第四讲：行列式的展开及性质
行列式的展开
30 40 例2 2 2 2 2 第四行各元素余子式之和为28
0 7 0 0 5 3 2 2
分析 以 M表ij 示 中D元素 的a余ij 子式，则有
M41 M42 M43 M44 A41 A42 A43 A44
3 2 0
0 2 7
4 2 0
0
3
2 7 2
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1 an2 ann an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
命题得证
i 1,2, ,n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
例5 计算范德蒙德(Vander monde)行列
式
1 1L 1
x1 Dn x12
x2 L xn x22 L xn2
MM
M
x n1 1
x n1 2
L
x n1 n
解 将前一行乘以 x加1 到后一行上 （从后往前）
1
1
1
L
1
0
x2 x1
Dn 0 x2 ( x2 x1 )
M
M
0 x2n2 ( x2 x1 )
0 M ai1,n aij Mij , M
anj L aij L
M
故 D 1 i j ai1, j L
M
an, j1 L 0L
M ai1, j1 L
M
ann 0
M
ai1,n 1 i j aijMij .
M
anj L an, j1 L ann
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的性质及展开计算
奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明 了D的任一项的反号是 D1 中的项，同样可以证明 D1 中的 任一项的反号也是D中的项。
因此，D＝－D1
记法 行列式的第s行： rs 行列式的第s列： cs
交换s、t两行：
rs rt 交换s、t两列： cs ct
例如
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． 例如
3
2
1 2 8 1
1 2 8 1
D 1 1 2 1
2c2 c1
7 2
1 1 0 1
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 ai 1 k ai 1 a n1
a12 ai 2 ai 2 an 2
a1n ain
0.
ain ann
Ex.1设 a21 a22 a23 1, 求 3a 21 3a31 a31 a32 a33
解 利用行列式性质, 有
6a11 3a21 3a31 2a12 a22 a32 10a13 5a23 5a33
a23 a21 a22 a11a32a23 a12a33a21 a13a31a22
a13a32a21 a11a33a22 a12a31a23
D
a33 a31 a23 a21
a13 a11 a12 a33 a31 a32
性质2
互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明： a11 a12 a1n
1 1
行列式的性质及展开式
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1Leabharlann 1 c21 c11 d2
1 d
0.
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
bj1 bj2 L bjn M MMM
ai1 ai2 L ain M MMM
an1 an2 L ann
bn1 bn2 L bnn an1 an2 L ann
【DOC】行列式的展开法则
【DOC】行列式的展开法则行列式是线性代数中的重要概念之一，它可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、矩阵的秩等问题。
展开法则是求解行列式的一种方法，其基本思想是利用行列式的性质，在行（或列）上进行化简，直到得到一个简单的行列式，然后根据行列式的性质进行计算。
本文将介绍行列式的展开法则及其相关性质。
一、定义行列式是一个由数构成的方阵，其计算方式如下：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma( 2)}\cdots a_{n\sigma(n)} $$其中，$\sigma$ 是从 $n$ 个数 $1,2,\cdots,n$ 中选取 $n$ 个数的一个排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数，$a_{i\sigma(i)}$ 是第$i$ 行 $\sigma(i)$ 列的元素。
例如，当 $n=2$ 时，行列式为：$$ \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$二、展开法则1. 拉普拉斯展开法则拉普拉斯展开法则是行列式展开法则中最基本的一种。
它的基本思想是：对于一个$n$ 阶行列式 $D$，选取其中任意一行（或一列）进行展开，得到 $n-1$ 阶行列式，然后递归地对 $n-1$ 阶行列式进行展开，直到得到 $2$ 阶行列式为止，在计算过程中交替改变符号。
行列式性质、行列式按行(列)展开
行列式和矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，它们在某
03
些问题中可以相互转化。
行列式的代数余子式
代数余子式是行列式中一个元素所对应的二阶行列式去掉该元素所在的行 和列后所得到的余子矩阵的行列式。
代数余子式的计算方法是将该元素所在的行和列的元素都变为0，然后求 出新的行列式的值。
代数余子式在行列式的展开中起到关键作用，它是计算行列式值的必要步 骤。
行列式性质与行列式按行( 列)展开
目录
• 行列式性质 • 行列式按行(列)展开 • 行列式在数学中的重要性 • 行列式的计算技巧
01
行列式性质
行列式与矩阵的关系
01
行列式是矩阵的一种特殊形式，由n阶方阵的元素按照一定规则 构成的数。
02
行列式的值是一个标量，而矩阵是一个数值表，可以视为一个
特殊的矩阵。
计算代数余子式
将所有行（或列）的系数与其对应的代数余 子式相加，得到行列式的值。
相加得到结果
根据代数余子式的定义，计算行列式中某行 （或列）对应的代数余子式。
注意事项
在展开行列式时，需要注意代数余子式的符 号，以及避免计算错误。
展开的应用
简化计算
通过行列式按行（或列）展开，可以将一个复杂的行列式转化为 几个简单的二阶行列式，从而简化计算。
行列式的转置
01
02
03
行列式的转置是指将行 列式的行和列互换，得
到一个新的行列式。
行列式的转置具有一些 重要的性质，例如行列 式的转置等于其自身的
乘积。
行列式的转置在解决线 性方程组、向量空间等 数学问题中有着广泛的
应用。
02
行列式按行(列)展开
