函数的幂级数的展开与技巧
初等函数的幂级数展开
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展 开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
第四节函数的幂级数展开简
1.求出f (x)的各阶导数 f (x), f (x),, f (n) (x),,
2.计算 f (x0), f (x0), f (x0),, f (n) (x0),,
3.写出 f (x)在x0 处的泰勒级数
1
n0n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R, R)，
解 由 ex 1 x 1 x2 1 xn , x (,)
2!
n!
将x 换成 x2 可得函数的幂级数展开式.
ex2 1 x2 1 x4 (1)n x2n , x (,)
2!
n!
例 求 f (x) ln x 在 x0 3 处的展开式.
泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 x0的某对称区间 (R x0, R x0)内可以 展开成 (x x0)的幂级数 f (x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n ， 将上式逐阶求导，有
f (x) a1 2a2(x x0) 3a3(x x0)2 nan(x x0)n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3(x x0) n(n 1)an(x x0)n2 ， f (x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an (x x0)n3 ，
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
的充分必要条件是
lim
n
rn
(
x)
0
也即当
lim
n
rn
(
x)
0
时,有
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
,
f (n)(0) (1)n1(n 1)! ,
所以 ln(1 x)的麦克劳林级数是
x x2 x3 x4 (1)n1 xn .
(5)
234
n
用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径 R 1, 且 当 x 1 时收敛, x 1 时发散, 故级数(5)的收敛域 是 (1, 1]. 下面讨论在 (1, 1] 上它的余项的极限. 当 0 x 1 时, 对拉格朗日型余项, 有
x n1 (0
1).
显见
|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
1 O 2
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 1 xn , x (, ).
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2
的幂级数展开式. 解 由于
ck xk
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式幂级数是一种将函数表示为无限多个幂次项相加的方法。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用，例如在微积分、微分方程、信号处理和多项式插值等方面。
幂级数展开式将函数表示为无限多个幂次项的和，其形式通常如下：f(x)=a0+a1*(x-x0)+a2*(x-x0)^2+a3*(x-x0)^3+...其中，f(x)是要展开的函数，a0、a1、a2、a3...是待定系数，x0是展开点。
幂级数展开的思想是通过将函数用展开点处的函数值及其各阶导数表示，来逼近原函数。
根据函数的性质和需求的精确度，可以选择合适的展开点和阶次。
许多函数都可以通过幂级数展开来表示。
例如，正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...指数函数和对数函数的幂级数展开为：exp(x) = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...幂级数展开的优点是可以使用少量的项来近似表示复杂的函数。
通常情况下，越多的项被保留，展开后的函数越接近原函数。
通过截取适当的阶次，可以有效地求解一些无法直接求解的问题。
例如，当需要计算一个不可积的函数的定积分时，可以将该函数展开为幂级数，然后对每一项进行积分，最后得到的幂级数在展开点附近的部分进行积分，从而得到原函数的近似积分值。
幂级数还具有良好的代数性质。
可以对幂级数进行加法、乘法、求导和求积等操作，从而可以将复杂的函数运算简化为对幂级数的操作。
这使得幂级数展开成为一种重要的工具，在许多数学和工程问题的求解中起到关键作用。
总之，幂级数展开是一种将函数表示为无限多个幂次项的和的方法。
函数的幂级数展开公式
函数的幂级数展开公式
（1）函数的幂级数展开介绍
函数的幂级数展开指的是按不断次幂展开一个函数，得到一系列有限
项的展开式。
函数的幂级数展开可以对复杂函数进行简单化，反映函数在
特定点的行为，并且也可以进行解析计算解决一些求积问题，因此函数的
幂级数展开得到了广泛的应用。
（2）基本步骤
（2）然后，在确定函数分解后，需要对每一个因子进行幂级数展开，该展开式的系数可以通过利用积分求得。
（3）最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以
得到函数的幂级数展开式了。
（3）例题
例子：求函数f(x)=e^(3x)-2e^x+1的幂级数展开式
解：根据上面的步骤，我们首先对f(x)进行函数分解
第二步，对每一个因子进行幂级数展开，有：
e^(3x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...
e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...
