混沌阈值确定

基于Melnikov 方法的混沌阈值确定

学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授

中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特

性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。

关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵

Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noise

and the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3

x or

5

3

x

x

+, and get the threshold of the chaos system

when the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.

Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy

1前言

混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本

质,最早发现于气象模型中。混沌系统具有对初始条件敏感，遍历性，随机性等性质。本文主要研究duffing 方程所描述的混沌系统的阈值。阈值分为进入混沌状态的阈值c a 和由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。本文讨论的是由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。本文用相轨迹图法和功率谱熵的方法分别讨论了混沌系统的阈值d a ，并对两种方法的性能做了比较。实验发现功率谱熵方法比相轨迹图法具有更高的精度和更快的运算速度。

2混沌判据的推导

本文主要研究Duffing 方程的如下两种形式:

)c o s (3t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.1)

)c o s (53t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.2) 2.1非线性项含3x 的系统

式（2. 1）可以等价为如下形式

⎩⎨

⎧∙+∙--==)

c o s (3''t a ky x x y y

x ωεε (2.3)

当0=ε时，方程（2.1）为哈密顿系统，哈密顿量为

4

/2/2/4

22x x y H +-= (2.4)

当0=H 时，可得同宿轨道的表达式为

⎪⎩⎪⎨⎧∙=±=t h t

ht t y ht

t x sec 2)(sec 2)(

(2.5)

用Melnikov 函数计算可得：

)

2/cosh()

sin(23

4)](cos )()[()(000ωπωπωω∙∙∙

∙±

-

=+∙+-=⎰

∞

∞

-t a k dt t t a t ky t y t M (2.6)

令0)(0=t M ，又1)sin(0≤t ω所以，若式（2.6）对0t 有解，则必须满足一下条件

123)2/c o s h (4≤∙∙∙±

πω

πωa k

(2.7)

根据Melnikov 函数的相关定理可得： 当0/>k a 时,解得

πω

πω∙>23)2/cosh(4k

a ,

阈值为

πω

πωω∙=

23)2/cosh(4)(R (2.8)

当0/

πω

πωπω

πω∙<

<∙-

23)2/cosh(423)2/cosh(4k a (2.9)

由于0/

πω

πω∙-

>23)2/cosh(4k a ，πω

πωω∙-

=23)2/cosh(4)(R

2.2非线性项含53x x +的系统

式(2.2)可等价为