力学(Mechanics)第七章刚体平面动力学
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理论力学1A全本课件7章刚体的平面运动ppt课件教案
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理论力学电子教案 C 机械工业出版社
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运动为圆周运动的合成 va vB;ve vA;vr vBA,
vAB 大小 AB,方向 AB, 指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
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即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
aB aA aBA aBAn
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aB aA aBA aBAn
其中：aBA AB ，方向AB，指向与 一致； aBAn AB 2 ，方向沿AB，指向A点。
即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。
刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
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[例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，
取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时,
滑块B的速度及AB杆的角速度． 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运
动,滑块B作平动。 基点法（合成法）
大小？ √ ？ √
方向√ √ √ √
作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 aB cos 30 0 0 aBAn
aB
aBA
n
/c
os30
20 3
3 2 /
3 2
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
工程力学 刚体的平面运动 - 副本
o
o
vB cos30 vA 0.173m/s o cos60
3）求 D 点的速度
A v D v B v DB v AB D vB vDB 0.1m/s 2 vD vDB 0.1m/s v AB v A v DB 30o vD vD 与 vB 交角为60º 。
B
[v B ]AB [v A ]AB
速度投影法表明：当刚体作平面运动时，其上任意 两点的速度在此两点连线上的投影相等。这一结论 称为速度投影定理。
第十五章
刚体的平面运动
速度投影法
[v B ]AB [v A ]AB
利用速度投影定理求平面运动刚体上任一点速度 的方法称为速度投影法。 若已知刚体上一点的速度的大小和方向，且知另 一点的速度方向，则用速度投影定理，在不知两 点间距离及刚体角速度的前提下，可方便地求出 该点速度的大小。
第十五章
刚体的平面运动
图14-8
第十五章
刚体的平面运动
例15-7 在图14-9所示的凸轮机构中，凸轮在水平面上 向右作减速运动，凸轮半径为R，图示瞬时凸轮的速 度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加 速度。
图14-9
第十五章
刚体的平面运动
二、用基点法求平面图形内各点的加速度
aB aA aBA
由
vO
v DO v D
vB vO vBO
vO
O
得
vB 2vO
C
第十五章 三、速度瞬心法
刚体的平面运动
速度瞬心：刚体上某瞬时速度为零的那个点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
已知图形的角速度和瞬心的 位置，以速度瞬心为基点， 利用公式 vM vMC MC 。 求出图形上任一点速度的方 法称为瞬时速度中心法，简 称瞬心法。
o
vB cos30 vA 0.173m/s o cos60
3）求 D 点的速度
A v D v B v DB v AB D vB vDB 0.1m/s 2 vD vDB 0.1m/s v AB v A v DB 30o vD vD 与 vB 交角为60º 。
B
[v B ]AB [v A ]AB
速度投影法表明：当刚体作平面运动时，其上任意 两点的速度在此两点连线上的投影相等。这一结论 称为速度投影定理。
第十五章
刚体的平面运动
速度投影法
[v B ]AB [v A ]AB
利用速度投影定理求平面运动刚体上任一点速度 的方法称为速度投影法。 若已知刚体上一点的速度的大小和方向，且知另 一点的速度方向，则用速度投影定理，在不知两 点间距离及刚体角速度的前提下，可方便地求出 该点速度的大小。
第十五章
刚体的平面运动
图14-8
第十五章
刚体的平面运动
例15-7 在图14-9所示的凸轮机构中，凸轮在水平面上 向右作减速运动，凸轮半径为R，图示瞬时凸轮的速 度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加 速度。
图14-9
第十五章
刚体的平面运动
二、用基点法求平面图形内各点的加速度
aB aA aBA
由
vO
v DO v D
vB vO vBO
vO
O
得
vB 2vO
C
第十五章 三、速度瞬心法
刚体的平面运动
速度瞬心：刚体上某瞬时速度为零的那个点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
