微积分上海电机学院1-1 集合

合集下载

高等数学一-微积分总结-知识归纳整理

导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。

a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。

2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。

A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。

A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。

记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。

上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明

上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和计算与数学模型相关的问题。

在上海市考研数学复习中，微积分占据了重要的位置。

本文将介绍微积分中的一些重要定理的证明。

一、极限定理1.1 极限的定义对于一个函数f(x)，当x无限接近于某个实数a时，如果f(x)的值无限接近于L，那么我们称L为函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x->a)f(x)=L。

1.2 极限的唯一性定理假设函数f(x)在x=a处的极限存在且为L，如果还有另一个数M也是函数f(x)在x=a处的极限，那么L=M。

证明：假设lim(x->a)f(x)=L，同时lim(x->a)f(x)=M。

根据极限的定义，我们可以得出以下结论：对于任意给定的正数ε1，存在对应的正数δ1，使得当0＜|x-a|＜δ1时，有|f(x)-L|＜ε1。

对于任意给定的正数ε2，存在对应的正数δ2，使得当0＜|x-a|＜δ2时，有|f(x)-M|＜ε2。

选择ε=min(ε1,ε2)，对于这个选定的ε，存在对应的正数δ=min(δ1,δ2)，使得当0＜|x-a|＜δ时，有同时满足|f(x)-L|＜ε和|f(x)-M|＜ε。

根据三角不等式，我们可以得出：|L-M|≤|f(x)-L|+|f(x)-M|＜2ε。

由于2ε>0，而L和M的差是一个常数，根据数学的基本性质，我们可以确定L和M是相等的，即L=M。

二、导数定理2.1 导数的定义对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的邻域内有定义，并且当x 无限接近于a时，函数的增量f(x)-f(a)与x-a之比的极限存在，那么这个极限称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或df(x)/dx(a)。

2.2 导数的和差积规则假设函数u(x)和v(x)在点x处都可导，那么(u(x)+v(x))' = u'(x) +v'(x)。

证明：根据导数的定义，可以得到下面的等式：(u(x)+v(x))' = lim(Δx->0)[(u(x+Δx)+v(x+Δx)) - (u(x)+v(x))]/Δx。

微积分大一上学期知识点

微积分大一上学期知识点微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、连续性、可导性以及积分等概念和性质。

在大一上学期的微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点。

本文将对这些知识点进行简要介绍，以帮助回顾和巩固我们所学的内容。

1. 极限与连续在微积分中，极限是一个基础且重要的概念。

我们研究函数在某一点上的极限，可以帮助我们理解函数在该点的趋势和性质。

极限的定义通常用到ε-δ语言，即对于任意给定的ε（大于0），存在与之对应的δ（大于0），使得当自变量x与该点的距离小于δ时，函数值f(x)与极限L的差的绝对值小于ε。

另外，我们还学习了一些常用的极限公式和性质，如极限的四则运算法则、一些基本函数的极限等。

连续性是函数的一个重要特性，它描述了函数在某一点上的无间断性。

我们学习了连续函数的定义与性质，以及常见的连续函数的例子。

如果一个函数在某一点上连续，并且在该点的左右两侧的极限存在且相等，那么该函数在该点处可导。

2. 导数与微分导数是微积分中的另一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

我们学习了导数的定义和计算方法，包括导数的极限定义、基本导数公式以及求导法则（如常数因子法则、和差法则、链式法则等）。

通过导数，我们可以求解函数的极值、最优化问题等。

微分是导数的另一种表达方式，它是函数在某一点处的线性近似。

微分的计算方法包括利用导数公式、微分中值定理等。

微分在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，如速度、加速度的计算等。

3. 积分与定积分积分是微积分的核心内容之一，它是函数的反过程。

我们学习了不定积分和定积分两种积分的概念和计算方法。

不定积分是积分的基本形式，它是一个函数族。

我们了解了如何计算一些基本函数的不定积分，并学习了一些基本的积分表达式和求积分的方法，如换元积分法、分部积分法等。

定积分是对函数在一个区间上的积分运算，它代表了函数在该区间上的累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，掌握了定积分的计算方法，如定积分的几何意义与计算、定积分的线性性质、定积分的基本公式等。

