混沌阈值确定
基于过零周期技术的混沌检测系统状态阈值判据研究
动力系统中的混沌控制策略评价指标
动力系统中的混沌控制策略评价指标动力系统中的混沌控制策略评价指标混沌控制是指通过引入外部控制信号来抑制或控制混沌现象的一种方法。
在动力系统中，混沌控制策略的评价指标对于理解系统的稳定性和控制性能具有重要意义。
本文将介绍动力系统中的混沌控制策略评价指标，并探讨其应用。
一、Lyapunov指数Lyapunov指数是一种常用的混沌控制策略评价指标，它用于衡量混沌系统的稳定性。
Lyapunov指数的计算方法需要基于Lyapunov指数定理，通过对系统状态的微小扰动进行分析，确定系统的稳定性和敏感性。
通过计算Lyapunov指数，可以评估混沌控制策略对系统的控制效果。
二、收敛速度收敛速度是评价混沌控制策略效果的重要指标之一。
混沌系统通常具有较长的转动周期和不可预测性，因此控制策略应能够快速使系统转移到期望的状态。
收敛速度可以通过测量系统状态变化的速度来评估，较快的收敛速度意味着控制策略对系统的控制能力更强。
三、控制幅度控制幅度是指控制策略在系统中引入的控制信号的幅度大小。
混沌控制策略应该通过调节控制幅度来抑制系统中的混沌行为，使系统进入到期望的运动模式。
控制幅度的调节需要考虑到系统的特性和稳定性，过小的控制幅度可能无法有效控制混沌现象，过大的控制幅度可能导致系统不稳定。
四、控制延迟控制延迟是指控制策略引入控制信号到系统实际响应的时间延迟。
混沌系统对外部干扰非常敏感，因此控制延迟应尽可能小，以保证控制策略的实时性和有效性。
评估控制延迟的方法可以通过测量控制信号作用到系统的时间和系统响应的时间之间的差值。
五、鲁棒性鲁棒性是指混沌控制策略对系统参数变化和外部干扰的稳定性。
在实际应用中，系统参数可能存在不确定性和波动性，外部干扰可能导致系统产生不可预测的行为。
混沌控制策略的鲁棒性能够保证系统能够稳定地运行并抵抗外部干扰，具有较好的控制效果。
六、能耗能耗是评价混沌控制策略的另一个重要指标。
在实际应用中，混沌控制策略可能需要引入额外的能量来控制系统的行为。
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种描述流体动力学中对流现象的数学模型。
它包含三个非线性微分方程，描述了三个变量（速度、温度和密度）随时间的变化。
这个系统的一个显著特征是混沌现象，即微小的扰动会导致系统进入不可预测的状态。
通过数值模拟和理论分析，研究者们发现洛伦兹系统的混沌区间是由两个分别称为“鞍点”和“极限环”的不稳定结构组成的。
在这个区间内，系统的状态会随时间不断变化，但又不会无限趋向于某一特定状态。
这种不可预测的行为在气象学、物理学和工程学等领域都具有重要的应用价值。
除了理论分析，实验研究也对洛伦兹系统的混沌现象进行了深入探究。
在实验室中，研究者们使用了各种方法来模拟和控制洛伦兹系统，包括电路模拟、光学实验等。
这些实验结果不仅验证了理论模型中的混沌现象，还为进一步研究天气预测、流体控制等应用提供了重要的实验基础。
总之，洛伦兹系统的混沌现象是一个具有重要理论和实际应用价值的研究领域，它不仅挑战了传统物理学对于“确定性”的理解，也为我们深入了解自然界的复杂性提供了新的视角和思路。
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微分方程中的混沌理论研究
微分方程中的混沌理论研究混沌理论是20世纪70年代后期发展起来的重要学科，它主要研究非线性系统中的混沌现象。
而微分方程作为数学中一门重要的分支，也渗透了混沌理论的探索与研究。
本文将着重探讨微分方程中的混沌理论研究。
一、混沌现象的起源和定义混沌现象最早可以追溯到1800年代的天体力学领域。
之后，其他领域也发现了类似的混沌现象，比如流体力学、电路分析和生物学等。
混沌现象的定义可以简单地理解为对初始条件的微小扰动会引发系统近乎无法预测的行为。
混沌系统具备无序性、不可预测性和敏感依赖于初始条件等特征。
二、微分方程中的混沌现象微分方程是研究变化率和求解变化率的数学工具。
在微分方程中，一阶微分方程、二阶微分方程以及其他高阶微分方程的研究中，混沌现象被发现并引起了学者们的浓厚兴趣。
例如，一个简单的非线性微分方程可以描述一个摆的运动情况。
当摆的角度小于某个阈值时，系统表现为有序的周期运动；而当摆的角度超出这个阈值时，系统将表现出混沌行为，摆动的轨迹变得无法预测和重复。
三、混沌理论在微分方程中的应用混沌理论在微分方程中的应用十分广泛，涵盖了许多领域，比如机械振动、电路理论、流体力学、生物系统和经济学等。
在机械振动方面，混沌理论可以用于研究非线性振动系统的运动规律。
通过对非线性微分方程进行建模和仿真，可以揭示系统运动的混沌行为，进而对系统进行优化和控制。
在电路理论领域，混沌电路的设计和分析是一个重要研究方向。
通过巧妙构造非线性电路模型，可以实现具有混沌行为的电路系统。
这种电路系统对于信息加密等应用有着重要的作用。
流体力学是混沌理论应用最为广泛的领域之一。
在流体力学中，混沌现象的研究可以帮助解释流体运动的复杂性，并揭示其中的规律性。
例如，通过对湍流流动的混沌特性进行研究，可以改善天然气输送管道和空气动力学领域中的气流控制等问题。
此外，混沌理论还可以应用于生物系统和经济学等领域。
在生物系统中，混沌现象的研究有助于理解生命的底层机制，并促进对疾病等问题的诊断和治疗。
应用数值积分法计算电力系统混沌阈值
电力 系统 是典 型 的 非 线 性 动 力 系统 ， 在 着 存
它 给 出了一类 非 线 性 动 力 系 统 Ｓ ｌ 蹄 变化 意 ｍａｅ马
义 下 出现混 沌 现 象 的判 据ｌ 。 析 的 Ｍｅｎｋ ｖ函 ３ 解 ］ ｌｉｏ 数 是研 究 Ｈａ ｌ ｎ系统 在弱 周期 策动力 激励 下混 ｍｉｏ ｔ 沌 运动 的最 实用 和 简便 的方法 ， 于 自治可 积系统 对
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周 期扰 动 的混沌 性 质 的研究 是少 有 的精 确 方法 之
