∴x＝8，∴OB＝8，当x＝0时，y＝﹣4，∴OA＝4，∵Q（0，6），∴AQ＝6+4＝10，BQ＝＝10，∴AQ＝BQ，取AB的中点D，连接DQ，则QD⊥AB，∴以PQ为直径的圆过定点D，∵A（0，﹣4），B（8，0），∴定点D（4，﹣2）；（2）解：∵△AQD旋转得到△A'QD'，∴∠A'QD'＝∠AQD，由图1知：tan∠AQD＝＝＝，∴tan∠A'QD'＝tan∠AQD＝，∴＝，过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，∵EF⊥FQ，∴∠EFG+∠QFH＝∠EFQ＝90°，∵∠EFG+∠FEG＝90°，∴∠QFH＝∠FEG，∵∠EGF＝∠FHQ＝90°，∴△EGF∽△FHQ，∴，设EG＝n，则，∴FH＝2n，∴F（﹣2n，﹣n），∴F在直线y＝x上，∴AF的最小值即是A到直线y＝x的距离，如图4，过F作FM⊥y轴于M，∵F（﹣2n，﹣n），∴OF＝n，∴tan∠MOF＝，∵∠MOF+∠AOF＝∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠MOF＝∠OAF，∴tan∠OAF＝，∴sin∠OAF＝＝，∴，OF＝，∴AF＝2OF＝．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆的面积是∆中，若AP APB③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有③④．【解答】解：①如图1，过B作BC OA⊥于C，点(0,3)B，A、点(4,1)BC=，∴=-=，4AC312在Rt ABC∆中，由勾股定理得：AB=，故①结论不正确；②如图2，在Rt APOAO=，AP=∆中，3∴=，OP2过B作BD x⊥轴于D，1BD ∴=，422PD =-=， APB AOP PDB AODB S S S S ∆∆∆∴=--梯形，111()222OD BD AO AO OP PD BD =⨯⨯+--， 1114(13)3221222=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯， 831=--，4=，故②结论不正确； ③如图3，)i 以A 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点1P ，得△1APB 是等腰三角形； )ii 作AB 的中垂线，交x 轴的正半轴有一交点2P ，得△2AP B 是等腰三角形；)iii 以B 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点3P ，得△3AP B 是等腰三角形； 综上所述，使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个； 故③结论正确；④如图4，过B 作BD x ⊥轴于D ， (,0)P x ，OP x ∴=，4PD x =-，由勾股定理得：AP =PB ， 作A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于P ，则PA PA '=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，此时AP PB +的值最小， 过B 作BC OA ⊥于C ， 则3324A C '=+-=，4BC =，由勾股定理得：A B '=AP PB ∴+的最小值是即设点P 的坐标为(,0)x 故④结论正确；综上所述，其中正确的结论有：③④；故答案为：③④．11、如图1，直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且y x30∠=︒．CAO（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．【解答】解：（1）直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为(3,0)、y x(0,3)，==，则OA=AC OC30CAO∠=︒，则26将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得： 直线AC的表达式为：3y =+； （2）如图2所示：①当03t 时，（左侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点M 处，则点(M t -，0)，则点(H t -)，21122AHM S S AM HM t ∆==⨯⨯=⨯=，②当333t <时，（右侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点G 处，E 、F 交直线AC 于点R 、S ，AG t =，则3AS t =-，则3)RS t =-，同理HG =，同理可得：132RSHGS S ==⨯⨯+=⎝梯形；故：2(03)33)t S t =⎨<；（3）点M 为线段AC 上一动点，经画图，MQN ∠分别为90︒时，点M 不在线段AC 上， ①90NMQ =︒时，三角形QMN 为等腰直角三角形，过点M 作y轴的平行线交x 轴于点G ，过点N 作x 轴的平行线交MG 于点R 、交y 轴于点H ，设点M 、N 的坐标分别为(3)m +、(,3)n n -， 90NMR RNM ∠+∠=︒，90MNR GMQ ∠+∠=︒，GMQ RNM ∴∠=∠，90NRM MGO ∠=∠=︒，MR MQ =，()NRM MGO AAS ∴∆≅∆，则MG RN =，GQ RM =，即：3n m -=+，33)1n m --+=-，解得：m =-故点M 的坐标为(-1)； ②当90MNQ ∠=︒时，同理可得：点(M ，2)；综上，点M 的坐标为：(-1)或(2)．12、如图1，已知直线22y x =+与y 轴，x 轴分别交于A ，B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC ∆（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式；（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD AC =，求证：BE DE =．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x 轴于点M ，5(2P -，)k 是线段BC 上一点，在x 轴上是否存在一点N ，使BPN ∆面积等于BCM ∆面积的一半？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，则点A 、B 的坐标分别为：(0,2)、(1,0)-，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，90HCB CBH ∠+∠=︒，90CBH ABO ∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠， 90CHB BOA ∠=∠=︒，BC BA =，()CHB BOA AAS ∴∆≅∆， 2BH OA ∴==，CH OB =，则点(3,1)C -，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx b =+得：213b m b =⎧⎨=-+⎩，解得：132m b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线AC 的表达式为：123y x =+；（2）同理可得直线CD 的表达式为：1122y x =--⋯①，则点1(0,)2E -，直线AD 的表达式为：32y x =-+⋯②， 联立①②并解得：1x =，即点(1,1)D -，点B 、E 、D 的坐标分别为(1,0)-、1(0,)2-、(1,1)-，故点E 是BD 的中点，即BE DE =；（3）将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：1122y x =--，将点P 坐标代入直线BC 的表达式得：34k =， 直线AC 的表达式为：123y x =+，则点(6,0)M -，11551222BMC C S MB y ∆=⨯=⨯⨯=，15132428BPN BCM S S NB k NB ∆∆===⨯=，解得：103NB =，故点13(3N ，0)或7(3，0)．13、如图1，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为顶点，以AB为腰在第二象限内作等腰直角△ABC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，若M为x轴上的一个动点，N为直线AB上的一个动点，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M点、N点坐标；（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点沿y轴负方向向下运动时，以P为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝3，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣7，3）．（2）如图2中，当点N在x轴上方时，CN∥x轴，此时N（﹣，3），可得M（﹣，0）或M′（，0）．当点N′在x轴下方时，可得N′（﹣，﹣3），此时M（﹣，0）．综上所述，满足条件的点N（﹣，3），M（﹣，0）或N（﹣，3），M（，0）或N（﹣，﹣3），M（﹣，0）．（3）如图3中，过点D作DQ⊥OP于Q点，则OP﹣DE＝PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP ≌△PDQ （AAS ） ∴OP ﹣DE ＝PQ ＝OA ＝3．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y =+和直线2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．【解答】解：（1）由题意知：b∴直线2:l y =当0y =时，1x = 3(1,0)C ∴直线1:l y x =∴当0y =0+=， 3x ∴=-(3,0)A ∴-1[1(3)]2ABC S ∆∴=⨯--=；（2）在Rt ABO ∆中，22222312AB AO BO =+=+= 在Rt BOC ∆中，2222214BC OC OB =+=+= 在ABC ∆中，22212416AB BC AC +=+==ABC ∴∆是直角三角形，AB BC ∴⊥作C 点关于直线AB 的对称点(1C '-，，连接C E '交直线1l 于F ，(1C '-， (5,0)E ∴直线:C E y '=y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨⎪⎩F ∴ 作二、四象限的角平分线3l ，过点P 作3PQ l ⊥于Q ，则PQ =，PF FP PQ ∴+=+， 当F ，P ，Q 三点共线时最小，即过F 作3PQ l ⊥于Q 交y 轴于P ，作//FG OB 交直线3l于G ．此时FQG ∆为等腰直角三角形，斜边1FG =+，PF ∴的最小值为：FQ =（3）①如图2中，当11B M B N =时，点1C 中直线y =上运动，设1(C m ，11B O 交x 轴于E ，则1EB -=+， 2133OE m ==+，1142233MB NB OE m ===+，42()33M m m ∴-++，把点M 坐标代入直线y =+421)33m m ++=-+，解得m =②如图3中当1MN MB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =+1)m =- 解得，85m =．③如图4中，当11B M B N =时，同法可得42()33M m m ---，把点M 代入y =+421)33m m --=-+，解得m =④如图5中，当1NM NB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =+1)m =- 解得1m =（舍弃），综上所述，1C 85． 15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝OB ，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为y ＝x ，过点C 作CM ⊥y 轴，垂足为M ，OM ＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴＝．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，∴SR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠F AR＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG＝AF，∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠F AR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴＝，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝＝＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝＝2，∴HT＝2，∵OT＝OD+DH+HT，∴4a+6a+2＝8，∴a＝，∴OD＝，PD＝12×＝，∴P（，）．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝2x﹣4，直线CD的表达式为：y＝﹣x+5…①，则点C、D的表达式分别为：（5，0）、（0，5），联立直线AB表达式与直线CD表达式：y＝﹣x+5并解得：x＝3，故点E（3，2）；（2）如图，设点M（m，2m﹣4），过点M作MN⊥CD交于点N，则MN＝3，∵MN⊥CD，∴直线MN表达式中的k值为1，设直线MN的表达式为：y＝x+b′，将点M坐标代入上式并解得：直线MN的表达式为：y＝x+（m﹣4）…②，联立①②并解得：x＝，则点N（，），MN2＝（m﹣）2+（﹣2m+4）2＝（3）2，解得：m＝1或5（舍去），故点M（1，﹣2）；（3）①如图2（左侧图），当2≤t≤3时，图象到达O′Q′P′A′的位置，OA＝2，OB＝4，∵GA′∥OB，则＝2，则GA′＝2AA′则S＝AA′×A′G＝AA′×AA′tanα＝（t﹣2）2；②3＜t≤4时，如图3，设A′P′交直线CD于点H，此时，点A′（t，0），则A′C＝5﹣t＝A′H，∴P′H＝P′E＝2﹣A′H＝3﹣（5﹣t）＝t﹣3，∴S＝S梯形AA′P′E﹣S△EHP′＝（t﹣3+t﹣2）×2（t﹣3）2＝﹣t2+5t﹣；③如图4，4＜t≤5时，图象到达O′′Q′′P′′A′′的位置，直线BE交O″Q″于点H′，直线CD交A″P″于点G′，AA''＝t﹣2，AO''＝t﹣4，A''C＝5﹣t，H'O''＝2AO''＝2（t﹣4）＝2t﹣8，G'A''＝A''C＝5﹣t，S△AO″H′＝×AO''×O''H'＝（t﹣4）2，同理S△A″CG′＝（5﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣4）2﹣（5﹣t）2＝﹣t2+13t﹣．则AA″＝t，AO″＝t﹣2，A″C＝3﹣t，H′O″＝2AO″＝2（t﹣2），G′A″＝A″C＝3﹣t，S△AO″H′＝×AO″×O″H′＝（t﹣2）2，同理：S△A″CG′＝（3﹣t）2，S＝S△ACE﹣S△AO″H′﹣S△A″CG′＝3﹣（t﹣2）2﹣（3﹣t）2＝﹣t2+7t﹣，故：S＝．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
四川省渠县崇德实验学校2020-2021学年第一学期九年级数学上册期末几何压轴题专题复习