最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以得到函
数的幂级数展开式了，即
f(x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...+x^2/2+x^3/6+...。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是数学中重要的概念之一，其应用广泛，涵盖了多个领域，包括工程、物理、计算机科学等。
本文将介绍函数的幂级数展开的定义、性质、推导和应用。
一、定义函数的幂级数展开是将一个函数表示成一个无穷级数的形式，即：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + ... +an(x - c)^n + ...其中，a0, a1, a2 ... an 是常数，叫做幂级数的系数，c 是展开点，x 是变量。
二、性质1. 唯一性：如果一个函数在某个点处的幂级数展开式存在，那么它的幂级数展开式唯一。
2. 收敛性：在幂级数的收敛区间内，幂级数展开式收敛，即根据函数的性质可以准确表达函数的值；在展开点之外，则可能发散或发生收敛半径发生变化。
3. 运算性质：幂级数具有良好的运算性质，如加、减、乘、除等运算。
三、推导1. 首先，在幂级数的收敛区间内，函数在展开点 c 处可以通过泰勒公式来展开，即：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)^2 / 2! + ... + f^(n)(c)(x - c)^n / n! + Rn其中，f^(n) 表示函数的 n 阶导数，Rn 是余项。
2. 如果展开点 c = 0，则泰勒公式称为麦克劳林公式。
3. 将幂级数的展开式与麦克劳林公式相比较，可以得到幂级数的系数与函数的导数之间的关系，即：a0 = f(c), a1 = f'(c), a2 = f''(c) / 2! ... an = f^(n)(c) / n!4. 将幂级数的系数代入幂级数的展开式中，即可得到函数的幂级数展开式。
四、应用1. 近似计算：当某些函数难以直接计算时，可以通过幂级数展开对其建立近似计算模型。
例如，将正弦函数展开成其傅里叶级数，可以用来近似计算其值。
2. 函数的求导和积分：对于某些函数，其求导和积分可能更容易计算，此时可以通过对函数的幂级数展开式进行求导和积分，得到原函数的导数和积分的展开式。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数幂级数的展开和应用
函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数是一种将一个函数表示为无限幂级数的方法。
这种展开可以在数学和物理等领域中有广泛的应用。
然而，并不是所有的函数都可以展开成幂级数，需要满足一定的条件。
首先，函数必须在某个区间内具有无穷个可导性。
这意味着函数在这个区间内可以进行无限次的导数运算。
如果函数在某些点上不可导或者导数不连续，那么它就不能展开成幂级数。
其次，函数必须在展开点的邻域内收敛。
展开点是指在该点附近进行幂级数展开的点。
如果函数在展开点的邻域内是发散的或者收敛半径为零，那么它就不能展开成幂级数。
最后，函数必须在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这意味着在展开点的邻域内，函数的展开式是唯一确定的，不存在多种可能性。
如果函数在展开点的邻域内存在多个展开式，那么它就不能展开成幂级数。
需要注意的是，即使函数满足上述条件，它的幂级数展开也不一定能够收敛到原函数本身。
幂级数的收敛性需要根据函数在展开点附近的性质来判断。
总结起来，函数能够展开成幂级数的条件包括：在某个区间内具有无穷个可导性、在展开点的邻域内收敛以及在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这些条件是幂级数展开的基础，通过幂级数展开，可以将复杂的函数表示为简单的无限级数形式，从而方便了对函数的研究和计算。
常见的幂级数展开
常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。
在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。
一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。
泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，\(f(x)\)是要展开的函数，\(a\)是展开点，\(f'(a)\)、\(f''(a)\)等分别表示函数在\(a\)点的一阶、二阶导数。
二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。
麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以\(x\)为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。
三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。
2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。
3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式摘要：1.幂级数的概念2.函数展成幂级数的公式3.常见函数的幂级数展开4.幂级数在数学和物理学中的应用正文：1.幂级数的概念幂级数是指一个函数可以表示为多个幂函数（形如x^n，n 为实数）的和，这些幂函数的系数为实数。
幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。
2.函数展成幂级数的公式一个函数可以展成幂级数的充分必要条件是该函数在区间[0, 1] 上连续，在(0, 1] 上可微，且满足一定的条件。
对于这样的函数f(x)，它的幂级数展开可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +...+ anx^n +...，其中a0, a1, a2,..., an,...为实数，n 为非负整数。
3.常见函数的幂级数展开许多常见的数学函数都可以展开为幂级数。
例如：- 指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! +...+ x^n/n! +...- 对数函数：ln(1+x) = x - x^2/2! + x^3/3! - x^4/4! +...- 三角函数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...，cos(x) = 1 -x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...4.幂级数在数学和物理学中的应用幂级数在数学和物理学中有许多重要应用，如：- 在数值分析中，幂级数可以用来逼近非线性函数，从而求解微分方程、积分等；- 在概率论中，幂级数常用来表示随机变量的概率密度函数；- 在物理学中，幂级数常用来表示势能、动能等物理量，从而求解物理问题。
总之，幂级数是一种重要的数学工具，它在微积分、概率论、物理学等领域有广泛的应用。
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
函数展开成幂级数的·方法
在(1,1)内, 若
(1 x ) s( x )
2 ( 1 ) ( 1)( n 1) n1 2 2 x x x 2! n! s( x )
s( x ) 令 ( x ) , (1 x )
(0) s(0) 1,
(1 x ) s( x ) (1 x ) 1 s( x ) 且 ( x ) (1 x )2 (1 x ) 1[(1 x ) s( x ) s( x )] 0. 2 (1 x )
1 2 n n 2n ( 2) ( x ) ( 1 ) x 2 1 x n 0 n 0
( 1 x 1)
2n
( 3) cos x (sin x ) [ ( 1) n
( x )
n 0
x n x ] ( 1) ( 2n 1)! n 0 ( 2n)!
