大欧拉角的空间直角坐标转换方法探讨
直角坐标系中的几何变换方法总结
直角坐标系中的几何变换方法总结直角坐标系是我们在数学和物理学中经常使用的一种坐标系统。
在直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置来描述一个点的位置。
然而，在实际问题中，我们经常需要对坐标系进行一些变换，以便更好地解决问题。
本文将总结一些常见的几何变换方法，帮助读者更好地理解和应用直角坐标系。
一、平移变换平移变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标增加或减少相同的数值来实现平移变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴正方向平移3个单位，我们可以将每个点的x坐标加3。
二、旋转变换旋转变换是指在直角坐标系中将一个图形绕着某个点或某个轴旋转一定的角度。
旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点绕着旋转中心进行旋转来实现旋转变换。
旋转的角度可以用弧度或度数来表示。
例如，如果我们要将一个图形绕着原点逆时针旋转90度，我们可以使用旋转矩阵来计算每个点的新坐标。
三、缩放变换缩放变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向放大或缩小一定的比例。
缩放变换改变了图形的大小，但不改变它的形状和方向。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标乘以相同的比例因子来实现缩放变换。
例如，如果我们要将一个图形沿着x轴方向放大2倍，我们可以将每个点的x坐标乘以2。
四、对称变换对称变换是指在直角坐标系中将一个图形关于某个点、某个直线或某个平面进行对称。
对称变换不改变图形的大小和形状，只改变了它的位置。
在直角坐标系中，我们可以通过将图形中的每个点的坐标关于对称中心进行对称来实现对称变换。
例如，如果我们要将一个图形关于x轴进行对称，我们可以将每个点的y坐标取负值。
五、剪切变换剪切变换是指在直角坐标系中将一个图形沿着某个方向进行拉伸或压缩。
剪切变换改变了图形的形状，但不改变它的大小和方向。
欧拉角与旋转矩阵的转换方法
欧拉角与旋转矩阵的转换方法欧拉角（Euler angles）和旋转矩阵（rotation matrix）是描述物体在三维空间中旋转的常用数学工具。
欧拉角由三个旋转轴和三个旋转角度组成，而旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵。
这两种表示方法之间的转换方法可以分为两个步骤：将欧拉角转换为旋转矩阵，或将旋转矩阵转换为欧拉角。
一、欧拉角转换为旋转矩阵欧拉角的转换公式有多种实现方式，其中最为常用的是Z-Y-X欧拉角序列的转换公式。
假设欧拉角序列为ψ、θ、φ（分别表示绕Z轴、Y轴和X轴的旋转角度），则对应的旋转矩阵R可以通过以下的步骤来计算：1.将ψ、θ、φ分别转换为对应的旋转矩阵Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)，这里Rz、Ry和Rx分别表示绕Z轴、Y轴和X轴的旋转矩阵。
2.将Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)按照Z-Y-X的次序相乘，得到最终的旋转矩阵R=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(φ)。
具体地，Rz(ψ)、Ry(θ)和Rx(φ)的计算公式如下：Rz(ψ) = [[cos(ψ), -sin(ψ), 0], [sin(ψ), cos(ψ), 0], [0, 0, 1]]Ry(θ) = [[cos(θ), 0, sin(θ)], [0, 1, 0], [-sin(θ), 0, cos(θ)]]Rx(φ) = [[1, 0, 0], [0, cos(φ), -sin(φ)], [0, sin(φ), cos(φ)]]将以上的计算公式代入到步骤2中，就可以得到欧拉角对应的旋转矩阵R。
二、旋转矩阵转换为欧拉角将旋转矩阵转换为欧拉角的过程比较复杂，通常需要分解出旋转矩阵的三个旋转角度。
下面介绍一种常用的分解方法，即将旋转矩阵分解为绕Z轴、Y轴和X轴旋转的角度。
假设旋转矩阵为R，则分解的步骤如下：1.计算R矩阵第三列的单位向量v32. 计算v3在xz平面上的投影v3_projected，即将v3的y分量设为0。
3. 计算v3与单位向量z的夹角θ1、可以使用反余弦函数计算cos(θ1) = v3_projected · z，其中·表示向量的点积。
旋转矩阵、欧拉角、四元数理论及其转换关系
旋转矩阵、欧拉⾓、四元数理论及其转换关系1. 概述旋转矩阵、欧拉⾓、四元数主要⽤于表⽰坐标系中的旋转关系，它们之间的转换关系可以减⼩⼀些算法的复杂度。
本⽂主要介绍了旋转矩阵、欧拉⾓、四元数的基本理论及其之间的转换关系。
2、原理2.1 旋转矩阵对于两个三维点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，由点 p1 经过旋转矩阵 R 旋转到 p2，则有注：旋转矩阵为正交矩阵RR^T=E任意旋转矩阵：任何⼀个旋转可以表⽰为依次绕着三个旋转轴旋三个⾓度的组合。
这三个⾓度称为欧拉⾓。
三个轴可以指固定的世界坐标系轴，也可以指被旋转的物体坐标系的轴。
三个旋转轴次序不同，会导致结果不同。
2.2 欧拉⾓欧拉⾓有两种：静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静⽌，所以称为静态。
动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。
使⽤动态欧拉⾓会出现万向锁现象；静态欧拉⾓不存在万向锁的问题。
对于在三维空间⾥的⼀个参考系，任何坐标系的取向，都可以⽤三个欧拉⾓来表现。
参考系⼜称为实验室参考系，是静⽌不动的。
⽽坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转⽽旋转。
如图1，设定xyz-轴为参考系的参考轴。
称xy-平⾯与XY-平⾯的相交为交点线，⽤英⽂字母（N）代表。
zxz顺规的欧拉⾓可以静态地这样定义：α是x-轴与交点线的夹⾓，β是z-轴与Z-轴的夹⾓，γ是交点线与X-轴的夹⾓。
图中三个欧拉⾓分别为：(α,β,γ)；蓝⾊的轴为：xyz轴红⾊的轴为：XYZ轴绿⾊的线为交线：Nα∈[0,2π],β∈[0,π],γ∈[0,2π]很可惜地，对于夹⾓的顺序和标记，夹⾓的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当⽤到欧拉⾓时，我们必须明确的表⽰出夹⾓的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多⽅法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉⾓⽅法只是其中的⼀种。