经济类人大版《微积分》课件 1.1-1.2 集合

注：( x, y)和(y , x)是两个不同的有序元素组.
笛卡尔乘积定义
定义：设有集合A和B，对任意的x A, y B,所有二元有序数组(x, y)构成的集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积，记为A B，即 A B {(x, y) | x A, y B}.
例4：设A {1，2}，Bห้องสมุดไป่ตู้ {2，3}，则 A B {(1, 2) ，(1, 3) ，(2 , 2) ，(2 , 3)}.
微积分我们学什么？
❖ 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
极限的直观定义与计算
❖ 一元函数微分导数与微分的概念与计算
微分学应用
❖ 一元函数积分不定积分
定积分概念与计算
积分学应用
❖ 多元函数
偏导数
重积分的概念与计算
第一章函数
❖ 集合 ❖ 函数概念 ❖ 函数的几种特性 ❖ 反函数 ❖ 复合函数 ❖ 初等函数
性质： 1.集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某集合是确定的，是或不是二者必居其一； 2.集合具有互异性和无序性。
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素； a是集合M的元素，记作a M（读作a属于M）; a不是集合M的元素，记作a M（读作a不属于M）.
集合的表示法
1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用{}括起来。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
3
空心邻域
U (a, ) {x | 0 x a } {x | a x a或a x a } (a , a) (a, a )

大一微积分每章知识点总结

大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。

在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。

本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。

第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。

函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。

极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。

第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。

我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。

微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。

第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。

微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。

第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。

我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。

通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。

第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。

定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。

第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。

我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。

微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。

通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。

上海市考研数学复习微积分基础知识点总结

上海市考研数学复习微积分基础知识点总结微积分是数学的一个重要分支，也是高等数学的基础内容之一。

作为考研数学的一部分，微积分的基础知识点在考试中占据了很大的比重。

为了帮助考生更好地复习微积分，下面将对上海市考研数学复习微积分的基础知识点进行总结。

一、极限与连续1. 极限的基本概念和性质- 数列的极限：数列的极限定义、极限定理、夹逼定理等- 函数的极限：函数极限的定义、性质、无穷大与无穷小等2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定方法二、导数与微分1. 导数的概念和求导法则- 导数的定义、求导法则、高阶导数等- 高阶导数的应用：泰勒展开式、极值与拐点判断等2. 微分的概念及其应用- 微分的定义、微分近似、微分中值定理等- 最值问题的应用：最大值、最小值的判定与求解等三、积分与定积分1. 不定积分与定积分的定义- 不定积分的定义、基本积分表、换元法等- 定积分的定义、性质、积分中值定理等2. 积分的应用- 曲线长度与曲线面积的计算- 牛顿-莱布尼兹公式的应用四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次与一阶线性微分方程- 变量可分离的 Bernoulli 微分方程2. 二阶线性微分方程- 齐次和非齐次线性微分方程- 常系数线性微分方程的求解方法五、多元函数微积分1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限定义、连续性判定等2. 偏导数及其应用- 偏导数的定义、求导法则、高阶偏导数等- 隐函数与参数方程的偏导数求导3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断与求解- 多元函数的条件极值的求解方法以上是上海市考研数学复习微积分基础知识点的总结。