四川省渠县崇德实验学校2020-2021学年第一学期九年级数学上册期末几何压轴题专题复习1、如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q.求证：PD·EQ ＝PE·DQ.2、如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y ＝k x(k ≠0，x >0)过点D . (1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．3、如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 是AD 上的点，且AE ＝EF ＝FD .连接BE 、BF ，使它们分别与AO 相交于点G 、H .(1)求EG ∶BG 的值；(2)求证：AG ＝OG ；(3)设AG ＝a ，GH ＝b ，HO ＝c ，求a ∶b ∶c 的值．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.5、如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M.求证：DF＝MF.6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．7、如图①，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处，再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处，如图②.(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．8、如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC ＝∠BDC＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.9、如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，P ，Q 分别从B ，A 出发沿BC ，AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2cm/秒，连接AP 并过Q 作QE ⊥AP 垂足为E .(1)求证：△ABP ∽△QEA ；(2)当运动时间t 为何值时，△ABP ≌△QEA?(3)设△QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示△QEA 的面积y (不要求考虑t 的取值范围)．[提示：解答(2)(3)时可不分先后]10、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝m x的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．11、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD . (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．12、如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝k2x的图象分别交于C，D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．(1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝k2x的解析式；(2)求△COD的面积；(3)直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．13、阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；(2)如图②，在(1)的条件下．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？写出结论并证明．14、如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．15、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．16、从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．17、问题与探索问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现：(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形，并说明理由；(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论．。
四川省崇德实验学校2020-2021学年九年级第一学期数学期中考试压轴题复习题(无答案)
四川省崇德实验学校2020-2021年度第一学期九年级数学上册期中考试压轴题复习题一、选择题1、如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，B两点，设BD=a，DE=b、CB=c，关于a的方程x2+bx+c=0( )A.一定有两个相等实根B.一定有两个不相等实根C.有两个实根，但无法确定是否相等D.无实根2、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④3、如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE井延长交AD于点F，S△AEP =4，则下列结论:①FD=2AF;②S△BCE=36:③S△AB E=16;④)△AEF∽△ACD，其中一定正确的是( ）A.①②③④B.①②C.②③④D.①②③二、填空题4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．5、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE EF⊥,有以下结论：其中正确的结论为①∠BAE=30°②射线FE是∠AFC的角平分线③2=⋅AE AD AF④AF=AB+CF6、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M，N是边AD，AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：①△MED∽△ENB②若∠DME=20°，则∠ENB=100°:③若DE:BE=1:2，则AM:AN=1:2:④若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则线段MC=2v7，其中正确的结论有:(填写所有正确结论的序号)7、如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PB+PC=三、解答题8、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN△AC于点N，求MN 的长。
四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学基础复习综合考试测试卷七
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学根底复习综合测试卷七一、选择题(本大题总分值24分，共6小题，每题4分)以下二次根式中，最简二次根式是(D)A. 2x2B. 1C. 4aD. b21x2. 在实数7.5, 15,4,34, ,0.15,2中，无理数的个数是(C)3个个个个3. 将一组数据中的每一个数据的值都减去同一个常数，那么以下结论成立的是(B)A.平均数不变B.方差和标准差不变C.方差改变D.方差不变但标准差改变以下命题中，真命题是(B)垂直于半径的直线是圆的切线；圆心到一条直线的距离等于圆的半径，这条直线是圆的切线；与圆有公共点的直线是圆的切线；过半径外端的直线是圆的切线。
r以下条件中，不能判定a∥b的是(D)rrrrr rr r r r r rA.aPc,bPcB.a c,b2cC.a2bD.a2b如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，并且DF∥BC，那么CD的长是(A)AA.40B.5099F DC.15D.2544B E C 二、填空题(本大题总分值48分，共12小题，每题4分)计算：2a43a3=6a736的平方根是69.分解因式x28=(x22)(x22)10.方程x 1 2的解为x=511.2x1的解集是21不等式组2xx212.关于x的方程x22mxm210，其实数根一定(填“一定〞或“一定不〞或“不一定〞)存在。
直角坐标系中，假设点A(-3,2)与点B关于x轴对称，那么点B的坐标为(-3,-2)14.uuur uuur如图，△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，假设BC kDE，那么k=215.从-1,1,2这三个数中，任意取两个不同的数作为一次函数y kxb的系数k、b，那么这样的一次函数ykxb的图像不经过第二象限的概率是1 3抛物线y2x22x1在对称轴左侧局部是上升的。
(填“左〞或者“右〞)P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕B点顺时针方向旋转能与△CBP’重合，假设PB= 2，那么PP’=2如图，由10把相同的折扇组成的“蝶恋花〞(图1)和梅花图案(图2)(图中的折扇无重叠)，那么梅花图案中的五角星的五个锐角均为48度。
四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学基础复习综合考试测试卷(无答案)
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学根底复习测试卷一、选择题(每题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的。
本大题共6题，每题4分，总分值24分)1、假设实数a 满足a=2，那么实数a 是()或-22、以下图是一个简单的计算程序，假设最初输入的值为 10，那么通过该程序的运算最终输出的数据是( ) 输入x ×2 -2 输出y B.6 3、以下图是某校初三年级四个班级的学生人数统计表，那么该校初三年级四个班级中人数最 多的班级与人数最少的班级人数之差是 ( )班级 一 二三四性别 男 女 男 女 男 女 男 女 人数15212214252018234、平面直角坐标系中点P(3,2)，假设将点P 先沿x 轴方向向右平移 2个单位，再将它沿y 轴方向向下平移 1个单位，到达点 Q 处，那么点Q 的坐标为() A.(5,1)B.(5,-3)C.(1,3)D.(1,1)r r ，以下命题中假命题是()、对非零向量 与a b 5r r rr r r r rA.假设a b ，那么abB.假设a b ，那么ab r r rr r r uur r C.假设a b ，那么a b D.假设a b ，那么a b6、如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB=1，BC=2，CD=4，DA=3，那么分别以AD 、BC 为直径的⊙P 与⊙Q 的位置关系是() BAA.外离B.外切C.相交D.内切二、填空题(本大题共 12题，每题4分，总分值48分)CD7.不等式2x130的正整数解共有个。
3分解因式：x23x4函数f(x)2x1的定义域是方程x2x的解是11.在口袋中有4张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标着1、2、3、4这四个数字，从口袋中随机抽出两张卡片，那么所得卡片上的两数之和是奇数的概率是12.假设反比例函数yk的图像经过点(-2,3)，那么实数k的值是x13.一次函数y(2k)x3的图像经过第一、二、四象限，那么实数k的取值范围是14.假设关于x的方程x2kx 4 0有两个相等的实数根，那么k的值为uuur ruuur r uuur如图，在△ABC中，记ABa,ACb,那么BC=如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，D是边BC的中点，那么tan∠CAD=如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠(点E、F是边CD上两点)，使点C与D在形内重合于点P处，那么∠EPF=度。
四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学基础复习综合考试测试卷六
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学根底复习综合测试卷六一、选择题(本大题总分值24分，共6小题，每题4分)3+1的一个有理化因式为(B)A.3+1B.31C.31 D.32.1纳米米，那么纳米用科学记数法可表示为(B)A.107mB.109mC.108mD.1010m3 .假设x1,x2是一元二次方程2x24x10的两根，那么代数式x1x2(x1x2)的值等于(D)以下命题中，假命题的是(A)A.平分弦的直径一定垂直于这条弦B.垂直于弦的直径一定平分这条弦C.垂直平分一条弦的直线一定经过这个圆的圆心D.平分劣弧和优弧的直线一定经过这个圆的圆心一次函数y2x3的图像不经过(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限初三年级某班十名男同学“俯卧撑〞的测试成绩(单位：次数)分别是9,14,10,15,7,9,16，10,11,9这组数据的众数、中位数、平均数依次是(A)A.9,10,11B.10,11,9C.9,11,10 D.10,9,11二、填空题(本大题总分值48分，共12小题，每题4分)7 .计算：(a3)a26a98 .在实数范围内分解因式：x22x4x15x159.代数式x3的值不小于1，那么x的取值范围是x1在一个长方体中，与某一条棱平行或垂直的面有4个10.把一次函数y2x1的图像进行平移，使它与y轴相交于点P(0,-4)，那么平移后的图像所表示的函数解析式是y 2x 412.顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形的对角线的长分别是 5和8，那么等腰梯形的面积是40⊙O1与⊙O2只有一个公共点，O1O2=15,⊙O1的半径为10，那么⊙O2的半径为5或25某市在旧城改造过程中需要整修一段全长2400m的道路，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原方案提高了20%，结果提前8小时完成任务，求原方案每小时修路的长度。
假设设原方案每小时修x米，那么根据题意可得方程2400 24008(120%)x平面直角坐标系中有点A(sin30°，cos30°)，那么直线OA与x轴所成的夹角是60°16.如图，直线l上有三个正方形甲、乙、丙。
四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学基础复习综合测试卷四(教师版,包含答案)
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学根底复习综合测试卷四一、选择题(本大题共6题，每题4分，总分值24分)以下计算正确的选项是(C)A .a6a3a2B.a5(a)2a3C.(a b)(b a)b2a2D.(y x)(y x)y2x2以下二次根式中，不是最简二次根式的是(B)A.x21B.x3C.3D.223.以下方程中，没有实数根的是(D)A.x22x1B.x1xC.x210D.2x243xx14.点A(a,1)在第二象限，那么点B(-a,a-1)在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值(A)A.没有变化B.扩大2倍C.缩小一半D.无法确定以下命题中，正确的选项是(B)A.三点确定一个圆B.没有公共点的两个等圆一定外离C.相等的圆心角所对的弧也相等D.相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和二、填空题(本大题共12题，每题4分，总分值48分)一种细菌的半径是米，用科学记数法把它表示为×10-5米。
8.分解因式：x22ax b22ab=(xb)(x2ab)9.x0的整数解为0,1不等式组302x10.抛物线yx24x5与y轴的交点坐标是(0,-5)11.四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随AO1O2B1机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为2如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2，那么∠O1AB的度数是30°13.等腰三角形的两边长分别是4和8，那么这个等腰三角形底角的余弦值是14在△ABC中，AM是中线，点G是重心，如果AM=4，那么AG的长为83AD15.如图，在YABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=∠BCD，BD=4，那么BC=22B OCuuur r A16.如图，在△ABC中，设AB a，点D、E分别是BC、AC的中点，r uuur uuur1r E 如果用a表示向量DE，那么DE=2aB CD在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是斜边AB的中点，将△ABC沿某条直线翻折，使点C落在点D上，折痕MN分别交AC、BC于M、N，那么∠CND的度数是90°18.边长为1的正方形ABCD绕点A向逆时针方向旋转30°，旋转后的C B3F H E正方形AEFG与原正方形ABCD公共局部的面积为3D A三、解答题G19.(本大题总分值10分)先化简，再求值：3x12x，其中x3 x2x24x2解：原式=3(x2)(x1)(x2)3x6x2x22x x24x42x=(x2)(x2)=x24(x2)(x2)=x2，当x3时，原式=32=-(32)2=743 x210分)解方程组x2y6,20.(本大题总分值329y21x26xy解：由②得x3y1，x3y1x116∴x3y1或x3y 1，∴原方程的解为5，x24x2y6x2y6y17y2121.(本大题总分值10分，第1小题5分，第2小题5分)如图，：等边三角形ABC中，P、D分别是边AB、BC上的动点，且在P、D运动过程中始终保持∠ACP=∠BPD。
