322利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行、垂直问题 课件
＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝12(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. 所以 E→F⊥A→B1，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，所以 EF⊥平面 B1AC. 方法二 设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA， DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图
点评：利用向量法证明线面垂直，有两种方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂 直．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分 别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
变式 训练
证明：方法一 设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b， 则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋B→1D1) ＝12(A→A1＋B→D)＝12(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)． 因为A→B1＝A→B＋A→A1＝a＋b， 所以E→F·A→B1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)
A．1
B．－2
C．－3 D．3
2．若两个不同平面α、β的法向量分别为u＝(1,2， －1)，v＝(2,3,8)，则( B )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
3．已知平面 α 内有一个点 A(2，－1,2)，它的一个法
向量为 n＝(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 α 内的是( )
所以E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
E→F·A→C＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， 所以E→F⊥A→B1，E→F⊥A→C， 所以 EF⊥AB1，EF⊥AC.又 AB1∩AC＝A， 所以 EF⊥平面 B1AC.
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
空间向量的应用-证明平行与垂直
∴MN⊥n， 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
→
1 → 1 → 方法二：∵MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C
→ → → → 1 → 1 → ＝2(D1A1－D1D)＝2DA1，
∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.
[点评与警示] 证明线面平行可以用几何法，也可以用向 量法．用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面
1．利用向量的知识判定线面平行的方法 a与b不重合 ⇒a∥b (1)直线与直线平行的判定方法： a＝λb
(2)直线与平面平行的判定方法：
①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为
n，则
a·n＝0⇔a∥α .
②如果平面 α 外的直线 a 的方向向量为 a ， e1 、 e2 是平面 α 的
如图所示，已知四棱锥 P － ABCD 的底面是直角梯形，
∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝ 2CD ， 侧 面
PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. [分析 ] 空间中各元素的位置关系和数量关系的核心是线
与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而 为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础．考虑到平面
1．在空间直角坐标系o－xyz中，过点E(－2,1，－2)且与平
面xoz平行的直线l交平面yoz于点P，则点P的坐标为( )
A．(0,1，－2)
C．(－2,1,0)
B．(－2,0，－2)
D．(－4,0，－1)
[解析]
过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P，则P
的横坐标为0，纵坐标与竖坐标与E点相同． [答案] A
3.2.1利用空间向量证明平行、垂直问题(一)
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→ → ∴A1B＝(1,0，－1)，A1D＝(0,1，－1)， → → CB1＝(0，－1,1)，CD1＝(－1,0,1)． 设平面 CB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)， → → 则 n· CB1＝0，n· CD1＝0. －y＋z＝0 即 令 z＝1， －x＋z＝0， 解得 n＝(1,1,1)． → → ∴A1B· n＝0，A1D· n＝0. 又∵A1B∩A1D＝A1，且 A1B⊂平面 A1BD， A1D⊂平面 A1BD， ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1.
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1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
2．在证明平行与垂直时，注意应用向量相关结论，如
共线、共面等结论．同时也要注意与以前已经学习过的公理
D．(1，－1，－1)
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2．已知A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,2，－1)，下列四个 点中在平面ABC内的点是( )
A．(2,3,1)
C．(1,2,1)
B．(1，－1,2)
D．(1,0,3)
→ → → 解析：AD＝xAB＋yAC＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝ x＝2 (1,0,3)时有解 . y＝－1 答案：D
定．
设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 a和b， P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序 → 实数对(x，y)，使得__________________. OP＝xa＋yb 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
于是������������ =
1 2
,0,
1 2
, ������������1=(1,0,1),������������=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
则
������·������������1 = 0, 得 ������·������������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯 形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,12试建立适当
的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量.
解以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
明������������与平面 A1BD 中的������������1是共线向量;思路三:可通过平面 A1BD 的法向量来证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:∵������������
=
������1������
−
������1������
=
1 2
������������
−
1 2
������1������
12,0,0 ,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴������������=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.
