高考压轴题数列50例

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1高考数列压轴题汇总

高考数列压轴题1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ,记()*3,.f n n a n N =∈(1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值; （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p 。

2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2na f x x x=+ 的图象上．（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a )，（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ）,(7a ,8a ，9a ,10a )；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ,16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a )，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ,求5100b b +的值；（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积,是否存在实数a ，使得不等式3()2n a A f a a +<-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围;若不存在，请说明理由3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.（1）若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B()0a ，,记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；（3）设（2)中的数列{}n a 的前n 项和为n S ,试求：aa S n --<21 。

【强烈推荐】数列压轴题训练50道(精华,含答案)

数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集则E 为（）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数并且从大到小排列依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3）则下列有可能成立的是（）A ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和则（） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数）且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列则下列关系式一定成立的是（）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …）则（）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗）若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立则k 的取值范围是．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小则m 的值只能是2．其中所有正确结论的序号是 .40．如图某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数）记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

1高考数列压轴题汇总

高考数列压轴题1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2,若)(Z m m T n ∈<,求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p 。

2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2na f x x x=+ 的图象上． (Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ)将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ),（4a ，5a ，6a ）,(7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ,13a ),（14a ，15a ，16a ），(17a ，18a ，19a ，20a ）；(21a )，…，分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值;（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式3()2n a A f a a +-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=•+a A A A A n n ，其中N n ∈,又已知10-=x ，111>=a x ，。

(1）若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；（2）已知点B()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ,且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；(3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求:aa S n --<21 。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

高考数学数列压轴题常考题型

数列基本题型一、由a n 与S n 的关系求通项a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. 1、记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.2、设S n 是数列{a n }的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则S n =________________．3、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.4、n S 为数列{a n }的前n 项和，已知20,243n n n n a a a S >+=+，a n ＝________.注：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1) 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．(2) 利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．二、由递推关系式求数列的通项公式1、差商法：一个数列每一项前的系数构成等差或者等比数列：① 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=，a n ＝________.② 已知数列满足{}n a 满足，a n ＝________.2、累加法：a n+1=a n +f (n )③ 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为___________．3、累乘法：a n+1=a n ⋅f (n )④ 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.4、构造法：⑤ a n+1=pa n +q已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． ⑥ a n+1=pa n +q n （等式左右两边同除q n 或者q n+1）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋，则数列{a n }的通项公式为________________．已知数列{an }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n {a n }的通项公式为________________．⑦ a n+1=da n b+ca n （取倒数）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝，则数列{a n }的通项公式为________________．三、数列性质及其应用1、周期性：① 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________． ② 已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则数列的第2 019项为________． 2、单调性：③ 已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，是递增数列，则实数λ的取值范围是________________．④ 已知数列{a n }的通项公式为，则当a n 取得最大值时，n ＝________. ⑤ 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，，，则S n 的最大值为________. 性质：（1）按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n ，常数列：a n ＋1＝a n ＝C 常数，摆动数列.（2）在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3、奇偶并项⑥ 脚标分奇偶项数列{n a }，求a n ＝_________________.数列{n a }满足，求S n ＝_________________.⑦ 隔项等差或等比（数列退项相减或相除，构造隔项等差或等比）数列{a n }满足，求a n ＝_________________.（奇偶项法或待定系数法）数列{a n }满足a n ＝_________________.数列{n a }，求S n ＝_________________. 注：(1) 形如：最终数列中的奇数项和偶数项分别构成等差数列。

高考压轴题数列50例之欧阳法创编

欧阳治创编 2021.03.10 欧阳治创编 2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10 高考压轴题瓶颈系列之时间2021.03.10创作：欧阳治——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n nA S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大欧阳治创编 2021.03.10 3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