已知图形的角速度和瞬心的 位置，以速度瞬心为基点， 利用公式 vM vMC MC 。 求出图形上任一点速度的方 法称为瞬时速度中心法，简 称瞬心法。
理论力学：刚体平面运动的动力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
A
Mc
mg Mk
Fx O
Fy
常系数非齐次 非线性微分方程
解：研究OA杆，进行受力分析
JO
d 2
dt 2
n i1
M O (Fi )
JO M mg M c M k
M mg
mg
L sin
2
M c c
Mk k( )
1 mL2 c k 1 mgLsin kbcos t
大小： a ar cos
2
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混沌（Chaos）：在确定的系统中出现类似随机的运动过程
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9
理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
1963年美国科学家洛伦兹（Edward N. Lorenz) 从简化大气对流的动力学方程中得到一组三阶 的非线性常微分方程。
即:
发现：该方程在一定参数下为周 期解，在某些参数下为混沌解。
mR2
2R 2
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5
理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
例：系统如图所示，设均质杆OA长为 L 质量为m，其阻力系数为 c，扭簧刚 度系数为 k。当 OABC 时，扭簧无
变形，已知BC杆的转动： b cos t ,
试建立OA杆的运动微分方程。
A
mg
B
C
O
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理论力学
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F
B
B：滑块右侧与滑道接触
25
理论力学
§7-2 刚体平面运动的动力学
思考题：质量为m半径为R 的均质圆盘在倾角为θ 的固定
斜面上纯滚动，其上作用一主动力偶M， 试定性分析作用 在圆盘上的摩擦力的方向。
§7.5刚体平面运动的动力学
N mg 0, F mac m L 2
mg
2
aC
F
由转动定理：
F 0 A Io mL
1 3
A
解得：
0A 2 3 L
7.4.2 已知：质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆 可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。 一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射入并嵌入杆 的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ。
Fi 0,
i
M
i
iz
0
R l , F f 0, 静摩擦力向后; 2 R l , F f 0, 静摩擦力向前; 2 R l , F f 0. 2
并且只有满足 mg Ff 时才能保持纯滚动。
7.3.6 已知：匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力 作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力 之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长 为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸 N 面向外, 杆受力及运动情况如图示。 o x 由质心运动定理：
F Ff mac
F
再由圆柱对质心的转动定理
Fl Ff R Ic
l
c a c
Ff
又因纯滚动 ac R 以及 I c 1 mR 2
2
例3
解得
2F ( R l ) 3mR 2
ac R
2F ( R l ) 3mR R 2l Ff F 3R
可见，若
1 2
3 7
gl aCn
2 vC l 2
l 2 6g 2 7
7.5.2
N n 4mg 4maCn
N t 4maCt
mg
2
aC
F
由转动定理：
F 0 A Io mL
1 3
A
解得：
0A 2 3 L
7.4.2 已知：质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆 可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。 一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射入并嵌入杆 的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ。
Fi 0,
i
M
i
iz
0
R l , F f 0, 静摩擦力向后; 2 R l , F f 0, 静摩擦力向前; 2 R l , F f 0. 2
并且只有满足 mg Ff 时才能保持纯滚动。
7.3.6 已知：匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力 作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力 之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长 为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸 N 面向外, 杆受力及运动情况如图示。 o x 由质心运动定理：