空间向量平行结论
空间向量平行结论
空间向量平行结论指的是，如果两个向量在空间中平行，则它们的长度相等，方向相同，且它们的坐标分量之间保持比例关系。
这个结论可以通过向量的定义和几何性质推导得出。
具体地，如果向量a和向量b在空间中平行，那么它们的长度相等，即|a|=|b|。
此外，它们的方向也相同，因为它们的起点和终点重合。
因此，可以用一个非零实数k来表示它们之间的比例关系，即a=k*b。
由于a和b都有三个坐标分量，所以这个比例关系可以表示为：
a1=k*b1
a2=k*b2
a3=k*b3
这个式子表明，a和b的每个坐标分量之间都保持着相同的比例关系。
换句话说，它们的坐标分量在一个平面内呈现出比例关系，这个平面与它们所在的平行平面重合。
空间向量平行结论在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有应用。
在物理学中，向量的平行性质可以用来描述力的平行和力的分解问题。
在工程学中，向量的平行性质可以用来计算构件的静力平衡。
在计算机图形学中，向量的平行性质可以用来计算三维图形的表面法向量，从而实现光照效果。
- 1 -。
利用空间向量证明平行问题
0 ,
r 令y 1,则n (0,1, 0)
Q
uunur
DS
r
EF 0
1
b
0
0
2
uuur r EF n
EF / /平面SAD.
例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
z
A1
D1
证明：以A为坐标原点建立空间坐标系如图，
设正方体棱长为1，则
jchay
2.立体几何中的平行关系的向量表示
rr
设的直 法线 向量l, m分的别方为向ur，向 vr量分，别则为有a以，下 br，结平论面：，
(1)线线平行r： r r r l / /m a / /b a kb
a
l
r u
(2)线面平行r ：r r r
r v
l / / a u a u 0
平面A 1
BD
/
/平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤
1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。
2.写出空间图形中各点的空间坐标。
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.
当堂训练
E
1.如图，已知正方形ABCD
M
与矩形ACEF所在的平面互相
F
垂直，AB= 2，AF=1,M是EF C
B
的中点.求证：AM//平面BDE.
D
2.如图，四棱锥O-ABCD中， 底面ABCD是边长为1的菱形， ∠ABC=450,OA⊥底面ABCD, OA=2,M为OA的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面OCD
用向量技巧方法证明平行与垂直
1 3 1 1 1 3 3 → → → 又AE＝( ， ， )，∴AE· AD＝－ × ＋ × ＝0， 4 4 2 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n＝ (x， y， z)， 1 3 1 → → ∵AB＝ (1,0,0)，AE＝ ( ， ， )， 4 4 2 → n· AB＝ 0 ∴ → n · AE ＝0 x＝ 0 ，即1 3 1 x＋ y＋ z＝ 0 4 4 2 ，
则①α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β⇔存在实数 λ、μ，对 β 内任一向量 a，有 a＝λv1＋μv2.
n⊥v1 ②α⊥β⇔ n⊥v2 v1＝0 n· ⇔ v2＝0 n·
.
用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、 N 分别 是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：方法 1：如下图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则可求得
1 1 M0，1，2，N2，1，1，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
1 1 → 于是MN＝2，0，2，
如何用空间向量解决立体几何问题 1．思考方向： (1) 要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要 用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知 条件转化成的向量直接表示？
二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b⇔存在实数 t， 使 a＝tb. (2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a· b＝0.
向量平行证明法则
向量平行证明法则“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲向量平行证明法则啊。
”向量平行呢，有几个关键的证明方法。
首先，若有两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，当它们的对应坐标成比例时，也就是x1/x2=y1/y2，那么这两个向量平行。
比如说，有向量 a=(2,4)，b=(1,2)，很明显 2/1=4/2，所以 a 和 b 就是平行的。
这就好像是在地图上，一个人从 A 点到 B 点走的路线和另一个人从 C 点到 D 点走的路线，如果它们在横向和纵向上的比例是一样的，那这两条路线就是平行的。
其次，如果存在一个实数 k，使得一个向量可以表示为另一个向量的 k 倍，那这两个向量也是平行的。
比如有向量 c=(3,6)，d=(1,2)，那 c 就可以表示成 2d，这就表明 c 和 d 平行。
就像跑步比赛，一个人速度是另一个人的两倍，那他们跑的方向肯定是一样的，也就是平行的。
再有一种情况，两个向量的数量积为 0，那么这两个向量垂直。
但如果是三个向量，其中两个向量的数量积为 0，且这两个向量叉乘的结果与第三个向量平行，那也能说明其中两个向量平行。
举个例子，在一个三维空间里，有向量 e=(1,0,0)，f=(0,1,0)，g=(0,0,1)，那么 e 和 f 的数量积为 0，它们叉乘的结果是 g，且 g 与 e 和 f 都垂直，也就说明 e 和 f 是平行的。
实际应用中，这种向量平行的证明很常见。
比如在物理学中研究物体的运动方向，或者在计算机图形学中判断图形的移动方向等。
就说在计算机游戏开发中吧，要让一个角色沿着特定的方向移动。
通过设定向量来确定这个方向，如果有其他的运动或者效果也需要沿着这个方向，那就需要证明这些相关向量是平行的，这样才能保证整个游戏的动作和效果协调一致。
总之呢，向量平行证明法则在数学和其他很多领域都有着重要的应用，同学们一定要好好掌握啊。
高中数学论文：利用空间向量证明线面平行问题
利用空间向量证明线面平行问题向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。