高考数学压轴题精选

高考数学压轴题精选1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²-n+1，求a1和公差d。

2、在坐标平面内，过点A(1,2)且与x轴夹角为α的直线l1，与过点B(-3,4)且与x轴夹角为β的直线l2相交于点C。

求证：α-β=90°。

3、已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a，b，c均为正实数。

若f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9，求f(4)的值。

4、已知函数f(x)=x³-3x²+3x-1，求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

5、已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a，b，c均为实数，且a≠0。

若对于任意的x，均有f(x)+f'(x)>0，求a的取值范围。

6、已知函数f(x)=log₃(2x+1)，求f(2)的值。

7、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,-1)，点B的坐标为(-3,4)。

若点C在x轴上且满足AC=BC，求点C的坐标。

8、若函数f(x)=x³+3x²+5x+k能被(x-2)整除，求k的值。

9、已知函数f(x)=a|x-h|+k，其中a，h，k为常数，且a>0。

若图像过点(3,4)，且在x=1处取得最大值，求a，h，k的值。

10、已知函数f(x)=x³-3x²+3x-1，求f(x)的零点和极值点。

11、已知函数f(x)=sin⁡(nx+π/6)+cos⁡(nx-π/3)，其中n为正整数，求函数f(x)的周期。

12、已知正整数n的二进制表示中有3个1，求n的十进制表示的所有可能值。

13、已知函数f(x)=a³x³+3ax²-6x，其中a为常数，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为2，求a的值。

全国各地高考数列压轴题

高考数列压轴题选讲1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nn n b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得nn n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①2311113252321222222n n nn n n n T -+---=+++++②①-②得12311112222212222222n n nn n T -+-=+++++-1122111111121()222222n n n n --+-=+++++- 112122123+----=n n n .nnn n n n T 23232122132+-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m （3）由题意得*21)11()11)(11(121Nn a a a n p n∈++++≤对恒成立记)11()11)(11(121)(21na a a n n F ++++=，则1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321)()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F nn n1)1(2)1(2=++>n n)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2n a f x x x=+的图象上．（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式3()2n a A f a a+-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）因为点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()2n a f x x x =+的图象上，故2n n S a n nn=+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；令2n =，得122142a a a +=+，所以24a =；令3n =，得1233192a a a a ++=+，所以36a =．由此猜想：2n a n =．用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，有上面的求解知，猜想成立． ② 假设 (1)n k k =≥时猜想成立，即2k a k =成立，则当1n k =+时，注意到212n n S n a =+*()n N ∈，故2111(1)2k k S k a ++=++，212k k S k a =+．两式相减，得11112122k k k a k a a ++=++-，所以142k k a k a +=+-．由归纳假设得，2k a k =，故1424222(1)k k a k a k k k +=+-=+-=+．这说明1n k =+时，猜想也成立．由①②知，对一切*n N ∈，2n a n =成立．（Ⅱ）因为2n a n =（*n N ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010. （Ⅲ）因为111n nna a a -=-，故12111111n n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以12111111n A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又333()2222n n n a a a f a a a aaaa++-=+-=-，故3()2n n a A f a a+<-对一切*n N ∈都成立，就是1211131112n a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-<-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切*n N ∈都成立．设12111()111n g n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ m ax 3[()]2g n a a<-即可．由于1(1)1211()22n g n n g n a n +⎛⎫++=-=⎪+⎝⎭1=<，所以(1)()g n g n +<，故()g n是单调递减，于是m ax [()](1)2g n g ==．322a a<-，即0a>，解得02a -<<，或a >综上所述，使得所给不等式对一切*n N ∈都成立的实数a 存在，a 的取值范围是(0))2-+∞ ．3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=∙+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=Nn x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B ()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a<+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：aa S n --<21 。

数列压轴题精选

1.数列{n b }满足1b =1，1+n b =2n b +1，若数列{n a }满足1a =1， n a =n b （11b +21b + (1)1-n b ）（n ≥2且n *N ∈）. （1）求2b ，n b b b 及43,. （2）证明：)2(1*11N n n b b a a n nn n ∈≥=+++且（3）证明：)(310)11)......(11)(11(*21N n a a a n ∈<+++2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立3.设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）4.已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记S n为数列｛b n｝的前n项和。