希望考生们能够认真复习，掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题中。

祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。

上海电机学院材料力学平面图形的几何性质

I y = ∑ I yi
i =1 =1
n

n
I z = ∑ I zi
i =1
I yz = ∑ I yzi
i =1
n
§I-5
转轴公式主惯性轴 z
一、惯性矩和惯性积的转轴定理 z1 y y1 z dA z1 y1 y
y1 = y cos α + z sin α z1 = − y sin α + z cos α
I y1 = I y + Iz 2
α
I y − Iz + cos 2α − I yz sin 2α 2
I z1 =
I y + Iz 2
I y − Iz − 2 cos 2α − I yz sin 2α
I y1z1
I y − Iz = sin 2α + I yz cos 2α 2
主惯性轴位置 :
tg 2α 0 = −
2 I yz Iy − Iz
I y0 I y + I z Iy − Iz 2 2 主惯性矩： = ± ( ) + I yz 2 2 I z0
2.形心主轴和形心主惯性矩：主惯性轴过形心时，称其为形心主轴形心主轴。形心主轴平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩. 形心主惯性矩
1.5d×(2d ) 3 πd 4 πd 2 = +3d 2 (−0.177 d ) 2 −[ + (0.5d +0.177 d ) 2 ]=0.685d 4 12 64 4
z 2d d yC O y1
I zC = I 矩yC − I圆yC
(1.5d ) 3 × 2d πd 4 = − = 0.513d 12 64

大一微积分的知识点

大一微积分的知识点微积分是数学的一门基础学科，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

在大一的学习阶段，微积分作为数学的重要组成部分之一，是理科类专业学生必修的一门课程。

本文将为大一学生介绍微积分的一些基本知识点，包括极限、导数、积分和微分方程等。

一、极限在微积分中，极限是最基本的概念之一。

它用于描述一个变量逐渐接近某个特定值的趋势。

通常用符号“lim”表示极限。

极限主要分为左极限和右极限两种情况。

左极限是指当自变量趋近于某个特定点时，函数的取值逐渐接近该点的情况，用符号“lim(x→a-)”表示；右极限则相反，用符号“lim(x→a+)”表示。

当左极限和右极限相等时，称为函数在该点处有极限，用符号“lim(x→a)”表示。

二、导数导数是描述函数变化率的概念，用于计算函数在某一点的切线斜率。

设函数y=f(x)，x的变化量为Δx，对应的y的变化量为Δy。

当Δx趋近于0时，Δy与Δx之比趋近于一个确定的常数k，即Δy/Δx=k。

而导数就是该极限值，用符号“dy/dx”表示。

导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率随着自变量变化的速度。

三、积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线下的面积和函数的累积量。

通过积分可以得到曲线下的面积、弧长、体积等物理意义上的量。

积分的符号表示为∫(f(x)dx)，表示对函数f(x)关于自变量x进行积分。

定积分是积分的一种特殊形式，表示在一定区间上的积分运算。

四、微分方程微分方程是包含导数的方程，研究函数与其导数之间的关系。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。

常微分方程是只包含自变量的一阶或高阶导数的方程，而偏微分方程则包含多个自变量的偏导数。

微分方程在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用，特别是在物理学、生物学、经济学等领域中起着重要的作用。