此外，不同的作者会⽤不同组合的欧拉⾓来描述，或⽤不同的名字表⽰同样的欧拉⾓。
欧拉角
欧拉角科技名词定义中文名称：欧拉角英文名称：Euler angles定义：构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。
所属学科：机械工程（一级学科）；机构学（二级学科）；机构运动学（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布欧拉角用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。
目录它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz欧拉角量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
原理欧拉角Eulerian angles用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
不同坐标系之间的变换
§不同坐标系之间的变换欧勒角与旋转矩阵X 对于二维直角坐标, 如图所示， 有: X2 y2 cos sinsi n cos在三维空间直角坐标系中, 两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上, 图所示，设旋转次序为: ①绕OZ1旋转Z 角，OX 1,OY 1旋 转至OX 0,OY0； ②绕0丫0旋转丫角OX 0,OZ 1旋转至 OX 2,OZ 0； ③绕OX 2旋转X 角，O 丫0,OZ旋转至 OY 2, OZ 2。
X 1 y1(10-8) 具有相同原点的 通过三次旋转才能完成。
如 SxarZj rX ,丫，Z 为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它 10 0&( X )0 cos XsinsinXcoscos Y 0 sin R 2( Y )0 1 0sin Y 0cos Y相对应的旋转矩阵分别为: YX (10-10) X (10-11)R3(Z) cos Z sin Z0sin Z cos Z00 0 1(10-12)令R o R1 ( X )R2 ( Y )R3( Z (10-13) 则有:X2丫2 J R1 ( X )R2 ( Y )R3(X1z) Y1Z1R oX1丫1Z1(10-14)代入:cos Y cos ZR o cos X sin z sin X si门丫cosZsin X sin Z cos X sin Y cosZcos Y sin Zcos X cos Z sin X si门丫sin Zsin X cos Z cos X sin Y sinZ为微小转角, 可取:于是可化简R o X(10-16)1上式称微分旋转矩阵。
不同空间直角坐标之间的变换当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一sin Y sin X cos Y COS X COS Y个尺度变化参数，共计有七个参数。
世界坐标系到相机坐标系变换矩阵 欧拉角计算
世界坐标系到相机坐标系变换矩阵及欧拉角计算一、概述在计算机视觉和计算机图形学领域中，世界坐标系到相机坐标系变换矩阵和欧拉角计算是非常重要且常用的技术。
本文将通过具体的介绍和示例，详细讨论世界坐标系到相机坐标系变换矩阵及欧拉角的计算方法。
二、世界坐标系和相机坐标系简介1. 世界坐标系世界坐标系是指在三维空间中描述物体位置和方向的坐标系。
它通常是一个固定的参考框架，用于描述物体在空间中的位置和姿态。
2. 相机坐标系相机坐标系是相机传感器坐标系中的一个坐标系，它描述了相机的位置和方向。
相机坐标系通常位于相机传感器中心，其坐标轴与传感器平面平行。
三、世界坐标系到相机坐标系变换矩阵的推导1. 坐标变换原理当世界坐标系中的物体经过相机的观测时，需要将物体的坐标转换到相机坐标系中。
这个转换过程可以通过一个变换矩阵来实现，该矩阵包括平移、旋转和缩放等变换操作。
2. 变换矩阵的计算设世界坐标系下的一个物体点坐标为Pw = (Xw, Yw, Zw)，相机坐标系下的坐标为Pc = (Xc, Yc, Zc)。
那么Pc与Pw之间的变换关系可以表示为：Pc = T * R * Pw其中T为平移矩阵，R为旋转矩阵。
根据相机的内参矩阵和外参矩阵，可以得到T和R的具体数值，进而得到世界坐标系到相机坐标系的变换矩阵。
四、欧拉角的计算方法1. 欧拉角的定义欧拉角是描述物体姿态的一种方式，它由三个角度组成，通常分别表示绕三个坐标轴的旋转角度。
2. 欧拉角的计算在计算机视觉中，通常使用旋转矩阵或四元数来表示物体的旋转姿态。
而将旋转矩阵或四元数转换为欧拉角则是一个常见的需求。
欧拉角的计算方法有多种，常见的包括将旋转矩阵转换为欧拉角、将四元数转换为欧拉角等。
五、示例分析以下将通过一个具体的示例来演示世界坐标系到相机坐标系的变换矩阵和欧拉角的计算方法。
假设世界坐标系中的一个物体点坐标为Pw = (1, 1, 1)，相机坐标系的内参矩阵为K，外参矩阵为[R|T]。
大学物理学理论力学—欧拉角
⼤学物理学理论⼒学—欧拉⾓对于欧拉⾓的认识[摘要]基于欧拉⾓的学习，加深认识关于欧拉⾓的相关知识点。
定点运动的刚休可由欧拉⾓来描写出发，通过计算刚体上任意⼀点的速度来引⼊刚体的⾓速度。
从欧拉⾓的理解中做到熟练掌握欧拉⾓、欧拉⾓的矩阵形式的表⽰、明确欧勒⾓的含义和它为什么完整的描述了定点转动刚体的运动状态，以及欧拉⾓在刚体⼒学中的具体应⽤，从⽽更好的理解欧拉⾓。
[关键词]欧拉⾓的定义；⾓速度；⾓加速度；刚体定点转动的应⽤ 1：欧拉⾓的定义虽然当刚体作定点转动时，我们可选这个定点作为坐标系的原点，⽽⽤三个独⽴的⾓度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴线所转过的⾓度。
刚体转动可以表⽰为空间坐标系到本体坐标系的⼀个正交变换，变换矩阵由9个⽅向余弦决定，但它们中只有3个是独⽴的，使⽤起来不⽅便。
最好能⽤有明确⼏何意义的3个变量来描述刚体的位置，前⾯已证明，可以给出刚体上的⼀个轴的⽅向，和刚体绕这个轴的转⾓来描述刚体定点运动的位置，因此我们可以⽤类似球坐标中的极⾓θ和⽅位⾓φ来给出轴的取向，再加上绕这个轴旋转的⾓度φ，三个⾓度来描述刚体的定点转动，它们合称为欧拉⾓我们要把本体坐标系和空间坐标系间的正交变换⽤欧拉⾓表⽰出来。
如上图所⽰，向由θ和φ决定，⽽φ是刚体绕该轴的转⾓。