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单 机 无 穷大 电力 系 统在 周 期 性 负荷 扰 动 下 的 数 学模 型是研 究 混 沌 现象 的 主要 模 型 之 一［ ］ 该 ５ ，
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函数 的解 析 式 ， 阈值 曲 线 显 示 出 了可 能 产 生 的混 沌 区域 。 但 关 键 词 ：电力 系统 ； 沌 阈值 ；同 宿 轨 道 ；数 值 积 分 法 混
Ｍｅｎｋ ｖ函数 、 ｏｎ ａ６ ｌｉｏ Ｐ ｉｃｒ 映射 、 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 和频 Ｌ ａｕｏ
谱 分 析等 。
Ｍｅｎｋ ｖ函数 是 研 究 混 沌 现 象 的解 析 方 法 ， ｌｉｏ
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ８ 修 回 日期 ：００ ０ — ８ ２ １— ８ １ ； ２ １— ９ ０ 基金 项 目 ： 江苏 省 高校 自然 科 学 基 金 资 助项 目（９ Ｂ ７０ ２ ０ ＫＪ ４ ０ ０ ）
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹于1963年提出。
它是一种描述流体力学中对流现象的数学模型，也可以用于描述天气预测、心脏跳动等现象。
洛伦兹系统的方程组包括三个变量：x、y、z，它们随时间的变化受到彼此之间的相互作用影响。
在洛伦兹系统中，当参数值超过某个临界值时，系统将进入混沌状态。
这种状态表现出明显的不可预测性，即使微小的初始条件差异也会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌区间是指参数值范围内的一段区间，使得系统处于该区间内时表现出的行为是混沌的。
混沌区间的存在使得洛伦兹系统具有了深刻的意义，它不仅揭示了自然界中普遍存在的混沌现象，也为混沌学的发展提供了重要的理论基础。
研究洛伦兹系统的混沌区间是一个非常重要的问题，其涉及到非线性动力学、混沌现象、复杂系统等领域。
许多学者和研究人员通过实验、数值模拟等方法，对洛伦兹系统的混沌区间进行了深入的研究，取得了许多重要的成果。
这些研究成果不仅有助于深入理解洛伦兹系统的混沌现象，还为其他领域的研究提供了有益的启示。
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honen混沌le指数
honen混沌le指数一、引言混沌理论是近年来在数学和物理学领域中备受关注的研究方向。
混沌系统不同于稳定系统，因为其初始状态的微小变化将引起系统的不可预测性。
这种系统与人类生活息息相关，如气象系统，股票市场，甚至我们自己的大脑等等。
其中，Hoenen混沌指数被广泛运用于衡量混沌程度的指标之一，在本文中我们将会详细探讨其定义和计算方法。
二、Hoenen混沌指数的定义Hoenen混沌指数是由德国物理学家Hoenen在1992年提出的，是一种用来度量混沌程度的指数，通常用于时间序列的分析。
它是混沌理论的重要成果之一，由于其计算简单、直观、可靠，越来越广泛地应用于各个领域。
三、计算Hoenen混沌指数的步骤1. 首先需要收集所研究的时间序列数据，并进行预处理，比如去除噪声、平滑处理等。
2. 在获得经过预处理的时间序列数据后，需要选择一个延迟时间τ，该参数值要视所研究的问题而定。
如果τ太小，将会得到一个高度相关的时间序列，而τ太大则会失去相应的信息。
通常可以采用自相关函数法、估计互信息法等方式来选择合适的τ。
3. 求出每一个延迟τ的数据之间的欧几里得距离，即d_i=√((x_(i+τ)-x_i )^2)。
4. 对于每一个延迟τ，计算d(n,τ)，该公式为d(n,τ)=1/nΣd_i(n,τ)，其中n为样本长度。
5. 同时计算δ(n,τ)=1/n Σ|d_i(n,τ)-d(n,τ)|，其中|.|为绝对值。
6. 最后，我们可以根据以下公式来计算Hoenen混沌指数：C(n,τ)=(1/δ(n,τ)) Σi=1^n-τ (C^T-i+1,C^T-i)其中，C^T-i和C^T-i+1为分别位于时间t和t+τ的两个状态点在相空间上对应的点。
四、结论通过对Hoenen混沌指数的探讨，我们可以得出如下结论：1. Hoenen混沌指数是用来量化混沌程度的一种方法，该方法可以用于时间序列的分析。
2. 计算Hoenen混沌指数的过程需要经过预处理、选择延迟时间、计算欧几里得距离、计算δ值以及计算C(n,τ)等步骤。
基于GPU的混沌弱信号检测临界阈值确定
（ 海军航 空工程 学 院 ａ ． 信号 与信 息处理 山东省重 点 实验 室；ｂ ． 电子信 息工程 系，山 东 烟 台 ２ ６ ４ ０ ０ １ ）
摘 要 ：混沌检 测 系统临界 阈值 的确 定是 建立 混沌检 测 系统的核 心 问题 ， 临界 阈值 的精度 决定 了可检 测信 号 的
计； 系统相轨迹过零周期数相变判别算法在检测相同精度 阈值情况下较 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指数算法有相 同的检测精度 ，
同时更 易于利 用现代 高性 能计 算工具 Ｇ Ｐ Ｕ 实现 并 行程 序 设 计。 因此 ， 在 系统相轨 迹 过 零 周期 数 阈值 判 别 算法
的基础上提 出了 基于Ｇ Ｐ Ｕ的混沌弱信号检测临界 阈值并行检测算法， 实验显示，前 相轨迹 图观 察 法 已经无 法满足 快速 确 定精 确 的 系统 临 界 阈值 的 需 求 ， 利用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指 数 等 量化 指 标检 测临界 阈值 的方 法计 算量 大、 算 法复 杂 、 时 间消耗 大 ， 且 消耗 大量 计 算 资源 ， 无 法在 Ｇ Ｐ Ｕ上 实现 并行 程序 设
ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｔ ｏ ｏ ｋ ａ ｌ ｏ ｔ ｏ ｆ ｔ ｉ ｍｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ ｒ ｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ． ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｗａ ｓ ｎ ｏ ｔ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ＧＰ Ｕ ｐ ｌ ａ ｔ ｆ ｏ ｍ ．Ｃｏ ｒ ｍ． ｐ ａ ｒ ａ ｂ ｌ ｙ，ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｚ ｅ ｒ ｏ ｃ ｒ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ａ ｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ｌ ｏ ｗ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ
混沌的数值计算与分析
本科毕业论文（设计）题目混沌的数值计算与分析学生姓名专业名称指导教师2012 年5月9 日目录一、论文（设计）正文引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献： (21)谢辞 (22)二、附录1.论文（设计）任务书 (23)2.论文（设计）结题报告 (245)3.论文（设计）成绩评定及答辩评议表 (27)4.论文（设计）答辩过程记录（附页） (29)混沌的数值计算与分析摘要：本文首先对混沌的定义和特点及判别方式做了基本的介绍，然后用数值计算与分析的方法利用MATLAB软件以Logistic映射为例对混沌的定义和特征做了编程绘图详细分析。
介绍了两个判别系统进入混沌的定量指标如Lyapunov指数等。
再以Lorenz系统为例通过数值计算分析其性质特征。
用软件绘图直观展示混沌吸引子的特征。
最后对混沌的定义加以总结，强调数值计算与分析在混沌研究中的重要性，并展望混沌研究的发展前景。
关键词：Logistic映射；Lorenz系统；奇怪吸引子；MATLAB；INumerical calculation and analysis of the chaosAbstract:This paper the definition and characteristics of chaos and the way to do the basic criterion introduced, and then the numerical calculation and analysis method of use of MATLAB software to Logistic mapping as example to the definition and characteristics of chaos made a detailed analysis of the programming drawing. Introduces two discriminant system into the chaos of the quantitative indicators such as Lyapunov index, etc. And Lorenz system for example through numerical analysis and characteristics. With the software drawing intuitive show the characteristics of chaotic attractor. At last the definition of chaos summarized, emphasize the calculation and analysis of the importance of study in chaos, the prospect of the development of the research prospect of chaos.Key words: Logistic mapping; Lorenz system; Strange attractor; MATLAB;II目录引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献 (21)谢辞 (22)11引言混沌，被誉为相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一。
基于小波方差分解的混沌时间序列噪声估计和阈值去噪
摘
要： 针 对小波噪 声处理 时重视信号的分 解而忽略 噪声特性 的 问题 ， 利 用小波 变换 的方差分解功 能对 白噪 声
的小波 系数方差进行分析 ， 提 出一种新的小 波噪 声估计和 阈值去噪 方法。该 方法以 时间序列 第一 、 二层 的小波 方差
来估计噪声水平 ， 通过计算 出噪声方差在各层 小波 系数上 的分布 来确定软 阈值 。对 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 、 Ｃ ｈ ｅ ｎ等混沌 系统 的仿 真 结果表 明， 该方法有较好 的效果 。其后对上证指数 和上 海天然胶期 货 日收盘价 序列进行 去噪 处理 ， 验证 了该 方法的
ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｂ ｙ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｉ ｎ ｇ ｗ ａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｌ ｅ ｖ ｅ ｌ ｗ ａ ｓ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｗ ａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｓ ａ ｔ
ｉ ｆ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ，ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｗ ａ ｓ ｃ ｈ ｏ ｓ ｅ ｎ ｂ ｙ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ａ ｔ ｅ ｖ ｅ ｒ ｙ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗａ ｓ ｔ ｅ ｓ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ ａ ｎ ｄ Ｃｈ ｅ ｎ ’ Ｓ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｂ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ
形状记忆合金梁的建模及混沌阈值计算
１ 形 状 记忆 合 金梁 的振 动 建 模
其 中 为 温 度 。 当 温 度 不 变 时 ， （ ） 比 较 可 知 ， 和 ６ 式 Ｍ ｃａｏ模型 仅相 当于 新模 型 式 （ ） 的骨 架 曲线 ， ａｈｄ ６中 本 文 模型 比 Ｍａｈｄ 型多 了一个迟 滞环 表达 式 。 ｅａｏ模
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ： Ｖａ ． ｅ — ｏ ｙ ｔｒ ｔ ｙ ｌ ｓ ｕ ｅ ｏ ｄ ｓ ｒ ｅ ｈ ｓ ｒ ｔ ｏ ｌ ｅ ｒ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｔ ｆ ｓ ａｎ ｓｒ ｓ ｎ ｄ ｒｐ ｌ ｈ ｓｅ ｅｉ ｃ ｃｅ ｗａ ｓ ｄ ｔ ｅ ｃ ｉ ｙ ｔ ｅ ｉ ｎ ｎ ｉ ａ ｈ ｒ ｃｅ ｉ ｉ ｏ ｔ ｉ —ｔ ｓ ｃ ｂ ｅ ｃ ｎ ｓｃ ｒ ｅ
究其 振 动 的特 性对研 究形 状 记忆 合 金 构件 的工 程应 用
合 金梁 的动 力 学行 为 。Ｈ ｓｅ 等 研 究 了在 拉 ， ， ａｈｍｉ 压 温度加载 中的非 对称性 假设 下 梁 的 自由振 动 和脉 冲 激 励 振 动 问题 。Ｍａ ｃ ｒｌ ｃ ｏ等 。 数 值 方 法研 究 了形 状记 。用
统 固有频 率 的影 响 ， 后结 合 计 算 结 果 和 时 间 尺 度 变 最
振 动 与 冲 击
２１ ０ ２年第 ３ １卷
换 表示 了该 系 统 的 改进 后 Ｍｅ ｉｏ ｌ ｋ ｖ函数 ， 出较 精 确 ｎ 得 的系统 发生混 沌 的 阈值 。
件 的参 数来确 定 。 而 对照 文献 ［ １ ２ 中 Ｍａｈ ｄ １ —１ ］ ｅ ａｏ本构 模 型为 ：
ｉ ｓ ，ｔ ｅ ｏ ａ ｂ ｆ ａｉｎｓ ｆ ｔ ｅ ｒ ｅ ｉｒ ｔｏ ｓ ｓｅ ｗｅ ｅ ｎａｙ ｅ ｔ ｈ ｎ ｒ ｌ ｏ ｍ ｆｒ ｔ ｈ ｌ ｃ ｌ ｉ ｃ ｔｏ ｏ ｈ ｆｅ ｖｂ ａｉ ｎ ｙ ｔｍ ｒ ａ ｌ ｚ ｄ ｗｉ ｔ ｅ ｏ ｍａ ｆ ｒ ｔ ｅ ｒ ． Ａｎ ｔ ｅ ｌ ｂ ｕｒ ｈ ｈｏ ｙ ｄ ｈ ｇｏ ａ ｌ ｂ ｆ ｃ ｔｏ ｓ ｓｕｄｅ ｔ ｌ ｉ ｏ ｐｐ ｏ ｃ ｉ ｕｒ ａｉｎ ｗａ ｔ ｉｄ ｗｉｈ Ｍｅ ｎ ｋ ｖ ａ ｒ ａ ｈ． Ｓ ｃ ｎ ｌ ｅ ｏ ｄ ｙ，ｔ ｅ ｕ ｄｅ ｉ ｅ ａｕ ａ ｒ ｑ ｅ ｃ ｎ ｏ ａ ｒ ｍｅｈ ｄｓ ｈ ｎ ｒ ｎ ｄ ｎ ｔ ｒ ｌｆｅ ｕ ｎ ｙ ａ ｄ ｎ ｒ ｌｆ ｍ ｔ ｏ ｍ ｍ ｏ ｗｅ ｅ ｕ ｉ ｚ ｄ ｔ ｔ ｄ ｈ ｎ ｕ ｎ ｅ ｏ ｅ ｄ ｓｕ ｂｉ ｒ ｍｅ ｅ ｓｏ ｈ ａ ｕ ａ ｒ ｑ ｅ ｃ ．Ｆｉ ａｌ ｒ ｔｌ ｅ ｏ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｉ ｆ ｅ ｃ ｆｔ ｉｔ ｒ ｎｇｐａａ ｔｒ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ｒ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｌ ｈ ｌ ｎ ｙ，ｔ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｍｅｎ ｋ ｖ ｌ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ｌｉ ｏ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｒｔ ｏ ｃｌａｏ ｓ ｂ ｉｔｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ｕ ｔ ｏ ｈｅ ｕ ｄ ｒ ｉ ｄ ｎ ｔ ｒ ｌ￣ｅ ｕ ｎ ｙ ｍｅｈ ｄ ｎ ｉ ｃ ｌ ｘ ｒ ｓ ｉｎ ｆ ｈｅ ｓ ｉ ｔ ｒ ｗａ ｕ ｌ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｆｔ ｎ ｅ ｎｅ ａｕ ａ ｏ ｌ ｍ ｑ ｅ ｃ ｔ ｏ ａ ｄ ｔｍｅ ｓ ａｅ ｔａ ｓｏ ｍａｉｎ ｔ ｏ ｔ ｉ ｔ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｔ ｒ ｓ ｌ ｖ ｌ ｅ ｆ ｃ ａ ｔ ｍｏ ｉｎ ｗｉ ｔ ｅ ｈｏ ｃｉ ｉ ａ ｏ ｎ ｓ ｆ ｖｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔｏ ｏ ｂ ａｎ ｈｅ ｐ ｒ ｘ ｍａｅ ｈ ｅ ｈｏｄ ａ ｕ ｏ ｈ ｏｉ ｃ ｔ ｔ ｈ ｍｏ ｌ ｃ ｌ ｐ ｉ ｔ ｏ ｉｗ． Ｔｈ ｏ ｈ ｎ ｅ ｎ ｍｅ ｉａ ｅ ｕｔ ｈ ｗｅ ｈ ｆｅ ｔ ｅ ｓ ｆｔ ｈｅ ｒ ｔ ａ ｎａｙ ｉ． ｕ ｒｃ ｌｒ ｓ ｌｓｓ ｏ ｄ ｔ ｅ ｅ ｆｃ ｉ ｎｅ ｓｏ ｈｅ ｔ ｏ ｅ ｉ ｌａ ｌ ｓｓ ｖ ｃ Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ： Ｓ ＭＡ ｅ ｍ ；ｈ ｍｏ ｌｎ ｃ ｌｂｆ ｃ ｔｏ ｂａ ｏ ｃｉ ｉ ａ ｉ ｕｒ ａｉｎ；ｉ ｒ ｖ ｄ Ｍｅｎ ｋ ｖ ｍｅｈｏ ｍｐ ｏ ｅ ｌ ｉ ｏ ｔ ｄ；ｃ ａ ｓ ｈ ｏ
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间洛伦兹系统是指1963年Edward Lorenz提出的一个简单的非线性微分方程组，用于描述大气对流的特征。
该系统的三个参数分别为Prandtl数、Rayleigh数和Arnold-Beltrami-Childress（ABC）流形的流体循环速率，但是这三个参数中只有一些特定的值才能产生混沌。
关于洛伦兹系统的混沌区间，目前主要有两种观点。
一种观点是，洛伦兹系统存在混沌区间，需要参数取值的合适范围，这也被称为Lorenz Butterfly。
另一种观点则认为，对于确定洛伦兹系统的初值和参数，系统一定会呈现混沌性质。
无论哪种观点都说明了洛伦兹系统的混沌性质。
混沌是指在一定的条件下，系统会呈现无规律的、不可预测的状态，即使初值或者参数只有微小的变化，也会造成系统演化的天差地别。
这种性质对于一些实际问题具有重要意义，比如气象学、经济学、生物学等等。
然而，洛伦兹系统的混沌区间并不是固定的，取决于参数的具体取值。
当参数处于某个合适的范围内时，洛伦兹系统会呈现混沌性质，否则就不会。
对于Lorenz Butterfly，它给出了洛伦兹系统的混沌区间范围，包括了参数的取值和初始条件的范围。
在这个范围内，洛伦兹系统会形成一个奇异的结构，呈现出蝴蝶的形态。
这也让人们进一步研究了函数的分形性质，对于分形理论的发展起到了推动作用。
总之，洛伦兹系统的混沌性质是研究非线性动力学中非常重要的问题之一。
洛伦兹系统是一个简单而典型的例子，通过研究它的混沌性质，可以更好地理解混沌现象的本质和起源，同时也为探索非线性系统的更深层次性质提供了基础和方向。
动力系统中的混沌控制策略评估方法
动力系统中的混沌控制策略评估方法混沌控制是指利用混沌动力学原理对非线性系统进行控制的一种方法。
混沌动力学的特点是系统具有无序的特性，且对初始条件敏感，即微小的变化可能引起系统状态的巨大不同。
因此，混沌控制的目标是通过调节系统参数或设计控制器来实现系统性能的改善。
在混沌控制中，评估混沌控制策略的有效性是非常重要的。
下面将介绍一些常见的混沌控制策略评估方法。
一、相空间重构相空间重构是混沌控制中常用的一种方法，通过将一维时间序列映射到高维空间中，可以还原出系统的相空间结构。
在相空间中，系统的动态行为体现为相轨迹的形状和演化特征。
通过观察相轨迹的形态、判定其混沌性质，可以评估混沌控制策略的效果。
二、Lyapunov指数Lyapunov指数是评估动力系统稳定性和混沌性的重要指标。
其基本思想是通过计算系统中每个状态点相邻轨道之间的敏感度指数，来判断系统的演化行为。
对于混沌系统，Lyapunov指数为正值，表明系统具有混沌行为；而对于稳定系统，Lyapunov指数为负值，则系统趋于稳定。
三、Poincaré截面Poincaré截面是一种常用的评估混沌控制策略的方法。
截面是在系统相空间中选择的一个二维平面，通过观察系统在该平面上的交点分布，可以判断系统的混沌行为。
当截面上的交点密集且无规律性时，表明系统呈现混沌特征，反之则为稳定行为。
四、Lorenz吸引子Lorenz吸引子是混沌系统中最为著名的吸引子之一，用于评估混沌控制策略的效果。
通过计算系统状态变量的时间序列，绘制相空间中的吸引子结构，可以判断系统的混沌性质。
Lorenz吸引子通常呈现出扭曲的螺旋形状，其分支数量和形状可以反映系统的演化行为。
综上所述，相空间重构、Lyapunov指数、Poincaré截面和Lorenz吸引子等方法是评估动力系统中混沌控制策略有效性的常用手段。
在实际应用中，可以结合多种评估方法进行综合分析，以得出准确的评估结果。
混沌原理实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景混沌现象是自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象，它具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和丰富多样的动力学行为等特点。
近年来，混沌理论在工程、物理、生物、经济等领域得到了广泛的应用。
为了深入理解混沌现象，我们进行了混沌原理实验，以下是实验总结。
二、实验目的1. 了解混沌现象的产生原因和特点；2. 掌握混沌系统的基本动力学行为；3. 研究混沌现象在工程领域的应用。
三、实验原理混沌现象的产生与非线性动力学系统密切相关。
在非线性系统中，系统状态的变化往往受到初始条件、参数选择等因素的影响，从而导致系统呈现出复杂的行为。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的敏感依赖性：系统状态的微小差异会导致长期行为的巨大差异；2. 长期行为的不可预测性：混沌系统在长期演化过程中表现出随机性；3. 动力学行为的丰富多样性：混沌系统具有多种动力学行为，如周期运动、倍周期运动、分岔、吸引子等。
