第120126号利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数,余弦函数的性质
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 PPT
D.
3 3
易知点12， 23在单位圆上，故 cos α＝12.
答案 A
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin23π，cos23π，则角 α 的最小 正值为________．
解析
由题意知，角
α
的终边上一点的坐标为
23，－12.
∴cos α＝
3
2
＝
232＋－122
3 2.
又 α 的终边在第四象限．
3
时，函数v=cosα取得最
小值，最小值为cos2π= 1. 3
二、正弦函数、余弦函数值的符号
【例】 (1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负； (2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解 (1)∵α 是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
单位圆与正弦函数、余弦函数 的基本性质
|学 习 目 标|
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性 质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)．
1．正弦函数、余弦函数的定义域是 R. 2．当__x_＝__2_k_π_＋__π2_(_k_∈__Z_)___时，正弦函数 y＝sinx 取得最大 值__1__；当__x_＝__2_k_π_－__π2_(_k_∈__Z_)___时，正弦函数 y＝sinx 取得最 小值___-_1__. 当_x_＝__2_k_π_(_k_∈__Z_)__时，余弦函数 y＝cosx 取得最大值_1___； 当 __x_＝__(_2_k＋__1_)_π_(_k_∈__Z_)__ 时 ， 余 弦 函 数 y ＝ cosx 取 得 最 小 值 __-1____.
解析 (1)因为 105°是第二象限角，所以 sin 105°＞0，又因为 230°
浅谈利用单位圆解决三角函数问题
㊀㊀㊀１４７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２６浅谈利用单位圆解决三角函数问题浅谈利用单位圆解决三角函数问题Һ韩㊀烨㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在前面的学习中我们对三角函数有了初步简单的认识，明确了三角函数的概念和性质．为了更好地理解和运用三角函数，我们引入单位圆这一概念，利用单位圆的直观㊁准确㊁方便和快捷的优势与特点，以及数形结合的方法，来解决基本的三角函数问题．ʌ关键词ɔ单位圆；三角函数；性质；应用１．通过单位圆探究三角函数１．１㊀认识单位圆在我们的数学学习过程中有一个十分关键的数学工具，那就是 圆 ．圆具有浑然天成的美感， 单位圆 是我们对圆进行的更为深入细致的定义．在我们以往的学习当中对 单位圆 进行这样的定义：以 １ 为半径的圆叫作单位圆．单位圆的方程为：ｘ２＋ｙ２＝１，由单位圆我们可以诱导出复平面㊁几何反演变换㊁指数映射等等相关问题．单位圆 在数学学习中占据着十分重要的地位，是解题的好帮手，是开启三角函数学习的金钥匙．在解决三角函数的问题中单位圆有着十分广泛的应用，对我们能够正确理解和运用正弦函数，余弦函数，正切函数的定义和性质，绘制函数的图像有重要的作用．我们也能够更加直观地得到三角函数的一些信息．为了更好更快地解决三角函数的相关问题，熟练掌握并灵活运用单位圆的概念和性质是首要准备．１．２㊀认识三角函数三角函数的定义：三角函数是基本初等函数之一，三角函数通常是以角度为其自变量，再由角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，或者也可以用单位圆中的对应线段的长度来进行定义，我们把这样的函数称为三角函数．三角函数是我们高中数学学习中至关重要的一环，其地位与重要性影响着接下来诸多内容的学习．１．３㊀利用单位圆探究三角函数终边定义法 作为我们最早认识三角函数的方法，的确在初期的学习中占据着主要的地位，但随着学习的深入㊁知识的丰富㊁方法的更新以及问题的复杂程度增加，终边定义法已经失去明显的优势，不利于后期知识的学习．