第四讲：行列式的展开及性质

a1n
a11
a12
ain
ai1 ak1 a2i ak2
性质6
akn ri rk ak1
ak 2
ann
an1
an2
a1n ain akn
akn ann
a11
a12
性质 6 ai1 ak1 rk ri ai1
an1 an2
a1n ain akn
ain ann
a11 a12
2
化为上三角行列式
例1计算行列式的值.
3 1 1 1 r1 r2 6 6 6 6 1 3 1 1 r1 r3 1 3 1 1
1 1 3 1 r1 r4 1 1 3 1
1113
1113
1 1 1 1 r2 (1)r1 1 1 1 1
1 6
1
3 1
1 3
1 r3 (1)r1 0 1 r4 (1)r1 0
行列式的计算方法：
1.用定义，表示成乘积项的代数和。 2.按照零元较多的行或列展开。 小 3.一边消零，一边展开降阶。
即 先利用性质，用消法变换将行列式中某一行
结 （或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留 下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，
使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。
定理1（行列式乘法定理P175） 设A，B 是n阶方
ab c 1 abc c 1
1c1
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2
1 3 1 2
5 1 3 4 c1 c2
2 0 1 1
1 5 3 4 0 2 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
a a a 1
2
3 r2 r1
a1
a2
a3
即 b1 b2 b3 b1 a1 b2 a2 b3 a3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
提示：以三阶行列式为例，证明右边=左边
提示：以三阶行列式为例，证明右边=左边
a1
右边= b1 a1
c1
a2
b2 a2
c2
a3
b3 a3
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 aij 的代数余子式．
●余子式和代数余子式
a 在 n 阶行列式中，把元素 ij 所在的第 i 行和
a 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 ij
的余子式(cofactor)。记为 Mij
a 称
Aij
1
M i j ij
第j列元 对应的代数余子式
两两配对作乘积和，则
D按第j列元展开的展开式
例 根据展开式计算行列式的值
2 12 D 4 3 1
2 35
按第一行展开
2 A11 1A12 2 A13
2 (1)11 3 1 1 (1)12 4 1 2 (1)13 4 3
35
25
23
余子式与代数余子式(P75-77)
对 n 阶行列式
a11 a1 j a1n
ai1 aij ain
an1 anj ann
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
01 2
01 2
132 5
练习：按第二行元展开！
定理3 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。
小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
ai1 Ak1 ai2 Ak 2
ain Akn

