第一课向量与线性方程组
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
线性代数向量及其线性运算 ppt课件
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
大一线性代数知识点罗列
大一线性代数知识点罗列线性代数是大一学生学习的一门基础数学课程，它是现代数学的重要分支，也是大学后续学习数学和其他学科的基础。
下面是大一线性代数的一些重要知识点罗列：1. 向量和矩阵：- 向量：向量是有大小和方向的量，用于表示空间中的点。
- 矩阵：矩阵是由数按矩形排列所构成的数组。
2. 线性方程组：- 齐次线性方程组：全部系数都为零的线性方程组。
- 非齐次线性方程组：至少有一个系数不为零的线性方程组。
3. 线性相关与线性无关：- 线性相关：若一组向量中存在某个向量可以表示成其他向量的线性组合，则称这组向量线性相关。
- 线性无关：若一组向量中不存在某个向量可以表示成其他向量的线性组合，则称这组向量线性无关。
4. 矩阵运算：- 矩阵的加法：矩阵与矩阵相加，要求矩阵的维数相同。
- 矩阵的乘法：矩阵与矩阵相乘，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
- 矩阵的转置：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
5. 矩阵的行列式：- 行列式：行列式是一个标量值，用于描述矩阵的某些性质，如线性相关与线性无关、矩阵是否可逆等。
6. 特征值与特征向量：- 特征值：矩阵A乘以一个非零向量v，得到的结果与向量v 成比例，所成比例的常数即为特征值。
- 特征向量：对应于特征值的非零向量。
7. 线性变换：- 线性变换：将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的向量的变换。
8. 线性代数应用：- 数据分析：线性代数常被用于数据分析领域中的降维、特征选择等问题。
- 机器学习：线性代数在机器学习中的应用非常广泛，如矩阵运算、特征提取等。
- 信号处理：线性代数在信号处理中用于傅里叶变换、离散余弦变换等。
- 图像处理：线性代数在图像处理中的应用包括图像滤波、图像压缩等。
以上是大一线性代数的一些重要知识点罗列，掌握这些知识对于理解和应用线性代数都非常重要。
随着学习的深入，还会接触到更多高级的线性代数知识和应用。
希望这些知识点对你有所帮助！。
中国科学技术大学线性代数课程讲义1
本章主要介绍一般的 n 元线性方程组
aa2111
x1 x1
+ +
a12x2 a22x2
+ +
· ·
· ·
· ·
+ +
a1nxn a2nxn
= =
b1 b2
am1x1
+
ห้องสมุดไป่ตู้
··········· am2x2 + · · · +
· amnxn
=
bm
(1.1)
的求解方法，其中 a11, a12, · · · , amn, b1, b2 · · · , bm 是已知的数，x1, x2, · · · , xn 是待求解的变量．特 别，当 b1 = b2 = · · · = bm = 0 时，线性方程组 (1.1) 称为齐次线性方程组．
以把 a11 ̸= 0 情形化为 a11 = 1 情形．
例 1.1 中的同解变形消元过程可以表示为如下初等变换．
⃝⃝12 ⃝⃝34
−换−行→
⃝⃝21 ⃝⃝34
−消−去−−x→2
⃝⃝21 ⃝⃝67
=
⃝5
−
3
×
⃝1
−消−去−−x→1
⃝⃝21 ⃝⃝35
=
⃝4
−
⃝3
−消−去−−x→1
⃝⃝21 ⃝⃝65
=
⃝3
7
8
第一章 线性方程组
例 1.1. 求解线性方程组
xx12
− −
x3 = −1 2x2 = −4
⃝1 ⃝2
33xx11
− +
2x2 + x4 = −7 x2 + x3 + 3x4 =
线性代数-向量与线性方程组
(1)、 ( 2)用矩阵分别表示： Ax b
Ax 0
b1 x1 x b b x n n 解向量
0 0 0
2
x1 2 x 2 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 1 x x x 0 1 2 3