展开定理
行列式性质按行(列)展开法则
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
第四讲：行列式的展开及性质
为元素
ij 的代数余子式。
a11 a12 a13 a14 例如： D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
a 元素
23 的代数余子式
A23
1
M 2 3 23
3 1 1 2 r4 r1
3 1 3 1
2 1 3 2
3 0 6 4
1 0 4 0
1 0 0 3
3 6 4
按第二列展开
1 (1)12 1 4 0
1 0 3
c2 4c1 3 1
18 0
4
0
按第二行展开
1 (1)21
18
4
4 3
1 4 3
70
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
行列式按行（列）展开法则
定理3 n 阶行列式等于它的某一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
对应代数余子式
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik i 1,2,, n
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
1 28 25 2
200
r4
5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
行列式的行(列)展开定理
行列式的行（列）展开定理
行（列）展开定理用于分析行列式的结构，它表明行列式的值可以从各行（列）中求出。
行展开定理的证明以行列式的一行为基础，将该行中的元素看作常数，把它们乘以该行中的未知数，然后做加法运算，得出了行列式的值。
公式表示为a(1,1)x(1)+a(1,2)x(2)+...+a(1,n)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(1,n)表示第一行的元素，x(1)~x(n)表示第一行未知数，|A|表示行列式A的值。
同样，列展开定理用列来求出行列式的值，其公式为
a(1,1)x(1)+a(2,1)x(2)+...+a(n,1)x(n)=|A|，其中a(1,1)~a(n,1)表示第一列的元素，x(1)~x(n)表示第一列未知数，|A|表示行列式A的值。
相比于行展开定理，列展开定理更容易理解，理论上它们是均有用的，但由于行列式结构的不规则性，有时列展开定理比行展开定理更加有效，避免了因展开完毕后加法操作量过大而需要累加回路的结果。
总之，行（列）展开定理是一种分析行列式结构的基本方法，它既可以用来求出行列式的值，也可以用来求出未知数。
它丰富了行列式计算的方法，被广泛用于各种电子计算机的程序设计和机器算法中，为工程实际应用和科学研究提供了有力帮助。
行列式性质,按行展开PPT文档19页
行列式性质,按行展开
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。—孔子
行列式的展开
3. 齐次线性方程组的相关定理
定理 3 如果齐次线性方程组的系数行列式
D 0, 则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
定理3′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
非零解的必要条件.
2. 在第四章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
ain Ain D i 1, 2,
, n
推论2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
2 3
M 23 M 23
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式的展开定理
定理 1 n 阶行列式 D 等于它的任一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 or D a1 j A 1 j a 2A j 2j
1
1 1
1
c2 c1
M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41
1 5 1 1 1 3 2 1 1 3 1 5 2
r4 r3 1
1 3 0
0 5
1 0 5 3 1
1
1 4 1 3
0 1 0
1 0 5 1 2 1 r1 2r3 1 0 5 0. 1 0 5 1 1 3 1 1 3
行列式的展开
1 xn
n 2 xn
n−1阶范德蒙德行列式
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )
( xn x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
推论2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
5
3 1 2 0 5 1 4 5 2 0 0 0
1 7 2 例1 计算行列式D 0 2 3 0 4 1 0 2 3 5 3 1 2 1 7 2 5 D 0 2 3 1 0 4 1 4 0 2 3 5
解
0 5 3 1 2 2 0 2 3 1 2 5 0 1 2 0 4 1 4 0 0 2 3 5 0
i j A ( 1) Mi j 称为元素 ai j 的代数余子式. 而 ij
例如
a11
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
a12 a32 a42
a14 a24 a34 a44
a14 a34 a44
a21 D a31 a41
M 23 a31 a41
A23 1
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2
分析
ain Ajn 0, i j .
我们以3阶行列式为例.
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a 33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 a21 a22 a23 0 a21 a22 a23 a21 A11 a22 A12 a23 A13 a31 a32 a33
行列式性质,按行展开
a11 L = bi 1 L an1
a12 L a1n L L L
a11
a12 L a1n L ci 2 L an 2 L L L L L cin L ann
L bi 2 L bin + ci 1 L L L L an1 an 2 L ann
性质5 将行列式的某一行 列)的所有元素乘以数 后 将行列式的某一行(列 的所有元素乘以数 的所有元素乘以数k后
1
2 0
3 1
4 2 .