从坐标变换的⾓度看，本体坐标转到图(c)的状态，可以分解为从图(a)经过(b)，通过相继三次2D 旋转得到的(假定开始时本体坐标系x x y z '''-与空间坐标系o xyz -重合)：⑴o xyz o εηζ-→-本体坐标系绕z 轴在xy 平⾯上旋φ⾓：cos sin 0sin cos 0001x y z εφφηφφζ?????? ?=- ? ??? ? ??????⑵o εηζεηζ'''-→，本体坐标系绕ε轴在ηζ平⾯转过θ⾓：1000cos sin 0sin cos εεηθθηζθθζ'?????? ? ???'= ? ??? ? ???'-??????⑶x y z εηζ''''''→本体坐标绕ζ'轴在ηε''平⾯(阴影)转过ψ⾓：cos sin 0sin cos 0001x y z ψψψψ'???? ?'=- '变换矩阵就是三个2D 变换矩阵之积：cos sin 0100cos sin 0sin cos 00cos sin sin cos 00010sin cos 001x x ψψφφψψθθφφθθ?????? ?????'=-- ????? ?????-??????它们由3个欧拉⾓决定。
[转]欧拉角与旋转
![[转]欧拉角与旋转](https://img.taocdn.com/s3/m/14aa2821b80d6c85ec3a87c24028915f804d849d.png)
[转]欧拉⾓与旋转1，什么是欧拉⾓欧拉⾓的基本思想是将⾓位移分解为绕三个互相垂直轴的三个旋转组成的序列。
这听起来复杂，其实它是⾮常直观的。
之所以有“⾓位移”的说法正是因为欧拉⾓能⽤来描述任意旋转，但最有意义的是使⽤笛卡尔坐标系并按照⼀定顺序所组成的旋转序列。
最常⽤的约定，即所谓“heading-pitch-bank”约定。
在这个系统中，⼀个⽅位被定义为⼀个heading⾓，⼀个pitch⾓，和⼀个bank⾓。
它的基本思想就是让物体开始于“标准”⽅位——就是物体坐标轴和惯性坐标轴对齐。
在标准⽅位上，让物体作heading,pitch,bank旋转，最后物体到达我们想要描述的⽅位。
在精确定义术语“heading”“pitch”“bank”前，先让我们简要回顾本书中使⽤的坐标空间约定。
我们使⽤左⼿坐标系，+x向右，+y向上，+z向前。
heading为绕y轴的旋转量，向右旋转为正，旋转正⽅向是顺时针⽅向，经过heading旋转之后，pitch为绕x轴的旋转量，注意是物体坐标系的x轴，不是原惯性坐标系的x轴，依然遵守左⼿法则，向下旋转为正。
最后，经过了heading,pitch后，bank为绕z轴的旋转量，依然是物体坐标系的z轴。
当我们说到旋转的顺序是heading-pitch-bank时，是指从惯性坐标系到物体坐标系，如果从物体坐标系到惯性坐标系则相反。
2，关于欧拉⾓的其他约定前⾯曾提到过，heading-pitch-bank系统不是惟⼀的欧拉⾓系统，绕任意三个互相垂直轴的任意旋转序列都能定义⼀个⽅位。
所以，多种选择导致了欧拉⾓约定的多样性：1）heading-pitch-bank系统有两个名称，当然，不同的名字并不代表不同的约定，这其实并不重要，⼀组常⽤的术语是roll-pitch-yaw，其中的roll对应与bank，yaw对应于heading，它定义了从物体坐标系到惯性坐标系的旋转顺序2）任意三个轴都能作为旋转轴，不⼀定必须是笛卡尔轴，但是⽤笛卡尔轴最有意义3）也可以选⽤右⼿坐标规则4）旋转可以以不同的顺序进⾏3，优点：1）容易使⽤；2）表达简洁；3）任意三个⾓都是合法的4，缺点：1）给定⽅位的表达⽅式不唯⼀；2）两个⾓度间求插值⾮常困难采⽤限制欧拉⾓的⽅法来避免以上问题的出现：heading限制在+-180，pitch为+-90。
空间坐标变换
空间坐标变换空间坐标变换是指将一个坐标系下的点在另一个坐标系下进行表示的过程。
它在许多领域中都有广泛的应用，例如计算机图形学、机器人技术、地理信息系统等。
在这篇文章中，我们将介绍空间坐标变换的基本概念和常见的变换方法。
一、空间坐标系空间坐标系是一个用于描述三维空间中点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。
在直角坐标系中，一个点的位置可以由其在三个相互垂直的轴上的坐标表示。
例如，一个点的直角坐标为（x，y，z），其中x、y、z分别表示其在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
二、空间坐标变换的基本概念空间坐标变换是指将一个坐标系下的点在另一个坐标系下进行表示的过程。
在进行坐标变换时，我们通常需要考虑平移、旋转和缩放等操作。
以下是空间坐标变换中常用的几种基本操作：1. 平移：平移是指将点沿着某个方向移动一定的距离。
平移操作可以通过在原始坐标上加上平移向量来实现。
2. 旋转：旋转是指将坐标系绕某个轴进行旋转。
旋转操作可以通过矩阵乘法或四元数运算来表示。
3. 缩放：缩放是指将坐标系在各个轴上进行拉伸或压缩。
缩放操作可以通过矩阵乘法来实现。
三、空间坐标变换的常见方法1. 矩阵变换法：矩阵变换法是一种常见的空间坐标变换方法。
它通过矩阵的乘法来表示平移、旋转和缩放等操作。
假设我们有一个点P在坐标系A下的坐标为（x，y，z），要将其转换到坐标系B下，可以使用以下矩阵方程表示：[x'] [a b c d] [x][y'] = [e f g h] * [y][z'] [i j k l] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，（x'，y'，z'）表示点P在坐标系B下的坐标。
矩阵中的（a，b，c）表示坐标系B相对于坐标系A的x轴方向的变换，（d，e，f）表示y轴方向的变换，（g，h，i）表示z轴方向的变换。
2. 四元数变换法：四元数变换法是一种常用的空间坐标变换方法。
大学测量《大地测量》教学课件：22欧拉角和坐标系转换
Y
c os 1
Z cos1
c os 2 cos2 cos 2
cos3 X
c
os3
Y
cos 3 Z
7.1 大地坐标系中的欧勒角
独立方向角 1、右手空间直个角数坐？标系的旋转变换公式
ii 1 i j 0 i k 0 j j 1 j k 0 k k 1
cos2 1 cos2 1 cos2 1 1 cos2 2 cos2 2 cos2 2 1
水平方向 平面距离 平面方位角
布设水平 观最测 高地等面级上观 控制网水平控制测网元，素
归算
椭球面上 的元素
归算
高斯平面 的元素
已知数据从何
推算 平差
推算 平差
而来？
水平坐标
大地坐标 （L，B）
平面坐标 （X，Y）
7.1 大地坐标系中的欧勒角
1、右手空间直角坐标系的旋转变换公式
以方向角为参数
1, 1,1,2 , 2 , 2 ,3, 3, 3
X 1 εZ εY X
一般YZ情 况?
