浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．C ．D ．sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.sin α=cos α=【详解】解：由三角函数的定义可知，，sin αcos 0α=>故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)yx xααα===≠2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若，而不能推出，0,1a b ==-b >201a b=<=b >2a b >当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >，b >所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.2124162S =⨯⨯=故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．B ．C ．D ．0.5v t =()20.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．20222022-【答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，(2)(0)0f f =-=.(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）()ay x b x c =--A ．，，B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =C ．，，D ．，，a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为()ay x b x c =--{},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>ay x x c=-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，0,0b c >=()ay x b x =-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=因为，所以，即，2=233=23332log 2log 33<=23<a因为，即，，4=2310=232lg 4lg103<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<b 故选：B【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数，若关于的方程（）有三个不()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2123222f x f x f x +++A ． B ．C ．D ．42()22a +2a +【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实()f x t =()()202f x a f x ++=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由123,,x x x ()22220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222tt =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩令，则有两个不等的实数根，，()f x t =()22220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++， ()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++. ()2224244a a =+--+=故选：A二、多选题9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=A ．B 1ab ≤≤C ．D ．222a b +≥212a b+>【答案】ACD【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故D 正确； 312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC【分析】是周期为的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +ma()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.n ()f x π,()g x【详解】设周期为周期为，，()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +ma 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af xb af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单π2=ωπ2ϕ=()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；22T ∴=4T =2π4ω=π2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π2ϕ=-选项B 错误；对于C ，综上或者，()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.12．设函数若存在，使得()()4,,f x x t g x x=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，则t 的值可能是（ ）121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】BCD【分析】根据题意可得，令112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在使得*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4y x x=+(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.13a =-y =【详解】由幂函数，可得，解得，即3y x αα=-31α-=13a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3cos π25θ+=tan θ=【答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；()3cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++解得或，tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．【答案】##37.5752【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，110m 120m 所以，解得，12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩55,65A k ==因为每转一圈，所以，， 30min 2π30T ω==15πω=当时，，所以，所以可取，0=t 10h =sin 1ϕ=-π2ϕ=-所以，ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当时，5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +【答案】[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，1a ≤-()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤12a ≥-同理，当，在上递减，1a ≥()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--12a ≤当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤由此得，的取值范围是.a b +[当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=故答案为:[四、解答题 17．已知.sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，(1)求的值;tan α(2)若，求角.()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.