所以我们提出了更为简单清楚的方法．为了追求更为简便的方法，获得更为直观的表达， 单位圆定义法 出现在我们的视野当中．假如我们用更为直观的 单位圆定义法 来对三角函数进行定义的话，对理解三角函数来说是否更有帮助？为了解决这一问题，我们将数形结合的数学思想贯穿于其中，同时在定义三角函数的过程中我们运用了单位圆的特点．单位圆定义法的引入，对正弦㊁余弦函数的计算过程带来更为容易理解的简化．同时，也更好地凸显出三角函数最为重要的特点 周期性．在一定程度上来说，我们可以将三角函数的基本性质（周期性，奇偶性）看作是圆的一种直观表达，把单位圆当作学习三角函数的载体，使得我们可以更好地将两者结合在一起共同学习．引入了单位圆，利用单位圆的特性，运用三角函数与单位圆之间的重要联系．举例来说我们可以通过某一角的三角函数值来确定其在单位圆上与之对应的坐标，也可以通过已知单位圆上与之对应的坐标来确定角所对应的函数值等一些有关的问题．我们不难看出单位圆的重要地位，作为经常应用的一种简单方法，单位圆以其直观性，具象化常常出现在我们的解题过程当中．对此我们应该重点推广单位圆在三角函数中的应用，为接下来的学习奠定基础．通过利用单位圆的对称性和具象性，充分调动数形结合的数学思想，将这一思想贯穿于全部的解题过程当中，有利于我们解决三角函数的问题．将单位圆的优势发挥到极致，使原本有些难以理解的三角函数的学习变得简单明了．１．４㊀单位圆在三角函数中的作用通过学习单位圆为接下来学习三角函数做好铺垫．灵活利用单位圆，学会十分巧妙地构造单位圆，把单位圆作为解决三角函数问题的桥梁，将问题带入到单位圆的图形之中，运用数形结合的思想，使解题变得具象化，体现了单位圆的重要性．掌握了具有直观㊁形象等特点于一身的单位圆，以及学会利用数形结合的思想来理解问题，能够将数形结合的思想熟练运用于三角函数的相关性质㊁推导过程的理解当中，能够解决多种三角函数的相关问题．使三角函数的问题由难化易，思路明了，快速准确．单位圆在三角函数中的广泛应用，在以下几个方面表现得尤为突出：（１）练掌握三角函数的公式．由于单位圆具有对称的特性，我们可以引发学生对单位圆对称性的思考与应用，通过讨论㊁画图等操作，我们不难看出，三角函数的诱导公式可以通过单位圆上所对应的对称点及其坐标间的关系来进行表达．从而使公式二到公式六，这五个公式形成一个整体，便于理解记忆，方便表达与运用．（２）定义任意角的三角函数．传统的在直角三角形中定义三角函数的方法已经不能满足我们的需要，所以我们将在单位圆中对三角函数进行定义．这种定义方法更加灵活实用，有利于我们解决复杂的问题．首先我们通过观察点所在的区域来确定各函数值的正负，再通过具体坐标计算出函数值．这一方法将广泛应用于三角函数的计算当中，对推广三角函数的基本关系式以及诱导公式有着至关重要的作用．（３）推广诱导公式．在三角函数的解题过程中诱导公式有着重要的地位，是解答三角函数问题必不可少的手段之一．通过观察直角坐标系中的单位圆，利用单位圆的几何直观效果，我们不难看出角α的终边与角β的终边关于ｙ轴对称，并且与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反．. All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４８数学学习与研究㊀２０２１ ２６（４）利用单位圆中的三角函数线熟练地绘制三角函数的图像．我们可以快速地从图像上直观发现三角函数的特性，解决有关三角函数问题时灵活地利用三角函数线可以达到事半功倍的效果．不同于其他函数单调枯燥的解题过程，三角函数有着诸多的解题方法，而我们经常使用的方法主要是定义法和图像法，其中图像法以其直观方便的特点常常被用于解答较为复杂的三角函数问题．当我们解答三角函数的问题时首先要弄清楚三角函数的性质．在掌握三角函数的性质并且对三角函数建立起初步的认识之后，我们发现以往的方法具有一定的局限性，在面对复杂的问题时，应该寻求更加简便的方法来解决问题．面对这样的情况我们巧妙地引入了单位圆，通过运用单位圆本身直观的形象，准确简便等特性，利用相关的数学知识，使三角函数问题由难化易，由繁变简，思路明确，方法准确．２．解题中的具体应用及技巧２．１㊀比较三角函数值的大小解题技巧：比较函数值以及对应角的大小等问题通常出现在填空或选择题当中，比较基础但不容忽视．