复变函数试题

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复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
4.有界整函数必为常数. ( )
5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛,则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析,则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ,则 .
2.若 ,则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.

证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()
2.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()
3.函数 与 在整个复平面有界.()
4.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ,则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分: ,积分路径为(1)单位圆( )的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析,试证:f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.

复变函数考试试题与答案各种总结

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题与答案各种总结(总24页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( )二.填空题(20分)1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ;2. 1;3. 2k π,()k z ∈;4. z i =±;5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞. 三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰.3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,()()2()c f z dz i z zϕλπϕλ==-⎰. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)if eπ-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( ) 二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题 1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =. 所以4()if i e π=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f .( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________. 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案:1.计算下列复数的幂函数:$z=1+i$,$n=3$。

答案:$(1+i)^3=-2+2i$。

2.计算下列复数的幂函数:$z=-2+i$,$n=4$。

答案:$(-2+i)^4=7-24i$。

3.求解方程:$z^2+4z+5=0$。

答案:可以使用求根公式求解,$(z+2)^2+1=0$,得到两个解:$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。

4. 计算下列复数的极坐标形式:$z = 3e^{i \pi/6}$。

答案:$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。

5.计算下列复数的共轭复数:$z=2-i$。

答案:$z^*=2+i$。

6. 将下列复数表示为共轭形式:$z = 4e^{i \pi/3}$。

答案:$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。

7.计算下列复数的实部和虚部:$z=3+2i$。

答案:实部为3,虚部为28.计算下列复数的模长:$z=-4+3i$。

答案:$,z, = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

9.求复数的幂函数:$z=-1-i$,$n=2$。

答案:$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。

10. 求复数的幂函数:$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。

答案:$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

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---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试复习题及答案详解

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题(一)三 . 计算题( 40 分):dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. ( n 为自然数)f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ,则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n,则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________,其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点,则z z.1. 设( z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71,其中 C { z :| z |3} ,试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数, 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题(二)二. 填空题 . (20 分)1.设z i ,则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C,则lim f (z)________.z1idz_________. (n为自然数)3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2,则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分: Ii1)单位圆(| z |1)3.| z | dz,积分路径为(i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(三)二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z),则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n,则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. ( n 为自然数)6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1,则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1,则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点,则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分:e zdz,其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及 M ,使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ,证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

完整版)复变函数测试题及答案

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完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数测试题及答案

复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+-(D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )(A )2 (B )i 31+(C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( )(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --439.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像.七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 (D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.ii 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析 (B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数 (D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是3.导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w .四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s ρ和n ρ为平面向量,将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ.如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s vn u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数).九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2iπ- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) (A ) i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( ) (A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定8.设c 是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A )i π22 (B )i π2 (C )0 (D )i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B )2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 (C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D )若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2(B ) ic iz +2(C )c z +2(D )ic z +214.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调和函数 (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz.四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ; 2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()(Λ=≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f yz f xz f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题:1.设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n ni (B )∑∞=+1!)43(n n n i(C ) ∑∞=1n nni (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(B ) ∑∞=+1)1(1n n in(B )∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni (D )∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛 (B )条件收敛(C )发散 (D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 (A ))1ln(z + (B ))1ln(z -(D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数Λ+++++22111z z z z的收敛域是( ) (A )1<z (B )10<<z (C )+∞<<z 1 (D )不存在的11.函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<z (B )43<<z (C )+∞<<z 41 (D )+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 . 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立,其中=n c . 5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式.四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f rn n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ)。

复变函数论试题库及答案

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数,则f(z)在区域D 恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析,则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析,试证:f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数,则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明:如果|)(|z f 在D 为常数,那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

(完整版)复变函数试题及答案

(完整版)复变函数试题及答案
C是复数其实部等于1D是复数其模等于1
2、下列命题正确的是()
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是()
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是()
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1,则积分
4、若 是 的共轭调和函数,那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点,则m =
6、设 为函数 的n阶极点,那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题(每小题2分)
1 2 3 4 5
四 计算题(每小题6分,共36分)
1解: , 分
…5分
解得: 分
2解:被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解:
= …4分
( <2)…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ,在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个,则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为()
A B
C D
8、在下列函数中, 的是()
A B
C D
9、设a ,C: =1,则 ()

复变函数试题答案

复变函数试题答案

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题(一)一、 判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.当复数0z =时,其模为零,辐角也为零. ( )2.若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++(0)n a ≠的根,则0z 也()P z 是的根.( )3.如果函数()f z 为整函数,且存在实数M ,使得Re ()f z M <,则()f z 为一常数.( ) 4.设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析,且在D 内的一小段弧上相等,则对任意的z D ∈,有1()f z 2()f z ≡. ( )5.若z =∞是函数()f z 的可去奇点,则Re ()0z s f z =∞=. ( )二、填空题.(每题2分)1.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2.设0z x iy =+≠,且arg ,arctan22y z x ππππ-<≤-<<,当0,0x y <>时,arg arctanyx =+________________. 3.函数1w z =将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4.方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5.(1)i i +___________________.6.级数20[2(1)]nn z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7.cos nz 在z n <(n 为正整数)内零点的个数为_____________________. 8.函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________. 9.设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点,且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 10.设a 为函数()f z 的m 阶极点,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 三、计算题(50分)1.设221(,)ln()2u x y x y =+。