【详解】（1）解：因为，sin cos 3sin cos αααα+=-所以，解得；tan 13tan 1αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，tan 2α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， 22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩解得， sin αα==又，所以，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因()sin αβ-=()cos αβ-==则 ()sin sin βααβ=--==⎡⎤⎣⎦所以.4πβ=18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以，{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数，其中常数．()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间12()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由题设，将函数的图象向左平移个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦要使最小，则，b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，即的最小值为． 30143π6x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，30100x <<， ()180029040f x x x=+->即，2659000x x -+>解得或，20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，（2）当时，030x <≤； ()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-当时，30100x <<； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴； ()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；032.5x <<()g x 当时，单调递增；32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由得； []1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；2a =121x x ==-当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32a >若是原方程的解，当且仅当，即，2x 2110a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。
2020-2021学年浙江省杭州市高一上学期期末模拟数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省杭州市高一上学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D【分析】先根据集合定义求出集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】由题意{1,4,7,10}B =，所以{1,4}A B =，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.3．设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则((1))f f 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，先求(1)f ，再求((1))f f .【详解】因为函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，所以2(1)log 10f ==，所以0((1))(0)410f f f ==-=， 故选：A4．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ）A B ．C ．2D ．2【答案】D【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25a b +≥可求其最小值.【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>，∴252a b +≥=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b+的最小值为2. 故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞) B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围.【详解】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.6．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =的图象A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长 C ．向左平移12π个单位长 D ．向左平移4π个单位长 【答案】A【分析】化简得到sin 3cos312y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，根据平移法则得到答案.【详解】sin 3cos33412y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故3y x =向右平移12π个单位长可以得到sin 3cos3y x x =+的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.7．函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=A ．53B ．52C ．52-D ．53-【答案】B【分析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-.故选B.【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1313,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,3-D ．13,34⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【分析】将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式23||x a x -->等价于22330x a x x ⎧-<-⎨->⎩若不等式至少有一个实数解，则函数()2,33,3x y x ∈-=-与||y x a =-的图象有交点在同一坐标系中，画出函数23y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示当||y x a =-的图象右边部分与23y x =-相切时，23y x a y x =-⎧⎨=-⎩有唯一解，即230x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ∆=---=，解得134a =-当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a = 则实数a 的取值范围是13,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.二、多选题9．下列四个命题：其中不正确命题的是（ ）A ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数B ．若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >C ．当a b c >>时，则有bc ac >成立D ．1y x =+和2(1)y x =+不表示同一个函数 【答案】D【分析】结合单调性的概念，二次函数的图象，不等式的性质和函数的定义判断各选项，错误选项可举反例说明．【详解】A 不正确，如1,0(),0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩满足题意，但在R 上不是增函数；B 不正确，若0a <且280b a -<，()f x 的图象与x 轴也没有交点；C 不正确，若5,2,0a b c ===满足a b c >>，但bc ac =；D 正确，2(1)1y x x =+=+，值域为[0,)+∞，1y x =+值域是R ，不是同一函数． 故选：D ．10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项． 【详解】0a =时，()1f x =，图象为B ，若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->． 因此不妨设0a >，1a >，则22T aππ=<，max ()2f x >，图象可能为D ，若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <，图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论． 