在比较三角函数值大小的问题时，有时会出现如上题当中三角函数值与角直接进行比较的类型，有时会出现不同角的函数值需要比较，如果问题不能通过直接比较或简单的计算得出结论，那我们不妨换一种思路，可以寻求另外一种解题方法．解决此类问题主要运用单位圆在三角函数中的应用来进行思考，将普通的比较问题经由数形结合的方法转化为图形的形式，将所有的角以及数值都结合在同一个单位圆当中，便于比较与计算．２．２㊀求三角函数的定义域解题技巧：在遇到需要我们使用简便方法来解决所求变量的取值范围问题时，单位圆起着不容忽视的作用，它比通常的三角函数解题过程更加直观，对提高解题效率有很大的帮助，同时能够掌握更多解题的技巧和方法．但在使用此方法解题时，需要学生对平面直角坐标系有一定认识和掌握，并且对坐标系中各个象限的性质及规律能够熟练掌握，这样才能够又快又准地解决此类求范围的问题．２．３㊀求三角函数值例１㊀点Ｐ是单位圆上的一个动点，Ｐ沿着逆时针方向进行运动，运动角α后到达Ｐ１，继续运动π３到达点Ｐ２，若点Ｐ２的横坐标为－４５，则ｃｏｓα的值是多少０＜α＜π２()．解㊀根据题目的信息，首先让学生在纸上构建出相应的单位圆，这样我们就可以清晰地看出：ｃｏｓα＋π３()＝－４５，ｓｉｎα＋π３()＝３５，于是ｃｏｓα＝ｃｏｓα＋π３()－π３[]＝１２ｃｏｓα＋π３()＋３２ｓｉｎα＋π３()＝３３－４１０．２．４㊀证明三角函数不等式例２㊀设α为锐角，角α终边为ＯＰ，点Ａ和点Ｂ为圆与坐标轴的交点，ＰＱʅｘ轴于Ｑ，ＰＲʅｙ轴于Ｒ，试证明１＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜π２．证㊀首先根据题目条件构建单位圆如图１，得，ｓｉｎα＝ＱＰ，ｃｏｓα＝ＯＱ．图１在әＯＰＱ中，ＱＰ＋ＯＱ＞ＯＰ．所以，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．通过比较面积的表达式，不难发现存在这样一种关系：ＳәＯＰＢ＋ＳәＯＰＡ＜Ｓ扇形ＯＡＢ．由此证得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜π２．综上，问题得以证明．３．结语本文着重介绍了利用单位圆探究三角函数，以及在基本题型中单位圆的初步应用．通过以上对单位圆在三角函数中的应用的探究，我们不难发现，单位圆对解决三角函数问题的作用重大．由于单位圆的直观性使它成为研究三角函数的一个不可或缺的重要工具．当我们面对三角函数问题时，首先运用单位圆，再结合数形结合的数学思想，然后借助图像，利用图像将问题直观地呈现出来，从而达到所求目标．在我们关注一个概念的同时，更应该注重它的应用和推广．数形结合思想是伴随我们整个数学学习生涯始终的思想，是学习数学的灵魂． 数 与 形 密不可分，紧密相关． 数 与 形 只有在充分结合的情况下才能够发挥出最大的作用．在三角函数的解题过程当中，单位圆的身影时常出现．作为解决三角函数问题的好帮手而出现的单位圆，无疑将数形结合的解题方法和优势发挥得淋漓尽致．单位圆的引入为解决三角函数问题架设了新的桥梁，提供了有力的帮助，当运用单位圆解决三角函数一些基础的问题时，单位圆成了不二选择，奠定了单位圆在解决三角函数问题中的重要地位．ʌ参考文献ɔ［１］陈润堂．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．课程教材教学研究（中教研究），２０１３（Ｚ４）：８４－８５．［２］俞少华．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１４（１３）：７６．［３］李宗涛，袁宏．单位圆在三角函数不等式证明中的作用［Ｊ］．高等数学研究，２０１２（０３）：１７－１９．［４］季东升．单位圆在三角函数中的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１０（０８）：１３－１４．［５］赵宸．浅谈单位圆在三角函数解题中的运用［Ｊ］．都市家教（下半月），２０１７（０１）：２７７．. All Rights Reserved.。
《探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质》PPT课件(河北省县级优课)
人教A版选修4 §1.4.2
探究 与 发现
Page 1
三角函数线与正余弦函数
教材及学情分析 教 学 目标 教学重难点 教学过程
板书设计
Page 2
一、教材及学情分析
三角函数是中学数学的重要 内容，而三角函数线的概念 及应用贯穿整个三角函数的 教学。