四、实验内容1. 搭建混沌电路实验平台；2. 观察混沌现象的产生过程；3. 研究混沌系统的动力学行为；4. 分析混沌现象在工程领域的应用。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生过程：通过实验观察到，在混沌电路中，当电路参数达到一定范围时，系统状态将呈现混沌行为。
此时，电路输出信号呈现出复杂、无规律的变化，表现出混沌现象。
2. 混沌系统的动力学行为：实验过程中，我们观察到混沌系统具有以下动力学行为：（1）周期运动：当电路参数在某一范围内变化时，系统状态呈现周期性变化；（2）倍周期运动：当电路参数进一步变化时，系统状态呈现倍周期性变化；（3）分岔：当电路参数继续变化时，系统状态发生分岔，产生新的混沌吸引子；（4）吸引子：混沌系统在长期演化过程中，最终趋于某一稳定状态，称为吸引子。
3. 混沌现象在工程领域的应用：混沌现象在工程领域具有广泛的应用，如：（1）混沌加密：利用混沌系统对信息进行加密，提高信息安全性；（2）混沌通信：利用混沌信号进行通信，提高通信质量；（3）混沌控制：利用混沌系统进行控制，实现精确控制目标。
灰度熵和混沌粒子群的图像多阈值选取
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混沌12层 速度阈值-概述说明以及解释
混沌12层速度阈值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：在当今社会，信息爆炸的时代，人们对于速度的要求越来越高。
混沌12层速度阈值的概念由此应运而生。
这一概念的提出旨在破解传统速度观念的束缚，探寻更大的速度潜力。
混沌12层速度阈值的理论基础源自于混沌理论与数学模型，它将速度的研究引入到了一个全新的领域。
传统的速度理论往往以线性增长为基础，而混沌12层速度阈值则认为速度并非线性可测，而是在特定条件下会出现混沌状态。
这一状态使得速度呈现出多变、不可预测的特点，给人们的认知带来了巨大的冲击。
本文将从引言、正文和结论三个部分来进行论述。
在引言中，将对混沌12层速度阈值的概念做出详细的说明，并介绍本文的结构和目的。
在正文部分，将分别从第一要点、第二要点和第三要点三个方面展开讨论。
这些要点将介绍混沌12层速度阈值的基本原理、应用领域以及可能带来的影响和挑战。
最后，在结论部分，将对文中进行总结回顾，并对混沌12层速度阈值的未来发展进行展望。
通过本文的撰写，旨在引起人们对传统速度观念的思考，并为科学家和工程师提供一个崭新的研究方向。
我们希望通过对混沌12层速度阈值的探索，能够为人们的生活和工作带来更多的可能性，并推动社会的进步和发展。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架，旨在使读者更好地理解和掌握文章的内容。
本文的文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对混沌12层速度阈值的概念进行概述，介绍混沌12层的背景和意义。
随后，我们将详细说明本文的结构和内容安排，以帮助读者更好地理解和阅读本文。
正文部分是本文的重点，包括三个要点。
在第一要点中，我们将详细阐述混沌12层速度阈值的定义、特点和作用。
我们将介绍混沌12层速度阈值的相关理论和实践应用，并提供具体的案例分析，以便读者更好地理解其重要性和影响。
在第二要点中，我们将探讨混沌12层速度阈值的研究方法和数据分析。
我们将介绍如何选择适当的数据样本和指标来评估混沌12层速度阈值的效果和可行性，并提供一些常用的研究方法和工具供读者参考。
阈值确定方法
阈值确定方法(总19页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一、问题重述图形（或图像）在计算机里主要有两种存储和表示方法。
矢量图是使用点、直线或多边形等基于数学方程的几何对象来描述图形，位图则使用像素来描述图像。
一般来说，照片等相对杂乱的图像使用位图格式较为合适，矢量图则多用于工程制图、标志、字体等场合。
矢量图可以任意放缩，图形不会有任何改变。
而位图一旦放大后会产生较为明显的模糊，线条也会出现锯齿边缘等现象。
矢量图从本质上只是使用曲线方程对图形进行的精确描述，在以像素为基本显示单元的显示器或打印机上是无法直接表现的。
将矢量图转换成以像素点阵来表示的信息，再加以显示或打印，这个过程称之为栅格化（Rasterization），见图 1。
栅格化的逆过程相对比较困难。
假设有一个形状较为简单的图标，保存成一定分辨率的位图文件。
我们希望将其矢量化，请你建立合理的数学模型，尽量准确地提取出图案的边界线条，并将其用方程表示出来。
二、问题分析本题的要求是完成位图的矢量化，通过建立合理的数学模型，将一个有一定分辨率的位图文件尽量准确地提取出图案的边界线条，最终将位图用方程的形式表示出来。
解决本问题的流程图见下图。
首先，通过MATLAB读取位图的各个像素的像素值（0-1），得到位图各个点的灰度值，通过最大类间方差法和最大熵法确定阈值，完成灰度的二值化，使各个像素点的灰度值全部由0或1表示。
其次，将位图的轮廓通过合适的算法提取出来，根据特征值对轮廓进行拟合。
最后，根据拟合的函数完成位图的矢量图，完成其矢量化过程，并通过对比矢量图和原始位图对应的。
三、问题假设及符号说明问题假设符号说明四、模型建立模型准备本题要求将一个形状较为简单的图标，保存成一定分辨率的位图文件，即将位图矢量化。
阈值：指释放一个行为反应所需要的最小刺激强度，本文指像素点灰度值二值化的临界值。
混沌初开指标公式
混沌初开指标公式（原创版）目录1.混沌初开指标公式的概述2.混沌初开指标公式的计算方法3.混沌初开指标公式的应用领域4.混沌初开指标公式的优缺点分析正文一、混沌初开指标公式的概述混沌初开指标公式，是一种用于衡量混沌现象的数学工具。
混沌现象，是指在某确定的非线性动力学系统中，系统的演化行为表现为极度敏感依赖于初始条件的一种复杂现象。
混沌初开指标公式可以帮助我们更好地理解和研究混沌现象，从而对实际应用中的混沌系统进行更有效的控制和利用。
