第一课向量与线性方程组

ai 称为向量 的第i个分量（或坐标）。
如果将有序数组写成一列的形式，则称向量
a1



a2


为列向量。
an
实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。
●几个概念
1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。
2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。
k1 2k3 k4 0
则
2k1k1 2kk22

k4 0 3k3 0
2k1 5k2 k3 4k4 0
k1 k2 3k3 k4 0
利用矩阵的初等变换，可求得
可见，向量组 1,2 , ,n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
表达式。
解 设 k11 k22
小结：
则 所以
k1 2k2 5 2k1 3k2 8 k1 6k2 13

k1 k2
1 2
1 22

可由向量组1，
，
2
， n
线性表示
线性方程组
x11 x22 xnn 有解
●矩阵的K阶子式的概念
从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位 置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。
如
1
A


0
不妨设 k1 0
于是有
1
1 k1
反过来，若有 1
(k2
可由
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2


k33
2 ,3

,
knn )
,n 线性表示
1 l22 l33 lmm
则有 l22 l33 lmm 1 0 所以 1, 2 ,, n 线性相关
例7 设 1 1 ,1,1,2 1,1 ,1,3 1,1,1 , 1,,2
2 1 3
所以 1, 2 , 3 线性相关
事实上，可取 k1 2, k2 1, k3 1
定理 若向量组1，2， ，m 线性无关，而向量组
1，2， ，m， 线性相关，则向量 可由向量组
1，
，
2
，
线性表示，而且表示方法惟一。
m
证明 因为向量组 1，2， ，m， 线性相关
于是



1 k
(k11
k22

kmm )
所以
可由向量组
1，
，
2
， m
线性表示。
假设另有表达式 l11 l22 lmm
则可得
(l1

k1 k
)1

(l2

k2 k
)2

由于 1,2 ,,m 线性无关，

(lm

km k
)m

0
所以
li
3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。
4、负向量：称向量 a1, a2, , an 为向量 a1, a2, , an
的负向量，记作 。 5、向量组：如果n个向量 1,2 , ,n 是同维向量，则称为
向量组 1,2 , ,n
●向量的线性运算
1、向量的加减法
有非零解
k1 2, k2 k3 1, k4 0 注：有无穷多组解
所以向量组 1,2 ,3,4 线性相关。
练习 判断向量组的线性相关性
1 2,1,1,1,2 0,3,2,0,3 2,4,3,1
解 设 k11 k22 k33 0
设 a1, a2, , an , =b1,b2, ,bn ，则称向量
a1 b1, a2 b2, , an bn 为向量 与向量 的和向
量，记作 ，称向量 a1 b1, a2 b2, , an bn
为向量 与向量 的差向量，记作 。
所以存在一组不全为零的数 k1, k2 ,, km ，使得
k11 k22 kmm k 0
则 k 0 否则，若 k 0
则由 1,2 ,,m 线性无关，
可推得 k1 k2 km 0
于是向量组 1，2， ，m， 线性无关
这与已知矛盾，所以 k 0
试问 为何值时， 可由 1,2 ,3 线性表示，且表示
方法唯一？
解 设 x11 x22 x33
则有
1



x1

x2

x3

1
x1 1 x2 x3

x1

x2

1


x3

2
（*）
因为 可由 1,2 ,3 线性表示，且表示方法唯一
(k1 2k3)1 (k1 k2 k3)2 (2k1 k2 3k3)3 0 因为 1,2 ,3 线性无关
所以有
k1 2k3 0 k1 k2 k3 0 2k1 k2 3k3 0
102
由于 1 1 1 0 所以 k1, k2 , k3不全为零