xn 1 2 1 n ( 3)1 x x x e x 2! n! n 0 n! an1 n! lim lim 0, R . ( x ) n an n ( n 1)!
e x x n 1 (4) Rn ( x ) x e ( n 1)! ( n 1)!
若 lim Rn ( x ) 0, 则( 3)中的幂级数为 f ( x )的展开式.
n
f
( n)
Example 1. 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数. Solution. (1) f ( n) ( x ) e x
级数展开的技巧
级数展开的技巧
展开级数是将一个函数表达式表示成无限项的和的形式。
下面是一些常用的展开级数的技巧：
1. 幂级数展开：将函数表达式表示成幂函数的和。
常见的幂级数展开有泰勒级数和麦克劳林级数。
可以使用函数的导数和求值来确定级数的系数。
2. 三角函数级数展开：将函数表达式表示成三角函数的和。
常见的三角函数级数展开有正弦级数和余弦级数。
可以使用三角函数的性质和欧拉公式来确定级数的系数。
3. 对数级数展开：将函数表达式表示成对数函数的和。
常见的对数级数展开有自然对数级数和常用对数级数。
可以使用对数函数的性质和级数的求和公式来确定级数的系数。
4. 傅里叶级数展开：将函数表达式表示成正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开是将非周期函数展开为正弦和余弦函数的和，可以使用傅里叶级数的定义和性质来确定级数的系数。
5. 求和公式和递推关系：对于一些特定的函数，存在一些特殊的求和公式和递推关系，可以用于将函数表达式展开成级数的形式。
常见的求和公式和递推关系有斐波那契数列和卡特兰数列等。
这些是一些常见的展开级数的技巧，具体的展开方法和技巧会根据具体的函数表达式和求解目标而有所不同。
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1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。
如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。
下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002， 显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ， 由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。
在实际应用上主要讨论在00=x 的展开式。
这时（2）也可以写成()()()()() +++++nn x n f x f x f f !0!20!1002'''，称为麦克劳林级数。
3 函数的幂级数展开与技巧3.1一般的泰勒展开法（直接展开法）我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。
通常有三种展开思路：1、统一用柯西余项来估计余项()n R x ；2、统一用积分余项来估计余项()n R x ；3、柯西余项（或积分余项）结合拉格朗日余项来估计余项()n R x 。
本文采用第二种思路。
例2 求k 次多项式()k k x c x c x c c x f ++++= 2210， ()N k ∈ 的展开式。
解：由于()()!,00,n k n c n k f n k ≤⎧=⎨>⎩总有()0lim =∞→x R n n ，因而()()()()()()''200002!!k k f f f x f f x x x k =++++2012k k c c x c x c x =++++，即多项式函数的幂级数展开就是它本身。
例3 求函数()x e x f =的展开式。
解：因为()()x n e x f =， ()()10=n f () ,2,1=n ，(,)x ∀∈-∞+∞有(1)1()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰0110!!nxn t xxe x dt e n n ≤=-→⎰， ()n →∞； 从而+++++=n x x n x x e !1!21!1112， ()+∞∞-∈,x 。
例4 求函数()x x f sin =的展开式。
解：由于()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x x f n ， ,2,1=n ，(,)x ∀∈-∞+∞有(1)01()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰ 011sin()()!2x n n t x t dt n π+≤+-⎰011!xn x dt n ≤⋅⎰10!n x n +≤→，()n →∞；所以 ()x x f sin =在()+∞∞-, 内能展开为麦克劳林级数：()() +--+++-=-+!121!5!3sin 12153n x x x x x n n ；同样可证（更简单的方法是对上面sin x 的展开式逐项求导）：()() +-+++-=!21!4!21cos 242n xx x x nn 。
例5[]1 求函数()()ln 1f x x =+的展开式。