（1）若b k=a m（m，k是大于2的正整数），求证：S k-1=（m－1）a1；（2）若b3=a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛b n｝中每一项都是数列｛a n｝中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛b n｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；5. 已知数列{n a }满足：}(-1)32{a ,,)1-(,n n *11+∈+==+且N n s a a a n n n 是等比数列. （1）求a 的值；（2）求出通项公式n a ；（3）求证：231......11243<+++n a a a .6.数列{}n x 满足:2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈(I)证明:数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < (II)求c 的取值范围,使数列{}n x 是单调递增数列.2.（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ，要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>，因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证3.证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c 1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性，设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）. 证法一：①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则（常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++，从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++，两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.证法二：令由,1n n n a a A -=+,3121++++-≤-≤n n n n n n a a a a b b 知从而).,3,2,1(,2231 =≥-≥-++++n A A a a a a n n n n n n 即由32112132,32++++++++=++=n n n n n n n n a a a c a a a c得)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ，即 22132d A A A n n n =++++. ⑥ 由此得243232d A A A n n n =+++++. ⑦ ⑥－⑦得0)(3)(2)(42312=-+-+-+++++n n n n n n A A A A A A . ⑧ 因为0,0,042312≥-≥-≥-+++++n n n n n n A A A A A A ，所以由⑧得).,3,2,1(02 ==-+n A A n n于是由⑥得， 22113224d A A A A A n n n n n =++=++++ ⑨ 从而.24422211d A A A A n n n n =+=++++ ⑩由⑨和⑩得,,4224111n n n n n n A A A A A A =+=++++故即),,3,2,1(112 =-=-+++n a a a a n n n n 所以数列}{n a 是等差数列.4.解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-，所以：222n m q q q -=+++，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等，从而结论成立。

数列—不等式 (高考数学压轴题常考题型)

数列—不等式 (高考数学压轴题常考题型)例1. 数列{an}满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立.（2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有)1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n n nn两边取对数并利用已知不等式得nn n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故n nn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得nn b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得)1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=n n因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.例 2.已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．（II ）解：2122n nS a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-++，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥ 2311111662622n ⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥1116626n =+>，同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤515249224n =-<．综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤例3. 设数列{}n a 满足3110,1,*n n a a ca c n N +==+-∈,其中c 为实数。

高考压轴题数列50例

高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有nk S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++L 求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题） 2*111,()2n n n a a a a n N +==-∈ （1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，2*12,n n n a a a n N +=+∈ ，设2log (1)n n b a =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-L ；（III ）若2nc n b =，求证：2≤1()nn nc c +<3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值；（2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列【见证高考卷之特仑苏】1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有nk S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a=(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++= 21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. （2015年浙江卷第20题）（1）求证：112nn a a +≤≤ （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【例题讲解之伊利奶粉】例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，2*12,n n n a a a n N +=+∈ ，设2log (1)n n b a =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-；（III ）若2nc n b =，求证：2≤1()nn nc c +<3. 例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+， (1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值；（2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列{}{},n n a b 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n n n b a b +成等差数列。

（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式n a ，nb 。

（Ⅱ）设1(2)n n x n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S ，证明：12n S <。

例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列{}n a 满足112a =，212016n n n a a a +=+，n N *∈(1) 求证1n na a +>(2) 求证20171a <(3) 若证1k a >，求证整数k 的最小值。

例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n na a a +=+，n N *∈ （1）若1(0)12aa a a=>+，求1210111222a a a ++⋅⋅⋅++++的值；（2）当0a >时，定义数列{}n b ，1(12)k b a k =≥，11n b +=-数,()i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++。