借助三角函数线能推导 三角函数公式，求解三 角不等式，探索三角函 数的图像和性质。
y
MO
o
xx
p
OM
o
xx
p
Page 8
2 互动探究，形成概念
Page 9
2
互动探究，形成概念
思考1：当角α的终边在第一象限时，角α的正余
弦与Ｐ的纵、横坐标y、x之间有何关系？正弦线
余弦线如何变化呢？
y
sin y y
1
cos
=
x 1
x
P N
oM x
思考2：当角α的终边在第二象限时呢？
思考3：当角α的终边在其他象限时呢？当角α的 终边从零度角旋转一圈呢？
小结：知识方面：1.三角函数线的概念及做法；
2.三角函数线的应用
思想方法方面： 1.数形结合 2.分类讨论
作业：1.教材P40 练习
2.思考题：利用三角函数线研究以下问题
已知 （0， ），试比较，sin , tan的大小
2
Page 17
五、板书设计
一、复习引入 （5分钟）
二、探究知识 生成
课题
（10分钟） 学生板演
Page 10
互动探究，形成概念
由问题１、２、3你能重新画出角α的正 余弦函数的图象吗？你能重新理解正余 弦函数的周期性、奇偶性与单调性吗？ 说说看。
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件
升数学运算素养.
胡琪老师制作
3
当 =
11π 3
=
6
2
2π
1
=.
3
2
值域
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
【解析】(1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos
x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值
时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的
弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k)=cos a，
a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每
增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均
不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均
是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k均是它们的周
期，最小正周期为2π.
周期性
π
例 5．若函数 f(x)是以2为周期的周期函数，
2k
+ ,
∈
分析：这两个函数的虽然含有
正余弦函数，但受分式和根式
的影响，正余弦函数的函数值
有限制，从而导致定义域不再
是R，这要结合单位圆来解。
单位圆上找到余弦值为二分之
α
一的位置
取个特殊角，比
如0试试
余弦值是1，满足
不等式
环节三
值域
值域
π
x＝2kπ＋2(k∈Z)
当___________________时，正弦
数y＝cosx取得最小值______.
-1
探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数余弦函数的性质
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,si正n 弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到? 直?3 角查坐表标y系?内s，in从?3 而? 确0.定86对60应的点 (x,sinx).
y
描点
(
?
3
,0 .8660
)
1-
y
P
0
-?
2
-?
- 3?
与x轴的交点
-1
o
-
??
?
2
63
2? 3
5? ?
6
7?
6
4?
3
3? 2
5? 3
11? 6
2?
x
(
?
2
,0)
(32? ,0)
图象的最低点 (? ,?1)
-1 -
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
各单位长度而得到．
请单击：返回
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
P1
p
/ 1
-
-
-y
-
o1
M-1 1A
o
? 6
?
3
? 2
2? 3
5?
?
6
7?
4?
6
3
3?
5?
11?
