分组分解法因式分解(5课时)
分组分解法进行因式分解
分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
例2. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用例：求方程的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解4、中考点拨例1.分解因式：_____________。
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：____________说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：____________说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：例1. 分解因式：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
初中中考数学因式分解的九种方法解析
初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。
一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
八年级数学上册《13.5.4 因式分解——分组分解法》 华东师大版
4、分组分解法
计算:(a+b)(m+n) 整 分解因式:am+an+bm+bn 因
=a(m+n)+b(m+n法) 式 =am+an+bm+bn 乘
=a(m+n)+b(m+n)
式 分
=(a+b)(m+n)
解
定义：这种把多项式分成几组来分解因 式的方法叫分组分解法
注意：如果好相同，那么 这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
=21(x+y) (3)5m(a+b)-a-b
(2)p-q+k(p-q) 解：原式=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k) (4)2m-2n-4x(m-n)
解：原式=5m(a+b)-(a+b) 解：原式=2(m-n)-4x(m-n)
=(a+b)(5m-1)
=(m-n)(2-4x)
例１把a2-ab+ac-bc分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后
两项分成两组，分别提出公因式a与c后， 另一个因式正好都是a-b，这样就可以提 出公因式a-b 。
解法一：a2-ab+ac-bc
=(a2-ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式
=(a-b)(a+c) ——提公因式
解法一： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
因式分解(分组分解法)
因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
分组法因式分解教案
分组法因式分解教案教案内容：一、教学内容：本节课的教学内容选自人教版初中数学八年级上册第五章第二节《分组法因式分解》。
本节课的主要内容是让学生掌握分组法因式分解的方法和技巧，能够运用分组法对一些多项式进行因式分解。
二、教学目标：1. 学生能够理解分组法因式分解的原理，掌握分组法因式分解的方法。
2. 学生能够运用分组法因式分解解决一些实际问题。
3. 学生能够通过分组法因式分解，提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点：重点：掌握分组法因式分解的方法。
难点：如何正确分组，以及如何在分组后正确提取公因式。
四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备学具：笔记本、练习本、铅笔、橡皮五、教学过程：1. 实践情景引入：教师可以通过一个实际问题引入本节课的内容，例如：“已知多项式f(x) = x^2 + 4x + 4，请尝试对其进行因式分解。
”2. 讲解与演示：教师在黑板上进行分组法因式分解的演示，可以选择一个简单的例子进行讲解，例如：“已知多项式f(x) = x^2 + 4x + 4，我们可以将其分为两组：(x^2 + 4x)和(4)，然后提取公因式x + 2，得到f(x) = (x + 2)(x + 2)。
这样就完成了因式分解。
”3. 随堂练习：教师可以给出几个练习题，让学生分组讨论并进行因式分解，例如：“已知多项式f(x) = x^2 + 5x + 6，请尝试对其进行因式分解。
”4. 例题讲解：教师可以选择一个中等难度的例题进行讲解，例如：“已知多项式f(x) = x^2 + 6x + 9，我们可以将其分为两组：(x^2 + 6x)和(9)，然后提取公因式x + 3，得到f(x) = (x + 3)(x + 3)。
这样就完成了因式分解。
”5. 作业布置：教师可以布置几个因式分解的练习题，让学生课后进行练习，例如：“已知多项式f(x) = x^2 + 7x + 14，请尝试对其进行因式分解。
因式分解---分组分解拆添项法
因式分解---分组分解、拆添项法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（因式分解---分组分解、拆添项法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为因式分解---分组分解、拆添项法的全部内容。
板块一：分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式, 这就是分组分解法.【例1】分解因式：% 2 + ax 2 + x + ax一 1 一a【例2】分解因式：期一% -y+1【例3】分解因式：ax一by - bx + ay【例4】分解因式：ac2 + bd2 -ad2 -bc22T y+x—2x【例5】分解因式：7【例7】分解因式：X4 + X3 + X2 -1【例8】分解因式：ax +bya xy-2【例9】分解因式：Xxzr-) y(y a )［例10］分解因式：(x2+1)2+Xx-2)(x2+x+1)-x2【例11】分解因式：(ax+颇ay-x 2x2cy2 【例12】分解因式：x(x-1)(x-2)-6【例14】分解因式：axy^^3）b^ba-2y）【例15】分解因式：K如⑼2—ax【例16】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数. 【例17】分解因式：2x2「a肝（4a的）【例18】分解因式：b2以）「ad 2ad【例19】分解因式：x3 + bx2 + ax- b【例21】分解因式：a2b -a2 -b2 +12xy-却【例23】分解因式:6a2 -9a xy+【例24】分解因式：5x3-15x2-x 3【例25】分解因式：5a2 m-15am+3abm-9bm【例26】分解因式：x3——xx + 2 + x5— 2 x 4 【例28】分解因式：3+^(+ +&— +旗—+d2【例29】分解因式：x2—^^一3y【例30】分解因式：笫+y5T x性产)1 1x2 n + x n y 4 m + —9 4【例32】分解因式：【例33】分解因式：31—须—12 b— 2【例34】分解因式：落+第—y —*【例35】分解因式:ax3 + x+a+1【例36】分解因式：a4 一 a ba b + b 【例37】分解因式：x3 +++x2 2y+ 2【例39】分解因式：XXXXX4 + 3 + 2 + +11【例40】分解因式：@+bXa一（x+bya+（3一一X x3y）=因式分解一-分组分解、拆添项法【例41】分解因式：3+纱+°+怎+( +须+原+b+G[例42] 分解因式：axb-+xb x-ax+a-b【例43】分解因式：ax-ay+bx+cy-cx-by板块二:拆项与添项模块一：利用配方思想拆项与添项【例44】已知g+拉-儡b+13 = 0 ,求帅的值.