F Ff mac
F
再由圆柱对质心的转动定理
Fl Ff R Ic
l
c a c
Ff
又因纯滚动 ac R 以及 I c 1 mR 2
2
例3
解得
2F ( R l ) 3mR 2
ac R
2F ( R l ) 3mR R 2l Ff F 3R
可见，若
1 2
3 7
gl aCn
2 vC l 2
l 2 6g 2 7
7.5.2
N n 4mg 4maCn
N t 4maCt
理论力学 第7章 刚体的平面运动
M4 ω
M2
C ωO
A
r
M1
M3
O R
解: OA绕O转动
v2
v4
M4
vA
ω A
r
M2 v3
C ωO
M1 Ⅱ M3
RO
Ⅰ
vA AC r OAO (R r) O
C点是齿轮II的速度瞬心
因此轮
II
的角速度
R r
r
O（逆时针）
所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：
8
7.2 平面图形内各点速度的求法 1、基点法 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点
平面图形内任一点的速度 =基点的速度与绕基点转动
速度的矢量和
9
y
例7.1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，
AB=l。
B
解：一、基点法
1、 AB 作平面运动
O
基点：A
2、 vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vA AB ACv , vB AB BCv
得
vB
BCv ACv
vA
对三角形ABC应用正弦定理，可得
ACv
BCv
sin ( π ) sin ( )
2
注意到
，代入上式后得
B
x
vB
R0
sin ( ) cos
速度投影法
应用速度投影定理，有
vAcos vBcos
将v A = R ω ， α ＝90o -ψ - β ＝ψ
速度瞬心C必定在速度垂线上
速度垂线A N
速度瞬心C
vM vA vMA vM vA AM
v
v 0 AC A
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
《刚体的平面运动 》课件
刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响
7第七章 刚体的平面运动
§7-2 平面图形上各点的速度
vD vB
30º
解：杆OA绕O轴转动
v A OA 0 . 2 m/s
vA
由速度投影定理，得
v B cos 30 v A
vE
摇杆CD绕C轴转动，有
vD vB CB CD 3 v B
vB
1 .2 3 m/s
2v A 3
0 .4 3
§7-1 刚体平面运动的描述
刚体的平面运动可以
分解为随基点的平动
和绕基点的转动．
§7-1 刚体平面运动的描述
§7-1 刚体平面运动的描述
五、图形平面运动的角速度和角加速度
B" B
φ φ'
取点A为基点
B'
随点A以vA,aA作平移。 绕点A转动，角速度：
A
d dt d ' dt
A' A
A"
vA
v BA v B v A cos 45
2 2
r O
vA
ABC
v BA AB
v BA 2 OA
1 2
O
§7-2 平面图形上各点的速度
θ
vCB vB vC
再取点B为基点，则点C的速度 v C v B v CB
vB 2 2 r O
1 2
vBA vB
v CB BC ABC 2 r
v A v AC AC v B v BC BC v D v DC DC
§7-2 平面图形上各点的速度
三、确定速度瞬心位置的方法 1. 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动。
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
刚体平面运动的运动学动力学培训资料
刚体平面运动
01
刚体在平面内的运动，包括平移和旋转。
动量与角动量在刚体平面运动中的作用
02
描述刚体的运动状态，为动力学分析提供基础。
动量与角动量在刚体平面运动中的关系
03
在平面运动中，动量和角动量之间存在一定的联系和相互影响。
05
刚体平面运动的能量
刚体的动能与势能
刚体的动能
刚体在平面运动中的动能等于刚体质量与速度平方乘积的一半。
刚体平面运动的能量与运动状态的关系
能量与速度的关系
刚体的动能与速度的大小直接相关，速度越大，动能越 大。
能量与位置的关系
刚体的势能与位置的高低直接相关，位置越高，势能越 大。
06
刚体平面运动的实例分析
刚体的定轴转动实例
总结词
刚体的定轴转动是平面运动的一种，其运动 特性对理解刚体平面运动至关重要。
详细描述
刚体的定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋 转的运动。这种运动形式在日常生活和工程 实践中非常常见，例如车轮的转动、旋转木 马的旋转等。在定轴转动中，刚体的运动可 以分解为绕固定轴的旋转运动和刚体上任意 一点沿该轴的线运动。
刚体的平面运动实例
总结词
刚体的平面运动是指刚体在平面内的运动， 其运动特性对理解刚体动力学具有重要意义 。
动量与角动量的定义
动量
刚体的质量与速度的乘积，表示刚体 的运动量。
角动量
刚体的转动惯量与角速度的乘积，表 示刚体的转动运动量。
动量与角动量的守恒定律
要点一
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，刚体的总动量保持不变。
要点二
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的总角动量保持不变。
力学(Mechanics)
在t 时间间隔内直线OP的角位移(The angular displacement)