εZ εY
1 εX
O
X Y
RZ ( εZ ) sin Z cos εZ 0
0
0 1
XX
Y Z
Xscino0ZsXXsYisnincYoZscYosiscnosXXsZisninY
X
Z Y
Y cosZY cos Z
0
cos X sin X
cosY sin Z cos εY
ccoossZZRYsc(inoεsYX)XssininsYiYns0sininYZZ
2h
22
第七章 大地坐标系的建立
7.1 大地坐标系中的欧勒角 7.2 不同大地坐标系的转换
欧拉角与密勒指数的转换
欧拉角与密勒指数的转换欧拉角和密勒指数的概述欧拉角的定义和意义欧拉角是一种用于描述物体在空间中旋转的方法，它由3个连续旋转组成，分别绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
欧拉角的三个分量通常用α、β和γ来表示，分别代表绕X、Y和Z轴旋转的角度。
欧拉角具有很好的几何直观性，可以直观地表示物体在空间中的方向和姿态。
它在航空、航天、机器人、计算机图形学等领域被广泛应用。
密勒指数的定义和意义密勒指数是描述晶体中晶面方向的方法之一，它由一组整数表示，用来表示晶体中的晶面在晶体学坐标系中的方向。
密勒指数的每个整数代表了晶面与坐标轴的交点所位于的位置。
密勒指数可以有效地表示晶体的晶面方向，对于研究晶体的结构和性质具有重要的意义。
在材料科学、地质学、几何学等领域广泛使用。
欧拉角转换为密勒指数欧拉角的定义和表示欧拉角的定义已在前面进行了介绍，它由三个分量α、β和γ表示旋转角度，分别绕X、Y和Z轴进行旋转。
在某些特定的情况下，欧拉角可以通过旋转矩阵进行表示。
欧拉角与旋转矩阵的关系欧拉角和旋转矩阵之间存在一定的关系，通过旋转矩阵可以将欧拉角转换为旋转矢量，从而方便进行计算。
旋转矩阵和晶体学坐标系的关系旋转矩阵可以用来表示物体在空间中的旋转，包括欧拉角的旋转。
在晶体学中，晶体学坐标系是用来描述晶体中晶面方向和晶面间夹角的坐标系。
密勒指数的定义和表示密勒指数是用来描述晶体中的晶面方向的方法，它由一组整数表示。
密勒指数的每个整数表示晶面与晶体学坐标轴的交点所位于的位置。
密勒指数的计算方法密勒指数的计算方法可以通过晶面的法向量和晶体学坐标轴的关系进行计算，通过计算得到的法向量的坐标即可表示晶面的密勒指数。
欧拉角转换为密勒指数的步骤欧拉角转换为密勒指数的步骤如下： 1. 计算出旋转矩阵； 2. 确定晶体学坐标系；3. 将旋转矩阵与晶体学坐标系进行相乘，得到变换后的晶面方向；4. 通过计算得到的晶面法向量的坐标即可得到密勒指数。
欧拉角转换为密勒指数的示例以某个特定的晶体为例，假设欧拉角为α=30°，β=45°，γ=60°，晶体学坐标系为XYZ。
欧拉角转向量的计算方法改进
欧拉角转向量的计算方法改进1. 引言欧拉角是一种常用的方式来描述物体在三维空间中的姿态和旋转。
然而，在使用欧拉角进行计算时，常常会遇到一些困难，尤其在转换为向量表示时。
本文将探讨欧拉角转向量的计算方法，并提出一种改进的方法。
2. 基本概念在介绍欧拉角转向量的计算方法之前，我们先回顾一下基本的概念。
2.1 欧拉角表示欧拉角通常由三个独立的角度组成，分别表示绕固定的坐标轴进行旋转。
常用的表示方式有欧拉角顺序（XYZ、XZY、YXZ等）和旋转顺序（绕X轴旋转、绕Y轴旋转、绕Z轴旋转等）。
2.2 向量表示向量是一种具有大小和方向的量，常用来表示物体的位移、速度、加速度等。
在三维空间中，向量通常由三个分量组成。
3. 欧拉角转向量的现有方法目前常用的方法是通过欧拉角的旋转矩阵来转换为向量表示。
旋转矩阵是一个3×3的矩阵，由欧拉角的三个分量组成。
通过将旋转矩阵与单位向量相乘，可以得到旋转后的向量。
然而，这种方法存在一些问题。
旋转矩阵存在奇异点，即旋转矩阵的行列式等于零，导致计算结果不唯一。
当欧拉角存在大于360度或小于0度的情况时，计算结果也不正确。
4. 改进的方法：四元数表示为了解决上述问题，我们可以使用四元数来表示欧拉角的旋转。
四元数是一种复数的扩展，由一个实部和三个虚部组成。
它可以更准确地表示旋转，并且不存在奇异点的问题。
欧拉角转向量的改进方法如下：- 将欧拉角转换为四元数表示。
这可以通过欧拉角的三个分量来计算得到。
- 接下来，将四元数表示的旋转转化为旋转矩阵。
这可以通过一些数学运算得到。
- 将旋转矩阵与单位向量相乘，得到旋转后的向量。
通过这种改进的方法，可以避免奇异点的问题，并且可以准确地计算欧拉角转向量。
5. 总结与回顾通过对欧拉角转向量的计算方法进行改进，我们能够更准确地表示物体的旋转，避免了现有方法中的问题。
使用四元数表示可以保证计算结果的唯一性，并且不会受到欧拉角范围的限制。
6. 个人观点与理解我认为使用四元数表示欧拉角的旋转是一种有效且可靠的方法。
三维坐标 欧拉角变换
三维坐标欧拉角变换
三维坐标的欧拉角变换指的是通过欧拉角来表示和描述三维空间中的旋转变换。
通常情况下，三维空间中的旋转可以通过绕着三个互相垂直的轴进行，这些轴通常被称为欧拉角的轴。
具体来说，三维坐标的欧拉角变换可以由以下三个欧拉角组成：
1. Roll（滚动角）：绕X轴旋转的角度。
也称为绕前后轴旋转的角度。
2. Pitch（俯仰角）：绕Y轴旋转的角度。
也称为绕左右轴旋转的角度。
3. Yaw（偏航角）：绕Z轴旋转的角度。
也称为绕上下轴旋转的角度。
这三个欧拉角可以用来描述物体相对于初始位置的旋转变换。
需要注意的是，欧拉角变换存在一个问题，即所谓的“万向节死锁”现象。