《复变函数论》精彩试题库及问题详解

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数) 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题(每题2分,共40分)1. 下列哪个不是复数的实部?A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案:B2. 设z = x + yi,其中x和y都是实数,若z和z*的虚部相等,则x和y满足的关系是:A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案:C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y),其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数,若f(z)满足Cauchy-Riemann方程,则u和v满足的关系是:A. ∂u/∂x = ∂v/∂y,∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y,∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x,∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x,∂u/∂x = -∂v/∂y答案:A4. 设f(z)是复平面上的解析函数,若f(z)的实部为2x^2 + 3y,则f(z)的虚部为:A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案:C5. 若f(z) = z^3,其中z为复数,则f(z)的导数为:A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案:A......二、计算题(共60分)1. 计算下列复数的模和辐角:(1)z1 = 3 + 4i(2)z2 = -2 + 2i(3)z3 = -4 - 3i答案:(1)|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5,arg(z1) = arctan(4/3)(2)|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2),arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4(3)|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5,arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3,且arg(z-2) = π/3,求z的值答案:由题意得,z-2的模为3,即|z-2| = 3,且z-2的辐角为π/3,即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义,可以得到:3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到:Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i,可以计算得到:z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式,并计算z^3的值。

复变函数考题及答案

复变函数考题及答案

复变函数考题及答案【篇一:复变函数试题与答案】>一、选择题1.当z?1?i时,z100?z75?z50的值等于() 1?i(a)i (b)?i(c)1 (d)?12.设复数z满足arc(z?2)??3,arc(z?2)?5?,那么z?() 61331?i (d)??i 2222(a)?1?3i (b)?3.复数z?tan??i(3?i (c)??????)的三角表示式是() 2 ???)?i??)] (b)sec?(a)sec22??3?3???)?i??)] 22?(c)?sec3?3?????)?i??)](d)?sec???)?i??)] 2222224.若z为非零复数,则z?与2z的关系是()2222(a)z??2z (b)z??2z22(c)z??2z (d)不能比较大小5.设x,y为实数,则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12,的轨迹是()(a)圆(b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线6.一个向量顺时针旋转?3,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为1?3i,则原向量对应的复数是()(a)2(b)1?i (c)3?i (d)3?i17.使得z2?z成立的复数z是() 2(a)不存在的(b)唯一的(c)纯虚数(d)实数8.设z为复数,则方程z??2?i的解是()(a)?3333?i (b)?i (c)?i (d)??i 44449.满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是() z?i(a)有界区域(b)无界区域(c)有界闭区域(d)无界闭区域10.方程z?2?3i?2所代表的曲线是()(a)中心为2?3i,半径为2的圆周(b)中心为?2?3i,半径为2的圆周(c)中心为?2?3i,半径为2的圆周(d)中心为2?3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(a)z?1?2 (b)z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) (d)z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az(c)12.设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,,则f(z1?z2 )(a)?4?4i(b)4?4i(c)4?4i(d)?4?4i13.limim(z)?im(z0)() x?x0z?z0(a)等于i(b)等于?i(c)等于0(d)不存在14.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是()(a)u(x,y)在(x0,y0)处连续(b)v(x,y)在(x0,y0)处连续(c)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续(d)u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115.设z?c且z?1,则函数f(z)?的最小值为() z (a)?3 (b)?2(c)?1 (d)1二、填空题1.设z?(1?i)(2?i)(3?i),则z? (3?i)(2?i)2.设z?(2?3i)(?2?i),则argz?3.设z?,arg(z?i)?3?,则z? 4(cos5??isin5?)24.复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5.以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 67.方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z8.方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射??2i22,圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410.lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0,试求z?2的取值范围.四、设a?0,在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i,试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?),求出圆周z?4的像. 2z七、试证1.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2; z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z22.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0,则存在??0,使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy,试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy,试讨论下列函数的连续性: ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题:1.函数f(z)?3z在点z?0处是( )(a)解析的(b)可导的(c)不可导的(d)既不解析也不可导2.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(a)设x,y为实数,则cos(x?iy)?1(b)若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不可导(c)若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在d内解析(d)若f(z)在区域d内解析,则在d内也解析4.下列函数中,为解析函数的是( )(a)x2?y2?2xyi(b)x2?xyi(c)2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)(d)x3?iy35.函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )(a)等于0 (b)等于1 (c)等于?1(d)不存在6.若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析,那么实常数a?( )(a)0(b)1(c)2(d)?27.如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零,且f(0)??1,那么在z?1内f(z)?( )(a)0(b)1(c)?1(d)任意常数8.设函数f(z)在区域d内有定义,则下列命题中,正确的是(a)若f(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(c)若f(z)与f(z)在d内解析,则f(z)在d内是一常数(d)若argf(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数9.设f(z)?x2?iy2,则f?(1?i)?( )5【篇二:复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.(n为自然数) 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z,则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________,其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点,则0.三.计算题(40分):f(z)?11. 设(z?1)(z?2),求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?,其中c?{z:|z|?3},试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c,则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.(n为自然数)0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分:i???i|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析,试证:f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n,则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.(n为自然数) )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1,则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点,则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分:?ezdzcz2(z2?9),其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数r及m,使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n,证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