总结：微积分作为数学的重要分支，为我们研究和描述自然界的变化提供了强大的工具。

通过学习微积分的基本知识点，我们可以更好地理解函数的性质以及其在实际问题中的应用。

微积分大一下知识点

微积分大一下知识点微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

在大一下学期，微积分的内容进一步扩展，学生将深入学习函数的导数和积分的计算方法和应用。

本文将围绕大一下学期的微积分知识点展开论述。

1. 极限在大一上学期已经学习了极限的概念及其性质，大一下学期将进一步学习一些特殊函数的极限计算方法。

比如，可以学习到如何计算幂函数、指数函数和对数函数的极限。

此外，还可以学习到极限的运算法则，如极限的四则运算法则、极限的复合函数法则等。

2. 导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。

大一下学期的内容将进一步深入导数的计算和应用。

例如，可以学习到求多项式函数、三角函数和指数函数的导数公式。

同时，还可以学习到求导法则，如加法法则、乘法法则、链式法则等。

3. 高阶导数高阶导数是指一个函数的导数的导数。

在大一下学期，学生将开始学习高阶导数的计算。

通过多次求导可以得到函数的二阶导数、三阶导数，甚至更高阶的导数。

高阶导数在函数的曲线研究和极值点的判断等方面有着重要应用。

4. 积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数区间上的累积效应。

大一下学期的内容将进一步学习积分的计算方法和应用。

例如，可以学习到定积分和不定积分的概念，并学习到一些基本的积分公式和运算法则，如换元积分法、分部积分法等。

5. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，研究函数与其导数之间的关系。

在大一下学期，学生将初步接触到一阶常微分方程的求解方法。

可以学习到可分离变量法、线性微分方程的求解方法等。

微分方程在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。

6. 应用问题微积分是一门应用广泛的学科，大一下学期的微积分课程也将涉及到一些与实际问题相关的应用。

例如，可以学习到函数的最大值和最小值的求解方法，学习到曲线的切线和法线的计算等。

这些知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。

总结：微积分作为数学的重要分支，是大一下学期的重点内容之一。

上海电机学院微积分1-3复合函数与反函数

02
复合函数的单调性由外层函数和内层函数的单调性共
同决定。
03
复合函数的奇偶性由外层函数和内层函数的奇偶性共
同决定。
复合函数的例子
01
$f(x) = sin(x^2)$是一个复合函数，其中内层函数为$x^2$，外层函数为$sin(x)$。
02
$g(x) = e^{x^2}$也是一个复合函数，其中内层函数为$x^2$，外层函数为$e^x$。
上海电机学院微积分 1-3复合函数与反函数
REPORTING
https://
• 引言 • 复合函数 • 反函数 • 复合函数与反函数的关系 • 习题与解答
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
课程简介
01 课程名称：上海电机学院微积分1-3复合函数与反函数
单值性
反函数与原函数是单值对应关系，即每一个自变量x对应唯一的因变量y。
互为逆运算
反函数与原函数在运算上是互为逆运算的关系，即通过反函数可以求得原函数的值，反之亦然。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
图像关于直线y=x对称
如果将原函数的图像关于直线y=x进行对称变换，就可以得到反函数的图像。
反函数的例子
例如，对于函数y=log_2(x)，其反函数为x=2^y。
反函数与复合函数的转换
通过反函数可以将复合函数转换为简单形式，反之亦然。
通过复合函数求反函数的方法
01
找出复合函数的中间变量
首先需要找出复合函数的中间变量，即内层函数和外层函数的变量。
分离变量
02
03
求反函数
将复合函数的中间变量和外层变量分离出来，得到一个关于中间变量的简单函数。