R( A) n Ax 0有非零解 又 R( A) min( m, n) 若m n, 则R( A) n Ax 0有非零解
9
B (A 0 )
R( B)＝R( A)
求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）
(1)
线性方程组的解有下列三种情况： ( n为未知量的个数 ) 无解 有惟一解 有无穷解
r ( B) r ( A)
r ( B)＝r ( A)＝n r ( B)＝r ( A) n
4
定理： 若线性方程组 Ax
b 增广矩阵为（A b）记为B
Ax b无解
A ( A b)
则有下列结论： R( B ) R( A)
r ( B ) ＝r ( B1 )
d1 d2 dr
r ( A) ＝r ( A1 ) ＝r
c1n c 21 cr n 0 0 0
其中：ci i 0 d r 1 0 0
( i 1,2,, r )
5
c11 0 r R( B1 ) r 1 0 不妨设 B1 0 其中：ci i 0 ( i 1,2,, r ) 0 0
平面向量的线性表示和线性方程组
平面向量的线性表示和线性方程组在数学中，平面向量是描述平面上有方向和大小的量。
平面向量可以用线性表示和线性方程组来进行操作和求解。
本文将介绍平面向量的线性表示和线性方程组的相关概念和方法。
一、平面向量的线性表示平面向量的线性表示是指将一个平面向量表示成其他向量的线性组合的形式。
设有平面向量a、b和c，可以通过线性组合的方式表示向量c：c = λ1a + λ2b其中，λ1和λ2为实数，称为向量c相对于向量a和向量b的系数。
通过调整系数的值，可以得到不同的向量c。
当λ1和λ2的值等于0时，向量c为零向量。
二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。
对于平面向量的线性表示，我们可以通过线性方程组求解系数的值。
假设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可得到线性方程组：b1 = x1a1 + x2a2 + ... + xnanb2 = y1a1 + y2a2 + ... + ynan...bn = z1a1 + z2a2 + ... + zn*an其中，x1、x2、...、xn、y1、y2、...、yn、...、z1、z2、...、zn为实数。
通过求解线性方程组，可以确定向量b相对于向量a1、a2、...、an 的系数。
三、矩阵表示为了简化平面向量的线性表示和线性方程组的求解过程，可以使用矩阵表示。
设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可将向量a1、a2、...、an构成一个矩阵A，向量b构成一个列向量B，系数x1、x2、...、xn构成一个列向量X，系数y1、y2、...、yn构成一个列向量Y，...，系数z1、z2、...、zn构成一个列向量Z，则线性方程组可以用矩阵乘法的形式表示：AX = B其中，A为n阶矩阵，X为n维列向量，B为n维列向量。
通过对矩阵A求逆或解线性方程组，可以求解出向量X、Y、Z的系数。
四、示例分析为了更好地理解平面向量的线性表示和线性方程组的应用，我们通过以下示例进行分析：已知平面向量a = (1, 2)和b = (3, 4)，求向量c = (x, y)使得c = 2a +3b。
第3章 线性方程组解法 第1节 向量与矩阵基础
A = (α1 ,α2 ,L,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,L β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= M T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , LLLLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
3 5 3 例3 : 设向量组 α 1 = 2 ,α 2 = 4 ,α 3 = 1 , 0 − 1 t 问t取何值时 ,向量组线性无关 ; t取何值时 , 向量组线性相关 .