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
20
7.1.2 刚体的定轴转动定轴转动的描述
3. 角速度
z
描述刚体转动快慢和方向的物理量。 直线OP的角速度:
lim d
t0 t dt
• 把刚体分成许多部分，每一部分都小到 可看作质点 质元；
• 由于刚体不变形 刚体内任意两质元 之间的距离始终保持不变；
• 刚体 质点系(不变质点系)；
所有用于描述质点系的方法都可用来研究刚体的运动！ 两者的差别： 质点系：各个质点的相对位置是变化的 整体+局部 刚体：运动中两质元之间的距离保持不变整体。
d dt
t
0
(t)dt
t0
d dt
t
0
(t)dt
t0
如果角加速度是常数：刚体作匀变速转动
0 t
0
0t
1 2
t
2
2 02 2 ( 0 )
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
q q' O
P' P
(t)
x
所有直线都具有相同的角位移 具有相同的角速度
是刚体的角速度
量刚: [T-1] 单位: rad/s 或 转/分钟(rev/min)
的正负号的规定：
面对z 轴观察：
> 0: 逆时针转动 < 0: 顺时针转动
1 rev/min = 2/60 rad/s = /30 rad/s
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
20
7.1.2 刚体的定轴转动定轴转动的描述
3. 角速度
z
描述刚体转动快慢和方向的物理量。 直线OP的角速度:
lim d
t0 t dt
• 把刚体分成许多部分，每一部分都小到 可看作质点 质元；
• 由于刚体不变形 刚体内任意两质元 之间的距离始终保持不变；
• 刚体 质点系(不变质点系)；
所有用于描述质点系的方法都可用来研究刚体的运动！ 两者的差别： 质点系：各个质点的相对位置是变化的 整体+局部 刚体：运动中两质元之间的距离保持不变整体。
d dt
t
0
(t)dt
t0
d dt
t
0
(t)dt
t0
如果角加速度是常数：刚体作匀变速转动
0 t
0
0t
1 2
t
2
2 02 2 ( 0 )
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
q q' O
P' P
(t)
x
所有直线都具有相同的角位移 具有相同的角速度
是刚体的角速度
量刚: [T-1] 单位: rad/s 或 转/分钟(rev/min)
的正负号的规定：
面对z 轴观察：
> 0: 逆时针转动 < 0: 顺时针转动
1 rev/min = 2/60 rad/s = /30 rad/s
力学(mechanics)
故刚体的动能为：
Ekc
1 2
Ic 2
Ic：刚体绕质心轴的转动惯量
Ek
1 2
mv
2 c
1 2
Ic 2
刚体的平动能
刚体的转动能
由质点系动能定理以及刚体的内力作功为0
外力所作的功可分为A两外部分(：12 m+vc2
1 2
Ic2 )
A外
(
Fi
)
drc
( iz
)d
7.5 刚体平面运动的动力学
– 力偶矩对刚体的效果是使刚体产生角加速度。 – 显然，改变力偶中二力的大小，方向和作用线，但不改变力偶矩，那么对
刚体的运动效果不变。 – 引入力偶后，作用于刚体上的力对刚体的运动所产生的效果可等效于一作
用线通过质心的力和一力偶对刚体运动的效果。
z c
c
d
F F
7.5 刚体平面运动的动力学
7.5 刚体平面运动的动力学
【一】差不多动力学方程
建立坐标系
– 惯性系K：o-xyz，其中o-xy平面与固定平面平行，z轴与刚体的转轴平行； 质心系Kc：c-x/y/z/，原点在刚体的质心，各坐标轴与o-xyz的对应轴总是平行，
由于c相关于o有加速度平动的非惯性系。
– 关于做平面运动的刚体：
– 由于质心总是在一确定的平面内运动，故外力的合力Fi也必在该平面内； – 由于刚体总是绕与z轴平行的转轴转动，故外力y轴和x轴的力矩应为零；
iz
dLz dt
d dt
I z z
I z z
刚体对质心轴的转动定理。 iz :外力对质心的合力矩的z/分量。
工程力学学习资料 刚体的平面运动1
刚体的平面运动可 简化为平面图形在它
自身平面内的运动
平面图形——在刚
体上作平行于固定平
面的平面，这样的平
面与刚体轮廓的交线 所构成的图形。
三．平面运动方程
x A f1 (t ) y A f 2 (t ) f 3 (t )
平面运动方程
Ａ点不动时， 则作定轴转动 角不变时， 则作平移
结论：平面图形的运动可分解为随基点(A点） 的平移和绕基点的转动。
随基点的平移—— 刚体的 平面运动 绕基点的转动——
v、a与基点的选择 有关。
、与基点的选择
有无关系？
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
若以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'
若以B为基点: 随基点B平移到B' A''后, 绕基点转 2角到A' B'
vB
B
A
C
C
平面图形内任意点的速度等于 该点随图形绕瞬时速度中心 转动的速度。
三．确定速度瞬心的方法
1、
已知平面图形上两点的速度的方向，
这两点的速度矢量方向互不平行。
vA vD
D C
vB
B
A
vB
90o
vA
A
90o
C
B
2、 已知平面图形上两点速度矢量同向
平行，并且都垂直于两点的连线。 S A
A
90o
B
90o
vA
vB
vB CB
0
刚体作瞬时平移
vA = vB
5、
已知平面图形在固定面上
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
§刚体平面运动的动力学
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
BF
力作质心轴的力矩使刚体产 生角加速度.