四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学第二轮相似有关压轴题专题训练(无答案)
四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第二轮相似有关压轴题专题训练1、连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．1〕求证：△APB≌△APD；2〕DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．2、，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．〔1〕如图，当点F在射线CA上时，①求证：PF=PE．②设CF=x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．〔2〕连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．3、在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．〔1〕如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．〔2〕如图2，AC：AB=1：3，EF⊥CE，求EF：EG的值．4、如图，在△ABC中，AC=BC，F为边AB上的一点，BF：AF=m：n〔m、n＞0〕，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E．〔1〕求BE：EC的值；〔2〕假设BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论．〔3〕E 点能否成为BC中点？假设能，求出相应的m：n，假设不能，证明你的结论？5、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图，〔1〕求AM、DM的长.〔2〕求证：.〔3〕根据〔2〕的结论你能找出图中的黄金分割点吗？6、如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，A C90o，BD BE，ADBC.1〕求证：AC=AD+CE〔2〕假设AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接 DP，作PQ DP，交直线BE与点Q；①当点P与A，B两点不重合时，求DP的值；PQ②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径〔线段〕长.〔直接写出结果，不必写出解答过程〕7、如图左，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发xs时，△PBC的面积为ycm2．y与x的函数图象如图右所示．请根据图中信息，解答下列问题：〔1〕试判断△DOE的形状，并说明理由；〔2〕当a为何值时，△DOE与△ABC相似？8、如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动〔有一点到达端点后即停止移动〕，如果P,Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？9、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，AC与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．当△ADF∽△EDB时，求AB的值．10、，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．1〕如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；2〕如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，假设存在，请给与证明；假设不存在，请说明理由；（3〕如图3，当b＜2a时，〔2〕中的结论是否仍然成立？请说明理由．11、设抛物线y ax2bx 2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．求m的值和抛物线的解析式；点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线yx1交抛物线于另一点E．假设点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．12、如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为／s．当点F到达点C〔即点F与点C重合〕时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t〔单位：s〕．(1)当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；假设以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；是否存在实数t ，使得点B'与点O 重合？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由．13、如图，直线ykx 2的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 ，，点 C 是直线与 1AB 双曲线ym 的一个交点，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，且△BCD 的面积为1。
2021年九年级数学中考复习专题突破训练：一次函数综合(附答案)
2021年九年级数学中考复习专题突破训练：一次函数综合（附答案）1．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接P A、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④2．如图，已知直线l：，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l 的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A．（0，128）B．（0，256）C．（0，512）D．（0，1024）3．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）4．等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．所有正确结论的序号是（）A．①③B．①③④C．②④D．①②③5．如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；③点D（，）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（，）．正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④6．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+7．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x8．如图，直线y＝x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y＝x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A．B．C．D．9．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接P A、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD ＝3；④当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C 是AB的中点，∠ECD绕点C按顺时针旋转，且∠ECD＝45°，∠ECD的一边CE交y 轴于点F，开始时另一边CD经过点O，点G坐标为（﹣2，0），当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径长为（）A．B．C．D．11．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．512．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+6上的一点，过点P 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3B．4C．6﹣D．3﹣113．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．14．若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为．15．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA 上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．（1）求出点C的坐标；（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为；（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．16．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB，则△P AB面积的最大值是．17．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为．18．如图（1）所示是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图（2）所示．若乙槽底面积为48平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的体积为cm3．19．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为．20．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E 是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为．21．已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B；若点P是直线AB上的一动点，坐标平面中存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，则点Q的坐标是．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．24．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B坐标为（0，4）．（1）求出A点的坐标；（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点C从y轴上的点（0，10）出发，以每秒1cm的速度向负半轴运动，求出点C 运动所有的时间t，使得△ABC为轴对称图形（直接写答案即可）25．长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标．（2）求折痕CM所在直线的解析式．（3）在x轴上是否能找到一点P，使△B′CP的面积为13？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．27．【基础模型】已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB 重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E．（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE【模型应用】在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为．（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为．（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）28．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），点C是x轴上一点，且满足CA＝CB（1）求直线l的解析式；（2）求点C的坐标和△ABC的面积；（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．29．已知，如图，点A坐标为（6，0），直线y＝﹣x﹣2交y轴于点B．（1）求直线AB的函数解析式；（2）若点C为直线y＝﹣x﹣2上第四象限内一点，且满足△ABC的面积为13，求点C的坐标；（3）在（2）中C点坐标的条件下，在x轴上取两点M、N，点M在点N的左侧，使得MN＝2，求使得四边形BMNC周长最小时点M、N的坐标．30．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直线AQ交y轴于点C（1）当a＝1时，①求点Q的坐标和直线AQ的解析式；②点m在直线AQ上，点N为平面直角坐标系内，x轴下方一点，当以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，求所有符合条件的点N的坐标，直接写出答案．（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．①求点Q运动路线对应的解析式；②当AQ+BQ的值最小时求a的值，直接写出答案．31．如图，一次函数y＝kx+b的图象与直线交于点A（4，3），与y轴交于点B，且OA＝OB．（1）求一次函数的表达式；（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积．（3）在x轴上是否存在点C，使△AOC是以OA为腰的等腰三角形？若存在，直接写出C的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，以OA，OB为边作矩形AOBD，矩形AOBD的面积是16．（1）求b的值；（2）点P为BD上一点，连接PO，把PO绕点P逆时针旋转90°得到PQ，设PB的长为t，点Q的纵坐标为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点Q作QM∥PO交BD的延长线于点M，作∠POA的平分线OE交PM于点E，交PQ于点F，若FQ＝2EM，求点Q的坐标．参考答案1．解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），∴方程组的解为，故①正确，符合题意；②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，∴直线l1：y＝2x+4，又∵直线l2：y＝﹣x+m，∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，∴△BCD为直角三角形，故②正确，符合题意；③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴D（0，1），∴BD＝4﹣1＝3，在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AO＝2，∴S△ABD＝×3×2＝3，故③错误，不符合题意；④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，∴当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确，符合题意；故选：B．2．解：∵直线l的解析式为；y＝x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴AB＝，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∠BA1O＝30°，∴A1O＝4，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…∴A4纵坐标为44＝256，∴A4（0，256）．故选：B．3．解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．4．解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．