ki k
(i 1,2,, m)
所以
可由向量组
1，
，
2
， m
线性表示，且表示方法唯一
定理 向量组 1, 2 ,, n 线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组 1,2 ,,n 线性相关
所以存在不全为零的数 k1, k2 , , kn 使得 k11 k22 knn 0
1，
，
2
， n
线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为 1O 0 1 0 2 0 n O
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
例3 证明下列向量组线性无关。
1 1，0，0， ，0，2 0，1，0， ，0， ，n 0，0，0， ，1
解得 k1 k2 k3 0
所以向量组 1 2，2 3，3 1 线性无关。
例6 设 1,2 ,3 线性无关，又 1 1 2 23, 2 2 3,
3 21 2 33 ，试证明 1, 2 , 3 线性相关
证明 设 k11 k22 k33 0 则有
2k1 2k3 0
则有
k1k1 3k22k2
4k3 0 3k3 0
k1 k3 0
因为 k1 1, k2 1, k3 1 是方程组的一组非零解
所以 1,2 ,3 线性相关
例5 已知向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 2，2 3，3 1 线性无关。
证明 设 k11 k22 knn o
则 （k1，k2， ，kn）（0，0， ，0）
所以 k1 k2 kn 0
所以向量组
1，
，
2
， n
线性无关。
称向量组 1，2， ，n 为n维向量空间的单位坐标向量组。
任何一个n维向量 a1, a2, , an 都可由向量组
2、数乘向量
设向量 (a1, a2 , , an ), R, 则称向量 (a1, a2,
为数 与向量 的数称向量，记作
, an )
向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。
●向量线性运算的运算律
（1） （2）（ ） （ ） （3） O (4) () O
3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。
4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
5、n+1 个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。 个数大于维数的向量组是线性相关的。
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0 只有零解 (3) 向量 可由向量组 1,2 , ,n 线性表示
线性方程组 x11 x22 xnn 有解
●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。
2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
证明 设 k1 1 2 k2 2 3 k3 3 1 0
则 （k1 k3）1 （k1 k2）2 （k2 k3）3 0
因为 1，2，3 线性无关 k1 k3 0
所以有 k1 k2 0 k2 k3 0
●线性相关、线性无关的概念
设有向量组1，
，
2
， n
，如果存在一组不全为零的数
k1, k2 , , kn ，使得 k11 k22 knn o 成立，则称
向量组
1，
，
2
， n
线性相关，否则，称向量组
1，
，
2
， n
线性无关。即当且仅当 k1, k2 ,
, kn
全为零时，k11 k22 knn O 才成立，则称向量组
所以，方程组（*）只有唯一的一组解
1 1 1
所以有 1 1 1 0 解得 0且 3
1 1 1
小结：
（1）向量组 1,2 , ,n 线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0 有非零解 （2） 向量组 1,2 , ,n 线性无关
●向量与线性方程组
引例 一个方程对应一组数
a1x1 a2x2 anxn b a1, a2, ,an,b
矩阵的一行对应一组数
线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。
●向量的定义
由n个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组 (a1, a2 , , an )
称为一个 n 维行向量，记作 (a1, a2 , , an ) ，其中
1，2， ，n 线性表示， a11 a22 ann
例4 讨论向量组 1 1，1，2，2，1，2 0，2，1，5，1，
3 2，0，3，1，3，4 1，1，0，4，1 的线性相关性
解 设 k11 k22 k33 k44 0

am1x1 am2 x2 amn xn bm
（1）
a1 j
若记

j


a2
j


amj
( j 1, 2,
, n) j 即为系数矩阵的第 j 列
则方程组有向量形式 x11 x22 xnn b
● 向量的线性关系
线性组合的概念：设有同维向量 1,2 , ,n , ，如果存在
练习：已知 3,5,7,9, 1,5,2,0, ，求
解 4,0,5,9
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22x2
a1n xn b1 a2n xn b2
一组数 k1, k2 , , kn ，使得 k11 k22 knn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2 , ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 , ,n 的线性组合。
例2 设 1 （1，2，1），2 （2,3,6）, =（5,8,13），
判断向量 能否由向量组 1，2 线性表示？如果可以，求出
(5) 1 (6) () () ()
(7) （ ）=
(8) ( )
交换律 结合律
分配律
例1 设向量 （2，1，0）， （1，1，3），求3 4
解 3 4 32，1，0 41，1，3 6， 3，0 4，4，12 10， 7，12