3
解：因为
5 4
3
α1 α 2 α 3 = 2
Ch4 向量空间
第一节 向量组的线性相关 与线性无关
一、向量、向量组与矩 阵 向量、 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定
四、向量组的线性相关 性质
五、线性表示、线性相 关以及 线性表示、 线性无关三者的关系
六、小节、思考题 小节、
一、向量、向量组与矩阵 向量、
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 aT , bT ,αT , β T 等表示，如：
b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n （ c1 , c2 , L , cn ) = α 1 ,α 2 ,L ,α s ) （ M M M b bs 2 L bsn s1
大一线性代数知识点讲解
大一线性代数知识点讲解线性代数是高等数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，具备一定的线性代数知识是非常必要的。
本文将对大一线性代数的几个重要知识点进行讲解，帮助大家更好地理解和掌握相关内容。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与性质向量是由有序数构成的数组，常用箭头表示。
向量的加法、数乘、点乘等运算特性是线性代数中的重要概念，用于描述线性相关与线性无关等概念。
2. 矩阵的定义与运算矩阵由多个行与列组成的矩形阵列，是向量的扩展形式。
矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法是矩阵运算的基本操作，对矩阵的行列式求解可以判断线性相关与线性无关。
二、线性方程组1. 线性方程组的概念与解法线性方程组由多个线性方程构成，其求解是线性代数中的重点内容。
常用的解法包括增广矩阵的行变换、高斯消元法、矩阵求逆等方法，消元后的矩阵可以用于判断方程组的解空间。
2. 线性方程组的解空间与秩线性方程组的解空间是指满足线性方程组所有解构成的集合。
解空间的维数与方程个数与未知数个数的关系紧密相关，可以用秩的概念进行描述。
三、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义矩阵的特征值是指使得矩阵与对应特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的数值。
特征值与特征向量对矩阵的性质和变换有着重要的作用。
2. 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算可以通过求解矩阵特征方程来实现，特征方程的解即为特征值，对应的特征向量可通过代入求解得出。
四、行列式1. 行列式的定义与性质行列式是矩阵中的一个标量值，具有很多重要的性质和应用。
行列式的计算可以通过按行展开、按列展开等方法实现，行列式的结果可以判断矩阵的奇偶、可逆性等。
2. 行列式的应用行列式在线性方程组的求解中有着重要的应用，可以用于求解系数矩阵的秩以及判断方程组是否有唯一解。
以上是大一线性代数的一些重要知识点讲解，希望能对大家的学习有所帮助。
线性代数是高等数学中的基础，对于后续学习和应用有着重要的作用，因此在大一阶段要认真学习和掌握相关内容，为以后的学习打下坚实的基础。
向量及其线性运算ppt课件
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
向量组与线性方程组的解的结构
满足⑴ 向量组 1,2,L,r 线性无关； ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 1,2,L,r线性表示
那么称 1,2,L,r 是向量组的一个极大线性无关组，简称极
大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩.
r 结论:若 D r 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则 D r 所在的 r 列即是列向量组的一个极大无关组，D r 所在的 行即
是行向量组的一个极大无关组.
4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组
试问 能否由1,2,3 线性表示？若能，写出具体表示式.
解:
1 2 3 0 1 0 0 1
B(1,2,3, ) 2
3
3 1
1 2
4 2
0 0
1 0
0 1
1 1
R(A)R(B)3
所以 能否由1,2,3惟一线性表示，且
123
例2 ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 7 , 4 )
推论：向量组 A 与向量组 B 等价 R (A ) R (B ) R (A ,B )
4.2向量组的线性相关性
4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有n 维向量组A:1,2,L,m,若存在一组不全为
零的数 k1,k2,L ,km使 k11 k 22 L k mm 0,则
称向量组 A:1,2,L,m线性相关,否则称为线性无关. 换言之,若 A:1,2,L,m线性无关,则上式当且仅当
因为 1,2,3线性无关，故有
【考研数学】线性代数PPT课件-向量与线性方程组解的结构
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
证法1 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故系数必需 全为零，即有
b11 b12 b1n
（
c1
,
c2
,,
cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
bs1
b22
bs 2
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
Ax
[
1
,
2
,
,
m
]
x2
xm
x11 x22 xmm 0
有无非零解的问题，故而由上章关于齐次线性方 程组的定理，即有
线性相关性的判定
定理 2
向量组1
,
2
,,
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
向量与线性方程组
易知， 易知， x1 = x2 = L = xn = 0
若有一组不全为零的数是解，称为非零解。 若有一组不全为零的数是解，称为非零解。 非零解 定理： 定理： 齐次线性方程组有非零解 ⇔ A = 0 .
