322利用空间向量证明平行
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2.利用空间向量证明两条异面直线垂直 : 在两条异面直线上各 取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
变式训练1:ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD 1∥平面C1DE.
证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D 1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
? BD1 ? (? 2, ? 2,3), DE ? (1,2,0), EC1 ? (? 1,0,3).
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
2
2
?
MN
? (0, ?
11 ,)
22
设平面A1BD的法向量为n ?x, y, z?
则n?A1D ? 0且n ?A1B ? 0
得
? ? ?
y x
? ?
z z
? ?
0 0
取x
?
1,则y
?
1,z
?
1
? n ? ?1,1,1?.
? MN ?n ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 22
? MN ? n, 又MN ? 平面A1BD. ? MN 平面A1BD.
题型二 证明线面垂直
例2:如下图所示,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,E、F分别是 BB 1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
证明:方法1:设A1B1的中点为G,
连结EG,FG,A1B.
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
1 2 (BB1 ?
B1D1 )
1
1
? 2 ( AA1 ? BD) ? 2 (? a ? b ? c),
AB1 ? AB ? AA1 ? a ? b.
1
?
EF ?AB1 ?
(? a ? b ? c) ?(a ? b) 2
பைடு நூலகம்? ? ? 1 b2 ? a 2 ? c ?a ? c ?b 2
? ? ? 1 b 2 ? a 2 ? 0 ? 0 ? 0. 2
? EF ? (1,1,2) ? (2, 2,1) ? (?1,?1,1).
AB1 ? (2, 2, 2) ? (2,0,0) ? (0, 2, 2). AC ? (0, 2,0) ? (2,0,0) ? (?2, 2,0). 而EF ?AB1 ? (?1,? 1,1)?(0, 2, 2)
7.证明面面垂直的方法 (1)转化为__线__线__垂_直___、___线__面__垂_直__; (2)证明两个平面的法向量__互__相__垂__直__.
名 师 讲 解 (学生用书P80)
1.利用空间向量证明线与面平行 : 只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb 即可.
典 例 剖 析 (学生用书P80)
题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的
中点,求证:MN∥平面A1BD.
分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
证明 :
MN
?
C1N
?
C1M
?
1 2
C1B1
?
1 2
C1C
1
1
? 2 (D1 A1 ? D1D) ? 2 DA1,
? MN / / DA1. MN ? 平面A1BD,
? MN 平面A1BD.
分析2 : 建立直角坐标系,证明MN
与平面A1BD的法向量垂直.
证明: 如上图,建立空间直角坐标系A ? xyz.
设棱长为1,则可求得A1 ?0,0,1?, B?1,0,0 ?, D ?0,1,0?,
M (1,1,1), N(1,1 ,1).
设BD1 ? ? DE ? ? EC1,
即?? 2,? 2,3?? ? ?1,2,0 ?? ? ?? 1,0,3 ?,得
?? ? ? ? ? 2,
? ?
2?
? ? 2,
解得?
? ?1,?
? 1.
?? 3? ? 3,
? BD1与DE, EC1共面, 又 BD1 ? 面C1DE,? BD1 面C1DE.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B.
∴AB
?
1
平面A 1B, ∴FG⊥AB 1,
∴A1B⊥AB 1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB 1.
同理EF⊥B1C.又AB 1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
方法2 : 设 AB ? a, AD ? c, AA1 ? b,
则EF
?
EB1 ?
B1F
?
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 __共_线__向__量___即可.
3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量 ______垂__直___.
(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ______共__线__.
(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两 个不共线的向量是__共_面__向__量___.
3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
变式训练1:ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD 1∥平面C1DE.
证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D 1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
? BD1 ? (? 2, ? 2,3), DE ? (1,2,0), EC1 ? (? 1,0,3).
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
2
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MN
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22
设平面A1BD的法向量为n ?x, y, z?
则n?A1D ? 0且n ?A1B ? 0
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? MN ? n, 又MN ? 平面A1BD. ? MN 平面A1BD.
题型二 证明线面垂直
例2:如下图所示,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,E、F分别是 BB 1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
证明:方法1:设A1B1的中点为G,
连结EG,FG,A1B.
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
1 2 (BB1 ?
B1D1 )
1
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AB1 ? AB ? AA1 ? a ? b.
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? EF ? (1,1,2) ? (2, 2,1) ? (?1,?1,1).
AB1 ? (2, 2, 2) ? (2,0,0) ? (0, 2, 2). AC ? (0, 2,0) ? (2,0,0) ? (?2, 2,0). 而EF ?AB1 ? (?1,? 1,1)?(0, 2, 2)
7.证明面面垂直的方法 (1)转化为__线__线__垂_直___、___线__面__垂_直__; (2)证明两个平面的法向量__互__相__垂__直__.
名 师 讲 解 (学生用书P80)
1.利用空间向量证明线与面平行 : 只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb 即可.
典 例 剖 析 (学生用书P80)
题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的
中点,求证:MN∥平面A1BD.
分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
证明 :
MN
?
C1N
?
C1M
?
1 2
C1B1
?
1 2
C1C
1
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? 2 (D1 A1 ? D1D) ? 2 DA1,
? MN / / DA1. MN ? 平面A1BD,
? MN 平面A1BD.
分析2 : 建立直角坐标系,证明MN
与平面A1BD的法向量垂直.
证明: 如上图,建立空间直角坐标系A ? xyz.
设棱长为1,则可求得A1 ?0,0,1?, B?1,0,0 ?, D ?0,1,0?,
M (1,1,1), N(1,1 ,1).
设BD1 ? ? DE ? ? EC1,
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? BD1与DE, EC1共面, 又 BD1 ? 面C1DE,? BD1 面C1DE.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B.
∴AB
?
1
平面A 1B, ∴FG⊥AB 1,
∴A1B⊥AB 1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB 1.
同理EF⊥B1C.又AB 1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
方法2 : 设 AB ? a, AD ? c, AA1 ? b,
则EF
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B1F
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3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 __共_线__向__量___即可.
3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量 ______垂__直___.
(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ______共__线__.
(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两 个不共线的向量是__共_面__向__量___.