微积分大一下册知识点总结

微积分大一下册知识点总结微积分是数学中的一门重要课程，它是研究函数的变化率的一门学科。

一学期的微积分学习涵盖了许多重要的知识点，这些知识点对我们理解函数的性质和应用具有重要的指导作用。

在这篇文章中，我将总结微积分大一下册的一些重要知识点。

一、导数与微分导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

我们可以通过极限的方式来定义导数，即某一点的导数等于函数在这一点的极限。

导数不仅能够告诉我们函数在某一点的变化率，还可以帮助我们研究函数的凸凹性和极值点。

通过求导，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而更好地理解函数的形状和性质。

微分是导数的一个重要应用，它可以用来近似计算函数的变化量。

微分与导数的关系是微积分中的一个重要定理，它告诉我们微分就是导数乘以自变量的变化量。

通过微分，我们可以建立起函数与自变量之间的关系，从而更好地研究函数的性质。

二、积分与不定积分积分是微积分中的另一个重要概念，它是函数的一个反运算。

积分可以帮助我们计算函数的面积、弧长和体积等，它在物理学、经济学和工程学等领域都有重要的应用。

不定积分是积分的一种形式，它是求解原函数的方法。

对于给定的函数f(x)，不定积分可以得到f(x)的一个原函数F(x)。

不定积分的结果通常还包含一个常数C，这是因为不同的原函数之间相差一个常数。

定积分是积分的另一种形式，它可以帮助我们计算函数在给定区间上的总变化量。

定积分可以用来求解曲线下的面积、弧长和体积等，它在几何学和物理学中有广泛的应用。

三、微分方程微分方程是微积分中的另一个重要概念，它描述了未知函数与它的导数之间的关系。

微分方程在物理学、工程学和生物学等领域都有重要的应用，它是建立数学模型的重要工具。

常微分方程是微分方程中最常见的一类，它描述了未知函数与它的导数之间的关系是使用函数本身的形式。

常微分方程通常可以通过分离变量、线性方程和常数变易等方法进行求解。

四、级数级数是微积分中的另一个重要概念，它是无穷求和的一种形式。

大一下微积分知识点梳理

大一下微积分知识点梳理微积分是数学的一门重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。

在大一下学期，微积分知识的学习是深入理解和掌握微积分基本概念和方法的关键阶段。

本文将围绕大一下微积分的知识点进行梳理，帮助读者系统地理解微积分的基础。

1.导数与微分微积分的核心概念之一就是导数与微分。

导数表示了函数在某一点上的变化率，可以应用于函数图像的切线、函数的极值、曲线的凹凸性等问题。

微分是导数的一种形式，表示一个函数在一个无穷小的变化量下的近似变化。

2.极限极限是微积分的基础概念，是描述数列、函数趋于某个值的过程。

在大一下学期，我们会学习数列的极限与函数的极限，理解“趋近于”和“无限接近”的概念。

极限的计算方法包括代入法、夹逼定理等。

3.函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。

连续性可分为点连续和区间连续，通过极限的方法可以判断函数是否连续。

连续函数具备许多重要的性质，如介值定理、零点定理等。

4.微分中值定理微分中值定理是微积分的重要定理之一，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

这些定理指出在一定条件下，函数在某个区间内一定存在特殊点，从而揭示了函数的性质与变化。

5.积分与不定积分积分是微积分的另一个核心概念，是求解函数面积、曲线长度、物理量等问题的重要工具。

大一下学期我们将学习不定积分的概念与计算方法，掌握常见函数的原函数。

6.定积分定积分是微积分的另一重要部分，用于计算曲线下的面积、求解物理量等问题。

学习定积分需要了解辛普森公式、牛顿－莱布尼茨公式和换元积分法等计算方法。

7.微分方程微分方程是微积分的应用领域之一，用于描述自然现象中的变化与关系。

大一下学期我们将学习一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程，并学习求解这些微分方程的方法。