【例45】分解因式：％4+寿2X2+X+1【例46】分解因式：的+2 ^b+3a2-bu+2加+加 =,【例47】分解因式：％4-3^+1【例48】分解因式：-^-23x2+1 ；【例49】分解因式：a4 + a 2 b2+ 加【例50】分解因式：x12—3x6 +1【例51】分解因式：x8 +x4 +1【例52】分解因式：x4-7x V +8故【例53】已知n是正整数，且n4-16n2 +100是质数，那么〃 = 【例54】分解因式：（1+亨》2x2 QQ x4 0—y >【例55】分解因式：x4-20 +3x珀㈤2分解 因式：-a 4 -b 4 -c 4 +++2b 2b 2c 2 2c 2a 模块二:拆项与添项【例61】分解因式：g-4a +3【例62】分解因式：%3 + 2x 2-65 x 【例56】 分解因式：落0+)一以x 或〃-b )+赵b ) 【例57】 把刑例分解因式. 【例58】 分解因式:%，+ 64 【例59】证明：在mn 都是大于l 的整数时,隰+4.是合数. 【例60】【例63】分解因式： X 3 +3x 2 -4【例64】分解因式：X 2 + 6x -7【例65】分解因式:*-9x +8【例66】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 3 + 6X 2 +11x +6【例67】（“CASIO"杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：X 4 + 2x 3 - 9X 2 -+8【例68】若x +产-1 ，则 x 4 +5x 3y +x 2>+8x 2* x 2 +5x 3+ y 的值等于（） A.0 B.-i C.1 D.3【例70】分解因式：+^+1【例71】分解因式：a + a4+1【例72】分解因式：a3 +如c 3abc 。
因式分解之分组分解法
因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式 进行因式分解。
常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组， 含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。
2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好 相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。
而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
《分组分解法》因式分解导学案与课后作业
《分组分解法》因式分解导学案班级： 座号： 姓名：一、教学目标：1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；● 2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.二、教学重点和难点：重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.⏹ 难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.三、教学过程：1、复习：已学过的因式分解的方法有 ； ； ；2、什么是分组分解法？当一个多项式的项数大于或等于四 时，常把这个多项式进行适当的分组。
先在组内因式分解；再在小组之间进行因式分解。
这样处理的一种因式分解的处理技巧，称为分组分解法。
3、几种常见的分组技巧：（一）分组后能直接提公因式例1：分解因式：bn bm an am +++ （有两种不同的分组方法）练习1：分解因式1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式（平方差公式、完全平方公式）例2：分解因式：x 2−9y 2+x −3y 例4 ：分解因式： yz z y x 2222---练习2：分解因式：（1）ay ax y x ++-22 （2） 2222c b ab a -+-（三）分组后能用公式法或十字相乘法例3：因式分解322222--++-y x y xy x（四）计算后，重新分组例4：因式分解（1） x 2+x －(y 2+y) （2）)2())((a b b c a c a -+-+（五）根据题目的特征进行适当的分组，再把多项式分解因式：1. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-2. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--3.按公式特点分组（1）2ab －a 2－b 2+c 2. （2）a b b ab a 4912622-++-四、总结分组分解规律1.分组方法：按项数进行（2+2型）（1+3型）（2+3型）（3+3型）分组2.组内分解（提公因式、平方差公式）.3.组间再分解（整体提因式）4.在分组分解过程中要特别注意：小括号的使用及符号的变化.五、课堂练习：把下列各式因式分解 (1)a 2－ab+3b －3a (2) x 2－6xy+9y 2－1 (3)am －an －m 2+n 2(4) 2229124c bc b a -+- （5）122222++-+-ab b b a a1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ）A ．1种B .2种C .3种D .4种2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ）3．填空：（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )4．把下列各式分解因式（2）3223y xy y x x --+（4） 4x 2－4xy －a 2＋y 2 （5）1―m 2―n 2＋2mn (6) x 2+x －(y 2+y)；(7) 92234-+-a a a (8) 222y yz xz xy x ++--5、求证：无论x,y 为何值，35201312422+++-y y xy x 的值恒为正。
因式分解(分组分解法)
主课题：因式分解(分组分解法)教案目标：1. 了解分组分解法的概念；2. 掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；3. 通过因式分解的综合题的教案，提高综合运用知识的能力。
4.渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。
教案重点：1. 在分组分解法中，提公因式法和公式法的综合运用；2. 通过观察、分析及尝试比较，找到合理的分组方法。
教案难点：1. 对较复杂的多项式分解因式；2. 灵活运用已学过的因式分解的各种方法；3. 正确地分组，熟练地掌握学过的方法，且能通过分析、预见到分组后的情况。
考点及考试要求：教案内容【知识要点】1. 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；2. 利用分组分解法分解因式的多项式特征：(1)多项式的项数一般大于三项；(2)分组后各组可利用提取公因式法、公式法或十字相乘法进行分解；(3)各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解。
【方法归纳】常见的分组方法有：(1) “2+2”型：分为两组，每组两项，每组先提公因式，再总体提公因式，如222x xy x b --+；(2)“3-1”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，整体是平方差公式，如2229x xy y -+-；(3)“3+2”型：“3”是可用完全平方公式的三项式，“2”是可以提取公因式的二项式，总体可以提取公因式，如222x xy y ax ay -++-；(4)“2+2+2”或“3+3”型，如223322a ab ab b a b -+--+，222ax bx bx ax cx cx +++++；(5)“3+2+1”型，如2212366368x xy y x y -+-++. 一、复习引入1.分解因式：(1) ()()a b x a b y +++；(2) 294916t -； (3) 2214a ab b -+； (4) 261x x --.通过练习，回顾已学的因式分解方法。