2? x
2
3
6
-1 -
余弦函数 y ? cos x, x? ?0,2? ?的图象
y
1-
-
-o1
为理性思维和科学精神而教--评“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课例
................................--二二-―为理性思维和科学精神而教-评“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课例计海荣，陈柏良（浙江省杭州市西湖高级中学）摘要：课例着眼于“素养导向”，通过“问题串”的设计，引导学生进行连续的思维活动，发展学生的数学核 心素养。
课例在问题优化、育人价值挖掘、“策略性知识”概括等方面可进行改进。
深刻领会本节教材的地 位、作用和教学价值，有利于合理把握数学核心素养培养的“切入点”和“着力点”。
关键词：理性思维；科学精神；教学设计文章编号：1002-2171 (2021)2-0024-03新课程实施以来，一线教师对“核心素养导向的 数学教学”进行了积极实践。
杭州学军中学第十四届 学术节以“核心素养导向的课堂转型”为主题，组织了 河北省衡水中学康红叶、浙江省杭州学军中学詹长刚、宁波市镇海中学王振全3位老师以人教A版 新教材《数学》(必修第一册）中的“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”新授课内容为例进 行“同课异构”，给与会教师提供了 3节鲜活的课堂教 学案例。
本文以学军中学詹长刚老师的课堂实录为 例作一简评，同时谈谈笔者对本节课的数学理解和教 学设计中如何更好地发展学生数学核心素养的几点 拙见，与读者探讨。
1对本节课的简评1.1关注素养詹老师的教学设计，着眼于“素养导向”。
“问题 1”至“问题4”主要立足于“直观想象”核心素养的培养，后续利用单位圆对不等式“当〇<«<f时，则1< sin a+cos a<|”的证明，及“问题5”中对函数“/(a)=sin a+cos a”是否有最值的探究，培养学生的 逻辑推理核心素养，教学过程中比较重视提高学生的 观察和分析能力，体现了对数学运算核心素养的培养。
1.2问题驱动詹老师通过“问题串”的设计，促使学生实现对正 弦函数、余弦函数性质的自主发现。
单位圆内三角函数的三个定义
单位圆内三角函数的三个定义三角函数是高中数学中的重要内容，学生们都要熟练掌握。
而单位圆内三角函数是三角函数的一种扩展形式，可以更好地帮助学生理解三角函数的定义和性质。
本文将详细介绍单位圆内三角函数的三个定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数定义正弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到与终点P垂直的线段PN的长度。
即sinθ = PN，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
正弦函数反映了角度变化时在y轴上对应点所对应的值的变化，因此，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
二、余弦函数定义余弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到点P 的横坐标。
即cosθ= PX，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
余弦函数反映了角度变化时在x轴上对应点所对应的值的变化，因此，余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
三、正切函数定义正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，其形式神似，但是正切函数则是另外一种定义方式。
正切函数定义为正切θ = sinθ / cosθ，其中θ表示角度。
在单位圆上，正切θ等于直线y=sinθ与直线x=cosθ交点的斜率。
因此，正切函数的定义域为实数集合R，值域为R。
不同于正弦和余弦函数的是，正切函数有一些性质不同寻常的特点。
当θ的值为90度或270度时，余弦函数为0，而由于正切函数为sinθ / cosθ，因此此时定义不成立，值变成无限大或无限小。
因此，我们需要在使用正切函数的时候格外小心。
综上所述，单位圆内三角函数的三个定义分别是：正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以帮助我们更深入地理解三角函数的定义和性质，特别是对于正弦函数和余弦函数这两个最基本的三角函数，我们在学习中应该注重其几何意义，结合具体题目来巩固掌握。
同时，在使用正切函数时也要注意其一些特殊的性质，避免因为定义不成立而导致错误的结果。
单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义42单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课件
(2)∵－154π＝－4π＋65π，即－154π 与65π 终边相同， 而65π 为第三象限角， ∴－154π 也为第三象限角， ∴sin－154π<0.
又∵158π＝4π－25π，即158π 与－25π终边相同，而－25π为第四象限 角，
∴158π 为第四象限角， ∴cos 158π>0， ∴sin－154π·cos 158π<0.
4．已知 sin x＝2m＋3，且 x∈－π6，π6，求 m 的取值范围． [解] ∵x∈－π6，π6， ∴结合单位圆知 sin x∈－12，12， 即－12 ≤2m＋3≤ 12. ∴－74 ≤m≤－54.
合作 探究 释疑 难
正弦函数、余弦函数定义 【例 1】 已知角 α 的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋ cos α 的值． [解] r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝yr＝45aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
A．－34π，π4
B．－π2，π2
C．－π4，34π
D．[0，π]
A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及
直线 y＝x，要使 sin x≤cos x，由三角函数线的定义
知角 x 的终边应落在直线 y＝x 上或者该直线的下
方，故选 A．]
利用单位圆解三角不等式的一般步骤 第一步：找出不等式对应方程的根； 第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域； 第三步：结合单位圆写出不等式的解集.