11．如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系()sin 2y A x ωϕ=++（0A >），则有（ ）A ．152ωπ=B ．A =3C ．215πω=D ．A =5【答案】BC【分析】根据()sin()f x A x k ωϕ=++的性质结合正弦函数的性质判断． 【详解】由已知水轮上的点P 到水面最大距离为2r +， 因为()sin 2y A x ωϕ=++的最大值为2A +， 所以3A r ==，又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，4226015ππω⨯==． 故选：BC12．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项.【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2，∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.三、填空题13．已知()2tan 3πα-=-，则()()()cos 3sin cos 9sin απαπαα-++-+的值为_____________.【答案】15-【分析】根据诱导公式化简已知与待求式，待求式分子分母同除以cos α即可求解.【详解】()2tan 3πα-=-,2tan 3α∴=,()()()cos 3sin cos 3sin 13tan 121cos 9sin cos 9sin 19tan 165απααααπααααα-++---∴====--+-+-+-+故答案为：15-【点睛】本题主要考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.14．若函数221()f x x x =+与2()(,)ax bx ag x a b R x++=∈的图像有交点，则222a b +的最小值为_________. 【答案】43【分析】将问题转化为方程()()f x g x =有解,即21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解,设()12x t t x+=≥,则220t at b ---=,令c =,则220t b --=,再将关于t的方程220t b --=看成关于,c b的直线方程220b t -+-=,则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方,进而求解即可【详解】由题,令()()f x g x =,所以2221ax bx ax x x+++=,即22210ax bx ax x x+++-=,所以方程21120x a x b x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解,设()12x t t x+=≥,则220t at b ---=,令c =,则a =,所以220t b --=, 则22222a b c b +=+, 将关于t的方程220t b --=看成关于,c b的直线方程220b t -+-=, 则22c b +可视为直线上的点(),c b 到原点的距离的平方, 其最小值即为原点到直线的距离的平方, 所以()()222222223222161601212t d t t t ⎛⎫-===++-≥=++,当且仅当22t =时等号成立,因为2t ≥,所以当24t =时能取得最小值,此时243d =, 所以222a b +的最小值为43故答案为:43【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查转换主元的思想,考查数形结合思想,将关于t 的方程看成关于,c b 的直线方程是解题关键15．已知a >0，b >0，若469log log log ()a b a b ==+，则ba=________.【答案】12【分析】设469log log log ()a b a b m ==+=，可得2b a b a+=，构造方程即可求b a .【详解】设469log log log ()a b a b m ==+=，则4,6,9m m ma b a b ==+=，∴22366944m m mm m b a b a+====，∴整理得2()10a abb+-=，又a >0，b >0，∴b a =，， 【点睛】关键点点睛：利用指对数的互化，结合已知条件构造方程求解. 16．设常数a R ∈，则方程1xx a e +⋅=的解的个数组成的集合是A =_______. 【答案】{}1,2,3【分析】根据条件可知||1x x a e +=即1||xx a e +=，利用数形结合思想画出1()x e 与||x a +的图象，由交点个数即可求出答案．【详解】由题意得：11xx x a e x a e +⋅=⇔+=，设()1xf x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象，如图所示：所以方程解的个数可能为1个或2个或3个. 故答案为：{}1,2,3.【点睛】本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折． 17．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的所有可能取值组成的集合为___________. 【答案】{}1,3,5,9【分析】先根据正弦函数的零点以及对称轴，判断ω为奇数，又由()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得()12182k k ππππωϕπ∴+≤⋅+<++且()5++1,2362k k k Z ππππωϕπ<⋅+≤+∈，由此求得ω的范围，检验范围内的每一个奇数即可.【详解】解：函数数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，,4n n Z πωϕπ⎛⎫∴-+=∈ ⎪⎝⎭且,42n n Z ππωϕπ''⋅+=+∈，相减可得(),222n n k k Z πππωππ'⋅=-+=+∈，即21k ω=+，即ω为奇数， 又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()12182k k ππππωϕπ∴+≤⋅+<++①且()5++1,2362k k k Z ππππωϕπ<⋅+≤+∈②， 由①②可得3,1236ωππω≤∴≤，故奇数ω的最大值为11， 当11ω=时，11,,||,424k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 114f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意； 当9ω=时，,,||,4492k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin 9+4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；当7ω=时，,,||,4274k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 74f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意； 当5ω=时，,,||,4452k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin 5+4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，满足题意； 当3ω=时，,,||,4234k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=-，此时()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，满足题意； 当1ω=时，,,||,4412k k Z πππϕπϕϕ-+=∈≤∴=，此时()sin +4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，满足题意；则ω的所有可能取值组成的集合为{}1,3,5,9. 故答案为：{}1,3,5,9.【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质，关键要求出ω的范围，并且要对范围内的数值进行检验，计算量较大，难度较大.四、解答题18．已知函数2()2cos 1f x x =-，x ∈R .（1）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求函数f (x ) 的最小正周期； （3）设()24g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求g (x ) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）12；（2）π；（3）[2]； 【分析】（1）由二倍角公式得()cos 2f x x =，代入即可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由（1）所得三角函数式即可求f (x ) 的最小正周期； （3）由已知有()2sin(2)3g x x π=+，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有42333x πππ≤+≤即可求值域. 