2.多项式ax ay bx by +++能因式分解吗？怎样分解？观察多项式ax ay bx by +++，启发分析如下：(1) 它的各项无因式，不能用提取公因式法分解；(2) 这是一个四项式，也不能直接用公式法或十字相乘法分解；(3) 仔细观察多项式的各项，发现：前两项有公因式a ，后两项有公因式b ，分别提取公因式后整个多项式有了公因式x y +，于是可再提取公因式分解因式。
因式分解分组分解法课件
解２： 3ax 4by 4ay 3bx ＝ (3ax 3bx) (4by 4ay) ＝ 3x(a b) 4y(a b) ＝ (a b)(3x 4y)
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例４：把 m2 5n mn 5m 分解因式． 解： m2 5n mn 5m ＝ (m2 mn) (5n 5m) ＝ m(m n) 5(m n) ＝ (m n)(m 5)
=(a+b)(5m-1)
=(m-n)(2-4x)
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例１把a2-ab+ac-bc分解因式
解２： a2 ab ac bc (a2 ac) (ab bc) a(a c) b(a c) (a c)(a b)
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例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式
分析：把这个多项式的四项按前两项与后两 项分成两组，并使两组的项都按x的降幂排 列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这 时，另一个因式正好都是x-5y，这样全式就可 以提出公因式x-5y。
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项
分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个
因式正好都是a-b，这样就可以提出公因式ab。
解法一：a2-ab+ac-bc =(a2-ab)+(ac-bc) ——分组
=a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式
=(a-b)(a+c) ——提公因式
解法一： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
分组分解法因式分解(5课时)
分组【2 】分化法（第一教时）（一）温习把下列多项式因式分化(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)（二）新课讲授1．引入提问：若何将多项式am+an+bm+bn因式分化？剖析：很显然,多项式am+an+bm+bn中既没有公因式,也不好用公式法.怎么办呢？因为am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).如许就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)应用分组来分化因式的办法叫做分组分化法.解释：假如把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好雷同,那么这个多项式就可以用分组分化法来分化因式.演习：把下列各式分化因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分化因式剖析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,分离提出公因式a与c后,另一个因式正好都是a-b,如许就可以持续提公因式.解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分化因式剖析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x的降幂分列,然后从两组平分离提出公因式2a与-b,这时另一个因式正好都是x-5y,如许就可持续提公因式. 解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试.假如能,请你看一下成果是否雷同？演习：把下列各式分化因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2四.课外功课把下列各式分化因式1． a(m＋n)－b(m＋n) ⒉ xy(a－b)＋x(a－b)3． n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b)5． p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b)7． a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx9． 2x3－x2＋6x－3 ⒑ 2ax＋6bx＋7ay＋21by⒒ xy＋x－y－1 ⒓ ax2＋bx2 －ay2－by2⒔ x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕ 3m－3y－ma＋ay⒖ 4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗ x3y－3x2－2x2y2＋6xy分组分化法（第二教时）（一）温习1．提问：什么是分组分化法？分组时有什么请求？2．用分组分化法因式分化：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4（二）新课讲授1．例题剖析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分化因式剖析：假如象上节课一样,分离把前后两项分离分成两组,则无法持续分化,但把一.三两项和二.四两项分离分成两组,是可以分化下去的.解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交流律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式演习:用分组分化法因式分化：(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分化因式剖析：假如把前后两项分离分成两组,固然后两项有公因式,但前后两组之间却没有公因式,不好持续分化.假如把一.四两项和二.三两项分成两组,就可以持续分化了.解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)演习：把下列各式分化因式(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz四.课外功课把下列各式分化因式1． mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx3． m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－15． a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx7． xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc分组分化法（第三教时）（一）温习1．什么是分组分化法？2．把下列各式分化因式(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3.填空(1)a2-b2=__________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________（二）新课讲授1．例题与演习例5：把x2-y2+ax+ay分化因式剖析：显然无论若何分组都无法用前面的常识来分化,是不是无法分化呢？不是.因为第一.二两项知足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三.