当一个物体进行连续的多次旋转操作时，有时无法准确地还原初始位置。
为了解决这个问题，可以使用四元数或旋转矩阵等其他表示方法来进行旋转变换。
欧拉角微分方程推导
欧拉角微分方程推导首先，我们来介绍一些基本概念。
在刚体运动学中，我们用欧拉角来描述刚体在空间中的方位。
欧拉角包括三个角度：滚动角（Roll），俯仰角（Pitch）和偏航角（Yaw）。
滚动角描述绕x轴的旋转，俯仰角描述绕y轴的旋转，偏航角描述绕z轴的旋转。
为了导出欧拉角微分方程，我们首先定义一个刚体的固定坐标系N和一个随体坐标系B。
固定坐标系N与刚体的质心保持静止，而随体坐标系B与刚体一起旋转。
刚体的姿态可以通过将欧拉角应用于固定坐标系N转换为随体坐标系B来表示。
现在，让我们将欧拉角定义为最小梯度旋转，即首先绕N固定坐标系的z轴旋转偏航角Ψ，然后绕上一个旋转后的y轴旋转俯仰角θ，并最后绕上两个旋转后的x轴旋转滚动角φ。
因此，我们可以通过乘积旋转矩阵将欧拉角转换为旋转矩阵：R=RφRθRΨ其中，Rφ、Rθ和RΨ分别表示绕x、y和z轴的旋转矩阵。
现在，我们需要找到欧拉角的连续微分方程。
我们假设刚体围绕其固定坐标系N的z轴旋转一个微小的角度dΨ，然后是绕上一个旋转后的y轴旋转一个微小的角度dθ，并紧接着绕上两个旋转后的x轴旋转一个微小的角度dφ。
利用旋转矩阵的微分性质，我们可以将旋转矩阵的微分表示为：dR=(1+0.5(dφ)^2+···)Rz(dΨ)·Ry(dθ)·Rx(dφ)接下来，我们需要将这个微分旋转矩阵转换为能够描述欧拉角变化的微分方程。
我们可以使用罗德里格斯公式来表示微小旋转矩阵，它是欧拉轴-角（N,θ）的数学描述。
根据罗德里格斯公式，微小旋转矩阵可以表示为：R = I + sin(θ)N + (1 - cos(θ))N^2其中，I是单位矩阵，N是定义旋转轴的单位矢量。
将这个表达式应用到微分旋转矩阵中，我们可以得到：dR = I + sin(dθ)N + (1 - cos(dθ))N^2将上述表达式代入到之前的微分旋转矩阵中，我们可以得到：dR ≈ I + sin(dφ)Nz + (1 - cos(dφ))Nz^2 · I + sin(dθ)Ny+ (1 - cos(dθ))Ny^2 · I + sin(dΨ)Nx + (1 - cos(dΨ))Nx^2化简上述方程dR≈I+dφNz+0.5(dφ)^2Nz^2+dθNy+0.5(dθ)^2Ny^2+dΨNx+0.5(d Ψ)^2Nx^2现在，我们可以将微分旋转矩阵与连续微分欧拉角之间的关系表示为：dR=I+dφNz+0.5(dφ)^2Nz^2+dθNy+0.5(dθ)^2Ny^2+dΨNx+0.5(dΨ)^2Nx^2≈RφRθRΨ通过比较上述两个表达式的各项系数，我们可以得到欧拉角微分方程：dφ=Nz^T(RθRΨ-RΨRθ)dθ=Ny^T(RΨ-RΨ^T)dΨ=Nx^T(Rφ-Rφ^T)这就是欧拉角微分方程的推导结果。
空间直角坐标系转换
ε Z
0 X ε
Y X 1 X 10 ε ε Y1 Y10 X 0 Z 1 Z 10
空间直角坐标系的转换
• 实际应用中，公共点较多时，存在问题： • 1.公共点已知坐标与测量新坐标都不可避免的会有误差， 会影响转换参数的精度。 • 2.公共点转换以后的坐标与已知坐标有差值。 • 这时可以选择部分已知公共点求解转换参数，转换后的公 共点的坐标与已知点的坐标进行比较，差异大的公共点不 再作为公共点，选择差异小的公共点再求解转换参数，这 样进行坐标转换后，转换后的公共点的坐标差异会减至最 小。 • 当公共点较多时，还可以增加转换参数的个数，转换已知 点的差异会变得很小，达到一定的精度要求。
X , Y , Z 很小时 ：
X 2 1 Y Z 2 ε Z 2 ε Y
ε Z
1 X ε
Y X 1 ε ε Y1 X 1 Z1
空间直角坐标系的转换
• 2.三参数法
• 设两个空间直角坐标系分别为O1-X1Y1Z1与O2-X2Y2Z2，它们 的原点不一致，相应的坐标轴平行，则有：
欧拉角与旋转矩阵的转换方法
欧拉角与旋转矩阵的转换方法欧拉角与旋转矩阵是数学中重要的概念，尤其在三维图像处理和机器人领域有着广泛应用。
欧拉角是用于描述刚体在三维空间中旋转的一种参数化方法，而旋转矩阵则是用于描述刚体旋转的数学工具。
在这篇文档中，我们将介绍欧拉角和旋转矩阵的转换方法。
一、欧拉角的定义欧拉角是描述刚体在三维空间中旋转的一种参数化方法。
它由三个角度组成，分别为俯仰角、偏航角和横滚角。
俯仰角表示绕x轴旋转的角度，偏航角表示绕y轴旋转的角度，横滚角表示绕z轴旋转的角度。
根据这三个角度可以确定一个唯一的旋转序列。
在实际应用中，欧拉角通常使用Z-Y-X欧拉角（也称为yaw-pitch-roll）来表示。
它表示先绕z轴旋转一个角度φ，然后绕旋转后的y 轴旋转一个角度θ，最后绕旋转后的x轴旋转一个角度ψ，即：R=Rz(φ)Ry(θ)Rx(ψ)其中，R表示旋转矩阵，Rz、Ry、Rx分别表示绕z、y、x轴旋转的矩阵。
在三维空间中，任何旋转都可以用欧拉角来表示。
二、旋转矩阵的定义旋转矩阵是描述刚体旋转的数学工具，它是一个3×3的矩阵。
旋转矩阵有以下三个性质：（1）行列式为1： det(R)=1（2）正交矩阵： RTR=I ，其中I为单位矩阵（3）右手定则：从坐标系的正方向看去，当右手的四指指向原坐标系中第一个非零向量，而拇指所指方向与当前坐标系中该向量方向一致时，旋转矩阵R的方向满足右手定则。
