范崇澄等导波光学

(
x)}
dJ0 (x) dx
=
−J1(x); ；
dI0 (x) dx
=
I1 (x )
；
dK0 (x) dx
=
−K1(x)
（A2-13） （A2-14）
(A2-15） （A2-16）
A2.4 朗斯基关系式
定义：
W{F1
(x),
F2
(x)}
≡
F1
(x)
dF2 (x) dx
−
F2
(x)
dF1 (x ) dx
为函数 F1(x) 和 F2 (x) 的朗斯基关系式，则下列诸等式成立：
W{J
ν
(x
),
H
(1) ν
(x)}
=
j2 πx
=
J
ν+1
(x
)H
(1) ν
(x
)
−
J
ν
(
x
)H
(1) ν+1
(
x)
=
Jν
(wk.baidu.com
x
)H
(1) ν−1
(x)
−
H
(1) ν
(x)J
ν−1
(x)
W{J
ν
(
x),
H
(2) ν
(x
)}
=
−
j
2 πx
(x
)
J νm1 (x)
=
2ν x
J(x)
−
J v±1 (x)
I
νm1
(
x)
=
±
2ν x
Iν
(x)
+
I
ν±1
(x
)
K νm1(x)
=
m
2ν x
Kν (x) +
K ν±1 (x)
dJν (x) dx
=
m
νJν (x) x
±
J νm1 (x)
=
1 2
{J
ν−1
(x
)
−
Jν+1 (x)}
dIv (x) dx
)
(
x)∞
exp(− jχ) (x 2 − ν2 )1/
4
其中
χ = (x 2 − ν2 )1/ 2 − ν arccos⎜⎛ ν ⎟⎞ − π ⎝x⎠ 4
当 x < ν 且 ν − x >> ν1/3 时
Jν (x) ≈
1 exp(−χ) ; 2π (ν2 − x 2 )1/ 4
H
(2) ν
(x
)∞
⎧ ⎨1
−
⎩
4ν2 −1⎫
8x
⎬ ⎭
Kν (x) ≈
π 2x
e−x
⎨⎧1 + ⎩
4ν2 −1⎫
8x
⎬ ⎭
Kν±1 (x) ≈ 1+ 1± 2ν
Kν (x)
2x
3. 迪拜近似式
当 x > ν 且 x − ν >> ν1/3 时
Jν (x) ≈
2 π
cos χ (x 2 − ν2 )1/ 4
;
H
(2 ν
(ν
≠
0);
K
0
(x
)
≈
ln
⎡ ⎢⎣
2 γx
⎤ ⎥⎦
（A2-17）
(A2-18) (A2-19) (A2-20) (A2-21)
（A2-22） （A2-23） （A2-24） （A2-25） （A2-26）
2
范崇澄等：导波光学 附录 A2
∑ 其中 γ=1.781 072
418
是欧拉常数 C ≡
⎡
lim
x 2 d 2G + x dG − (x 2 + ν 2 )G = 0 dx 2 dx
（A2-2）
A2.2 贝塞尔函数、汉开尔函数以及变态贝塞尔函数之间的关系
H (1) ν
(x)
=
Jν
(x)
+
jN ν
(x)
；
H(2) ν
(x)
=
Jν
(x)
−
jN
ν
(x)
Jν ( jx) = jνIν (x); J0 ( jx) = I0 (x) ； J1( jx) = jI1(x)
0);
N0 (x)
≈
2 π
ln
x
H
(1) ν
(
x
)
≈
−
j(ν − π
1)!⎜⎛ ⎝
2 x
⎟⎞ν ⎠
(ν
≠
0);
H
(1) 0
(x
)
≈
2j π
ln
x
Iν
(x)
≈
ν1!⎜⎝⎛
x 2
⎟⎞ν ; ⎠
I0
(x)
≈
1+
x2 4
;
I1 (x )
≈
x 2
+
x3 16
Kν (x)
≈
(ν −1)!⎜⎛ 2⎝
2 x
⎟⎞ν ⎠
范崇澄等：导波光学 附录 A2