①∵BC＝z＞0，∴y＝2x+z＞2x，∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；②∵三角形任意两边之和大于第三边，∴2x＞z，即z＜2x，∴y＝2x+z＜4x，∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；③若三角形ABC是等腰直角三角形，则z＝x，∵1＜＜2，AB＝x＞0，∴x＜x＜2x，∴3x＜2x+x＜4x，即3x＜y＜4x，∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，∴3x＜2x+z＜4x，∴x＜z＜2x；点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，∴2x＜2x+z＜3x，∴0＜z＜x；∴图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确．故选：B．5．解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，∴点A（8，0），点B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝＝10，故①正确；∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵AC2＝AD2+CD2，∴（8﹣OC）2＝16+OC2，∴OC＝3，∴点C（3，0），设直线BC解析式为：y＝kx+6，∴0＝3k+6，∴k＝﹣2，∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；如图，过点D作DH⊥AC于H，∵CD＝OC＝3，∴CA＝5，∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD，∴DH＝＝，∴当y＝时，＝﹣x+6，∴x＝，∴点D（，），故③正确；∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD，∴PD∥OC，∴点P纵坐标为，故④错误，故选：B．6．解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．7．解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC 于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线方程为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，故选：C．8．解：过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，∵N在直线y＝x+3上，∴设N的坐标是（x，x+3），则DN＝x+3，OD＝﹣x，y＝x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，在△AOB中，由勾股定理得：AB＝5，∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB＝AB×OC，∴3×4＝5OC，OC＝，∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°，∴∠MNO＝45°，∴sin45°＝＝，∴ON＝，在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2＝ON2，即（x+3）2+（﹣x）2＝，解得：x1＝﹣，x2＝，∵N在第二象限，∴x只能是﹣，x+3＝，即ND＝，OD＝，tan∠AON＝＝．故选：A．9．解：∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），∴方程组的解为，故①正确；把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，∴直线l1：y＝2x+4，又∵直线l2：y＝﹣x+m，∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，∴△BCD为直角三角形，故②正确；把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴D（0，1），∴BD＝4﹣1＝3，在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AO＝2，∴S△ABD＝×3×2＝3，故③正确；点A关于y轴对称的点为A'（2，0），设过点C，A'的直线为y＝ax+n，则，解得，∴y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，∴当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确．故选：D．10．解：∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴B（0，4），A（4，0），∵点C是AB的中点，∴C（2，2），①当一边CD经过点O时，点F的坐标为（0，2），此时点F、B、C三点的圆心为BC的中点，坐标为（1，3）；②当直线CD过点G时，如图取OB的中点N，连接CN，OC，则CN＝ON＝2，∴OC＝2，∵G（﹣2，0），∴直线GC的解析式为：y＝x+1，∴直线GC与y轴交点M（0，1），过点M作MH⊥OC，∵∠MOH＝45，∴MH＝OH＝，∴CH＝OC﹣OH＝，∵∠NCO＝∠FCG＝45°，∴∠FCN＝∠MCH，又∵∠FNC＝∠MHC，∴△FNC∽△MHC，∴，即，得FN＝，∴OF＝2+＝．∴F（，0），此时过点F、B、C三点的圆心在BF的垂直平分线上，设圆心坐标为（x，），则，解得x＝，当∠ECD旋转过程中，射线CD与x轴的交点由点O到点G的过程中，则经过点B、C、F三点的圆的圆心所经过的路径为线段，即由BC的中点到点（，），∴所经过的路径长＝＝．故选：A．11．解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，方法二：如图，将线段OB绕点B逆时针旋转120°得到线段BP，直线EP交x轴于G，作OM⊥PE于M．易证△BOD≌△BPE，BG＝2BP＝10，∴点E的运动轨迹是直线PE，当点E与M重合时，OE的值最小，此时PM＝OD＝3，∴CD＝＝＝2．故选：C．12．解：∵P在直线y＝﹣x+6上，∴设P坐标为（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，∴PQ2＝m2+（6﹣m）2﹣2＝2m2﹣12m+34＝2（m﹣3）2+16，则当m＝3时，切线长PQ的最小值为4．故选：B．13．解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．14．解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．15．解：（1）∵由，得，∴C（2，2）；（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，∵C（2，2），∴OQ＝CQ＝2，∴t＝2，②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，过C作CM⊥OA于M，∵C（2，2），∴CM＝OM＝2，∴QM＝OM＝2，∴t＝2+2＝4，即t的值为2或4，故答案为：2或4；（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），设直线CQ的解析式是y＝kx+b，把C（2，2），Q（3，0）代入得：，解得：k＝﹣2，b＝6，∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．16．解：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B，此时△P′AB的面积最大，如图所示．当x＝0时，y＝﹣3，∴点B（0，﹣3）；当y＝x﹣3＝0时，x＝4，∴点A（4，0）．∵点C（0，1），∴BC＝1﹣（﹣3）＝4，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5．∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△AOB∽△CDB，∴，∴CD＝＝，∴DP′＝CD+CP′＝+1＝．∴S△P′AB＝AB•P′D＝×5×＝．故答案为：．17．解：直线y＝kx+2恒过（0，2）即D点，梯形的面积为：＝8，直线y＝kx+2与x轴的交点为E（﹣，0），如图：∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴S△AED＝×AE×OD＝×（﹣+1）×2＝×8＝4，∴k＝﹣．故答案为：﹣．18．解：由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，设铁块的底面积为acm2，则每分钟乙水槽中不放铁块的体积为：2.5×48cm3，放了铁块的体积为3×（48﹣a）cm3，∴1×3×（48﹣a）＝1×2.5×48，解得a＝8，∴铁块的体积为：8×14＝112（cm3）．故答案为：112．19．解：如图，连接CH，∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中点，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四边形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只须C、H、Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q（﹣6，﹣4），又∵点C（0，2），根据勾股定理可得CQ＝＝6，此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值为6+2；故答案为：6+2．20．解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，∵AF平分∠DFE，∴DA＝AG＝2，在RT△ADF和RT△AGF中，，∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），∴DF＝FG，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，∴GE＝＝1，∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，∴点F（，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE，∴F（2，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．故答案为：1或3．21．解：①如图∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，2），B（2），∴OA＝2，OB＝2，过点Q作QC⊥OB于C．∵OB＝2∴OC＝∴QC＝tan30°＝1∴点Q的坐标是（②过点Q作QC⊥OB于C．∵OB＝2∴∴CQ＝∴OC＝﹣3∴Q的坐标是（﹣3，）③如图连△OQB是等边三角形∵OB＝2∴QC＝3∴Q的坐标是（，3）④过点Q作QC⊥OB于C．∵OB＝∴∴＝∴OC＝3∴Q的坐标是（3，﹣）故答案为（，（﹣3，），（，3）（3，﹣）22．解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．23．解：（1）∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠BAO＝30°，∵A（6，m），∴OB＝6，AB＝m，∴OA＝2OB＝12，AB＝6，∴m＝6，即A（6，6），∵直线y＝kx过点A（6，6），∴6k＝6，∴k＝；（2）如图1，∵AB∥y轴，∴∠COD＝∠BAO＝30°，∵CD⊥OA，∴∠CDO＝90°，∵OC＝AB＝6，∴CD＝OC＝3，OD＝CD＝9，当点P运动到点D时，OP＝OD＝9，∴t＝；（3）如图2，连接PQ，过点P作PF⊥AB于F，由题意得：OP＝2t，AQ＝t，Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝6，∴AD＝3，∴PD＝OA﹣AD﹣OP＝12﹣2t﹣3＝9﹣2t，∵E是DQ的中点，PE⊥DQ，∴PQ＝PD＝9﹣2t，Rt△APF中，∠BAO＝30°，∴PF＝AP＝＝6﹣t，∵AQ＝t，BF＝t，∴FQ＝AB﹣AQ﹣BF＝6﹣t﹣t＝6﹣2t，Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2＝FQ2+PF2，∴（9﹣2t）2＝（6﹣2t）2+（6﹣t）2，解得：t1＝3（如图3，此时F与Q重合），t2＝，如图4，过点P作PM⊥x轴于点M，Rt△OPM中，∠POM＝30°，∴OM＝OP＝t，PM＝t；∴P（3，3）或（，）．24．解：（1）将点B（0，4）代入直线l的解析式得：b＝4，∴直线l的解析式为：y＝x+4，令y＝0得：x＝3，∴A（3，0）．（2）存在．∵Q在第一象限的角平分线上，设Q（x，x），根据勾股定理：QB2+BA2＝QA2，x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，解得x＝16，故Q（16，16）．（3）能使△ABC为轴对称图形，则得：△ABC为等腰三角形，当AB＝BC时，C（0，9）或（0，﹣1），此时C点运动1秒或11秒，当AB＝AC时，C（0，﹣4），此时C点运动14秒，当AC＝BC时，C（0，），此时C点运动秒．综上所述：当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．25．解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴CB＝OA＝10，AB＝OC＝6，∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，∴CB′＝CB＝10，B′M＝BM，在Rt△OCB′中，OC＝6，CB′＝10，∴OB′＝8，∴B′点的坐标为（8，0）；（2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6﹣t，而AB′＝OA﹣OB′＝2，在Rt△AB′M中，B′M2＝B′A2+AM2，即（6﹣t）2＝22+t2，解得t＝，∴M点的坐标为（10，），设直线CM的解析式为y＝kx+b，把C（0，6）和M（10，）代入得，，解得，∴直线CM的解析式为y＝﹣x+6；（3）存在，理由：设点P的坐标为（x，0），则△B′CP的面积＝PB′×OC＝|x﹣8|×6＝13，解得x＝或，故点P的坐标为（，0）或（，0）．26．解：（1）不论k取何值，当x＝0时，y＝2，则函数一定经过顶点（0，2）；（2）当直线经过点A时，把点（1，0）代入y＝kx+2得：k+2＝0，解得：k＝﹣2；当直线经过点C（3，1）时，代入y＝kx+2得：3k+2＝1，解得：k＝﹣，则k的取值范围是：﹣2≤k≤﹣；（3）CD＝3﹣1＝2，当直线经过点B时，把B的坐标（3，0），代入y＝kx+2得：3k+2＝0，解得：k＝﹣，当﹣2≤k≤﹣时，E在AB上，则S△CDE＝×2×1＝1；当﹣＜k≤﹣时，E在BC上，在y＝kx+2中，令x＝3，则y＝3k+2，则CE＝1﹣（3k+2）＝﹣3k﹣1则S△CDE＝×2×（﹣3k﹣1）＝﹣3k﹣1．即S＝﹣3k﹣1．27．解：【基础模型】：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵CA＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵CA＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）；。
【九年级】2021中考数学压轴题函数之一次函数和反比例函数综合问题专题试题
【九年级】2021中考数学压轴题函数之一次函数和反比例函数综合问题专题试题中考有三种类型的问题：选择、填补空白和解决问题。
主要包括求交函数和求逆函数、求交函数和求逆函数的综合内容。
一.函数图象的分析：原始模拟预测问题1如果已知，函数和的图像约为[]a.b.c.d.[答：]B。
【考点】一次函数和反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，不等式的性质，排它法的应用。
[分析]∵ 双曲线图像位于第一象限和第三象限。
因此，C。
又∵函数的，直线与轴线的交点在轴线下方。
因此，D。
又∵，∴，即ob<oa。
故排除a。
所以选择B。
原创模拟预测题2.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至20℃，饮水机关机。
饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。