二、混沌初开指标公式的计算方法混沌初开指标公式的计算主要包括以下几个步骤：1.确定待研究的混沌系统。
这可以是一个已知的物理系统，如气象系统、生态系统等，也可以是一个抽象的数学模型，如洛伦兹系统、logistic 方程等。
2.获取系统的时间序列数据。
这可以通过观测、模拟或实验等方式得到。
3.计算时间序列数据的相关函数。
相关函数是描述系统状态变量之间相关程度的一种数学量。
4.计算相关函数的极大值。
极大值对应的时间延迟，就是混沌初开指标。
三、混沌初开指标公式的应用领域混沌初开指标公式在许多领域都有广泛的应用，如：1.气象学：混沌初开指标可以用于研究气象系统的混沌现象，从而提高气象预报的准确性。
2.生物学：混沌初开指标可以用于研究生物系统的混沌现象，从而揭示生物系统的复杂性和自组织性。
3.经济学：混沌初开指标可以用于研究经济系统的混沌现象，从而提高经济预测的准确性。
四、混沌初开指标公式的优缺点分析混沌初开指标公式的优点在于它能够直观地反映混沌现象，计算方法简单且易于理解。
然而，它也存在一些缺点，如混沌初开指标的大小受系统参数的影响，对于不同的系统，需要选择合适的参数进行计算。
混沌初开指标公式
混沌初开指标公式【实用版】目录1.混沌初开指标公式的背景和意义2.混沌初开指标公式的定义和原理3.混沌初开指标公式的应用实例4.混沌初开指标公式的优缺点分析5.混沌初开指标公式的未来发展前景正文一、混沌初开指标公式的背景和意义混沌初开指标公式，源于混沌理论的研究，是衡量混沌现象的一种重要工具。
混沌现象，即系统在确定性动力学下表现出的非线性、不可预测的复杂现象。
在自然界、社会和经济等领域，混沌现象普遍存在，如气象变化、生态系统、交通流量等。
因此，研究混沌现象及其规律具有重要的理论和实际意义。
二、混沌初开指标公式的定义和原理混沌初开指标公式，是由中国学者首次提出的一种混沌指标。
其定义为：$D(t) = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}[x_i(t+1) - x_i(t)]^2$，其中，$x_i(t)$ 表示第 $i$ 个时刻的系统状态，$N$ 为系统状态的维度。
混沌初开指标公式的原理是：混沌现象表现为系统状态的变化具有敏感依赖初始条件的特点，即使初始条件的微小变化，也会导致系统状态的巨大差异。
因此，通过计算系统状态在一段时间内的变化平方和，可以衡量混沌现象的程度。
三、混沌初开指标公式的应用实例混沌初开指标公式已被广泛应用于各种混沌系统的研究，如大气混沌、生态系统、经济混沌等。
例如，在气象领域，混沌初开指标可以帮助研究者识别气候系统的混沌现象，从而提高天气预报的准确性。
四、混沌初开指标公式的优缺点分析混沌初开指标公式的优点是计算简便，适用于各种混沌系统，可以较好地反映混沌现象的程度。
然而，它也存在一定的局限性，例如对非线性系统的描述不够准确，以及不能反映系统的局部特性等。
五、混沌初开指标公式的未来发展前景随着混沌理论研究的深入，混沌初开指标公式在理论和应用方面仍有很大的发展空间。
例如，可以进一步研究混沌初开指标公式与其他混沌指标的关系，以及如何将混沌初开指标公式应用于更多实际领域等。
总之，混沌初开指标公式作为一种重要的混沌指标，对于研究混沌现象及其规律具有重要的理论和实际意义。
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基于Melnikov 方法的混沌阈值确定学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。
混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。
混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。
如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。
在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。
本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。
本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。
实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。
从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。
关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noiseand the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3x or53xx+, and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy1前言混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本质,最早发现于气象模型中。
混沌系统具有对初始条件敏感，遍历性，随机性等性质。
本文主要研究duffing 方程所描述的混沌系统的阈值。
阈值分为进入混沌状态的阈值c a 和由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。
本文讨论的是由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。
本文用相轨迹图法和功率谱熵的方法分别讨论了混沌系统的阈值d a ，并对两种方法的性能做了比较。
实验发现功率谱熵方法比相轨迹图法具有更高的精度和更快的运算速度。