8.多元函数微分学在大一下学期，我们将学习多元函数的极限、连续性、偏导数和全微分等内容。

了解多元函数微积分可以帮助我们理解多维空间中的曲线、曲面等几何图形。

《微积分》课后答案（复旦大学出版社（曹定华李建平毛志强著））第1章

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解(1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2) y y x x xy x ==-+=-解(1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 0x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),f),f (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩；(2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解(1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a af ff a a a a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时,f (x )=1,f (f (x ))=f (1)=1;当|x |>1时,f (x )=-1,f (f (x ))=f (-1)=1,综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝21cos x x-；(2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x xx x -⎧-≤⎨->⎩解(1)∵221()1()()cos()cos x x f x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠且()()f x f x -≠-,∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0,()1(1)()ee xx f x f x ---=-=--=-;当x ≥0时,-x ≤0,()()11(1)()ee e x x xf x f x ---=-=-=--=-,综上所述,x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1)f (-x )+f (x )为偶函数；(2)f (-x )-f (x )为奇函数.证(1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7.试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2)奇函数与偶函数的积是奇函数.证(1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =±则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-±-=±=,所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅,则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-,所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8.求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2.xx y x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解(1)由2sin 3y x =得1arcsin 32yx =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin (22)32xy x =-≤≤.(2)由221x x y =+得21xy y =-,即2log 1y x y =-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x=<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112yx y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212xx f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩.9.将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u v y u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解(1)211010ux y +==,定义域为(-∞,+∞);(2)sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3)arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1)y=；(2)y =sin 3ln x ;(3)y =tan 2x a；(4)y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解(1)令arcsin x u a =,则y =再令x v a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则uy a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2tan x y a=是由基本初等函数2,tan ,u y a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1)f (x 2)；(2)f (sin x );(3)f (x +a ),(a ＞0)；(4)f (e x +1).解(1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1)π],k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ].(4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1].3.求下列函数的表达式：(1)设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x );(2)设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x );(3)设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解(1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x xϕ=-++=+-令sin t x =,得2()6t t t ϕ=+-,即2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得2()33g t t t =++,即2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x +=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴(0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =-即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期.证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数,x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=;当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=.综上所述,x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数,x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR ===即04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即130700()91001177001000TR xx x x x ≤⎧=⎨+<≤⎩.3.已知需求函数为105QP =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105Q R Q PQ Q ==-,则总利润()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭,平均利润()150()85L Q AL Q Q Q Q==--.4.已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

微积分大一上册知识点总结

微积分大一上册知识点总结微积分是数学的一个重要分支，广泛应用在物理、工程、经济学等领域。

大一上册微积分的学习内容主要包括导数、微分、积分和应用等方面的知识。

下面将对这些知识点进行总结。

第一部分：导数导数是微积分的基础概念，它描述了函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数表示为f'(x)或dy/dx（读作“y对x的导数”）。

1. 导数的定义：导数的定义是极限的一种形式，即f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx，也可以理解为函数曲线上某一点切线的斜率。

2. 基本导数公式：常见的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数规则。

特别地，对于常数函数f(x) = C，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 导数的运算法则：导数具有一些运算法则，例如，对于函数f(x)和g(x)的和、差、积和商函数，其导数满足f'(x) ± g'(x)，[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，以及 [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。