若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在下午第一节下课时（14：30）能喝到健康卫生和水温适中的水（水沸腾后水温在20℃和50℃之间，含20℃和50℃），则接通电源的时间最晚是当天下午的之间。
[答：]13:50~14:14。
【考点】一次函数和反比例函数的图象分析，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。
II主函数与反比例函数的交集：原创模拟预测题3如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【】a、 0＜x＜2B。
X＞2C。
X＞2或-2＜X＜0d。
X＜2或0＜X＜2【答案】d。
原模拟预测问题4在同一直角坐标系下，直线y=x+2与双曲线的交点数为【】a．0个b．1个c．2个d．不能确定[答：]B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程。
原始模拟预测问题5已知主函数Y1=x+m的图像和反比例函数的图像在两点a和B相交。
已知当x>1时，Y1>Y2；当0＜x＜1时，Y1＜Y2（1）求一次函数的解析式；（2）假设双曲线在第一象限有一个点，从C轴到y轴的距离为3，求出△ 基础知识【答案】（1）y1=x+5（2）21[分析]解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，a点的横坐标是1，代入反比例函数解析式，=y，解是y=6，∴点a的坐标为（1，6），∵ a点位于主功能图上，∴1+m=6，解是m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5；那么点D的纵坐标是2，∴x+5=2，X=？3.∴点d的坐标为（?3，2），∴cd=3？（?3）=3+3=6，点a到cd的距离为6?2=4，测试点：反比例函数和主函数的交点点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点a的横坐标是解题的关键．三、主函数和反比例函数的综合应用：原创模拟预测题6.如图，直线与双曲线交于e、f两点，与轴、轴分别交于a、b两点，点c，连结ca、cb、ce、cf，若，则=。
最新九年级中考数学压轴题总复习练习：一次函数和反比例函数 综合题(含答案)
四川省渠县崇德实验学校2021模拟年中考数学压轴题总复习练习：一次函数和反比例函数 综合题1．如图：一次函数334y x =-+的图象与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是函数33(04)4y x x =-+<<图象上任意一点，过点P 作PM y ⊥轴于点M ，连接OP ．（1）当AP 为何值时，OPM ∆的面积最大？并求出最大值； （2）当BOP ∆为等腰三角形时，试确定点P 的坐标．2．我们不妨约定：在直角ABC ∆中，如果较长的直角边的长度为较短直角边长度的两倍，则称直角ABC ∆为黄金三角形（1）已知：点(0,0)O ，点(2,0)A ，下列y 轴正半轴上的点能与点O ，点A 构成黄金三角形的有；填序号①(0,1)；①(0,2)；①(0,3)，①(0,4)；（2）已知点(5,0)P ，判断直线26y x =-在第一象限是否存在点Q ，使得OPQ ∆是黄金三角形，若存在求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由； （3）已知：反比例函数my x=与直线1y x m =-++交于M ，N 两点，若在x 轴上有且只有一个点C ，使得90MCN ∠=︒，求m 的值，并判断此时MNC ∆是否为黄金三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt AOB ∆的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA 、OB 的长满足2|8|(6)0OA OB -+-=，ABO ∠的平分线交x 轴于点C 过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求线段AB 的长；（2）求直线CE 的解析式；（3）若M 是射线BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(0,1)B -，以AB 为边画平行四边形ABCD ． （1）如图，若四边形ABCD 为正方形，画出图形，并写出C ，D 的坐标； （2）若C ，D 落在双曲线4y x=上，求C ，D 的坐标； （3）若AB BC ⊥且2BC AB =，直接写出CD 所在直线的解析式．5．如图①，直线l 表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD 是一块边长为100米的正方形草地，点A ，D 在直线l 上，小明从点A 出发，沿公路l 向西走了若干米后到达点E 处，然后转身沿射线EB 方向走到点F 处，接着又改变方向沿射线FC 方向走到公路l 上的点G 处，最后沿公路l 回到点A 处．设AE x =米（其中0)x >，GA y =米，已知y 与x 之间的函数关系如图①所示，（1）求图①中线段MN 所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A 出发直至最后回到点A 处，所走过的路径（即)EFG ∆是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由．6．平面直角坐标系中，横坐标为2的点A 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，OA AB =． （1）求k 的值；（2）在x 轴的负半轴上找点P ，将点A 绕点P 顺时针旋转90︒，其对应点A 落在此反比例函数第三象限的图象上，求点P 的坐标； （3）直线1(0)2y x n n =+<与AB 的延长线交于点C ，与反比例函数图象交于点E ，若点E 到直线AB 的距离等于AC ，求n 的值．7．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知6OA =，10OB =．点D 为y 轴上一点，其坐标为(0,2)，点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC CB -的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒． （1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式； （2）①求OPD ∆的面积S 关于t 的函数解析式；[来源:学科网]①如图2，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B '恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由8．如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，2AD AB =，直线AB 的解析式为24y x =-+，双曲线(0)ky x x=>经过点D ，与BC 边相交于点E ． （1）填空：k =；（2）连接AE 、DE ，试求ADE ∆的面积；（3）在x 轴上有两点P 、Q ，其中点P 可以使PC PD +的值最小，而点Q 可以使||QC QD -的值最大，请直接写出P 、Q 两点的坐标以及线段PQ 的长．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为(12,0)、(12,6)，直线32y x b =-+与y 轴交于点P ，与边OA 交于点D ，与边BC 交于点E ．（1）若直线32y x b =-+平分矩形OABC 的面积，求b 的值；（2）在（1）的条件下，当直线32y x b =-+绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点N 、M ，问：是否存在ON 平分CNM ∠的情况？若存在，求线段DM 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将矩形OABC 沿DE 折叠，若点O 落在边BC 上，求出该点坐标；若不在边BC 上，求将（1）中的直线沿y 轴怎样平移，使矩形OABC 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边BC 上．10．已知，在平面直角从标系中，A 点坐标为(0,4)，B 点坐标为(2,0)，(,6)C m 为反比例函数y =图象上一点．将AOB ∆绕B 点旋转至①A O B ''处． （1）求m 的值；（2）若O '落在OC 上，连接AA '交OC 与D 点．①求证：四边形ACA O ''为平行四边形；①求CD 的长度；（3）直接写出当AO '最短和最长时A '点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0,10)．点E 的坐标为(20,0)，直线1l 经过点F 和点E ，直线1l 与直线23:4l y x =相交于点P ． （1）求直线1l 的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且6AB =，9AD =，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行．已知矩形ABCD 个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时停止移动），设移动时间为t 秒(0)t >．①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线1l 或2l 上，请直接写出此时t 的值；①若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线1l 于点N ，交直线2l 于点M ．当PMN ∆的面积等于18时，请直接写出此时t 的值．12．如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x=>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ． （1）若5OA =，求反比例函数解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且AOF ∆的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标； （3）在（2）中的条件下，过点F 作//EF OB ，交OA 于点E （如图①)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是以OA 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由13．如图1，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AC ，连接BC ，将ABC ∆沿射线BA 平移，当点C 到达x 轴时运动停止．设平移距离为m ，平移后的图形在x 轴下方部分的面积为S ，S 关于m 的函数图象如图2所示（其中0m a <，a m b <时，函数的解析式不同）． （1）填空：ABC ∆的面积为； （2）求直线AB 的解析式；（3）求S 关于m 的解析式，并写出m 的取值范围．14．如图，点P 在曲线(0)ky x x=<上，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴正半轴上，PA PB =，OA 、OB 的长是方程28120t t -+=的两个实数根，且OA OB >，点C 是线段PB 延长线上的一个动点，ABC ∆的外接圆M 与y 轴的另一个交点是D ．（1）填空：OA =；OB =；k =；（2）设点Q 是M 上一动点，若圆心M 在y 轴上且点P 、Q 之间的距离达到最大值，则点Q 的坐标是； （3）试问：在点C 运动的过程中，BD BC -的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．15．如图1，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，顶点A 在第二象限，B ，C 两点在x 轴的负半轴上（点C 在点B 的右侧），2BC =，ACD ∆与ABC ∆关于AC 所在的直线对称． （1）当2OC =时，求点D 的坐标；（2）若点A 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求OC 的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD 向左平移，记平移后的四边形为1111A B C D ，过点1D 的反比例函数(0)ky k x=≠的图象与BA 的延长线交于点P ，问：在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点P ，1A ，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k 的值；若不存在，请说明理由．16．如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6,8)，直线CD 交AB 于点(6,3)D ，交x 轴于点(12,0)C ． （1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点(10,0)-出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t ．①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA B ∠=∠，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；①请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ AP =，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，PBQ ∆的面积为(0)S S ≠，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为25-，连接PE 、BE 、AQ ，AQ 与BE 交于点F ，APE CBE ∠=∠，连接PF ，PF 的延长线与y 轴的负半轴交于点M ，连接QM 、MR ，若24tan 23QMR ∠=，求直线PM 的解析式．[来源:学,科,网]18．如图，APB ∠与y 轴正半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，已知O 为坐标原点，(1,1)P --，且45PAO PBO ∠+∠=︒．（1）求APB ∠的度数；（2）判断OA OB 是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由； （3）射线PA 、PB 分别与反比例函数1y x=的图象交于1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 两点，设(0,)A m ，令1212()(1)T x x y y =---，当4m 时，求T 的取值范围．19．【定义】如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A '，连接A B '交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”．【运用】如图2，在平面直坐标系xOy 中，已知A ，(2,B -两点．（1）C ，D ，1(4,)2E 三点中，点C 是点A ，B 关于直线4x =的等角点； （2）若直线l 垂直于x 轴，点(,)P m n 是点A ，B 关于直线l 的等角点，其中2m >，APB α∠=，求证：tan22nα=； （3）若点P 是点A ，B 关于直线(0)y ax b a =+≠的等角点，且点P 位于直线AB 的右下方，当60APB ∠=︒时，求b 的取值范围（直接写出结果）．参考答案1、【解答】解：（1）令点P 的坐标为0(P x ，0)y PM y ⊥轴001122OPM S OM PM x y ∆∴==将00334y x =-+代入得2001333(3)(2)2482OPM S x x x ∆=-+=--+∴当02x =时，OPM ∆的面积，有最大值32max S =，即：2PM =， //PM OB ∴，∴AP PMAB OB=即AB PMAP OB=直线AB 分别交两坐标轴于点A 、B ， (0,3)A ∴，(4,0)B ， 3OA ∴=，4OB =， 5AB ∴=， 52AP ∴=；[来源:] （2）①在BOP ∆中，当BO BP =时 4BP BO ==，1AP = //PM OB ，∴AP PMAB OB=∴45MP =， 将45MP =代入代入334y x =-+中，得125OM =4(5P ∴，12)5；①在BOP ∆中，当OP BP =时，如图， 过点P 作PN OB ⊥于点N OP BP =， 122ON OB ∴==将2ON =代入334y x =-+中得，32NP =∴点P 的坐标为3(2,)2P ， 即：点P 的坐标为4(5，12)5或3(2,)2．