【详解】（1）2()2cos 1cos 2f x x x =-= ∴1cos 632f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭； （2）由（1）知：22||2T πππω===； （3）由题意：()cos(2)2sin 222sin(2)23g x x x x x x ππ=-=+=+，∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有42333x πππ≤+≤ ，所以()g x值域为[2]. 19．某厂每年生产某种产品x 万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本220,025()160041200,25x x x k x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+->⎪⎩，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.（1）设年利润为()f x （万元），试求()f x 与x 的关系式；（2）年产量x 为多少万件时，该厂所获利润()f x 最大？并求出最大利润.【答案】（1）22020,025()1600180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．【分析】（1）由销售收入减去成本可得利润； （2）分段求出()f x 的最大值，然后比较可得．【详解】（1）由题意22020,025()40()201600180,25x x x f x x k x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨--+>⎪⎩； 即22020,025()1600180,25x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩； （2）025x <≤时，22()2020(10)80f x x x x =-+-=--+，10x =时，max ()80f x =，当25x >时，1600()()180f x x x=-++在(25,40]是递增，在[40,)+∞上递减， 40x =时max ()100f x =，综上，产量40x =（万件）时，该厂所获利润()f x 最大为100万元．【点睛】本题考查函数模型的应用，根据所给函数模型求出函数解析式，然后由分段函数性质分段求出最大值，比较后得出函数 最大值．考查学生的应用能力． 20．已知函数21()log 1x f x x -=+,()31g x ax a =+-,()()()h x f x g x =+. (1)当1a =时,判断函数()h x 在(1,)+∞上的单调性及零点个数;(2)若关于x 的方程2()log ()f x g x =有两个不相等实数根,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)在(1,)+∞上为增函数,一个;(2)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）当1a =时，分别判断出()f x 和()g x 在()1,+∞上的单调性，由此判断出()h x 在()1,+∞上的单调性.利用零点存在性定理，判断出()h x 在区间()1,+∞上的零点个数.（2）化简方程2()log ()f x g x =，分离出常数a ，结合二次函数的性质，求得a 的取值范围. 【详解】由101x x ->+，解得1x <-或1x >. （1）由于2212()log log 111x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由于211y x =-+在()1,+∞上递增，根据复合函数单调性可知，()f x 在()1,+∞上递增，当1a =时，()3g x x =在()1,+∞上递增，所以()h x 在()1,+∞上递增.由于()()221.1 3.3log 210,26log 30h h =-<=->，()()1.120h h ⋅<，所以()h x 在区间()1,+∞上有1个零点.（2）方程2()log ()f x g x =可化为()221log log 311x ax a x -=+-+，即1311x ax a x -=+-+，化简得()()2311x x a-=-+，（1x <-或1x >），画出()()311y x x =-+（1x <-或1x >）的图像如下图所示，要使()()2311x x a-=-+有两个解，则需24a ->，解得102a -<<.所以实数a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查根据方程解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（II ）若006(),[,]542f x x ππ=∈,求0cos2x 的值. 【答案】（1）周期为π，最大值为2，最小值为-1 （2）34310- 【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再利用周期2T πω=可得最小正周期,由0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦找出26x π+对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以 又所以由函数图像知.（2）解：由题意而 所以所以所以 =.【解析】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式22．定义在[]4,4-上的奇函数()f x ，已知当[]4,0x ∈-时，()()143x xa R f ax =+∈．（1）求()f x 在[]0,4上的解析式； （2）若[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34xxf x =-；（2）17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由已知可得()00=f ，求出1a =-，从而可得[]4,0x ∈-时，()1143=-x x f x ，当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，则有()114343---=-=-x xx xf x ，再结合奇函数的可求得结果；（2）由()1123x x m f x -≤-，可化为1121222323x xx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用其单调性求出()g x 在[]2,1x ∈--的最大值即可【详解】（1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x xaf x =+，所以()0010043=+=a f ，解得1a =-，所以[]4,0x ∈-时，()1143=-x x f x ． 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，所以()114343---=-=-x x x x f x ， 又()()f x f x -=-，所以()43xxf x -=-，()34xxf x =-， 所以()f x 在[]0,4上的解析式为()34xxf x =-．（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143=-x xf x ， 所以()1123x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-， 整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数．因为[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立，等价于()m g x ≥在[]2,1x ∈--上恒成立， 所以，只需()()max 91724242m g x g ≥=-=+⨯=， 所以实数m 的取值范围是17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题23．如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .（1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值. 【答案】（1）①2233302y x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.②23sin cos 303y πθθθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭；（2）选择②6πθ=3. 【分析】（1）①根据PN ＝QM =x 3，圆心角为60°，分别求得tan 60QMOM =，23ON x =-MN 求解；②根据∠POB ＝θ，结合半径为360°，求得3,3PN ON θθ==，再由tan 60PNOM =，进而得到MN 求解.