【清华大学】机械振动
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第二篇
第六章
第六章
本章内容
Contents chapter 6
第一节
6-1
describition of simple harmonic motion
机械振动
动画
动 画 用 图
打印图
打 印 用 图
简谐运动
弹簧振子
x
动画
例
运动方程
最大
最大 最大 A A
特征参量
振幅、角频率
初相
频率相对较高的简谐振动 两分振动的频率
9 Hz 8 Hz
1秒 合振动频率
8.5 Hz
变化的频率称为 “ 拍频 ” 合振动振幅（包络线）
385 Hz 383 Hz
1 Hz
听到的音频
强度节拍性变化
384 Hz 2 Hz
同频垂直
合成图例
或
垂直异频合成
其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。 但当 为两个简单的整数之比时 可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形
共振时的振幅值为 称为共振频率
相位
相位差
计算方法
振动曲线
例
例
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
旋转矢量
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ ) 旋转矢量 A
M M(t )M(t ) (t )
循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 初相 x X
本图设
临界阻尼
相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足 ，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。 临界阻尼 过阻尼
阻尼振动 ，用此条件求解微分方程，其 若阻尼过大，以致 结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从 开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。 若 ，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置， 并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。
6-2
kinetic characteristic of simple harmonic motion
动力学方程
准弹性力
振动能量
A
A
A
能量表达式
例
A
A
例
A
例
A
例
第三节
第三节
6-3
Composition of simple harmonic motion
振动合成
同向同频合成
合成振幅
t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t t T t 时刻的
振动相位
t t t A t
A
O
( t﹢ )
M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
位移-时间曲线
例
例
例
例
例
例
例
例
例
例
A
பைடு நூலகம்
第二节
相对于系统的 的大小有关。
开始振动 比较复杂
经过一段时间后，受迫振动 进入稳定振动状态。
强迫力角频率 固有角频率
共振
重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅
较小
若强迫力的角频率 若阻尼系数 已定， 大则 小。
较大
已定，当
等于或接近 获得极大值。
系统的固有角频率时，
令
求得
极大时的
为
受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。 共振时的强迫力频率
受迫振动
周期性外力 （强迫力） 示意
幅 值 角频率 弹性力
系统在周期性外力的持续作用下所作 的等幅振动称为受迫振动。 建立动力学方程
即 表成 此微分方程的解为
曲线
受迫振动进入稳定振动状态 后，其振动角频率为强迫力 的角频率 ，其振幅为
受迫振动与强迫力有一定的 相位差 ，用初相 表示
和
都与 阻尼系数
例如
完
选讲
例1
2
3
4
5
例 6
x
7
8
9
10
11
A
12
m = 5×10 - 3 kg 弹簧振子 k = 2×10 - 4 N· -1 m s t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m· -1
完成下述简谐运动方程
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为
k m
0.2 (rad · –1) s
分振动
合振动
其中，合振幅
；
若
若
则
则
为合振幅可能达到的最大值
值为合振幅可能达到的最小
若
则
若
则
若
为其它值，则
处于
与
之间
例
例
例
同向异频合成
为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。
合振动
此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：
合成图线
若 合振动
与
相差不大，
例如：
可看作呈周期性慢变的振幅
x0
2
v0
0.2
2 (m) (SI)
v0
13
动力方程
正X向
反X向
x
微分形式
准弹力
14
能量
能量
15
16
17
阻尼振动
振幅逐渐衰减的振动 称为阻尼振动或衰减振动
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。
阻尼系数
以液体中的水平弹簧振子为例：振子 弹性力 摩擦阻力
受 弹性力 振动速度不太大时受
摩擦阻力
与 反向 负号： ：阻力系数
合外力 即 得 若阻尼较弱，且 令
称为振动系统的固有角频率 称为阻尼系数
时，上述微分方程的解为
阻尼方程
和
取决于初始状态。
为振动角频率，
为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。 越大，振幅衰减越快，且振动周期 周期 越长。