2、【解答】解：（1）设y 轴正半轴上点为B ，90BOA ∴∠=︒，AOB ∆为黄金三角形，2OA =，24OB OA ∴==或112OB OA ==，即点(0,4)或(0,1) 故答案为：①①．（2）假设存在．设(,26)Q m m -，OPQ ∆是直角三角形，当OQP ∠是直角三角形时，222OQ PQ OP +=，22222(26)(5)(26)5m m m m ∴+-+-+-=， 解得：95m =和4， 点Q 在第一象限，4m ∴=，(4,2)Q ∴，2OQ =，PQ =，2OQ PQ ∴=， OPQ ∴∆是黄金三角形，当90OPQ ∠=︒时，(5,4)Q ，此时OPQ ∆不满足黄金三角形的定义．∴满足条件点Q 坐标为(4,2)．（3）由题意当0m <时，M ，N 分别在二，四象限，以MN 为直径的圆与x 轴有两个交点，所以存在两个点C ，使得90MCN ∠=︒，不符合题意，故0m >．如图，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为K ，当点K 到x 轴的距离等于12MN 时，满足条件． 由1m y x y x m ⎧=⎪⎨⎪=-++⎩，消去y 得到：2(1)0x m x m -++=， 121x x m ∴+=+，12x x m =，121y y m +=+．12y y m =，MN ∴===1(2m K +，1)2m +，∴12m += 整理得：2610m m -+=，3m ∴=±，如图，作MH x ⊥轴于H ．直线MN 的解析式为1y x m =-++，45HMN ∴∠=︒，//CK MH ，CMH MCK ∴∠=∠，KM KC =，MCK CMK ∴∠=∠，22.5CMH CMN ∴∠=∠=︒，1tan 22.52CN CM ∴︒=≠， MCN ∴∆不是黄金三角形．3、【解答】解：（1）2|8|(6)0OA OB -+-=，8OA ∴=，6OB =，在直角AOB ∆中，10AB ==；（2）BC 平分ABO ∠，CD AB ⊥，AO BO ⊥，OC CD ∴=，设OC x =，则8AC x =-，CD x =．ACD ∆和ABO ∆中，CAD BAO ∠=∠，90ADC AOB ∠=∠=︒，ACD ∴∆相似于ABO ∆， ∴AC CD AB OB =，即8106x x -=， 解得：3x =．即3OC =，则C 的坐标是(3,0)-．设AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得680b k b =⎧⎨-+=⎩解得：634b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线AB 的解析式是364y x =+， 设CD 的解析式是43y x m =-+，则40m +=，则4m =-． 则直线CE 的解析式是443y x =--； （3）①当AB 为矩形的边时，如图所示矩形11AM PB ，易知BC 的直线方程为26y x =+， 设1(,26)M m m +，1(,)P x y ，因为(8,0)A -，(0,6)B ，则2221(8)(26)AM m m =+++，2540100m m =++，22221(266)5BM m m m =++-=，10AB =，根据22211AB AM BM +=得221005401005m m m +++=，5m =-， 1(5,4)M ∴--，根据平移规律可以解得1(3,2)P①当AB 为矩形的对角线时，此时有22222AB AM BM =+，即221005401005m m m =+++，4m =-或0m =（舍去），2(4,2)M ∴--，根据平移规律可以解得2(4,8)P -综上可得，满足条件的P 点的坐标为1(3,2)P 或2(4,8)P -．[来源:学。
四川省渠县崇德实验学校2020-2021学年第一学期九年级数学期末复习测试题(六)
四川省渠县崇德实验学校2020-2021学年第一学期九年级数学期末复习测试题（六）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．（3分）若反比例函数y =k x 图象经过点（5，﹣1），该函数图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 2．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 的长为（ ）A ．1.25米B ．5米C ．6米D ．4米4．（3分）若将抛物线y ＝5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝5（x ﹣2）2+1B ．y ＝5（x +2）2+1C ．y ＝5（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝5（x +2）2﹣15．（3分）布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．236．（3分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO ＝30°，则∠BOC 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°7．（3分）如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC ＝8，OB ＝5，则OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（3分）如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA ＝2，∠P ＝60°，则AB ̂的长为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．53π9．（3分）若m 是方程x 2+x ﹣1＝0的根，则2m 2+2m +2018的值为（ ）A ．2022B ．2020C ．2018D ．201610．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝ax 2﹣bx 的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．11．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点(12，0)，有下列结论：其中正确的结论是（）①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③2a+b＝0；④3b+2c＞0．A．①③B．①④C．①②D．②④12．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论，其中正确结论的个数是（）①△BDE∽△DPE；②FPFH =2√33；③DP2＝PH•PB；④tan∠DBE=2−√3．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共4小题，共12分）13．（3分）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有个红球．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝．15．（3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为．16．（3分）如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线y=kx（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD ＝45°，则k＝．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（6分）解方程：（1）（3x+2）2＝25；（2）x2﹣7x+10＝0．19．（6分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D=45，求AF的长．21．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=12AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．23．（15分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=−2√33x2−4√33x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点（5，﹣1），∴k＝5×（﹣1）＝﹣5＜0，∴该函数图象在第二、四象限．故选：D．2．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是圆的几何体是球．故选：B．3．【解答】解：如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知ABOC=AMOA+AM，即1.68=AM20+AM，解得AM＝5m．则小明的影子AM的长为5米．故选：B．4．【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．5．【解答】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选：C．6．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°．故选：D．7．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB＝5，∴AC＝2OB＝10，∴CD＝AB=√AC2−BC2=√102−82=6，∵M是AD的中点，∴OM=12CD＝3．故选：C．8．【解答】解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB ＝120°，∵OA ＝2，∴AB̂的长l =120π×2180=43π， 故选：C ．9．【解答】解：∵m 是方程x 2+x ﹣1＝0的根，∴m 2+m ﹣1＝0，即m 2+m ＝1，∴2m 2+2m +2018＝2（m 2+m ）+2018＝2×1+2018＝2020．故选：B ．10．【解答】解：A 、对于直线y ＝ax +b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2﹣bx 来说，对称轴x =b 2a ＞0，应在y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；B 、对于直线y ＝ax +b 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2﹣bx 来说，对称轴x =b 2a ＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；C 、对于直线y ＝ax +b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴x =b 2a ＞0，应在y 轴的右侧，故符合题意；D 、对于直线y ＝ax +b 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2﹣bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误；故选：C ．11．【解答】解：由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（−52，0），①由图象可得，开口向下，则a＜0，对称轴x=−b2a=−1，∴b＝2a＜0，抛物线与y轴的交点c＞0，∴abc＞0；②∵抛物线与x轴的交点为(12，0)，（−52，0），∴ca=−54，∴c=−54a，∴a﹣2b+4c＝a﹣4a﹣5a＝﹣8a＞0；③2a+b＝2a+2a＝4a＜0；④3b+2c＝6a−52a=72a＜0；∴①②正确；故选：C．12．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，∴∠PDE＝15°，∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，∴∠EBD＝∠EDP，∵∠DEP＝∠DEB，∴△BDE∽△DPE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，∴PFPH=√33，∴PFFH=√33+√3=√3−12，故②错误；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∵∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴PDCD=PHPD，∴PD2＝PH•CD，∵PB＝CD，∴PD2＝PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∴∠PCD＝30°∴CM＝PN＝PB•sin60°＝4×√32=2√3，PM＝PC•sin30°＝2，∵DE∥PM，∴∠EDP＝∠DPM，∴∠DBE＝∠DPM，∴tan∠DBE＝tan∠DPM=DMPM=4−2√32=2−√3，故④正确；故选：B．二、填空题（共4小题，共12分）13．【解答】解：设袋中有x个红球．由题意可得：x30=20%，解得：x＝6，故答案为：6．14．【解答】解：∵A （1.5，0），D （4.5，0），∴OA OD =1.54.5=13， ∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB DE =OA OD =13 ∴AB =13DE =13×7.5＝2.5． 故答案为2.5．15．【解答】解：连接BD ，∵BD 2＝12+12＝2，AB 2＝12+32＝10，AD 2＝22+22＝8，2+8＝10，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°，∴cos A =AD AB =√8√10=4√510=2√55． 故答案为：2√55．16．【解答】解：点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°＝∠COD ，∠ODA ＝∠ODA ，∴△ODA ∽△CDO ，∴OD 2＝CD •DA ，设点E （m ，n ），则点D （4﹣n ，n ），点C （m ，4﹣m ），则OD 2＝（4﹣n ）2+n 2＝2n 2﹣8n +16，CD =√2（m +n ﹣4），DA =√2n ，即2n2﹣8n+16=√2（m+n﹣4）×√2n，解得：mn＝8＝k，故答案为8．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．【解答】解：原式＝4×√32−3×√3+2×√22×√22=1−√3．18．【解答】解：（1）（3x+2）2＝253x+2＝5或3x+2＝﹣5x1＝1，x2=−7 3．（2）x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0x﹣2＝0或x﹣5＝0x1＝2，x2＝5．19．【解答】解：（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD=ABtanα=3=10√3（米）；（2）在Rt△BCE中，CE＝AD＝10√3米，BE＝CE•tanβ＝10√3×√33=10（米），则CD＝AE＝AB﹣BE＝30﹣10＝20（米）答：乙建筑物的高度DC为20m．20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D=4 5，∴AE＝4，∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=√AE2+AB2=√42+82=4√5，∵BC＝AD＝5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴AFBC=ABBE，即AF5=45，解得：AF＝2√5．21．【解答】解：（1）由题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52，（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．22．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB ＝∠CBO ，∴BC ＝OC ．∴BC =12AB ．（3）解：连接MA ，MB ，∵点M 是 AB ̂的中点，∴AM ̂=BM ̂，∴∠ACM ＝∠BCM ．∵∠ACM ＝∠ABM ，∴∠BCM ＝∠ABM ．∵∠BMN ＝∠BMC ，∴△MBN ∽△MCB ．∴BM MC =MN BM ．∴BM 2＝MN •MC ．又∵AB 是⊙O 的直径，AM ̂=BM ̂，∴∠AMB ＝90°，AM ＝BM ．∵AB ＝8，∴BM ＝4 √2．∴MN •MC ＝BM 2＝32．