（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化3326y πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用直线函数的性质求解. 【详解】（1）①因为PN ＝QM =x ， 所以3tan 60QM OM x ==，而ON =所以MN ON OM x =-=，所以2y x =. 因为点P 在扇形的弧上，所以30602x <<=，所以2302y x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ②因为∠POB ＝θ，所以,PN ON θθ==，而sin tan 60PNOM θ==，所以sin MN ON OM θθ=-=-，所以)sin y θθθ=-.因为点P 在扇形的弧上， 所以π0θ3，所以)2sin 3sin cos 03y πθθθθθθθ⎛⎫=-=-<< ⎪⎝⎭.（2）选择②233sin cos sin 22y θθθθ==3sin 222θθ=+，26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0θ3，所以52666πππθ<+<，当6πθ=时，函数取得最大值2. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷(共五套)
2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ）A ．20B ．40C ．60D ．807．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂= 故选：B2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b <<+故选：C.6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立，而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b aa b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立；综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x ()g x 的零点个数为2． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)(sin 2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++222(3)1(3)1(3)⨯--+-==+-． 14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--； （2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=，又02πβ<<，∴3πβ=.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k Z ∈.（2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x x a aa a ----=⋅+⋅++，整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x x f x -==-++，由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>，又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数，所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈，整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-， 综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.函数的单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ．6．已知，，则等于（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan αA.B. 或C.或 D.7．设sin 5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35± B ．35C ．35D ．以上都不对10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为34-34-43-344335()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<___________．14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的单调递增区间. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式；（2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5【答案】A 【解析】2(3)3359351f =--=--=，1(1)121f =-=-，即()3(1)1f f f ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3x x<，即23log log x x <，B 正确；13x =时，13112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错； 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误． 故选：B ．4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，15()cos 215xxf x x -=-⋅+， 15()cos(2)15x xf x x ---∴-=-⋅-=+51cos 2()51x x x f x --⋅=-+，则函数()f x 为奇函数，排除AC ；又33152cos 03315f ππππ-⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭+，排除B. 故选：D. 5.函数的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增， 故选：A6．已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或D.【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，，∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：． 故选：A ． 7．设sin5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞20x ->2x <2t x =-2t x =-(,2)-∞12log y t =(0,)+∞12()log (2)f x x =-(,2)-∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan α34-34-43-3443352παπ<<1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα=-<sin 0α<cos 0α>22sin cos 1αα+=221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭4cos 5α=35-143sin 555α=-=-3tan 4α=-A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c a b <<. 故选：C.8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即. 本题选择C 选项.9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对【答案】A()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<【解析】α在第二象限内，sin 0α∴>，cos 0α<， 由225sinsin 240αα+-=得：()()25sin 24sin 10αα-+=，解得：24sin 25α=，7cos 25α∴==-，即272cos 1225α-=-，29cos 225α∴=， α在第二象限内，2α∴为第一或第三象限角，3cos25α∴=±. 