【例1】 计算 D = 】
1
3 −1 −1 0 1 2 0 −5
【解】 D = a14 A14 + a24 A24 + a34 A34 + a44 A44
1 2 3 1 0 1 1+ 4 + 2 × ( −1) 2 + 4 3 − 1 − 1 = 4 × ( −1) 3 − 1 − 1 1 2 0 1 2 0 1 2 3 + ( −5) × ( −1)4 + 4 1 0 1 3 −1 −1
【解】
1 −1 0
2
1
1
0
(1) + (3) 0 −1 −1 2 0 −1 −1 2 − D=− − 2×(1) + (4) 0 1 −1 2 −1 2 −1 0 0 3 1 −4
2 1 1 0
1 0
0 0
2
1
−1
0
2
( 2) + ( 3 ) 3 × ( 2) + ( 4) −
−1 −1
0 0
0 −1
加到另一行（ 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变. 的相应元素上，行列式的值不变
1 a 1
行列式按行展开 ppt课件
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
2.行列式的性质和展开
ain a jn ain ann
ain ain 0 ain ann
推论 如果行列式中两行(列)相同，则行列式值为0，即：
性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘 以同一数 k 等于用数k乘此行列式，即：
a12 ai 2 ai 2 an 2
ain ain a jn ann
ain ain ain ann
a11 a j1 ai1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 a j2 ai 2 an 2
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin
性质3 互换行列式的两行(列) 则行列式变号即
a11 ai1 a j1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
a b 0 例3 a b满足什么条件时有 b a 0 0 ？ 1 0 1 解 a b 0 b a 0 a2b2 1 0 1
若要a2b20 则a与b须同时等于零 因此当a0且b0时 给定的行列式等于零
r4r3 r3r2 解 D r2r1 a b c d abc 0 a ab 0 a 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc r4r3 a b c d r3r2 0 a ab abc 0 0 a 2ab 0 0 a 3ab a b c d r4r3 0 a ab abc a4 0 0 a 2ab 0 0 0 a
性质4行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数推论如果行列式中有两行列成比例则行列式值为0性质5把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去行列式不变a是任意的n阶矩阵对于n阶的初等阵e有deteadetedeta以及detaedetadete推论利用上述的性质和推论结合特殊类型的行列式的结果可以计算一般的行列式
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。
这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。
首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。
行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。
例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。
对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。
具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。
当n=2时，定理显然成立。
假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。
行列式性质详解及应用
行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。
本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。
设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。
根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。
若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。
二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。
2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。
通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。
三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。
1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。
对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。
2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。
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3 1 3 1
2 1 3 2
3 0 6 4
1 0 4 0
1 0 0 3
3 6 4
按第二列展开
1 (1)12 1 4 0
1 0 3
c2 4c1 3 1
18 0
4
0
按第二行展开
1 (1)21
18
4
4 3
1 4 3
70
a1n
a11
a12
ain
ai1 ak1 a2i ak2
性质6
akn ri rk ak1
ak 2
ann
an1
an2
a1n ain akn
akn ann
a11
a12
性质 6 ai1 ak1 rk ri ai1
an1 an2
a1n ain akn
ain ann
a11 a12
01 2
01 2
132 5
练习：按第二行元展开！
定理3 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。
小结 行列式按行展开得D，串行展开得零。
ai1 Ak1 ai2 Ak 2
ain Akn
D 0
(i k) (i k)
D ( j s) a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0 ( j s)
阵，则有 AB BA ．
可推广到有限个方阵相乘的情形，即
A1A2 An A1 A2 An
推论 对 n 阶行列式及数 k,有 kA kn A．
例：
23 7
13（2）（4）（5）（6） 15（按某一行或列展开来计算行列式）
方阵A的多项式！
解：由于A是二阶方阵，所以与A可交换的矩阵必是二阶方阵，
第j列元 对应的代数余子式
两两配对作乘积和，则
D按第j列元展开的展开式
例 根据展开式计算行列式的值
2 12 D 4 3 1
2 35
按第一行展开
2 A11 1A12 2 A13
2 (1)11 3 1 1 (1)12 4 1 2 (1)13 4 3
35
25
23
2 0
0 2
0 48
0
11 1 3
0002
例题 1、计算行列式的值
2 1 3 2 （1） D 3 3 3 2
3 1 1 2 3 1 3 1
1020 （2） D 1 4 3 6
0 2 5 3 3110
2 1 3 2 r2 3r1
3 3 3 2 r3 r1
（1） D
2
化为上三角行列式
例1计算行列式的值.