第二部分：微分微分是导数的一个重要应用，可以用于近似计算和优化问题。

微分表示函数在某一点附近的局部线性逼近。

1. 微分的定义：对于函数f(x)，它在点x处的微分表示为df(x) = f'(x)dx，其中df(x)表示函数值的微小变化，dx表示自变量x的微小变化。

2. 高阶导数和高阶微分：函数的二阶导数表示为f''(x)，三阶导数表示为f'''(x)，依此类推。

同样地，高阶微分表示为d^2f(x)、d^3f(x)等。

微积分大一上知识点总结

微积分大一上知识点总结在大一上学期的微积分课程中，我们学习了一些重要的微积分知识点。

以下是对这些知识点进行总结的部分内容。

1. 函数与极限函数的概念是微积分的基础。

我们学习了如何用图像来表示函数，并了解了函数的性质，例如定义域、值域和奇偶性。

在研究函数的过程中，我们引入了极限的概念。

极限描述的是函数在某一点附近的行为。

我们学习了极限的定义和性质，并通过极限的运算法则来计算函数的极限。

2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具。

我们学习了导数的定义，并掌握了一些基本函数的导数公式，如幂函数、指数函数和对数函数。

通过导数，我们可以研究函数的增减性、极值和凹凸性。

微分则是导数的另一种表述形式，它在近似计算中有着重要的应用，如线性化和牛顿法。

3. 积分与定积分积分是导数的逆运算。

我们学习了不定积分的概念和计算方法，如换元积分法和分部积分法。

定积分则可以看作是曲线下面积的计算。

我们了解了定积分的定义和性质，并熟练应用定积分计算函数的面积、长度、体积等物理量。

4. 微分方程微分方程是描述变化率的方程。

我们学习了一阶和二阶微分方程的求解方法，如分离变量法、齐次方程法和特解法。

通过解微分方程，我们可以研究物理、生物和工程等领域的变化过程。

5. 泰勒级数与幂级数泰勒级数是一种用多项式无限和来表示函数的方法。

我们学习了泰勒级数的定义和计算方法，并通过泰勒级数来研究函数的性质，如收敛域、奇偶性和周期性。

幂级数是泰勒级数的一种特殊情况，我们了解了幂级数的收敛性和求和方法。

以上只是微积分大一上学期的部分知识点总结，微积分是一门广泛应用于科学和工程领域的学科，还有很多其他重要的知识点需要深入学习和掌握。

希望这个知识点总结可以帮助你回顾和巩固微积分的基础知识，为后续的学习打下坚实的基础。

微积分大一下知识点总结

微积分大一下知识点总结微积分是数学的一门重要分支，是研究变化率、斜率和曲线面积等概念的数学方法。

在大一下学期中，我们学习了微积分的一些基础知识，包括导数、积分和微分方程等内容。

本文将对这些知识点进行总结。

一、导数导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

我们通过求导数可以得到函数的切线斜率、最值点等重要信息。

1. 导数的定义对于函数y=f(x)，其在某点x处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx，它的定义为导数值等于函数在该点的极限值，即f'(x)=lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗。

2. 常见函数的导数- 常数函数：对于常数C，其导数为0，即d(C)/dx=0。

- 幂函数：对于y=x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx=nx^(n-1)。

- 指数函数：对于y=a^x，其中a为常数且大于0，其导数为dy/dx=a^x·ln(a)。

- 对数函数：对于y=log_a⁡〖x〗，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为dy/dx=1/(x·ln(a))。

二、积分积分是导数的逆运算，它描述了函数的累积效应和曲线所围成的面积。

通过积分，我们可以求得函数的原函数，并计算曲线下的面积。

1. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分，表示为∫┬(a)⁡(b)⁡f(x)dx。

其计算方法为将区间[a, b]分为无穷多个小的短短区间，然后对每一个小区间内的函数值进行累加。

2. 基本积分法- 幂函数积分：对于∫x^n dx，其中n≠-1，其积分结果为∫x^ndx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。

- 指数函数积分：对于∫a^x dx，其中a>0且a≠1，其积分结果为∫a^x dx=(1/ln⁡(a))a^x+C，其中C为常数。

- 三角函数积分：对于∫sin⁡(x) dx、∫cos⁡(x) dx、∫tan⁡(x) dx等三角函数的积分，可以通过查表或使用特定的积分公式进行计算。

《经济数学-微积分》1.1 集合

2. 用描述法表示下列集合：（1）大于5的所有实数的集合（2）圆 x2 y2 25 内部（不包含圆周）所有点的集合；（3）抛物线 y x2 与直线 x y 0 交点的集合.
《经济数学-微积分》-白羊严严
严高艳
3. 用列举法表示下列集合：（1）方程 x2 7 x 12 0 的根的集合；（2）集合 { x Z || x 1 | 3} . 4. 写出 A {0,1,2} 所有子集. 5. 如果集合 A 中有 n 个元素，问 A 有多少个子集？ 6. 设集合 A { x | 2 x 6}, A { x | x 4}, 求 A B, A B, A B.
N {1, 2, 3,4,5 }; R 表示负实数
数集间关系：N N Z Q R
《经济数学-微积分》-白羊严严
严高艳
三、区间与邻域 1.区间：介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. a,b R 且 a b ① 数集 { x | a x b}称为开区间，记为 (a,b)
《经济数学-微积分》-白羊严严
严高艳
二、数集
① 自然数集- N {0,1,2,3,4,5 } ② 整数集- Z { ,3,2,1,0,1,2,3, } ③ 有理数集- Q （可用分数 p 表示，p,q 为整数，q 0 ）
q
有限小数
பைடு நூலகம்
1 2
0.5
《经济数学-微积分》-白羊严严
无限循环小数 1 0.3 3
《经济数学-微积分》-白羊严严
严高艳
把开区间 (a , a) 称为 a 的左邻域；把开区间 (a , a ) 称为 a 的右邻域.
左领域
右领域
《经济数学-微积分》-白羊严严
严高艳