－8 [∵sin θ＝ 42y＋y2＝－255， ∴y<0，且 y2＝64， ∴y＝－8.]
4．确定下列各式的符号． (1)sin 100°·cos 200°； (2)sin－154π·cos 158π.
利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数余弦函数的性质
增区间：-
2
2k，
2
2k
,
k
Z
减区间：2
2k，3
2
2k , k
Z
y
2
0
o
x
3 -
22
(3)单调性
x0
2
y=cosx
1
0
-1
递减
3 2
2
01
递增
(3)单调性
y cosx
减区间：2k， 2k , k Z
y
-
o
0
2 x
增区间： 2k，2 2k , k Z 增区间：- 2k，2k , k Z
6
6
例1.求下列函数的定义域
（2）y 1 2 cos x
1- 2cosx 0
cosx 1
-1
2
定义域为
2k
3
,2k
5
3
k
Z
y
1
3
1
O x1 x
2
5
-1
3
• 例2 函数y=cosx的一个递增区间为（ D）
A.( , )
22
C.( , 3 )
22
B.(0, ) D.( ,2 )
•
例3函数y=sinx,
P2 角 - 的 终边
关于x轴对称
关于y轴对称
谢谢 Thanks
复习回顾
α的终边 y
P
A
Mo
x
(Ⅱ)
T
y
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
y α的终边 T
P
o M A x 正弦线
y (Ⅰ)
余弦线 正切线
课例利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质
www 2021年第2期中学数学教学参考（上旬）■0A课例:利用单彳圆的性质_研％正弦函数、余弦函数的性詹长刚（浙江省杭州学军中学）摘要：单位圆在三角函数中具有重要的意义，利用单位圆的性质来研究正弦函数、余弦函数的性质是定 义的深入理解，同时也能在研究的过程中提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模 等核心素养。
关键词：单位圆；正弦函数；余弦函数；数学核心素养文章编号：1002-2171(2021)2-0019-052020年11月26日，在浙江省杭州学军中学第十 四届学术节暨第十二届校园文化节活动中，笔者同另 两位来自全国名校的教师进行了“利用单位圆的性质 研究正弦函数、余弦函数的性质”同课异构教学展不 活动，现将笔者的教学设计和课堂教学实录分享给大 家，敬请指正。
1内容和内容解析内容：利用单位圆研究正余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值。
内容解析：前面已经学过三角函数的定义，并利 用定义得出了同角三角函数的基本关系和诱导公式，本节课主要利用单位圆的性质来分析探究，能够强化 数形结合思想，发现正弦函数、余弦函数的性质，同时求数列的前2»项和。
为偶数。
[〇n+\本题主要考査数列通项公式的求解、分组求和 法、指数型裂项求和、错位相减求和等，属于中等题。
高考以类比、拓展性知识为主线，设置能力型试题，实现数学的选拔功能。
这样的试题是第三轮复习中需 要重点关注的。
例7 (2020年高考数学上海卷第21题）有限数列{〇«}，若满足I—丨< 丨— “3I<…< U—a J是项数，则称满足性质/>。
(I )判断数列3,2,5，1和4,3,2,5，1是否具有 性质/>,请说明理由。
让学生体会数学知识的相互联系，激发学习兴趣。
2目标和目标解析目标：能够学会从单位圆的角度研究正弦函数、余弦函数的性质，体会数形结合思想的应用。
目标解析：达成目标的标志：一是能够准确地研究出正弦函 数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值；二是能 够再发现正弦函数、余弦函数的其他性质；三是能够 类比研究出函数，如/(a)=sin a+cos a的单调性、最 值等。
第120126号利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数,余弦函数的性质
复习回顾: l
r r （其中 l是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）
特别地, 当r =1时， l
此时的圆称为单位圆，
这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。
设
类比提问：
置 疑
问
能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢？
， 探
索
总
结
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
•教材分析 •学情分析 •教学目标 •教法分析与学法指导 •教学过程设计
·三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
质
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２（角 旋转一周），
正弦线（MP）、余弦线（OM）重复出现。
正弦函数、余弦函数是周期函数。
动 态
演
示
，
研
究
性
质
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤；
Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于x轴对称，余弦线重合
动
态
课 堂 小 节 ， 布 置 作 业