2混沌判据的推导本文主要研究Duffing 方程的如下两种形式:)c o s (3t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.1))c o s (53t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.2) 2.1非线性项含3x 的系统式（2. 1）可以等价为如下形式⎩⎨⎧∙+∙--==)c o s (3''t a ky x x y yx ωεε (2.3)当0=ε时，方程（2.1）为哈密顿系统，哈密顿量为4/2/2/422x x y H +-= (2.4)当0=H 时，可得同宿轨道的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∙=±=t h tht t y htt x sec 2)(sec 2)((2.5)用Melnikov 函数计算可得：)2/cosh()sin(234)](cos )()[()(000ωπωπωω∙∙∙∙±-=+∙+-=⎰∞∞-t a k dt t t a t ky t y t M (2.6)令0)(0=t M ，又1)sin(0≤t ω所以，若式（2.6）对0t 有解，则必须满足一下条件123)2/c o s h (4≤∙∙∙±πωπωa k(2.7)根据Melnikov 函数的相关定理可得： 当0/>k a 时,解得πωπω∙>23)2/cosh(4ka ,阈值为πωπωω∙=23)2/cosh(4)(R (2.8)当0/<k a 时,解得πωπωπωπω∙<<∙-23)2/cosh(423)2/cosh(4k a (2.9)由于0/<k a ,所以此时解得区域应在X 轴以下,即πωπω∙->23)2/cosh(4k a ，πωπωω∙-=23)2/cosh(4)(R2.2非线性项含53x x +的系统式(2.2)可等价为⎩⎨⎧∙∙+∙∙--==)cos(''53t a y k x x y yx ωεε (2.10)由2.1的推导过程可得本系统的同宿轨道表达式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+±=232020)43(63)(,436)(t t t y t t x (2.11)混沌阈值范围：当0>ka 时，可得ωπωπ256)16(322322+>ka (2.12)即阈值ωπωπω256)16(32)R(2322+=(2.13)当0<ka 时，得ωπωπωπωπ256)16(32256)16(32-23222322+<<+ka (2.14)由于0<ka 时，所以此时解得区域应在x 轴以下，即ωπωπ256)16(32-2322+>ka (2.15)此时阈值为ωπωπω256)16(32-)R(2322+= (2.16)综合推导，得到混沌区域如下：I 区：不等式混沌解（2.12）；Ⅱ区：不等式混沌解（2.15）3实验结果及分析在确定出的混沌阈值区域内，我们用相轨迹图和功率谱熵方法分别确定混沌的阈值。
3.1相轨迹图所确定的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表格1 πϕ5.0,5.0=-=k表格2 0,5.0=-=ϕkw 频率a 阈值图3-1 πϕϕ5.00==和时，阈值比较图从表1、表2，以及图3-1可以看出，在(0.5,220)∈ω上，随ω的变化，a 呈现出无规律变化，这表明：混沌运动是一个类周期的随机运动。
但是在(0.5,220)∈ω上，a 大体上稳定在一定的范围内。
随着ϕ值的增大，阈值a 的取值会略微变大。
方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表3 5.0-=k ，πϕ5.0=表4 5.0-=k ，πϕ4.0=表5 5.0-=k ，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-2 当ϕ取不同值时的阈值a /频率ω曲线图从上面的表格和曲线图中，我们可以看出随着相位ϕ的减小，阈值a 也会逐渐增大。
每个相位ϕ所对应的阈值a 大致稳定在一个范围内，且呈现出不规律分布，这体现了混沌运动的内在随机性。
3.2 用功率谱熵判别得到的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表6 0,5.0=-=ϕk表7 πϕ5.0,5.0=-=kw 频率a 阈值图3-3两种方法确定的阈值比较图从上图中我们可以看出，用功率谱熵的方法确定的阈值大体上与用相轨迹图法确定的阈值相同，一些频率点上的阈值比相轨迹法得出的阈值稍小。
这可能是由于在使用相轨迹图法进行测量的时候，产生的观察误差造成的。
方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表8 5.0-=k ，5.0=4.0=表105.0-=k，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-4 两种方法确定的阈值比较图从上图中可以看出，两种方法所得出的阈值几乎完全吻合。
3.3两种方法比较相轨迹图法：直观法简单易行,可直接观察相轨迹图，从而确定阈值。
操作简单，不需要编写复杂的程序。
但耗时长，且容易出现误判。
功率谱熵的方法：该方法属于定量分析的方法,准确性高,任何时域微小的变化都能通过功率管谱熵反应出来，所以具有较高的准确性。
且用功率谱熵的方法，进行仿真时，我们可以把一些含相同参数的模块集成，这样便于修改参数，提高仿真效率。
由于在用simulink 模块进行仿真时，无需复杂的计算和画图，所以仿真运行速度比直观法提高了数倍。
用此方法需要注意的是：对功率谱进行N点的FFT变换的时候，N的取值应当适当的大一些。
（a）集成后的系统框图图3-5图3-6 相轨迹图法框图从图3-5和3-6中可以看出，3-5所示模型，即用功率谱熵方法的模型，比用相轨迹方法的模型更便于修改参数。
设置图3-5中的示波器，使其输出相应的仿真数据到workspace。