故选：A .10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】函数()()()()221sin 1sin 2cos cos 2cos cos 11f x x x x x x x =-++=+=+-，()()()()22cos 2cos cos 2cos x x f x f x x x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，①正确； 令cos t x =在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，()()22211y f t t t t ==+=+-在[]1,1t ∈-上递增，根据复合函数单调性可知()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，②正确；()()211y f t t ==+-，[]1,1t ∈-，则1t =-时，最小值为-1，1t =时，最大值为3，④正确；令()()2110f t t =+-=得0t =或2t =-（舍去），即cos 0t x ==，则2()2x k k Z ππ=+∈，()f x 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数()()3,0,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34 725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725.15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ；图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入，得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】 【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====， 所以66612log 2log 3log (23)1a b +=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：1.17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤≤综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a【答案】（1）；（2）． 【解析】对于命题，所以，解得， 对于命题因为，所以解得， （1）当时，因为和均为真命题，所以，解得，故的取值范围为； （2）因为是的充分不必要条件，所以 ，即，解得，故的取值范围为.结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和. 【解析】（1）当时，，，[2,3)[2,)+∞:p 1<20log (1)1x ≤-<23x ≤<:q 2221x x a -<-22210x x a -+-<11a x a -<<+2a =:13q x -<<p q 2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩23x ≤<x [2,3)p q [2,3)(1,1)a a -+1213a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥a [2,)+∞p q q p p q p q p q p q p q q p ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π4⎡⎤-⎣⎦70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦583,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 332x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.令，，解得，，函数的单调递增区间为. 又，故所求单调递增区间为和. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，函数，令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，可得， 因为，可得，所以， ()[f x ∴∈-()f x 12π4sin 31212f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()4sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭32222122k x k πππππ-+-+k ∈Z 5474183183k k xππππ-++k ∈Z ∴()g x 5474,()183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z [0,2]x π70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈410()2sin cos 2f x x x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222,232k x k k ππ-+π≤+≤+π∈Z 5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈()035f x =0π3sin 235x 0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式； （2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）是定义在上的奇函数，且当时，，，解得，当时，. 则当时，，， ，. （2）由（1）知，当时，， 可化为， 整理得.令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数. ，又关于x 的方程在上有解，故实数m 的取值范围是.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00cos 2cos sin 2sin 3333x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43xxf x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23xxf x m --=⋅+[2,1]--11()34x x f x =-[3,0)x ∈-17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅00(0)4310f a a ∴=+⋅=+=1a =-[0,3]x ∈()43xxf x =-[3,0)x ∈-(0,3]x -∈11()43()43x x x x f x f x --∴-=-=-=-11()34x xf x ∴=-[3,0)x ∈-[2,1]x ∈--11()34x xf x =-1()23x x f x m --∴=⋅+1112334x xx xm ---=⋅+12223xxm ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x [2,1]--17()52g x ∴-≤≤-1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0． 【解析】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等式可得：或；当时，不等式可化为，显然恒成立，所以解集为； 当时，解不等式可得：或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当或时，是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以；当时，． 综上，的最小值为0．2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =()()f x g x ≥()22240x a x a +--≥()()220x x a +-≥1a <-2x a ≤2x ≥-1a =-()220x +≥R 1a >-2x -≤2x a ≥1a <-(][),22,a -∞⋃-+∞1a =-R 1a >-(][),22,a -∞-⋃+∞()(][)()22,,22,24,2,2x x x a H x ax a x a ⎧+∈-∞-⋃+∞⎪=⎨+∈-⎪⎩2x -≤2x a ≥()22H x x x =+1x =-()22H x x x =+(],2-∞-[)2,a +∞()20H -=()()2244410H a a a a a =+=+>()min 0H x =22x a -<<()()24220H x ax a a x =+=+>()H x项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．4．设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<5．已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．50-B．50C．50-D．506．函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.12．设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示） 13．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．14．设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.16．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．()22xx af x =-()1()f x ()2()0,x ∈+∞()24x f x m ->⋅+19．已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.20．已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数. 则，即 ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()f x ()()22f f =-()f x (]1-∞-，()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭。