四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y).解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)演习：把下列各式分化因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a2-2ab+b2-c2分化因式剖析：用适才的办法不能奏效.我们发明a2-2ab+b2是完整平方法(a-b)2,此时,原式就变为(a-b)2- c2,再用平方差公式.解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组=( a-b)2- c2 应用完整平方公式=[(a-b)+c][(a-b)-c]应用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)演习：把下列各式分化因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四.课外功课把下列各式分化因式⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2⒌s2－t2＋3s－3t ⒍x2－2x＋2y－y2⒎4a2－b2－2a－b ⒏9a2－6a＋2b－b2⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2⒔x2－4y2＋4y－1 ⒕x2－y2－z2－2yz分组分化法（第四教时）（一）温习把下列各式分化因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2提问：什么样的多项式可以用分组后应用公式法？（二）新课讲授1．例题与演习例7把下列各式分化因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2剖析：在第（1）题分好的两组中,固然第一组可用平方差公式,但与第二组却无公因式,是以无法分化.假如将括号去失落,再从新分组,得x2-（4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分化因式.在第（2）题中,先用平方差公式分化,再用分组分化法.留意：必须进行到每一个多项式因式不能再分化为止.解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1)= x2–(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2 +2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)演习：把下列各式分化因式(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多项式分化因式(1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分组=x2(x+y)-y2(x+y) 分离提公因式=(x+y)(x2-y2) 提公因式=(x+y)[(x+y)(x-y)] 应用平方差公式=(x+y)2(x-y) 雷同因式写成幂的情势提问：还有其他解法吗？(2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式=a[a2-(b2-4bc+4c2)] 分组=a[a2-(b-2c)2] 应用完整平方公式 =a[a+(b-2c)][a-(b-2c)] 应用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c) 整顿演习：把下列各式分化因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13．功课：把下列各式分化因式(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四.课外功课把下列各式分化因式⒈3ax＋5ay－6bx－10by ⒉a2－b2－4a－4b ⒊m2－4mn＋4n2－4 ⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y ⒍a3＋2a2b＋ab2－a⒎a2b2－a2－2ab－b2 ⒏x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）2 10．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2分组分化法（第五教时）（一）温习1.什么是分组分化法？如何才是准确的分组？2.把下列多项式分化因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq（二）新课讲授1.引入（1）把x2+(p+q)x+pq分化因式剖析此式不好直接用已学的常识来分化因式,可以把式子睁开为x2+px+qx+pq.这时,可以用分组分化法.x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)别的：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（2）特色式子x2+(p+q)x+pq的特色为：（1）二次项的系数是1.（2）常数项是两个数之积.（3）一次项系数是常数项的两个因数之和.解释：依据上面的成果,可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分化因式.2.应用举例例：把下列各式分化因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15剖析:（1）x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2.这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.（2）x2-7x+6的二次项系数是1,常数项6=(-1)×(-6),一次项系数-7=(-1)+(-6).这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子.（3）x2+x-2的二次项系数是1,常数项-2=(-1)×2,一次项系数1=(-1)+2.这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子.（4）x2-2x-15的二次项系数是1,常数项-15=(-5)×3,一次项系数-2=(-5)+3,这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：(1)因为2=1×2,并且3=1+2,所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2) 因为6=(-1)×(-6),并且-7=(-1)+(-6),所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)（3）因为-2=(-1)×2,并且1=(-1)+2,所以x2+x-2=(x-1)(x+2)（4）因为-15=(-5)×3,并且-2=(-5)+3,所以x2-2x-15=(x-5)(x+3)3.归纳与小结(1)常数项是正数时,它分化成两个___号因数,它们和一次项系数符号____.(2)常数项是负数时,它分化成两个___号因数,个中绝对值较___的因数的符号和一次项系数的符号雷同.思虑题把x4-5x2+4因式分化四.课外功课一.依据公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）,填空：⑴若x2＋ax－6＝(x＋3)(x－2), 则a＝＿＿＿⑵若x2－5x＋a＝（x－6）（x＋1）,则a＝＿＿＿⑶若x2－mx＋n＝（x－4）（x－2）,则m＝＿＿＿n＝＿＿＿⑷若x2＋mx－n＝（x＋5）（x－3）,则m＝＿＿＿n＝＿＿＿二.假如a＋b＝5,ab＝4,那么关于x的二次三项式x2－abx－（a＋b）分化因式的成果（）A．（x－1）（x－4）B．（x－5）（x＋1）C．（x＋5）（x－1）D．（x＋1）（x＋4）三.把下列各式分化因式⒈ x2＋px＋qx＋pq ⒉ x2＋4x＋3⒊ y2－5y－6 ⒋ m2－7m＋6⒌ p2＋9p－10 ⒍ n2－5n－36⒎ x2＋7x＋10 ⒏ y2＋y－20⒐ m2－11m＋28 ⒑－x2－3x－2⒒ a2b2－6ab－16。