上海高三数学微积分知识点

上海高三数学微积分知识点微积分是数学的一个重要分支，也是高中数学中的一门重要学科。

作为高三学生，学习微积分知识是非常关键的，而掌握微积分知识点对于取得好成绩也十分重要。

在这篇文章中，我们将讨论上海高三数学微积分的知识点，帮助你更好地应对这门课程。

一、导数和微分在微积分学中，导数是一个基本概念。

你需要了解导数的定义以及如何计算函数的导数。

当函数的导数存在时，我们可以使用导函数来描述函数的变化率。

微分则是导数的一个应用，它表示函数在某一点附近的近似线性变化。

二、函数的极值与最值在微积分中，我们常常需要求解函数的极值和最值。

对于一个函数而言，极大值是函数图像上最高点的纵坐标值，而极小值则是函数图像上最低点的纵坐标值。

学习如何求解函数的极值和最值对于解决实际问题以及理解函数的性质非常重要。

三、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分的另外两个重要概念。

定积分表示函数在一定区间上的累积结果，可以用来计算曲线下的面积和求解弧长等问题。

不定积分则是求解原函数的逆运算，通过不定积分我们可以还原出原函数。

四、微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域。

它涉及到函数和它的导数之间的关系，并且通常涉及到未知函数。

我们需要学习如何解微分方程，并可以借助微分方程来描述和解决许多实际问题。

五、级数级数是无穷数列之和的概念。

我们需要学习级数的收敛性与发散性，以及如何计算级数的和。

级数在数学分析、物理学等领域有着广泛的应用，掌握级数的概念和计算方法对于理解更高级的数学领域也非常重要。

六、微分学的应用微积分的应用非常广泛，覆盖了许多领域。

例如，在物理学中，我们可以利用微积分的概念来描述物体的运动和力学原理；在经济学中，微积分可以用来研究供给需求关系和最优化问题等。

了解微积分在不同学科中的应用有助于我们更好地理解微积分的价值。

上述是上海高三数学微积分的一些重要知识点，通过学习这些知识点，我们可以更好地掌握微积分的原理和应用。

在学习过程中，要多做习题和实践，通过实际运用来加深对知识点的理解。

经济数学微积分1.集合

3. 集合M={x|x<m},N={x|x2-2x-8<0},若N M，
则m的取值范围是_________ 4. 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，
A={3，4，5}，B={1，3，6},那么 AC BC _____
5. 下列给出的四个集合中，表示空集的是（）
A {0}
B {(x,y)|y2 =-x2 , x∈R，y∈R}
A. MN B. MN C. MN D. MN
1. 2. {0}
5. C 6. A
练习题答案 3. m≥4 4. {2，7，8}
3．表示方法：
①列举法 A {a1 , a2 ,, an } ②描述法 M { x x所具有的特征 }
4. 子集：
若x A,则必x B,就说A是B的子集 A B.
若A B,且B A,就称集合A与B相等 ( A B).
例如： A {1, 2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
为 A 与 B 的直积，记作 A × B .
例如：R×R={(a，b)| a ∈ R ， b ∈ R }即为 xOy平面上全体点的集合， R×R常记作R 2 .
三、区间和邻域
1.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的
全体实数。这两个实数叫做区间的端点。
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
C {x {x| sinx+cosx = 2 , x∈R}
6. 设全集I为R，函数f(x) = sinx , g(x) = cosx , M = {x | f(x) = 0}, N = {x | g(x) = 0}, 则：集合 {x | f(x) g(x) ≠ 0} =（）