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
右图中,施于A点的力 F
F´ 可用施于B点的力F´´
代替,即力可沿作用线滑移.
C
B F'' A
F'
作用于刚体的Leabharlann 的三要素：大小、方向和作用线.2.力偶和力偶矩
F F
§7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度
FN
M滚驱 M滚
C F
Ff M驱 W
F
M滚
FN
C W
Ff
FN
驱动轮
被动轮
Ff
r
FN
M驱 Ffr M滚 0
Ff (M驱 M滚 ) / r M驱 / r
汽车牵引力
M驱 / r
[例题4]桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为 S=1.89m2,
m — 刚体的质量.
2. 刚体绕质心的转动
在质心系中刚体作定轴转动.
选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固 定平面的轴. 在质心系中
M外i'
M惯
dLz' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩,
M惯 — 惯性力对质心力矩.
又 M惯= 0
M外i'
dL'z dt
d(Izcz )
m1
F1 r1
O
r12
d
r2
m2
F2
力相同，而力偶矩等于原力对
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变更三者之一都将改变力对物体的作用效果
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO
dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体
rC
rdV
V
dV
V
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
2
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext
dLO dt
(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
5
7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
9
7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩
Plane of couple
B
F
rA
2. 力偶矩(Moment of a couple)
将作用于刚体上的力沿其作用线移动，不改变力 对刚体的作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
8
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
14
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
12
7.2.5 力系的简化
将力F由A点平移到O点需附加一个力偶矩
F
A
Or
=
F
F
A
MO
F
AHale Waihona Puke O r=O
F
力F
对刚体的作用效果可等效于一个作用于O点的力
F
和一个力偶矩
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10
7.2.4 力偶和力偶矩
2. 力偶矩(Moment of a couple) •力偶矩的大小:
MO rF sin Fd
d 是两力作用线间的垂直距离 力偶臂
M
Plane of
couple
F
r
-F d
•力偶矩的方向: 与力偶中的二力构成右手螺旋
M
r
F
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O
dA f ji dr 0
在研究刚体的动力学时，只需考虑外力的作用
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
6
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2 刚体的动量和质心运动定理
11
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
F
N1
N2
大小 方向
作用点
作用在刚体上的力使刚体作平动和转动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
4
7.2.2 基本动力学方程
1. 描述刚体运动的基本动力学方程
质心运动定理:
Fi
d (mvC
dt
)
maC
p mvC
外力的合力使刚 体随其质心平动
7.2 刚体的动量和质心运动定理
13
7.2.5 力系的简化 如果有多个力作用于刚体的不同点上：
将每个力都平移到O点并附加一个与之对应的力偶矩；
平移到O点的力可合成为一个合力，对应的力偶矩也可 合成为一个合力偶矩
R F
MOR
r F
作用在刚体上的任何力系都可等效为一个作用于 刚体上某一点的力和一个力偶
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
3
质点(Particles):
mg F
N
7.2.2 基本动力学方程
• 忽略物体的大小和形状 • 忽略物体的转动, 只考虑平动
所有的力都作用于一点上。
刚体(Rigid Bodies):
mg
• 必须考虑物体的大小和形状 • 物体既作平动又作转动. • 力对刚体运动的影响依赖于
MO
rA F
rA
rB
rB
F
F
r F
-F rB
rA
o
r
:
A相对于B的位置矢量
力偶矩与参考点O的选择无关 是自由矢量，可施加在任意点上而不改变其作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
Proof:
一对内力作的功只依赖于两质点的相对位移.