线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。
一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。
例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
证明：PA//平面EDB。
证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG 。
依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，2a ，2a ）。
底面ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，则点G 的坐标为（2a ，2a ，0），∴PA =（a ，0，-a ），EG =（2a ，0，-2a ）∴=2EG ， P ∉EG ，∴PA//EG ，而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA//平面EDB 。
二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线L 不在平面α内，取直线L 上的任一非零向量，平面α中存在两个不共线向量，，若存在唯一的实数对λ1，λ2，使得=λ1+λ2，则L//α。
证明：由n =λ1a +λ2b 知n ，a 与b 共面，因此n //α，由直线L 不在平面α内得到L//α。
例2 、已知平行四边形ABCD ，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为PC ，PB 的中点；求证：MN//面PAB 。
D证明：构造向量MN ，AP ，AB ，PC 和CB 。
=21（+）=21（—+）=21（—） ∴ MN//面PAB例3、 已知四边形ABCD 是正方形，S 是平面ABCD 外一点，且SA=SB=SC=SD ，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1。
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行优秀课件
z
D1 B1
C1
设平面 BDA1的法向 A B x n ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 ( 1 , 1 , 1 ) 故平面BDA1的法向量为 n
DB (1 ,1 ,0)
oD
C
y
m 则显然有 n 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M Q(2-2x，2，0) o C y D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 n n 0 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN ∴MN 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
C N B
再见
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美
两空间向量平行的公式
两空间向量平行是几何中的一个重要概念，它指的是两个向量的方向相同，但大小可能不同。
它的公式可以用来表示两个空间向量是否平行。
首先，我们来看一下两空间向量平行的公式：如果空间向量a和b是平行的，那么它们之间满足：a·b=|a||b|。
这里的·表示向量点乘，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。
如果a·b=|a||b|，则a和b是平行的，否则不是。
其次，我们来看一下这个公式的证明：设空间向量a和b的模分别为|a|和|b|，它们的夹角为α，则有a·b=|a||b|cosα。
当α=0时，cosα=1，即a·b=|a||b|，这时a和b是平行的。
第三，我们来看一下这个公式应用的例子：假设a=(1,2,3)，b=(2,4,6)，则|a|=3.7，|b|=7.2，a·b=20。
根据公式，a·b=|a||b|，即20=3.7*7.2，故a和b是平行的。
最后，我们可以用这个公式来解决一些几何问题，比如判断两条直线是否平行，判断两个平面是否平行，判断多边形的边是否平行等等。
总之，两空间向量平行的公式是几何学中的一个重要概念，它的公式可以帮助我们解决很多几何问题。
3.2 第1课时 利用向量证明空间中的平行关系
第1课时 利用向量证明空间 中的平行关系
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
1.空间中点、直线、平面的向量表示 (1)点的位置向量 在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的 位置就可以用向量������������来表示.我们把向量������������称为点 P 的位置向量. 如图①.
答案-12 15
【做一做3】 若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平
面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是
.
解析因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,
所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
答案平行
-9-
第1课时 利用向量证明空间 中的平行关系
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 当堂检测
Hale Waihona Puke 探究一平面法向量及其求法 例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平 面法向量的求解步骤进行求解.
图①
图②
(2)直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定,如图②,点 A 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向(方
向向量),在直线 l 上取������������=a,那么对于直线 l 上任意一点 P,一定存在
实数 t,使得������������=t������������.
-7-
第1课时 利用向量证明空间 中的平行关系
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3.证明线面垂直: 直线l, 平面α, 要让l ⊥α,只要在l 上取一个非零 向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明 p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线__平__行__、__线__面__平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是 _共__线__向_量____.