取何值时， 例4： 问 λ 取何值时， ： 齐次线性方程组 有非零解？ 有非零解？ 解：
不全为零, 若常数项 b1 , b2 ,L, bn不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组。 则称此方程组为非齐次线性方程组。 非齐次线性方程组
若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 ,
此时称方程组为齐次线性方程组。 此时称方程组为齐次线性方程组。 齐次线性方程组
定义1： 定义 ：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 ） （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 ） （3） 互换两个方程的位置 ） 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换， 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换
最后一行有 0 x3
= 1,
可知方程组无解。 可知方程组无解。
x1 − 2 x2 + 3 x3 x2 − x3 例3：解线性方程组 ： x1 + 3 x2 − 7 x2 + 3 x3
解： ( A, b ) = → 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 0 1 0 −2 1 3 −7 −4 1 −4 8 3 −1 0 3 −4 1 −3 1 1 0 1 0
解： (1)∀α = ( 0, a2 ,L , an ) , β = ( 0, b2 ,L , bn ) ∈ V1
向量与线性方程组
向量与线性方程组
向量的线性相关性
线性方程组的解的结构 线性方程组的求解
●向量与线性方程组
引例 一个方程对应一组数 矩阵的一行对应一组数 线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。 ●向量的定义 由n个数 a1 , a2 ,, an 组成的有序数组 (a1 , a2 ,, an ) 称为一个 n 维行向量，记作 (a1 , a2 ,, an ) ，其中 的第i个分量（或坐标）。
1 2，2 3，3 1 线性无关。
证明 设
k1 1 2 k2 2 3 k3 3 1 0
（ （ 则 （k1 k3）1 k1 k2）2 k2 k3）3 0
因为 1， 2，3 线性无关
k1 k3 0 所以有 k1 k 2 0 k k 0 2 3
l22 l33 lmm 1 0 所以 1 , 2 ,, n 线性相关
1 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 , 3 1,1,1 , 1, , 2 例7 设
试问
为何值时， 可由
5、向量组：如果n个向量 1 , 2 ,, n 是同维向量，则称为 向量组 1 , 2 ,, n
●向量的线性运算
1、向量的加减法
设
a1, a2 ,, an , = b1, b2 ,, bn ，则称向量
a1 b1, a2 b2 ,, an bn 为向量 与向量 的和向 量，记作 ，称向量 a1 b , a2 b2 ,, an bn 1
（1）
a1 j a2 j ( j 1, 2, , n) 若记 j a j 即为系数矩阵的第 j 列 mj
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(k1 2k3)1 (k1 k2 k3)2 (2k1 k2 3k3)3 0 因为 1,2 ,3 线性无关
所以有
k1 2k3 0 k1 k2 k3 0 2k1 k2 3k3 0
102
由于 1 1 1 0 所以 k1, k2 , k3不全为零
证明 设 k11 k22 knn o
则 （k1，k2， ，kn）（0，0， ，0）
所以 k1 k2 kn 0
所以向量组
1，
，
2
， n
线性无关。
称向量组 1，2， ，n 为n维向量空间的单位坐标向量组。
任何一个n维向量 a1, a2, , an 都可由向量组
于是
1 k
(k11
k22
kmm )
所以
可由向量组
1，
，
2
， m
线性表示。
假设另有表达式 l11 l22 lmm
则可得
(l1
k1 k
)1
(l2
k2 k
)2
由于 1,2 ,,m 线性无关，
(lm
km k
)m
0
所以
li
(5) 1 (6) () () ()
(7) （ ）=
(8) ( )
交换律 结合律
分配律
例1 设向量 （2，1，0）， （1，1，3），求3 4
解 3 4 32，1，0 41，1，3 6， 3，0 4，4，12 10， 7，12
2 1 3
所以 1, 2 , 3 线性相关
事实上，可取 k1 2, k2 1, k3 1
定理 若向量组1，2， ，m 线性无关，而向量组
1，2， ，m， 线性相关，则向量 可由向量组
1，
，
2
，
线性表示，而且表示方法惟一。
m
证明 因为向量组 1，2， ，m， 线性相关
一组数 k1, k2 , , kn ，使得 k11 k22 knn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2 , ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 , ,n 的线性组合。
例2 设 1 （1，2，1），2 （2,3,6）, =（5,8,13），
判断向量 能否由向量组 1，2 线性表示？如果可以，求出
●矩阵的K阶子式的概念
从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。
如
1
A
0
1，2， ，n 线性表示， a11 a22 ann
例4 讨论向量组 1 1，1，2，2，1，2 0，2，1，5，1，
3 2，0，3，1，3，4 1，1，0，4，1 的线性相关性
解 设 k11 k22 k33 k44 0
ai 称为向量 的第i个分量（或坐标）。