dA f ji d(rj ri ) f ji dr
对于刚体：
r2
=
r
r
=
constant
r
dr
0
i fij
dri
ri
r
f ji
drj
rj
j
fij // r
力学(Mechanics)
第七章 刚体平面动力学
Planar Kinetics Of Rigid Bodies
7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
1
质心计算公式
7.2.1 刚体的质心
质量分立分布：
rC
mi ri mi
m4
r3
m3
r4
C
rC
m2
r1
m1
O
质量连续分布：
rC
rdm
V
dm
V
引入体密度
rC
r dV
V
dV
V
O rC
C
r dm
dm dV
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7
7.2.3 力的可传递性 力的三要素: 大小、方向、作用点(point of application)
作用在刚体上的力是滑移矢量(sliding vector):
将力
F
的作用点沿着其作用线由A移动到B：
F
F
F
MO
dLO dt
F maC
C A F
O
B
• 不改变对刚体质心运动的影响
• 对参考点O的力矩不变 对刚体转动的影响不变
均质物体
rC
rdV
V
dV
V
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
角动量定理:
(MOi )ext
dLO dt
(O: 固定点或刚体质心)
外力的力矩使刚体 绕空间某点转动
适用于刚体 的一般运动
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
5
7.2.2 基本动力学方程
2. 内力对刚体运动的影响
• 不影响刚体质心的运动和刚体的角动量； • 内力所作的总功为零
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
9
7.2.4 力偶和力偶矩
1. 力偶(couple):
大小相等、方向相反、彼此平行且非共线的一对力.
合力为零不影响刚体的平动 只影响刚体的转动 力偶矩
Plane of couple
B
F
rA
2. 力偶矩(Moment of a couple)
将作用于刚体上的力沿其作用线移动，不改变力 对刚体的作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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12
7.2.5 力系的简化
将力F由A点平移到O点需附加一个力偶矩
F
A
Or
=
F
F
A
MO
F
AHale Waihona Puke O r=O
F
力F
对刚体的作用效果可等效于一个作用于O点的力
F
和一个力偶矩
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7.2.4 力偶和力偶矩
2. 力偶矩(Moment of a couple) •力偶矩的大小:
MO rF sin Fd
d 是两力作用线间的垂直距离 力偶臂
M
Plane of
couple
F
r
-F d
•力偶矩的方向: 与力偶中的二力构成右手螺旋
M
r
F
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O
dA f ji dr 0
在研究刚体的动力学时，只需考虑外力的作用
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
F
N1
N2
大小 方向
作用点
作用在刚体上的力使刚体作平动和转动
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4
7.2.2 基本动力学方程
1. 描述刚体运动的基本动力学方程
质心运动定理:
Fi
d (mvC
dt
)
maC
p mvC
外力的合力使刚 体随其质心平动
7.2 刚体的动量和质心运动定理
13
7.2.5 力系的简化 如果有多个力作用于刚体的不同点上：
将每个力都平移到O点并附加一个与之对应的力偶矩；
平移到O点的力可合成为一个合力，对应的力偶矩也可 合成为一个合力偶矩
R F
MOR
r F
作用在刚体上的任何力系都可等效为一个作用于 刚体上某一点的力和一个力偶
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
3
质点(Particles):
mg F
N
7.2.2 基本动力学方程
• 忽略物体的大小和形状 • 忽略物体的转动, 只考虑平动
所有的力都作用于一点上。
刚体(Rigid Bodies):
mg
• 必须考虑物体的大小和形状 • 物体既作平动又作转动. • 力对刚体运动的影响依赖于
MO
rA F
rA
rB
rB
F
F
r F
-F rB
rA
o
r
:
A相对于B的位置矢量
力偶矩与参考点O的选择无关 是自由矢量，可施加在任意点上而不改变其作用效果.
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
Proof:
一对内力作的功只依赖于两质点的相对位移.
dA f ji d(rj ri ) f ji dr
对于刚体：
r2
=
r
r
=
constant
r
dr
0
i fij
dri
ri
r
f ji
drj
rj
j
fij // r
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
1
质心计算公式
7.2.1 刚体的质心
质量分立分布：
rC
mi ri mi
m4
r3
m3
r4
C
rC
m2
r1
m1
O
质量连续分布：
rC
rdm
V
dm
V
引入体密度
rC
r dV
V
dV
V
O rC
C
r dm
dm dV
7.2.1 刚体的质心 7.2.2 基本动力学方程 7.2.3 力的可传递性 7.2.4 力偶和力偶矩 7.2.5 力系的简化
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7.2 刚体的动量和质心运动定理
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7.2.3 力的可传递性 力的三要素: 大小、方向、作用点(point of application)