5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量 __互__相__垂__直__.
6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是 __共__线_向__量___; (2)证明直线与平面内的_两__条_不__共__线__向. 量互相垂直
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行 ,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤 .
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线__线__平_行_、____线_面__平__行_、 __面_面__平__行___,空间中的垂直关系主要有__线__线_垂__直___、 __线__面__垂__直__、___面__面__垂_直__.
? EF / / AB1, 即EF ? AB1,同理EF ? B1C. 又AB1 ? B1C ? B1, ? EF ? 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A ?2,0,0 ?,C ?0, 2,0 ?, B1 ?2, 2, 2?, E ?2, 2,1?, F?1,1,2?.
∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B.
∴AB
?
1
平面A 1B, ∴FG⊥AB 1,
∴A1B⊥AB 1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB 1.
同理EF⊥B1C.又AB 1∩B1C=B1,
∴EF⊥平面B1AC.
方法2 : 设 AB ? a, AD ? c, AA1 ? b,
则EF
?
EB1 ?
B1F
?
7.证明面面垂直的方法 (1)转化为__线__线__垂_直___、___线__面__垂_直__; (2)证明两个平面的法向量__互__相__垂__直__.
名 师 讲 解 (学生用书P80)
1.利用空间向量证明线与面平行 : 只要在平面α内找到一条直 线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证 明a=λb 即可.
题型二 证明线面垂直
例2:如下图所示,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,E、F分别是 BB 1、D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
证明:方法1:设A1B1的中点为G,
连结EG,FG,A1B.
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
典 例 剖 析 (学生用书P80)
题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的
中点,求证:MN∥平面A1BD.
分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
证明 :
MN
?
C1N
?
C1M
?
1 2
C1B1
?
1 2
C1C
1
1
? 2 (D1 A1 ? D1D) ? 2 DA1,
1 2 (BB1 ?
B1D1 )
1
1
? 2 ( AA1 ? BD) ? 2 (? a ? b ? c),
AB1 ? AB ? AA1 ? a ? b.
1
?
EF ?AB1 ?
(? a ? b ? c) ?(a ? b) 2
? ? ? 1 b2 ? a 2 ? c ?a ? c ?b 2
? ? ? 1 b 2 ? a 2 ? 0 ? 0 ? 0. 2
变式训练1:ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边 长为2,E是棱BC的中点,求证:BD 1∥平面C1DE.
证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D 1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
? BD1 ? (? 2, ? 2,3), DE ? (1,2,0), EC1 ? (? 1,0,3).
2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 __共_线__向__量___即可.
3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量 ______垂__直___.
(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ______共__线__.
(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两 个不共线的向量是__共_面__向__量___.
设BD1 ? ? DE ? ? EC1,
即?? 2,? 2,3?? ? ?1,2,0 ?? ? ?? 1,0,3 ?,得
?? ? ? ? ? 2,
? ?
2?
? ? 2,
解得?
? ?1,?
? 1.
?? 3? ? 3,
? BD1与DE, EC1共面, 又 BD1 ? 面C1DE,? BD1 面C1DE.
2
2
?
MN
? (0, ?
11 ,)
22
设平面A1BD的法向量为n ?x, y, z?
则n?A1D ? 0且n ?A1B ? 0
得
? ? ?
y x
? ?
z zΒιβλιοθήκη ? ?0 0取x?
1,则y
?
1,z
?
1
? n ? ?1,1,1?.
? MN ?n ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 22
? MN ? n, 又MN ? 平面A1BD. ? MN 平面A1BD.
? MN / / DA1. MN ? 平面A1BD,
? MN 平面A1BD.
分析2 : 建立直角坐标系,证明MN
与平面A1BD的法向量垂直.
证明: 如上图,建立空间直角坐标系A ? xyz.
设棱长为1,则可求得A1 ?0,0,1?, B?1,0,0 ?, D ?0,1,0?,
M (1,1,1), N(1,1 ,1).
? EF ? (1,1,2) ? (2, 2,1) ? (?1,?1,1).
AB1 ? (2, 2, 2) ? (2,0,0) ? (0, 2, 2). AC ? (0, 2,0) ? (2,0,0) ? (?2, 2,0). 而EF ?AB1 ? (?1,? 1,1)?(0, 2, 2)