附录 A2 贝塞尔函数
A2.1 微分方程
第一类和第二类贝塞尔函数
J
ν
(
x)
、
N
ν
(
x
)
以及第一类和第二类汉克尔函数
H
(1) ν
(
x
)
、
H
(2) v
(x
)
均满足下列微分方程
x 2 d2F + x dF + (x 2 − ν2 )F = 0 dx 2 dx
（A2-1）
第一类和第二类变态贝塞尔函数 Iν (x) 、 K ν (x) 均满足下列微分方程
J −ν (x) = (−1)ν Jν (x)
K
ν
(−
jx)
=
⎜⎛ ⎝
π 2
⎟⎞ ⎠
jν+1H
(1) ν
(x
)
K−ν (x) = Kν (x)
（A2-3） （A2-4） （A2-5） （A2-6）
A2.3 递推关系及微分关系
有关 Jν (x)
的公式同样适用于
N
ν
(x
)
、
H
(1) ν
(
x)
、
H
(2) ν
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
u2 x2 2
x − v2 [uK
[K
2 ν
(ux
)
ν (vx)Kν±1(ux) − vKν − Kν+1(ux)K ν−1(ux)]
(ux)K
ν±1
(vx)]
(u ≠ v) (u = v)
（A2-37）
∫x
0
x ν K ν−1 (x)dx
=
−xνKν
(x)
（A2-38）
4
∫ xJ
ν
(ux
)J
ν
(vx
)dx
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
u
mx 2 −v
2
[
vJ
x2 2
[J
2 ν
(ux)
ν (ux)Jν±1(vx) − uJν±1 − Jν−1(ux)Jν+1(ux)]
(ux)J
v
(
vx
)]
(u ≠ v) (u = v)
∞
∫x xKν (ux)Kν (vx)dx =
（A2-36）
n→∞
⎢⎣
n 1
1 m
−
ln
n⎥⎦⎤
=
0.577215664901...
的自然指数,
即 γ = ec 。
2．x>>1 时
Jν(x) ≈
2 πx
cos⎜⎛ x ⎝
−
νπ 2
−
π ⎟⎞ 4⎠
H
( 2) ν
(x
)
2 πx
exp⎨⎧− ⎩
j⎜⎛ ⎝
x
−
νπ 2
−
π 4
⎟⎞⎬⎫ ⎠⎭
Iν (x) ≈
ex 2πx
W{H
(1) ν
(
x
),
H
(2) ν
(
x)}
=
j
4 πx
W{J ν
(x), Nν
(x)}
=
2 πx
A2.5 近似表达式 1． x → 0 时
Jν
(x)
≈
1 ⎜⎛ ν!⎝
x 2
⎟⎞ν ; ⎠
J0
(x)
≈
1−
x2 4
;
J1(x)
≈
x 2
−
x3 16
Nν (x)
≈
(ν
−π1)!⎜⎝⎛
2 x
⎟⎞ν ⎠
(ν
≠
=
m
ν x
Iν
(x)
+
Iνm1 (x)
（A2-7）
（A2-8） （A2-9） （A2-10）
A2-11） （A2-12）
1
范崇澄等：导波光学 附录 A2
=
1 2
{I ν−1 (x )
+
Iν+1 (x)}
dKν (x) dx
=
m
ν x
Kν
(x)
−
K νm1 (x)
=
−
1 2
{K
ν−1
(
x)
+
K
ν
+1
(ν
exp χ 2 − x 2 )1/
4
其中
χ = νch⎜⎛ ν ⎟⎞ − (ν2 − x 2 )1/ 2 ⎝x⎠
（A2-27） （A2-28） （A2-29） （A2-30） （A2-31）
（A2-32） （A2-33）
（A2-34） （A2-35）
3
范崇澄等：导波光学 附录 A2
4. 积分关系