第六章
第六章
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Contents chapter 6
第一节
6-1
describition of simple harmonic motion
机械振动
动画
动 画 用 图
打印图
打 印 用 图
简谐运动
弹簧振子
x
动画
例
运动方程
最大
最大 最大 A A
特征参量
振幅、角频率
初相
频率相对较高的简谐振动 两分振动的频率
9 Hz 8 Hz
1秒 合振动频率
8.5 Hz
变化的频率称为 “ 拍频 ” 合振动振幅（包络线）
385 Hz 383 Hz
1 Hz
听到的音频
强度节拍性变化
384 Hz 2 Hz
同频垂直
合成图例
或
垂直异频合成
其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。 但当 为两个简单的整数之比时 可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形
共振时的振幅值为 称为共振频率
相位
相位差
计算方法
振动曲线
例
例
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
旋转矢量
简谐运动方程
x = A cos ( t﹢ ) 旋转矢量 A
M M(t )M(t ) (t )
循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 初相 x X
本图设
临界阻尼
相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足 ，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。 临界阻尼 过阻尼
阻尼振动 ，用此条件求解微分方程，其 若阻尼过大，以致 结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从 开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。 若 ，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置， 并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。
6-2
kinetic characteristic of simple harmonic motion
动力学方程
准弹性力
振动能量
A
A
A
能量表达式
例
A
A
例
A
例
A
例
第三节
第三节
6-3
Composition of simple harmonic motion
振动合成
同向同频合成
合成振幅
t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t t T t 时刻的
振动相位
t t t A t
A
O
( t﹢ )
M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
位移-时间曲线
例
例
例
例
例
例
例
例
例
例
A
பைடு நூலகம்
第二节
相对于系统的 的大小有关。
开始振动 比较复杂
经过一段时间后，受迫振动 进入稳定振动状态。
强迫力角频率 固有角频率
共振
重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅
较小
若强迫力的角频率 若阻尼系数 已定， 大则 小。
较大
已定，当
等于或接近 获得极大值。
系统的固有角频率时，
令
求得
极大时的
为
受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。 共振时的强迫力频率
受迫振动
周期性外力 （强迫力） 示意
幅 值 角频率 弹性力
系统在周期性外力的持续作用下所作 的等幅振动称为受迫振动。 建立动力学方程
即 表成 此微分方程的解为
曲线
受迫振动进入稳定振动状态 后，其振动角频率为强迫力 的角频率 ，其振幅为
受迫振动与强迫力有一定的 相位差 ，用初相 表示
和
都与 阻尼系数
例如
完
选讲
例1
2
3
4
5
例 6
x
7
8
9
10
11
A
12
m = 5×10 - 3 kg 弹簧振子 k = 2×10 - 4 N· -1 m s t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m· -1
完成下述简谐运动方程
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为
k m
0.2 (rad · –1) s
分振动
合振动
其中，合振幅
；
若
若
则
则
为合振幅可能达到的最大值
值为合振幅可能达到的最小
若
则
若
则
若
为其它值，则
处于
与
之间
例
例
例
同向异频合成
为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。
合振动
此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：
合成图线
若 合振动
与
相差不大，
例如：
可看作呈周期性慢变的振幅
x0
2
v0
0.2
2 (m) (SI)
v0
13
动力方程
正X向
反X向
x
微分形式
准弹力
14
能量
能量
15
16
17
阻尼振动
振幅逐渐衰减的振动 称为阻尼振动或衰减振动
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。
阻尼系数
以液体中的水平弹簧振子为例：振子 弹性力 摩擦阻力
受 弹性力 振动速度不太大时受
摩擦阻力
与 反向 负号： ：阻力系数
合外力 即 得 若阻尼较弱，且 令
称为振动系统的固有角频率 称为阻尼系数
时，上述微分方程的解为
阻尼方程
和
取决于初始状态。
为振动角频率，
为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。 越大，振幅衰减越快，且振动周期 周期 越长。