•过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
•情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (2)
02:35
2
3
4
5 6 x
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
2
3
4
5 6 x
正弦函数图象的关键点
y
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五个图关象键的点最—高点 ( ,1) 2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0) (0(0,0,(0)0),0) (0,0)
描点法
有哪些步骤？
列表、描点、连线
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π ]内 的图象，可取哪些点？
02:35
作图：用描点法画正弦函数的图象
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x0
6
3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y 0 1 1 1
几何法
y
B
1
y=sinx x[0,2]
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
（1）作直角坐标系，并在y轴左侧画单位圆； （2）把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）；
（（弦34函） ）数找可线横分；坐别标在：单把位圆x轴中上作从出0到对2应π于这0一, 段6相, 3应, 2分,成1,22等 份等；角的正
x
0
2
3
2
单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数性质
单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数性质【教材位置】必修4《三角函数》第41页. 【教学目标】1、加深对三角函数线的认识，能用三角函数线解决些问题2、通过对图形反馈信息的对比、整理，培养分析整理能力、归纳能力3、探究角大小的变化与三角函数线的变化之间的规律4、体验三角函数线对研究三角函数的作用5、了解三角函数线可以研究三角函数的其它性质 【教学过程】.一、三角函数图像和性质回顾1、图像二、新授导入三角函数的性质可以观察图像得到.然而单位圆中的三角函数线能直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，因此三角函数线是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质.三、三角函数线设角α的终边与单位圆交与P点,与过点A(1,0)的单位圆切线交于T点(当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点),过P作PM垂直x轴于M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线.如图，正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT.四、函数y=sinx、y=cosx的性质研究如图，在直角坐标系uOv中，角x的顶点与原点重合，始边与Ou轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v）.过P作Ou轴的垂线，交Ou轴于M，得正弦线MP、余弦线OM.当角x的终边绕原点从Ou轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，正弦线MP按照0→1→0→－1→0→1…的规律周而复始地变化着.同时余弦线OM按照1→0→－1→0→1→0…的规律周而复始地变化着.由正弦线、余弦线的变化规律，得到：1、周期性自变量每增加π2（角x的终边旋转一周），正弦值（MP）、余弦值（OM）重复出现.2、奇偶性角x与角－x对应的正弦线关于Ou轴对称，余弦线重合.五、讨论诱导公式六、利用三角函数线解题1、比较sin400与sin1350大小. 解：sin1350= sin450如图：450角的正弦线大于400角的正弦线， 故sin400<sin13502、已知sin α21≥，求角α的集合.解：在单位圆中，角π6和5π6的正弦线长度为21，因为sin α21≥，即角α正弦线长度大于21，所以角α在π6 和5π6之间， 故角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,26526ππαππα.。
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有向线段的方向： 按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。
如图⑴：
⑴
有向线段OM,O为起点， M为终点，由O点指向M点；
有向线段的数值（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）：
绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；
与坐标轴反向，取负值。
设
置
如图⑵：OM= 1,ON= -1，AP＝1/2。
•过程与方法目标：
借助几何画板让学生经历概念的形成过程以及性质的判定过程， 进一步训练学生的数形结合思维能力， 让学生主动观察、发现、类比、探索。