3 1 1 1 r1 r2 6 6 6 6 1 3 1 1 r1 r3 1 3 1 1
1 1 3 1 r1 r4 1 1 3 1
1113
1113
1 1 1 1 r2 (1)r1 1 1 1 1
1 6
1
3 1
1 3
1 r3 (1)r1 0 1 r4 (1)r1 0
b a
b
c d cd c d
性质4（P63） 行列式有两行（列）对应元素完 全相同，行列式为零。
a11 a12
a1n
证：设行列式
ai1 D
ai 2
ain
ak1 ak2
akn
an1 an2
ann
中第 i 行与第 k 行相同， aij akj , j 1, 2, , n,
性质5（P64）如果行列式D有两行（列）的元素对应
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。
行列式按行（列）展开法则
定理3 n 阶行列式等于它的某一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
对应代数余子式
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik i 1,2,, n
余子式与代数余子式(P75-77)
对 n 阶行列式
a11 a1 j a1n
ai1 aij ain
an1 anj ann
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
c3
分拆 a1 a2 a3
a1
a2
a3
= b11 b2 b3 a1 a2 a3
c1 c2 c3 c1 c2 c3
a1 a2 a3 b11 b2 b3 左边
c1 c2 c3
性质7（P65） 互换行列式的两行（列），行列式变号。
证明： a11 a12 ai1 ai2 ak1 ak2 an1 an2
成比例，则D=0
a11 a12
a1n
证： 设行列式 D ai1 ai2
ain
kai1 kai 2
kain
an1 an2
ann
a11 a12
a1n
提出第i行公因子 k ai1 ai 2
ain
ai1 ai 2
ain
an1 an2
ann
性质6（P65）把行列式的某一行（列）的元素都乘以 同一个数λ 后，加到另一行（列）的对应元素上去， 则行列式 的值不变。
例
6 3
8 提第一行公因子2 9
3 2
3
4 提第一列公因子3 9
1 6
1
4 9
246
123
分别提第一行，第二行公因子2
468
22 2 3 4
135
135
000
000
4 6 8 提第一行公因子0 0 4 6 8 =0
135
135
性质3（P62）如果行列式的某一行（列）的元素都是两 项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。
4、
加到第 i 行上
去
ri ci
ri rj k ri
ri krj
等值 变号 翻倍 等值
计算举例
bc a 1
例 求行列式 c a b 1 .
ab c 1
解 将第二列加到第一列，由性质4、性质2可得
bc a 1 abc a 1
1a1
c1 c2
c a b 1 a b c b 1 (a b c) 1 b 1 0.
行列式的计算方法：
1.用定义，表示成乘积项的代数和。 2.按照零元较多的行或列展开。 小 3.一边消零，一边展开降阶。
即 先利用性质，用消法变换将行列式中某一行
结 （或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留 下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，
使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。
定理1（行列式乘法定理P175） 设A，B 是n阶方
r2 r3
1 3 1 2 r3 4r2
0 2 1 1
0 8 4 2 r4 8r2
0 16 2 7
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 10 15
1 28 25 2
200
r4
5 4
r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 0 8 2 0 0 0 25
a11
a12
a1 b1 a2 b2
a1n
an bn 第i行元
an1
an2
ann
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
a1 a2
an b1 b2
bn 第i行元
an1 an2
ann an1 an2
ann
注意：左右两边分别按照第i行元展开来证明。
如 a a
b b a
212 1(22) 2 (18) 10
练习：按第二列元展开！
例 计算行列式的值
123 0
0 0 0 1
注意 计算行列式时，一般情况下按零
3 1 0 0 元素较多的行（列）展开较为简单。 001 2
按第一列元展开 0 0 1
23 0
1 (1)11 1 0 0 3 (1)31 0 0 1
3 1 3 1
解 3A11-A12+3A13-A14的系数
第四行元 A11 A12 A13 A14 第一行元的代数余子式
3A11-A12+3A13-A14=0（串行展开）
性质2（P62）行列式中某一行（列）所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面。
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai 2
ab c 1 abc c 1
1c1
利用行列式的性质计算行列式的值
3 1 1 2
1 3 1 2
5 1 3 4 c1 c2
2 0 1 1
1 5 3 4 0 2 1 1
1 5 3 3
5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
1 3 1 2 0 8 4 2 0 2 1 1 0 16 2 7
a a a 1
2
3 r2 r1
a1
a2
a3
即 b1 b2 b3 b1 a1 b2 a2 b3 a3
c1 c2 c3
c1
c2
c3
提示：以三阶行列式为例，证明右边=左边
提示：以三阶行列式为例，证明右边=左边
a1
右边= b1 a1
c1
a2
b2 a2
c2
a3
b3 a3
a1n
a11 a12