23．【解答】解：（1）∵抛物线y =−2√33x 2−4√33x +2√3，∴其梦想直线的解析式为y =−2√33x +2√33， 联立梦想直线与抛物线解析式可得{y =−2√33x +2√33y =−2√33x 2−4√33x +2√3，解得{x =−2y =2√3或{x =1y =0， ∴A （﹣2，2√3），B （1，0），故答案为：y =−2√33x +2√33；（﹣2，2√3）；（1，0）； （2）当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y =−2√33x 2−4√33x +2√3中，令y ＝0可求得x ＝﹣3或x ＝1，∴C （﹣3，0），且A （﹣2，2√3），∴AC=√(−2+3)2+(2√3)2=√13，由翻折的性质可知AN＝AC=√13，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=√AN2−AD2=√13−4=3，∵OD＝2√3，∴ON＝2√3−3或ON＝2√3+3，当ON＝2√3+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，∴N点坐标为（0，2√3−3）；当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2√3，∴tan∠DAM=MDAD=√3，∴∠DAM＝60°，∵AD∥x轴，∴∠AMC＝∠DAO＝60°，又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，∴MP =12MN =32，NP =√32MN =3√32， ∴此时N 点坐标为（32，3√32）； 综上可知N 点坐标为（0，2√3−3）或（32，3√32）； （3）①当AC 为平行四边形的边时，如图3，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ，在△ACK 和△EFH 中{∠ACK =∠EFH ∠AKC =∠EHF AC =EF∴△ACK ≌△EFH （AAS ），∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝2√3，∵抛物线对称轴为x ＝﹣1，∴F 点的横坐标为0或﹣2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F （0，2√33），此时点E 在直线AB 下方，∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2√3−2√33=4√33，即E点纵坐标为−4√33，∴E（﹣1，−4√3 3）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2√3），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，√3），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2√3，∴x＝﹣4，y＝2√3−t，代入直线AB解析式可得2√3−t=−2√33×（﹣4）+2√33，解得t=−4√33，∴E（﹣1，−4√33），F（﹣4，10√33）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，−4√33）、F（0，2√33）或E（﹣1，−4√33）、F（﹣4，10√33）．。
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四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点A--，(1,3)B两点在一次函数y kx bC，交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，//AB OC，-．∠=︒，BC=C的坐标为(18,0)BCO∠=︒，45AOC90（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且4∠=︒，求直OFEOE=，45线DE的解析式；（3）求点D的坐标．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线:=交OC y x于C．（1）如图1若直线AB的解析式：212=-+y x①求点C的坐标；②求OAC∆的面积；（2）如图2，作AOC⊥，垂足为E，且4OA=，P、Q分别为∠的平分线ON，若AB ON线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，是探索AQ PQ+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图直线:6-，点A =+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0) l y kx的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，PAC∆的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得BCM∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆中，若AP APB∆的面积是③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有．11、如图1，直线3y x=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且30CAO∠=︒．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．12、如图1，已知直线22y x=+与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC∆（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD AC=，求证：BE DE=．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，5(2P-，)k是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使BPN∆面积等于BCM∆面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13、如图1，直线y ＝x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以A 为顶点，以AB 为腰在第二象限内作等腰直角△ABC ． （1）求点C 的坐标；（2）如图2，若M 为x 轴上的一个动点，N 为直线AB 上的一个动点，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M 点、N 点坐标；（3）如图3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿y 轴负方向向下运动时，以P 为顶点，以AP 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求证：OP ﹣DE 为定值．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x 2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ．（1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝OB ，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为y ＝x ，过点C 作CM ⊥y 轴，垂足为M ，OM ＝9．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC ＝OM ，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．参考答案四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点B两点在一次函数y kx bA--，(1,3)C，交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．【解答】解：（1）将(2,1)A --、(1,3)B 代入y kx b =+，得：213k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得4353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以4533y x =+， 当0x =时53y =，则5(0,)3D ； 当0y =时，45033x +=，解得54x =-，则5(4C -，0)； （2）AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1||(||||)2C A B x y y =+ 15(13)24=⨯⨯+ 52=． 2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，//AB OC ，90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-．（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且4OE =，45OFE ∠=︒，求直线DE 的解析式；（3）求点D 的坐标．【解答】解：（1）过B 作BG x ⊥轴，交x 轴于点G ，在Rt BCG ∆中，45BCO ∠=︒，BC =12BG CG ∴==，(18,0)C -，即18OC =，18126OG OC CG ∴=-=-=，则(6,12)B =-；（2）90EOF ∠=︒，45OFE ∠=︒，OEF ∴∆为等腰直角三角形，4OE OF ∴==，即(0,4)E ，(4,0)F ，设直线DE 解析式为y kx b =+，把E 与F 坐标代入得：440b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：1k =-，4b =，∴直线DE 解析式为4y x =-+；（3）设直线OB 解析式为y mx =，把(6,12)B -代入得：2m =-，∴直线OB 解析式为2y x =-，联立得：42y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得：48x y =-⎧⎨=⎩， 则(4,8)D -．3、在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线:OC y x =交于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+①求点C 的坐标；②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB 、OC 的函数表达式得：212y x y x =⎧⎨=-+⎩，44x y =⎧⎨=⎩， 点(4,4)C ；②直线AB 的解析式：212y x =-+令0y =，则6x =，即6OA =，11641222OAC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯⨯=； （2）ON 是AOC ∠的平分线，且AB ON ⊥，则点A 关于ON 的对称点为点C ，4AO OC ==，当C 、Q 、P 在同一直线上，且垂直于x 轴时，AQ PQ +有最小值CP ， 设：CP OP x ==，则222416x ==，解得：x CP =．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ．（1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得，22x y =⎧⎨=⎩， ∴点B 的坐标为(2,2)，将0y =代入112y x =+，得2x =-，即点C 的坐标为(2,0)-， 将0x =代入4y x =-+，得4y =，即点A 的坐标为(0,4)，设过点A 和点C 的直线的解析式为y kx b =+，204k b b -+=⎧⎨=⎩，得24k b =⎧⎨=⎩， 即直线AC 的解析式为24y x =+；（2）将0y =代入4y x =-+得，4x =，即点D 的坐标为(4,0)， A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,2)，点C 的坐标为(2,0)-，点D 的坐标为(4,0)， 6462622ABC ACD CBD S S S ∆∆∆⨯⨯∴=-=-=， 即ABC ∆的面积的是6．5、如图，已知直线334y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△0A B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为(4,0)；点B的坐标为；（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；（3）直线BC上是否存在一点M，使得ABM∆的面积与ABO∆的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0y=，则4x=；令0x=，则3y=，故点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)．故答案为(4,0)，(0,3)；（2）设OC x=，直线CD垂直平分线段AB，4AC CB x∴==-，90BOA ∠=︒，222OB OC CB ∴+=，2223(4)x x +=-， 解得78x =， 78OC ∴=， 7(8C ∴，0)，设直线BC 的解析式为y kx b =+， 则有3708b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得2473k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为2437y x =-+．（3）过点O 作//OM AB 交直线BC 于M ．//OM AB ，AOB ABM S S ∆∆∴=，直线AB 的解析式为334y x =-+，//OM AB ， ∴直线OM 的解析式为34y x =-， 由342437y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得28252125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 28(25M ∴，21)25-， 根据对称性可知，经过点(0,6)O '与直线AB 平行的直线与直线BC 的交点M '，也满足条件，易知BM BM '=，设(,)M m n '，则有282502m +=，212532n -=， 2825m ∴=-，17125n =， 28(25M ∴'-，171)25， 综上所述，满足条件的点M 坐标为28(25，21)25-或28(25-，171)25．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【解答】解：（1）把(,3)C m 代入一次函数152y x =-+，可得 1352m =-+， 解得4m =，(4,3)C ∴，设2l 的解析式为y ax =，则34a =， 解得34a =， 2l ∴的解析式为34y x =； （2）如图，过C 作CD AO ⊥于D ，CE BO ⊥于E ，则3CD =，4CE =，152y x =-+，令0x =，则5y =；令0y =，则10x =， (10,0)A ∴，(0,5)B ，10AO ∴=，5BO =，11103541510522AOC BOC S S ∆∆∴-=⨯⨯-⨯⨯=-=；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴当3l 经过点(4,3)C 时，12k =； 当2l ，3l 平行时，34k =； 当1l ，3l 平行时，12k =-； 故k 的值为12或34或12-．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线1y k x =+y 轴B 点，(0B ∴，，OB ∴=，36OA ==，(6,0)A ∴，把(6,0)A 代入1y k x =+1k =，∴直线1l 的解析式为y =+（2）如图1中，作CM OA ⊥于M ，DN CA ⊥于N ．90CME DNE ∠=∠=︒，MEC NED ∠=∠，EC DE =，()CME DNE AAS ∴∆≅∆，CM DN ∴=(1,3)C -，CM DN ∴=当y =x =+ 解得3x =，D ∴，把(1,C，D 代入2y k x b =+，得到223k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴直线CD的解析式为y -(0,F ∴-，132BFD S ∆∴=⨯=（3）①如图③1-中，当PC PD =，90CPD ∠=︒时，作DM OB ⊥于M ，CN y ⊥轴于N ．