(完整版)复变函数测试题及答案

(完整版)复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+-(D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )(A )2 (B )i 31+(C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( )(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --439.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像.七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 (D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.ii 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析 (B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数 (D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是 3.导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w .四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量,将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数).九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2iπ- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) (A ) i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( ) (A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定8.设c 是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A )i π22 (B )i π2 (C )0 (D )i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B )2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 (C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D )若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2(B ) ic iz +2(C )c z +2(D )ic z +214.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调和函数 (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz.四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ; 2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题:1.设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n ni (B )∑∞=+1!)43(n n n i(C ) ∑∞=1n nni (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(B ) ∑∞=+1)1(1n n in(B )∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i (D )∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛 (B )条件收敛(C )发散 (D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 (A ))1ln(z + (B ))1ln(z -(D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) (A )1<z (B )10<<z (C )+∞<<z 1 (D )不存在的11.函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<z (B )43<<z (C )+∞<<z 41 (D )+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 . 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式.四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ)。

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列哪个函数在全平面上是解析的?A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案:B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案:C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数,其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案:A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程,则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案:A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的,则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案:C二、填空题(每空5分,共30分)1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数,则它的共轭函数为________。

答案:f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数,且满足柯西-黎曼方程的实部形式,则函数f(z)可表示为f(z) = ________。

复变函数14套题目和答案

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分) 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)1、 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题(一)一、 判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分) 1.当复数0z =时,其模为零,辐角也为零. ( )2.若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++ (0)n a ≠的根,则0z 也()P z 是的根.( ) 3.如果函数()f z 为整函数,且存在实数M ,使得Re ()f z M <,则()f z 为一常数.( ) 4.设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析,且在D 内的一小段弧上相等,则对任意的z D ∈,有1()f z 2()f z ≡. ( )5.若z =∞是函数()f z 的可去奇点,则Re ()0z s f z =∞=. ( )二、填空题.(每题2分)1.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2.设0z x iy =+≠,且arg ,arctan22y z xππππ-<≤-<<,当0,0x y <>时,arg arctany x =+________________.3.函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4.方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5.(1)i i +___________________.6.级数20[2(1)]n n z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7.cos nz 在z n <(n 为正整数)内零点的个数为_____________________.8.函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________.9.设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点,且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.10.设a 为函数()f z 的m 阶极点,则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.三、计算题(50分)1.设221(,)ln()2u x y x y =+。

(完整版)复变函数试题及答案

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2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解: f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …6分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ,使符合条件 L i 0 , L i 0
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第一章 复数与复变函数一、选择题1.当iiz -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+-(D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )(A )2 (B )i 31+(C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( )(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --43 9.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( )(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像. 七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章 解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数(D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.i i 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析 (B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数 (D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是3.导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数i i 的模为 9.=-)}43Im{ln(i10.方程01=--z e 的全部解为 三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w.四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dzwd dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s ρ和n ρ为平面向量,将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ.如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数). 九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2iπ- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) (A ) i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( )(A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定 8.设c 是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰c z dz ze ( )(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A )i π22 (B )i π2 (C )0 (D )i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B )2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段(C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D )若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2 (B ) ic iz +2 (C )c z +2 (D )ic z +2 14.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调和函数 (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz. 四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ;2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()(Λ=≤n rr M n a fnn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题:1.设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n ni (B )∑∞=+1!)43(n n n i (C ) ∑∞=1n n n i (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(B ) ∑∞=+1)1(1n n in(B )∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i (D )∑∞=-12)1(n nnn i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛 (B )条件收敛 (C )发散 (D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R ==6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 (A ))1ln(z + (B ))1ln(z -(D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ,那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数Λ+++++22111z z z z的收敛域是( ) (A )1<z (B )10<<z (C )+∞<<z 1 (D )不存在的11.函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<z (B )43<<z (C )+∞<<z 41 (D )+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 . 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式. 四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ)。

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