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（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)（二）新课讲解1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。
怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。
解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。
解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。
如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2四、课外作业把下列各式分解因式1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b)3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b)5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b)7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy（一）复习1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？2．用分组分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4（二）新课讲解1．例题分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。
解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式练习:用分组分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。
如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)练习：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz四、课外作业把下列各式分解因式1．mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx3．m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－15．a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx7．xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc（一）复习1．什么是分组分解法？2．把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3.填空(1)a2-b2=__________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________（二）新课讲解1．例题与练习例5：把x2-y2+ax+ay分解因式分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。
由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。
解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式分析：用刚才的方法不能见效。
我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2- c2，再用平方差公式。
解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组=( a-b)2- c2 运用完全平方公式=[(a-b)+c][(a-b)-c]运用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)练习：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、课外作业把下列各式分解因式⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2⒌s2－t2＋3s－3t⒍x2－2x＋2y－y2⒎4a2－b2－2a－b⒏9a2－6a＋2b－b2⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2⒔x2－4y2＋4y－1⒕x2－y2－z2－2yz（一）复习把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？（二）新课讲解1．例题与练习例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。
如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分解因式。
在第（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。
注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1)= x2–(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2 +2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多项式分解因式(1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分组=x2(x+y)-y2(x+y) 分别提公因式=(x+y)(x2-y2) 提公因式=(x+y)[(x+y)(x-y)] 运用平方差公式=(x+y)2(x-y) 相同因式写成幂的形式提问：还有其他解法吗？(2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式=a[a2-(b2-4bc+4c2)] 分组=a[a2-(b-2c)2] 运用完全平方公式=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)] 运用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理练习：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13．作业：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、课外作业把下列各式分解因式⒈3ax＋5ay－6bx－10by ⒉a2－b2－4a－4b ⒊m2－4mn＋4n2－4⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y ⒍a3＋2a2b＋ab2－a⒎a2b2－a2－2ab－b2 ⒏x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）2 10．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2分组分解法（第五教时）（一）复习1.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？2.把下列多项式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq（二）新课讲解1.引入（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。