设(0,)P m ．90DMP CNP CPD ∠=∠=∠=︒，90CPN PCN ∴∠+∠=︒，90CPN DPM ∠+∠=︒，PCN DPM ∴∠=∠，PD PC =，()DMP NPC AAS ∴∆≅∆，1CN PM ∴==，PN DM m ==(D m ∴+1)m +，把D点坐标代入y=+1+=++m m解得6m=，P∴，6)．(0②如图③2-中，当PC PCP n．⊥于M，CN OA⊥于N．设(,0)CPD=，90∠=时，作DM OA同法可证：DMP PNC∆≅∆，∴==，1PM CN==-，DM PN n∴1)D n(n-，把D点坐标代入y=+1-=+n n解得n=∴0)．P综上所述，满足条件的点P坐标为(0，6)或0)8、如图直线:6=+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0)-，点A l y kx的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P 是直线l 在第二象限内一个动点，当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积为3，求出此时直线AP 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线:6l y kx =+过点(8,0)B -，086k ∴=-+，34k ∴=． （2）当0x =时，3664y x =+=， ∴点C 的坐标为(0,6)．依照题意画出图形，如图1所示，设点P 的坐标为3(,6)4x x +， PAC BOC BAP AOC S S S S ∆∆∆∆∴=--，1131862(6)662242x =⨯⨯-⨯+-⨯⨯， 334x =-=， 4x ∴=-，∴点P 的坐标为(4,3)-．设此时直线AP 的解析式为(0)y ax b a =+≠，将(6,0)A -，(4,3)P -代入y ax b =+，得：6043a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：329a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴当点P 的坐标为(4,3)-时，PAC ∆的面积为3，此时直线AP 的解析式为392y x =+． （3）在Rt BOC ∆中，8OB =，6OC =，10BC ∴==．分三种情况考虑（如图2所示）:①当CB CM =时，18OM OB ==，∴点1M 的坐标为(8,0)；②当BC BM =时，2310BM BM BC ===，点B 的坐标为(8,0)-，∴点2M 的坐标为(2,0)，点3M 的坐标为(18,0)-；③当MB MC =时，设OM t =，则448M B M C t ==-，22244CM OM OC ∴=+，即222(8)6t t -=+， 解得：74t =， ∴点4M 的坐标为7(4-，0)．综上所述：在x 轴上存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形，点M 的坐标为(18,0)-，7(4-，0)，(2,0)或(8,0)．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．【解答】（1）证明：证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，∴∠PDQ＝90°，∵以PQ为直径的圆过定点D，∵∠MAD+∠ADM＝∠ADM+∠QDM＝90°，∴∠MAD＝∠QDM，∵∠AMD＝∠DMQ＝90°，∴△DMQ∽△AMD，∴，即DM2＝AM•MQ，设D（m，m﹣4），∴m2＝（m﹣4+4）（6﹣m+4），m2＝m（10﹣m），5m2﹣20m＝0，m1＝0（舍），m2＝4，∴定点D（4，﹣2）；证法二：如图2，连接BQ，直线y＝x﹣4，当y＝0时，x﹣4＝0，∴x＝8，∴OB＝8，当x＝0时，y＝﹣4，∴OA＝4，∵Q（0，6），∴AQ＝6+4＝10，BQ＝＝10，∴AQ＝BQ，取AB的中点D，连接DQ，则QD⊥AB，∴以PQ为直径的圆过定点D，∵A（0，﹣4），B（8，0），∴定点D（4，﹣2）；（2）解：∵△AQD旋转得到△A'QD'，∴∠A'QD'＝∠AQD，由图1知：tan∠AQD＝＝＝，∴tan∠A'QD'＝tan∠AQD＝，∴＝，过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，∵EF⊥FQ，∴∠EFG+∠QFH＝∠EFQ＝90°，∵∠EFG+∠FEG＝90°，∴∠QFH＝∠FEG，∵∠EGF＝∠FHQ＝90°，∴△EGF∽△FHQ，∴，设EG＝n，则，∴FH＝2n，∴F（﹣2n，﹣n），∴F在直线y＝x上，∴AF的最小值即是A到直线y＝x的距离，如图4，过F作FM⊥y轴于M，∵F（﹣2n，﹣n），∴OF＝n，∴tan∠MOF＝，∵∠MOF+∠AOF＝∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠MOF＝∠OAF，∴tan∠OAF＝，∴sin∠OAF＝＝，∴，OF＝，∴AF＝2OF＝．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆中，若AP APB∆的面积是③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有③④．【解答】解：①如图1，过B作BC OA⊥于C，点(0,3)B，A、点(4,1)312∴=-=，4BC=，AC在Rt ABC∆中，由勾股定理得：AB=，故①结论不正确；②如图2，在Rt APO ∆中，3AO =，AP =2OP ∴=， 过B 作BD x ⊥轴于D ，1BD ∴=，422PD =-=，APB AOP PDB AODB S S S S ∆∆∆∴=--梯形，111()222OD BD AO AO OP PD BD =⨯⨯+--， 1114(13)3221222=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯， 831=--，4=，故②结论不正确； ③如图3，)i 以A 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点1P ，得△1APB 是等腰三角形；)ii 作AB 的中垂线，交x 轴的正半轴有一交点2P ，得△2AP B 是等腰三角形；)iii 以B 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点3P ，得△3AP B 是等腰三角形； 综上所述，使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个； 故③结论正确；④如图4，过B 作BD x ⊥轴于D ， (,0)P x ，OP x ∴=，4PD x =-，由勾股定理得：AP =，PB 作A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于P ，则PA PA '=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，此时AP PB +的值最小， 过B 作BC OA ⊥于C ， 则3324A C '=+-=，4BC =，由勾股定理得：A B '=AP PB ∴+的最小值是即设点P 的坐标为(,0)x 故④结论正确；综上所述，其中正确的结论有：③④； 故答案为：③④．11、如图1，直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且30y x∠=︒．CAO（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．【解答】解：（1）直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为(3,0)、y x(0,3)，∠=︒，则26==，则OA=AC OCCAO30将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+并解得：直线AC的表达式为：3y=+；（2）如图2所示：①当03t 时，（左侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点M 处，则点(M t -，0)，则点(H t -)，21122AHM S S AM HM t ∆==⨯⨯=⨯，②当333t <时，（右侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点G 处，E 、F 交直线AC 于点R 、S ，AG t =，则3AS t =-，则3)RS t =-，同理HG =，同理可得：132RSHG S S ==⨯⨯+-⎝梯形；故：2(03)33)t S t =⎨<；（3）点M 为线段AC 上一动点，经画图，MQN ∠分别为90︒时，点M 不在线段AC 上， ①90NMQ =︒时，三角形QMN 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点N 作x 轴的平行线交MG 于点R 、交y 轴于点H ，设点M 、N 的坐标分别为(3)m +、(,3)n n -， 90NMR RNM ∠+∠=︒，90MNR GMQ ∠+∠=︒，GMQ RNM ∴∠=∠，90NRM MGO ∠=∠=︒，MR MQ =，()NRM MGO AAS ∴∆≅∆，则MG RN =，GQ RM =，即：3n m -=+，33)1n m --+=-，解得：m =-故点M 的坐标为(-1)； ②当90MNQ ∠=︒时，同理可得：点(M 2)；综上，点M 的坐标为：(-1)或(，2)．12、如图1，已知直线22y x =+与y 轴，x 轴分别交于A ，B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC ∆（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式；（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD AC =，求证：BE DE =．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x 轴于点M ，5(2P -，)k 是线段BC 上一点，在x 轴上是否存在一点N ，使BPN ∆面积等于BCM ∆面积的一半？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，则点A 、B 的坐标分别为：(0,2)、(1,0)-，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，90HCB CBH ∠+∠=︒，90CBH ABO ∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠， 90CHB BOA ∠=∠=︒，BC BA =，()CHB BOA AAS ∴∆≅∆，2BH OA ∴==，CH OB =，则点(3,1)C -，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx b =+得：213b m b =⎧⎨=-+⎩，解得：132m b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线AC 的表达式为：123y x =+；（2）同理可得直线CD 的表达式为：1122y x =--⋯①，则点1(0,)2E -，直线AD 的表达式为：32y x =-+⋯②， 联立①②并解得：1x =，即点(1,1)D -，点B 、E 、D 的坐标分别为(1,0)-、1(0,)2-、(1,1)-，故点E 是BD 的中点，即BE DE =；（3）将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC 的表达式为：1122y x =--，将点P 坐标代入直线BC 的表达式得：34k =， 直线AC 的表达式为：123y x =+，则点(6,0)M -，11551222BMC C S MB y ∆=⨯=⨯⨯=，15132428BPN BCM S S NB k NB ∆∆===⨯=，解得：103NB =， 故点13(3N -，0)或7(3，0)． 13、如图1，直线y ＝x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以A 为顶点，以AB 为腰在第二象限内作等腰直角△ABC ． （1）求点C 的坐标；（2）如图2，若M 为x 轴上的一个动点，N 为直线AB 上的一个动点，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M 点、N 点坐标；（3）如图3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿y 轴负方向向下运动时，以P 为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝3，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣7，3）．（2）如图2中，当点N在x轴上方时，CN∥x轴，此时N（﹣，3），可得M（﹣，0）或M′（，0）．当点N′在x轴下方时，可得N′（﹣，﹣3），此时M（﹣，0）．综上所述，满足条件的点N（﹣，3），M（﹣，0）或N（﹣，3），M（，0）或N（﹣，﹣3），M（﹣，0）．（3）如图3中，过点D作DQ⊥OP于Q点，则OP﹣DE＝PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD ＝∠OAP ， 在△AOP 和△PDQ 中，，∴△AOP ≌△PDQ （AAS ） ∴OP ﹣DE ＝PQ ＝OA ＝3．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x 2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．【解答】解：（1）由题意知：b =∴直线2:l y =+当0y =时，1x =3(1,0)C ∴直线1:l y =+∴当0y =0=， 3x ∴=-(3,0)A ∴-1[1(3)]2ABC S ∆∴=⨯--=（2）在Rt ABO ∆中，22222312AB AO BO =+=+=在Rt BOC ∆中，2222214BC OC OB =+=+= 在ABC ∆中，22212416AB BC AC +=+== ABC ∴∆是直角三角形，AB BC ∴⊥作C 点关于直线AB 的对称点(1C '-，，连接C E '交直线1l 于F ，(1C '-， (5,0)E∴直线:C E y x '=y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩F ∴ 作二、四象限的角平分线3l ，过点P 作3PQ l ⊥于Q ，则2PQ =，PF FP PQ ∴+=+， 当F ，P ，Q 三点共线时最小，即过F 作3PQ l ⊥于Q 交y 轴于P ，作//FG OB 交直线3l 于G ．此时FQG ∆为等腰直角三角形，斜边1FG =+，PF ∴的最小值为：FQ ==+（3）①如图2中，当11B M B N =时，点1C 中直线y =-上运动，设1(C m ，11B O 交x 轴于E ，则1EB ， 2133OE m ==+，1142233MB NB OE m ===+，42()33M m m ∴-++，把点M 坐标代入直线y =421)33m m ++=-+，解得m =．②如图3中当1MN MB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =-解得，85m =．③如图4中，当11B M B N =时，同法可得42()33M m m -+-，把点M 代入y =421)33m m +-=-解得m =．④如图5中，当1NM NB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =- 解得1m =（舍弃），综上所述，1C 或85．15、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴＝．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，∴SR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠F AR＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG＝AF，∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠F AR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴＝，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝＝＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝＝2，。