如果将有序数组写成一列的形式，则称向量
a1
a2
为列向量。
an
实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。
●几个概念
1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。
2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。
2k1 2k3 0
则有
k1k1 3k22k2
4k3 0 3k3 0
k1 k3 0
因为 k1 1, k2 1, k3 1 是方程组的一组非零解
所以 1,2 ,3 线性相关
例5 已知向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 2，2 3，3 1 线性无关。
试问 为何值时， 可由 1,2 ,3 线性表示，且表示
方法唯一？
解 设 x11 x22 x33
则有
1
x1
x2
x3
1
x1 1 x2 x3
x1
x2
1
x3
2
（*）
因为 可由 1,2 ,3 线性表示，且表示方法唯一
有非零解
k1 2, k2 k3 1, k4 0 注：有无穷多组解
所以向量组 1,2 ,3,4 线性相关。
练习 判断向量组的线性相关性
1 2,1,1,1,2 0,3,2,0,3 2,4,3,1
解 设 k11 k22 k33 0
3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。
4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。 个数大于维数的向量组是线性相关的。
k1 2k3 k4 0
则
2k1k1 2kk22
k4 0 3k3 0
2k1 5k2 k3 4k4 0
k1 k2 3k3 k4 0
利用矩阵的初等变换，可求得
可见，向量组 1,2 , ,n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
am1x1 am2 x2 amn xn bm
（1）
a1 j
若记
j
a2
amj
( j 1, 2,
, n) j 即为系数矩阵的第 j 列
则方程组有向量形式 x11 x22 xnn b
● 向量的线性关系
线性组合的概念：设有同维向量 1,2 , ,n , ，如果存在
练习：已知 3,5,7,9, 1,5,2,0, ，求
解 4,0,5,9
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22x2
a1n xn b1 a2n xn b2
设 a1, a2, , an , =b1,b2, ,bn ，则称向量
a1 b1, a2 b2, , an bn 为向量 与向量 的和向
量，记作 ，称向量 a1 b1, a2 b2, , an bn
为向量 与向量 的差向量，记作 。
ki k
(i 1,2,, m)
所以
可由向量组
1，
，
2
， m
线性表示，且表示方法唯一
定理 向量组 1, 2 ,, n 线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组 1,2 ,,n 线性相关
所以存在不全为零的数 k1, k2 , , kn 使得 k11 k22 knn 0
证明 设 k1 1 2 k2 2 3 k3 3 1 0
则 （k1 k3）1 （k1 k2）2 （k2 k3）3 0
因为 1，2，3 线性无关 k1 k3 0
所以有 k1 k2 0 k2 k3 0
1，
，
2
， n
线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为 1O 0 1 0 2 0 n O
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
例3 证明下列向量组线性无关。
1 1，0，0， ，0，2 0，1，0， ，0， ，n 0，0，0， ，1
所以，方程组（*）只有唯一的一组解
1 1 1
所以有 1 1 1 0 解得 0且 3
1 1 1
小结：
（1）向量组 1,2 , ,n 线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0 有非零解 （2） 向量组 1,2 , ,n 线性无关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0 只有零解 (3) 向量 可由向量组 1,2 , ,n 线性表示
线性方程组 x11 x22 xnn 有解
●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。
2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
表达式。
解 设 k11 k22
小结：
则 所以
k1 2k2 5 2k1 3k2 8 k1 6k2 13
k1 k2
1 2
1 22
可由向量组1，
，
2
， n
线性表示
线性方程组
x11 x22 xnn 有解
3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。
4、负向量：称向量 a1, a2, , an 为向量 a1, a2, , an
的负向量，记作 。 5、向量组：如果n个向量 1,2 , ,n 是同维向量，则称为
向量组 1,2 , ,n
●向量的线性运算
1、向量的加减法
●向量与线性方程组
引例 一个方程对应一组数
a1x1 a2x2 anxn b a1, a2, ,an,b
矩阵的一行对应一组数
线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。
●向量的定义
由n个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组 (a1, a2 , , an )
称为一个 n 维行向量，记作 (a1, a2 , , an ) ，其中