•情感态度与价值观目标：
激发学生自主探究的积极性， 鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯， 从而改进学习方式，提高思维能力。
•重点：
三角函数线的定义及作法； 利用三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。
•难点：
利用与单位圆有关的有向线段， 将任意角的正弦、余弦函数值分别用它们的几何
形式表示出来。
1．教法选择：
利用几何画板，通过几何直观帮助学生 理解定义，引导学生主动探索发现；
2．学法指导：
类比产生知识迁移； 观察体验知识的形成过程。
• 设置疑问，探索总结 • 动态演示，研究性质 • 课堂小结，布置作业
１→０→－１
增函数
减函数
动 态 演 示 ， 研
请根据余弦线的变化规律， 完成余弦函数单调性讨论表格：
角
……
……
余弦线OM
-１→0→1 1→0→-1
cosx
增函数
减函数
动 态 演 示 ， 研 究 性 质
性质４：最大值、最小值
请根据对正弦线、余弦线的变化规律的观察,完成下表:
角 ……
……
角
……
……
Ⅲ.判定正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 。演示
，
研
究
性
质
性质3：单调性
请根据正弦线的变化规律思考正弦函数是否存在单调区间？ 如果存在，判断在相应的单调区间是增函数还是减函数， 并填写下列表格：
角
正弦线MP sinx
－
2
+2k→ ０
+2k→
2
+2k
2
+2k→
+2→k
3 2
+2k
－１→０→１
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修４ 第一章1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》“探究与发现”
•教材分析 •学情分析 •教学目标 •教法分析与学法指导 •教学过程设计
·三角函数是中学数学的重要内容之一，
而三角函数线的概念及其应用不仅体现 了数形结合的数学思想，又贯穿整个三 角函数的教学 ；
疑 问
，
探
⑵
索
总
结
复习提问:
:
１.任意角 的正弦如何定义?
２.能否用几何图形表示出角 的正弦呢?
设 置 疑 问 ， 探 索 总 结
设
置
疑
单位圆有关的有向线段MP叫做角 的正弦线。
问
，
有向线段OM叫做角 的余弦线
探
索
总
结
总结作法:
1.正弦线与余弦线的做法：
第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点P；
复习回顾: l
r r （其中 l是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径）
特别地, 当r =1时， l
此时的圆称为单位圆，
这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值。
设
类比提问：
置 疑
问
能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦函数值呢？
， 探
索
总
结
分散难点:
有向线段：带有方向的线段。
第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，
得正弦线MP、余弦线OM。
设
2.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
置 疑
问
，
探
索
总
结
观察角的终边在各位置的情形, 结合正弦线、余弦线和已学知识， 你能得出正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 并说明理由。
周期性、奇偶性、单调性、
最大值与最小值
动 态
演
示
，
研
究
性
·借助三角函数线可以推出三角函数公式，
求解三角函数不等式，探索三角函数的图 像和性质。因此，三角函数线是研究三角 函数的有利工具；
·本节课利用单位圆中的三角函数线讨论三角
函数图像和性质，既是对利用三角函数的图象 研究其性质的一个补充， 又为下一小节的研究在方法上作铺垫； 并且再次强调了单位圆的直观作用， 拓宽了研究三角函数性质的视野。
⒈学生已经掌握任意角三角函数的定义， 三角函数值在各象限的符号以及诱导公式一， 为单位圆中的三角函数线的寻找及其讨论 三角函数的性质在做好了知识准备；
⒉学生对于从三角函数得到三角函数线的 由数到形的理解存在一定的困难。
•知识与技能目标：
⑴利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦函数值； ⑵利用三角函数线得到正弦函数、余弦函数的性质。
正弦线MP -1
1
余弦线OM -1
1
sinx 最小值 最大值
cosx 最小值 最大值
动
态
演
示
，
研
究
性
质
课堂小结：
①三角函数线（正弦线、余弦线）及其作法；
②结合正弦线、余弦线研究正弦函数、
余弦函数的性质。
课
堂
小
节
，
布
置
作
业
布置作业：
1.思考题：tan y 如何用有向线段表示？
x
2.你能借助单位圆中的三角函数线， 讨论一下诱导公式等三角函数的其他性质吗？
质
几何画板
性质１：周期性
自变量每增加２（角 旋转一周），
正弦线（MP）、余弦线（OM）重复出现。
正弦函数、余弦函数是周期函数。
动 态
演
示
，
研
究
性
质
性质２：奇偶性
Ⅰ.回顾判断函数奇偶性的步骤；
Ⅱ.考察函数中的自变量角α与角－α相应的的正（余）弦线之间 的位置关系；
正弦线关于x轴对称，余弦线重合
动
态
课 堂 小 节 ， 布 置 作 业