如果存在，求出一组(,)i j ，如果不存在，说明理由。

例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数4()415f x x =+，（Ⅰ）求方程()f x x =的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：1214n n a a a n <+++≤．例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列{}n a 满足112a =，2121n n n n a a a a +=-+n +∈N （）（1）证明：n n a a <+1；（2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，证明：1n S <.例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列{}n a 满足11a =，11n n a a n+=n +∈N （）(1) 求证：21n n a an n +=+； (2)求证：3421111....23(1)）n n a a n a +≤+++≤+例10.（2017年4月高二期中考试）数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+n +∈N （），其中1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为nS ，其中21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T (1) 求证：1n n a a +<； (2)求证：2121n n T a n +=-- (3)1n S -<<例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列{}n a 满足013a =，n a =n +∈N ），22n n n b a a =-，其中{}n b 的前n 项和为n S ， (1) 求证：11n n a a -<<； (2)求证：()1022n S n n <<-≥ 例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列{}n a 的各项都是正数，121n n na a a +=+-，其中{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 为递增数列求1a 的取值范围例13：（2016浙江高考样卷20题）已知数列{}n a 满足11a =，*11()21n n a n N a +=∈+．（Ⅰ）证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为单调递减数列；（Ⅱ）记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和，证明：*5()3n S n N <∈．例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列{}n a 满足112a =，2*11()n n n a a a n N +=++∈．（1）证明：13n na a +≥；（2）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n s ，那么3n S < 例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设n a 是方程21xx n+=的正根，求证：(1) 1a a n n>+ (2)11111112323123a a na n n++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+- 例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列{}n a 满足1102a <<，n n n a a a 611+=+（Ⅰ）证明：2121(N )2n n a a n -+<<∈；（Ⅱ）若113a =，求证：213214||||||(N )3n n a a a a a a n ++-+-++-<∈．（本题与例13的题型一样）例17：（2016年金华市模拟）已知数列{}n a 的首项为11a =,且141n n n a a a ++=+，()*n ∈N ．（Ⅰ）求证：21212n n a a -+<<；（Ⅱ）令212n n b a -=-，12n n S b b b =+++．求证:9171896nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{}n a 满足2*11,1()n n n a a a a a n N +=-=∈.（Ⅰ）若352a =，求实数a 的值；（Ⅱ）若1a =，求证：*2,)n a n n N <≥∈. 例19.(2016嘉兴一模)数列{}n a 各项均为正数，112a =，且对任意的*n N ∈，有21(0)n n n a a ca c +=+>．（Ⅰ）求123111c c ca ca a ++++的值；（Ⅱ）若12016c =,是否存在*n N ∈，使得1n a >，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．（本题就是例5，不过要判断出11,1n n a a -<>的界限）例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{}n a 满足：114()2n n na a a +=+；（Ⅰ）若34120a =，求1a 的值；（II ）若14a =，记2n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：83n S <例21（2016丽水一模20）已知数列{}n a 满足：2*12()n n a a n N +=-∈，且11(01)a a a a=+<<．（Ⅰ）证明：1n n a a +>；（Ⅱ）若不等式112123123111112na a a a a a a a a a ++++<对任意*n N ∈都成立，求实数a 的取值范围．例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{}n a 满足22*11112,()233n n n a a a a n N +==+∈．（I ）证明：*101()n n a a n N +<<<∈；（II ）求证：*129()4n a a a n n N +++>-∈.例23. （2016宁波十校20）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. （Ⅰ）若1=2a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+. 例24. (2016桐乡一模20)设函数2(),f x ax bx a b R =+∈、．若231()62x f x x --≤≤+对任意的x R ∈恒成立．数列{}n a 满足*111,()()3n n a a f a n N +==∈. （Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：1132n a ≤<；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：14213n n S n ≥-+. 例25.（2016大联考 20）.已知数列{}n a 满足2*11,n n a ca c n N +=+-∈，其中常数1(0,)2c ∈. (1)若21a a >，求1a 的取值范围；(2)若1(0,1)a ∈，求证：对任意*n N ∈，都有01n a <<；(3)若1(0,1)a ∈，设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证：212n S n c>--. 例26.（2016宁波二模）已知数列{}n a 中，11a =，212nn n a a ta +=+.（Ⅰ）若t=0,求数列{}n a 的通项公式。