矩阵R可以通过欧拉角来确定，具体方法如下：（1）Z-Y-X欧拉角：R=Rz(φ)Ry(θ)Rx(ψ)（2）Z-Y-Z欧拉角：R=Rz(φ)Ry(θ)Rz(ψ)（3）X-Y-Z欧拉角：R=Rx(ψ)Ry(θ)Rz(φ)三、欧拉角和旋转矩阵的转换方法欧拉角和旋转矩阵之间存在一种转换关系，可以通过欧拉角计算出旋转矩阵，也可以通过旋转矩阵计算出欧拉角。
下面我们分别介绍转换方法。
1. 欧拉角转换为旋转矩阵以Z-Y-X欧拉角为例，其计算公式为：Rz(φ)Ry(θ)Rx(ψ)=[cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ;-cosψsinφ+sinψsinθcosφ,cosψcosφ+sinψsinθsin φ,sinψcosθ;sinψsinφ+cosψsinθcosφ,-sinψcosφ+cosψsinθsinφ,cosψcosθ];从公式中可以看出，欧拉角的计算结果是一个3×3的旋转矩阵。
ue4 欧拉角转换轴角
ue4 欧拉角转换轴角UE4（Unreal Engine 4）是一款流行的游戏开发引擎，它提供了丰富的工具和功能，以满足开发者的需求。
在UE4中，欧拉角和轴角是两种常用的旋转表示方法。
本文将重点介绍如何在UE4中进行欧拉角到轴角的转换。
欧拉角是一种描述物体旋转的方式，它由三个角度构成，分别表示绕X轴、Y轴和Z轴的旋转。
在UE4中，可以使用Rotator结构体来表示欧拉角。
Rotator结构体有三个成员变量Pitch、Yaw和Roll，分别表示绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角度。
轴角是另一种描述旋转的方式，它由一个旋转轴和一个旋转角度构成。
在UE4中，可以使用Quat结构体来表示轴角。
Quat结构体有四个成员变量X、Y、Z和W，其中X、Y和Z表示旋转轴的坐标，而W表示旋转角度。
在UE4中，可以通过以下方式将欧拉角转换为轴角：1. 首先，创建一个Rotator对象，设置其Pitch、Yaw和Roll成员变量为欧拉角的三个角度。
2. 调用Rotator的ToQuat方法，将其转换为Quat对象。
这个方法会返回一个新的Quat对象，表示相同的旋转。
3. 最后，可以通过Quat对象的GetAngleAxis方法获取旋转轴和旋转角度。
GetAngleAxis方法返回一个float类型的旋转角度，以及一个FVector类型的旋转轴。
使用欧拉角和轴角来表示旋转的主要区别在于它们的计算方式和表示形式。
欧拉角使用欧拉旋转公式来计算旋转矩阵，然后将旋转矩阵转换为四元数。
而轴角直接使用一个旋转轴和旋转角度来表示旋转。
欧拉角的优点是直观易懂，可以通过三个角度直接描述物体的旋转情况。
但是欧拉角存在万向锁问题，即当某个角度接近90度时，会导致旋转失真。
此外，在UE4中，欧拉角的旋转顺序也会影响最终的旋转结果。
轴角的优点是没有万向锁问题，可以精确地表示旋转。
轴角的旋转轴和旋转角度可以直接使用，非常方便。
但是轴角不如欧拉角直观，需要通过额外的计算才能获得旋转矩阵或四元数。
旋转矩阵和欧拉角
旋转矩阵和欧拉角欧拉角是描述物体在三维空间中旋转角度的一种常用的数学方法，旋转矩阵则是一种线性变换（矩阵），将原空间的向量映射到新的空间中。
本文将分别介绍旋转矩阵和欧拉角的概念，并探讨如何在两者之间进行转换。
1. 旋转矩阵旋转矩阵是一种线性变换，它可以将三维空间中的任意向量旋转到一个新的方向。
假设我们有一个向量v，它的坐标表示为(x,y,z)，假设我们要将它绕x轴旋转θ角度，绕y轴旋转φ角度，绕z轴旋转ψ角度，那么可以得到旋转矩阵为：R(θ,φ,ψ) = Rx(θ) * Ry(φ) * Rz(ψ)其中，Rx(θ)，Ry(φ)，Rz(ψ)分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，它们的具体形式为：Rx(θ) = [1 0 00 cos(θ) -sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)]根据上述公式，我们可以得到旋转矩阵R(θ,φ,ψ)的具体形式为：R(θ,φ,ψ) = [cos(φ)cos(ψ) cos(φ)sin(ψ) -sin(φ)sin(θ)sin(φ)cos(ψ)-cos(θ)sin(ψ)sin(θ)sin(φ)sin(ψ)+cos(θ)cos(ψ) sin(θ)cos(φ)cos(θ)sin(φ)cos(ψ)+sin(θ)sin(ψ)cos(θ)sin(φ)sin(ψ)-sin(θ)cos(ψ) cos(θ)cos(φ)]2. 欧拉角欧拉角是描述物体在三维空间中旋转角度的一种数学方法，通常用三个角度（yaw、pitch、roll）来描述物体绕z、x、y三个坐标轴的旋转角度。
欧拉角的具体定义如下：yaw: 绕z轴旋转的角度，俗称偏航角，取值范围为[-180, 180]度。
欧拉角的旋转顺序通常包含以下三种常见方式：xyz乘积：先绕x轴旋转pitch角度，然后绕y轴旋转roll角度，最后绕z轴旋转yaw 角度。
欧拉角和旋转矩阵之间可以进行转换，这两种表示方式是等价的。
假设我们有一组欧拉角(yaw,pitch,roll)，我们可以将它们转换成旋转矩阵R(θ,φ,ψ)，具体方法如下：1）将欧拉角转换成弧度制。
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１姚吉利．３维坐标转换参数计算的严密公式［Ｊ］．测绘通 报，２００６，（５）：７—１０
２曾文宪，陶本藻．３维坐标转换的非线性模型ｌ－Ｊ］．武汉大 学学报（信息科学版），２００３，２８（５）：５６６ ５６８