D 0
(i k) (i k)
D ( j s) a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0 ( j s)
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
行列式按行（列）展开法则
定理3 n 阶行列式等于它的某一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
对应代数余子式
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik i 1,2,, n
例
6 3
8 提第一行公因子2 9
3 2
3
4 提第一列公因子3 9
1 6
1
4 9
246
123
分别提第一行，第二行公因子2
468
22 2 3 4
135
135
000
000
4 6 8 提第一行公因子0 0 4 6 8 =0
135
135
性质3（P62）如果行列式的某一行（列）的元素都是两 项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
M23.
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13
a 元素 44 的余子式 M44 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a 元素 44 的代数余子式 A44 1 44 M44 M44
4、
加到第 i 行上
去
ri ci
ri rj k ri
ri krj
等值 变号 翻倍 等值
计算举例
bc a 1
例 求行列式 c a b 1 .
ab c 1
解 将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得
bc a 1 abc a 1
1a1
c1 c2
c a b 1 a b c b 1 (a b c) 1 b 1 0.
b a
b
c d cd c d
性质4（P63） 行列式有两行（列）对应元素完 全相同，行列式为零。
a11 a12
a1n
证：设行列式
ai1 D
ai 2
ain
ak1 ak2
akn
an1 an2
ann
中第 i 行与第 k 行相同， aij akj , j 1, 2, , n,
性质5（P64）如果行列式D有两行（列）的元素对应
212 1(22) 2 (18) 10
练习：按第二列元展开！
例 计算行列式的值
123 0
0 0 0 1
注意 计算行列式时，一般情况下按零
3 1 0 0 元素较多的行（列）展开较为简单。 001 2
按第一列元展开 0 0 1
23 0
1 (1)11 1 0 0 3 (1)31 0 0 1
3 1 3 1
解 3A11-A12+3A13-A14的系数
第四行元 A11 A12 A13 A14 第一行元的代数余子式
3A11-A12+3A13-A14=0（串行展开）
性质2（P62）行列式中某一行（列）所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面。
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai 2
3 1 1 2 r4 r1
3 1 3 1
2 1 3 2
3 0 6 4
1 0 4 0
1 0 0 3
3 6 4
按第二列展开
1 (1)12 1 4 0
1 0 3
c2 4c1 3 1
18 0
4
0
按第二行展开
1 (1)21
18
4
4 3
1 4 3
70
c3
分拆 a1 a2 a3
a1
a2
a3
= b11 b2 b3 来自百度文库a1 a2 a3
c1 c2 c3 c1 c2 c3
a1 a2 a3 b11 b2 b3 左边
c1 c2 c3
性质7（P65） 互换行列式的两行（列），行列式变号。
证明： a11 a12 ai1 ai2 ak1 ak2 an1 an2
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
第i行元
第k（k j）行元对应的代数余子式
两两配对作乘积和为零，即
串行展开为零
1、设有行列式
2 1 3 332 D 034
2 A11、A12、A13、A14分别是D的 2 第一行元素的代数余子式，试求 0 3A11-A12+3A13-A14的值。
2 0
0 2
0 48
0
11 1 3
0002
例题 1、计算行列式的值
2 1 3 2 （1） D 3 3 3 2
3 1 1 2 3 1 3 1
1020 （2） D 1 4 3 6
0 2 5 3 3110
2 1 3 2 r2 3r1
3 3 3 2 r3 r1
（1） D
a11
a12
a1 b1 a2 b2
a1n
an bn 第i行元
an1
an2
ann
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a1 a2
an b1 b2
bn 第i行元
an1 an2
ann an1 an2
ann
注意：左右两边分别按照第i行元展开来证明。
如 a a
b b a
成比例，则D=0
a11 a12
a1n
证： 设行列式 D ai1 ai2
ain
kai1 kai 2
kain
an1 an2
ann
a11 a12
a1n
提出第i行公因子 k ai1 ai 2
ain
ai1 ai 2
ain
an1 an2
ann
性质6（P65）把行列式的某一行（列）的元素都乘以 同一个数λ 后，加到另一行（列）的对应元素上去， 则行列式 的值不变。
a1n
a11 a12
a1n
性质6 ak1 ak 2
akn
ak1 an2
akn
ri rk ai1 ai 2
ain
ai1 ai2
ain
an1 an2
ann
an1 an2
ann
性质7（P65） 互换行列式的两行（列），行列式变号。
175 175
6 6 2 3 5 8 ,
358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
注意 在行列式的计算中，经常利用行列式的性质
将行列式化为上三角行列式或下三角行列式进行计算。 为了方便，以后借用矩阵初等变换的符号表示行列式的
相应变换。
1、转置 行与列对调
2、
交换i, j两行
3、
数K乘第 i 行
数K乘第 j 行后
阵，则有 AB BA ．
可推广到有限个方阵相乘的情形，即
A1A2 An A1 A2 An
推论 对 n 阶行列式及数 k,有 kA kn A．
例：
23 7
13（2）（4）（5）（6） 15（按某一行或列展开来计算行列式）
方阵A的多项式！
解：由于A是二阶方阵，所以与A可交换的矩阵必是二阶方阵，
kain k ai1 ai 2
ain
an1 an2
ann
an1 an2
ann
推论 如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0
按第i行展开
左边 = kai1Ai1 kai2 Ai2 按第i行展开
右边 = （ k ai1Ai1 ai2 Ai2 左边=右边.
kain Ain ain Ain）
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
1 28 25 2
200
r4

5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
k 1
D按第i行展开的展开式
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
第i行元 对应的代数余子式
两两配对作乘积和，则
D按第i行元展开的展开式
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
为元素
ij 的代数余子式。
a11 a12 a13 a14 例如： D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
a 元素
23 的代数余子式
A23
1
M 2 3 23