解：注意到，函数()()ln 1f x x =+ 的各阶导数是()()()()()nn n x n x f +--=-1!111， 从而()()()()1011!n n f n -=--，(1,1)x ∀∈-有(1)01()()()!x n nn R x f t x t dt n +=-⎰ 11(1)!(1)()!n x n n n t x t dt n --=-⋅+-⎰01()11xn x t dt x t -=++⎰；注意到，当[0,]t x ∈或[,0]x 时，1x tt-+不变符号且关于变量t 单调，因此1x t t -+总是在0t =时取最大值nx ，从而1()ln(1)01xnn n R x xdt x x t≤=+→+⎰，()n →∞； 所以f 的麦克劳林级数是()()()234111234ln nn x x x x f x x x n-=+=-+-++-+， (3)用比式判断法容易求得(3)的收敛半径1=R ，且当1=x 时收敛，1-=x 时发散，故级数域(1,1]-。
将(3)式中x 换成1-x 就得到函数 ()ln f x x =在1=x 处的泰勒展开式：()()()()()()23111111123ln n n x x x x x n-----=--+++-+，它的收敛域为(0,2]。
例6 讨论：二项式函数()()1mf x x =+展开式。
解：当m 为正整数时，有二项式定理直接展开得到f 的展开式，这已经在前面例2中讨论过了。
下面讨论m 不等于正整数时的情形，这时：()()()()()111m nn f x m m m n x -=--++，1,2,n =，()()()()011n f m m m n =--+，1,2,n =；于是()x f 的麦克劳林级数是()()()()2111112!!mn m m m m m n x mx x x n ---++=+++++， (4)运用比式判别法可得(4)的收敛半径1=R 。
设*m N ∉（由二项式定理易证*m N ∈的情形），(1,1)x ∀∈-有(1)1()()()!x n n n R x f t x t dt n +=-⎰101(1)()(1)()!xm n n m m m n t x t dt n --=--+-⎰10(1)()()(1)!1xnm m m m n x t t dt n t----=⋅++⎰10(1)()(1)!xnm m m m n x t dt n ---≤⋅+⎰()1(1)()1!mn x m m m n x n m m+--=⋅-0→，()n →∞。
由比式判别法知级数(1)()!n m m m n x n --∑收敛，故通项(1)()!nm m m n xn --趋于0,因此lim ()0n n R x →∞=。
所以，在()1,1-上有 ()()()()2111112!!mn m m m m m n x mx x x n ---++=+++++， (5)对于收敛区间端点的情形，它与m 的取值有关，其结果如下：当1m ≤时，收敛域为()1,1-；当10m -<<时，收敛域为(]1,1-；当0m >时，收敛域为[]1,1-；在(5)式中，令1m =-就得到()()1,1,11112-+-+++-=+ n nx x x x， (6) 当12m =-时，得到(]1,1,65432143212111132-+⨯⨯-⨯+-=+ x x x x。
(7) 例7 以2x 与2x -分别代入(6) (7)得到()()1,1,11112422-+-+++-=+ n nx x x x， (8) (]1,1,6543214*********422-+⨯⨯+⨯++=- x x x x ， (9) 对于(8) (9)分别逐项可积，可得函数x arctan 与x arcsin 的展开式20arctan 1xdt x t =+⎰()252113521n nx x x x n +=-+++-++，[1,1]-，arcsin xx =⎰357113135232452467x x x x =++⋅⋅+⋅⋅⋅()()[]2121!!,1,12!!21n n x x n n +-+++∈-+。
这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的，特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。
3.2 通过变形、转换、利用已知的展开式例8 将函数()()243ln f x x x =++展开式x 的幂级数并指出收敛半径。
分析：将()x f 变为()ln 1x +的形式。
解：因为()()243ln f x x x =++()()1ln 3x x =++()()ln 3ln 1x x =+++()ln 31ln 13x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()ln 3ln 1ln 13x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()113ln 113n nn x n +∞=⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭∑()1111nn n x n ∞+=+-+∑ ()1110113313n 1l n nn n n x n +∞++=+=+-⋅+∑，1R =。
例9 求21x y -=的麦克劳林展开式（至含6x 的项）。
解：由于()()21112!mm m x mx x -+=+++()()11!n m m m nx n --+++，故y =()()()23222111111111(1)(1)(2)22!223!222x x x =+-+--+---+24611112816x x x =---+，因021>=m 故收敛区间为[]1,1-。