３陈义，沈云中，刘大杰．适用于大旋转角的三维基准转换 的一种简便模型［Ｊ］．武汉大学学报（信息科学版），２００４， ２９（１２）：１１０１—１１０４
４结论
４．１基于罗德里格矩阵的三维空间坐标变换模 型适合大欧拉角的坐标变换，解决了工程独立控 制网与国家坐标系统之间的坐标转换问题，适用 面广。 ４．２旋转矩阵中ｅｘ，￡ｙ，ｅ：为角度值，受三角函数周 期性的影响，在大欧拉角坐标转换时，模型稳定性 较差。利用罗德里格矩阵来代替旋转矩阵，其中的 ａ、ｂ、ｅ三个参数不受角度的周期性的影响，模型稳 定性好。 ４．３该算法无需转换参数初始值，程序中以０为初 始值来计算，同样得到很好的转换参数结果，说明 该转换模型具有良好的可靠性。
４李德仁，周月琴，金为铣．摄影测量与遥感概论［Ｍ］．北 京：测绘出版社，２００１
５周忠谟，易杰军，周琪．ＧＰＳ卫星测量原理与应用［Ｍ］．北 京：测绘出版社，２００４
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｗａｙ ｏｆ Ｓｐａｃｅ Ｒｉｇｈｔ－Ａｎｇｌｅ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｉｇ Ｅｕｌｅｒ Ａｎｇｌｅ
万方数据
大欧拉角的空间直角坐标转换方法探讨
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
胡亚江， 杨晓梅， 沙月进， Hu Yajiang， Yang Xiaomei， Sha Yuejin 东南大学交通学院,江苏,南京,210096
现代测绘 MODERN SURVEYING AND MAPPING 2006，29(6) 2次
一
￡ｙ一０
●一△，一△ 旦△ｐ＠ 一 竺。瞳一ｏ 曲一２） ｅｘ一０
瓢…一糊腆取 ２．３ 罗德里格矩阵参数近似值选取 ；－１ 一￡ｚ －－￡Ｙ７
打贼Ｚ。二￡ｘ叶融１ 口Ｊ ，凯旅丸
而ｅｘ和￡ｙ取０时，对应项相等可得：
Ｃ２７
褊…护。奇～一ｅｚｏ 肼”Ｈ“ ”“
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““。。“。
舳弧：１十鸯百 一减一嘶１毒十百一 ｅｙ
本文应用罗德里格矩阵来表示空间直角坐标转换 的７参数模型的旋转矩阵，以布尔沙（Ｂｕｒｓａ）模型为基 本变换模型，推导出平差计算的数学模型。检验证明， 由于罗德里格矩阵中的三格参数为标量，避免了三个 角元素受周期性的影响，使得平差结果十分稳定。
２数学模型
２．１ 空间坐标变换的布尔沙模型
空间一点在ａ一蜀ｙ－乙中坐标为巨］，在Ｑ
Ｈｕ Ｙａｊ ｉａｎｇ，Ｙａｎｇ Ｘｉａｏｍｅｉ，ＳｈａＹｕｅｊ ｉｎ （Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｆｉｒｓｔｌｙ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｏｆ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｒｉｇｈｔ—ａｎｇｌｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｓ ｐｏｉｎｔｅｄ Ｏｕｔ；ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｒｉｇｈｔ－ａｎｇｌｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂｉｇ Ｅｕｌｅｒ ａｎｇｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ Ｒｏｄｒｉｇｏ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ；ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ Ｂｕｒｓａ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｓｅｔ，Ｖｉｓｕａｌ Ｃ＃．Ｎｅｔ ２００３ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｐｒｏｇｒａｍ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａ— ｔｉｏｍ Ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｒｉｇｈｔ－ａｎｇｌｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｎｙ ｂｉｇ Ｅｕｌｅｒ ａｎｇｌｅ ｃａｎ ｂｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｓｔｅａｄｉｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ａ ｖｅｒｙ ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ａｎｄ ｉｎ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ，ａｎｄ ｉｎｉｔｉａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｃａｎ ｂｅ ａｎｙ ｖａｌｕｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ；Ｂｕｒｓａ ｍｏｄｅｌ；Ｒｏｄｒｉｇｏ ｍａｔｒｉｘ；Ｂｉｇ Ｅｕｌｅｒ ａｎｇｌｅ；Ｉｎｄｉｒｅｃｔ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ
一ｎ一虿
１＋了１（一Ⅱ２—６２＋ｃ２）
第６期
胡亚江等：大欧拉角的空问直角坐标转换方法探讨
１１
记△一１＋丢（以２＋６２＋ｃ２）。
２．２基于罗德里格矩阵的布尔沙模型严密计算数 学模型
以模型中的ＡＸ、△ｙ、△ｚ、肚ａ、６、ｆ为７个转换 参数，参数的改正数为Ａｚ、Ａｙ、敝、咖、ｄａ、ｄｂ、ｄｃ。 根据问接平差原理列出误差方程如下：
㈨ １ ｏ ６，ｘ。＋６。ｙ，＋６。Ｚ１（－－ｂＸ。
（一ｎＸ。＋６ｙ，
（２Ｘｌ
一６Ｚ－）等Ｉ“）
ｏ １ ｆｌｘｌ Ａｖ ｃ２ｙｌ＋ｆ３２１（ｃＸｌ＋２Ｙ。一以１）生２Ａ（２Ｘｌ—ｃｙｌ 皆 磁 ） 悃，告ｊ （ａＸｌ ６ｙ
㈨一
线性化过程中为了方便计算，对△一１＋丢（以２
～
， ●、＼
２￡Ｚ
＋ｂ２＋ｃ２）没有求导数，因此平差过程需要迭代计 算。取两个坐标系中公共点个数ｎ（ｎ大于３），则可 列出３咒个误差方程式，按照间接平差方法解算上述
或ｂ≈￡ｙ。
万方数据
１２
现代测绘
第２９卷
３程序设计和算例
３．１ 程序设计 为了实现空间三维坐标转换计算，笔者使用
Ｖｉｓｕａｌ Ｃ＃．ＮＥＴ ２００３为开发工具编制了计算程 序，程序有两个主要功能，一是根据三个以上的控 制点计算转换参数，二是在已知转换参数的情况 下实现对转换点在两个坐标系中的转换计算。图 １是程序类视图，其辅助计算模块包含三个类： Ｃｐｏｉｎｔ、Ｃｐａｒａ类和Ｃｃａｌ。其中Ｃｐｏｉｎｔ为转换点类， 包含有转换点的点号以及在两个坐标系中的坐标 共七个属性；Ｃｐａｒａ为参数类，包含有三维转换的 七个参数以及根据罗德里格反算出的三个旋转 角；Ｃｃａｌ类用于实现转换计算功能，该类设计类两 个重要方法：ｄｉｒｃｅｔｃａｌ（Ｃｐｏｉｎｔ［］，Ｃｐａｒａ）方法用来实 现利用Ｃｐａｒａ参数对Ｃｐｏｉｎｔ［］坐标数组计算转换 计算，ｉｎｔｅｒｖａｌｃａｌ（Ｃｐｏｉｎｔ［］，Ｃｐａｒａ）方法用来实现根 据控制点Ｃｐｏｉｎｔ［］坐标数组计算转换参数Ｃｐａｒａ。 本程序的数据输入和输出都以文本文件的方式进 行读写。
引证文献(2条)
1.胡现辉.范晓进.姚麒麟.潘国荣 高压输电线路勘测中坐标转换程序开发[期刊论文]-铁道勘察 2007(4) 2.原玉磊.蒋理兴.刘灵杰 罗德里格矩阵在坐标系转换中的应用[期刊论文]-测绘科学 2010(2)
本文链接：/Periodical_xdch200606003.aspx 授权使用：中科院电子学研究所(中科院电子学研究所)，授权号：fd2c8efd-794b-4206-8f06-9ddf0123bd94
2004(12) 4.李德仁.周月琴.金为铣 摄影测量与遥感概论 2001 5.周忠谟.易杰军.周琪 GPS卫星测量原理与应用 2004
相似文献(1条)
1.期刊论文 陈贻胜.CHEN Yisheng 坐标转换参数的求解方法及其应用 -上海地质2006,""(2)
根据坐标转换参数的解算模型,介绍几种常见的坐标转换参数的求解方法及其参数个数与精度;探讨选择坐标转换参数的条件及转换参数的应用,从而 阐明转换参数对GPS技术的推广和全球资料的统一的重要作用.
参考文献(5条)
1.姚吉利 3维坐标转换参数计算的严密公式[期刊论文]-测绘通报 2006(05) 2.曾文宪.陶本藻 3维坐标转换的非线性模型[期刊论文]-武汉大学学报(信息科学版) 2003(05) 3.陈义.沈云中.刘大杰 适用于大旋转角的三维基准转换的一种简便模型[期刊论文]-武汉大学学报(信息科学版)
第２９卷第６期
１１１１兰！！望
现代测绘 坠呈垒呈！望量些！兰呈￥！坠星垒垒鱼些垒望望！垒星
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大欧拉角的空间直角坐标转换方法探讨
胡亚江，杨晓梅，沙月进
（东南大学交通学院，江苏南京２１００９６）
摘要首先指出建立使用大旋转角的空间直角坐标转换模型的必要性，接着推导出以罗德里格矩阵为旋转矩阵
ｘｚＫ乙中坐标为睦］，ｑ在＠一冠ｙｚ Ｚｚ中坐标为
筒，ａ喝ｙ，硼尺度扎Ｑ毯ｙ。乙的尺度舯＋
ｉｆ）。两坐标系统之间的布尔沙（Ｂｕｒｓａ）变换模型为：
匿Ｘ２］一ｌＡ竺引Ｘ＋ｃ，＋Ｐ，Ｒｃｓｘ，Ｒｃ科，Ｒｃｅｚ，阵］ｃ，，
其中Ｒ（ｅｘ）Ｒ（￡ｙ）Ｒ（ｅ：）为旋转矩阵，记为Ｒ一
１）当欧拉角为小角度时的旋转矩阵：
肤蕾二爿ｅ－＇Ｔ
号０ 设反对称矩阵５＝
一万ａ ，其元素皂 ９ｉ９ａ０是独立的。旋转矩阵Ｒ由Ｓ构成的罗德里格矩阵 表示为：
万方数据
１＋百１（血２—６２一ｆ２）
—１—＋—丢———（—以———２—十——！６二—２—＋—ｃ——２—）一
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图１程序类视图 ３．２ 算例及分析
为了检验该算法的效果，利用程序的正反算功
能进行了验算。首先选取了每个ＧＰＳ网在ＷＧＳ８４ 坐标系统下的５个点的三维空间直角坐标，模拟了 变换参数，计算这些点在目标坐标系中的三维坐 标。然后，以这５个点的两套坐标为控制点，反算变 换参数，七个转换参数的起算近似值都设为０，平差 迭代计算中相邻两次的限差ｅ一１×１０～。计算效果 及精度都很理想。