浙江省学军中学2020届高三数学上学期期末模拟试卷 数学
学军中学2019-2020学年第一学期期末模拟考试高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题）1. 设全集U =R ，集合M ={x |x ＞1}，P ={x |x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ）A.B. C. D.2. 设纯虚数z 满足=1+ai （其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ）A. 1B.C. 2D.3. 若x 、y 满足约束条件，则 的取值范围是A. B. C. D.4. 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要的条件是（ ）A.B. C. D.5. 函数y =的图象大致是（ ）A.B.C.D.6. 已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A. ,0是 的一个周期B. ,1是 的一个周期C. ,1是 的一个周期D. , 的最小正周期不存在7.若关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.8.若O是△ABC垂心，且，则m=（）A. B. C. D.9.已知二次函数f（x）=ax2+bx（|b|≤2|a|），定义f1（x）=max{f（t）|-1≤t≤x≤1}，f2（x）=min{f（t）|-1≤t≤x≤1}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者，min{a，b}表示a，b中的较小者，下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10.已知数列{a n}满足，，若，设数列{b n}的前项和为S n，则使得|S2019-k|最小的整数k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题）11.（1-2x）5展开式中x3的系数为______；所有项的系数和为______．12.等比数列{a n}中，，，则=______，a1a2a3a4=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则C=______；若，△ABC的面积为，则a+b=______．14.已知函数，则=______，若函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，则k的取值范围是______．15.已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，则x+y+xy的最小值为______．16.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为______．17.当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2恒成立，则7a+b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数f（x）=2sin x cos（x+）+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值及最小值．19.已知在△ABC中，|AB|=1，|AC|=2．（Ⅰ）若BAC的平分线与边BC交于点D，求；（Ⅱ）若点E为BC的中点，求的最小值．20.已知正项等差数列{a n}满足：，其中S n是数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，证明：．21.设函数f（x）=e x-ax+a，a∈R，其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：＜．已知函数f（x）=ln x-ax2-bx-2，a∈R．（Ⅰ）当b=2时，试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意的∈，，方程f（x）=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C解：∵全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜-1}，∴M P=P，M∩P=M．故选：C．先分别求出集合M，P，利用交集和并集的定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A解：由=1+ai，得z=，由z为纯虚数，得，即a=1．故选：A．3.【答案】D解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．4.【答案】B【解答】解：a＞b+1是a＞b的充分不必要的条件；a＞b-1是a＞b的必要不充分条件；|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件；2a＞2b是a＞b的充要条件.故选：B．5.【答案】D解：当x＞0时，y=x lnx，y′=1+ln x，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．6.【答案】B解：若x为有理数，D（D（x））=D（1）=1，若x为无理数，D（D（x））=D（0）=1，综上D（D（x））=1，排除C，D．根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，若x为有理数，D（x+1））=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），若x为无理数，D（x+1））=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），综上D（x+1）=D（x），即1是函数D（x）的一个周期，故选：B．7.【答案】C解：∵|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|≥|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，∴关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解等价于|2t+1|≥3t，∴ 或，t＜0，解得t≤1．．故选：C．先求f（x）的最小值，然后把关于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|＜3t无解转化为|2t+1|≥3t，解不等式可得．8.【答案】D解：在△ABC中，sin B sin C≠0，由，得+=2m•，连接CO并延长交AB于D，∵O是△ABC垂心，∴CD⊥AB，=+∴+=2m•（+），两端同乘以得•+•=2m•（+）•，∴•c2+•bc•cos A=2m••=2m•||•c•cos0°=2m•b cos A•c∵A=∴•c2+•bc•=bcm，由正弦定理化为•sin2C+•sin B sin C•=m•sin B sin C，∴cos C sinC+cos B sin C=m•sin B sin C，又sin C≠0，约去sin C，得cos C+cos B=m•sin B，∵C=π-A-B=-B，∴cos C=cos（-B）=-cos B+sin B，代入上式，得∴sin B=m•sin B，又sin B≠0，约去sin B，∴m=．故选：D．9.【答案】C解：对于A，若f1（-1）=f1（1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f（-1）＞f（1）或f（-1）=f（1）．故A错误；对于B，若f2（-1）=f2（1），则f（-1）是f（x）在[-1，1]上的最小值，∴f（-1）＜f（1）或f（-1）=f（1），故B错误；对于C，若f2（1）=f1（-1），则f（-1）为f（x）在[-1，1]上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在[-1，1]上的最大值，∴f1（-1）＜f1（1）．故C正确；对于D，若f2（1）=f1（-1），由新定义可得f1（-1）≥f2（-1），则f2（1）≥f2（-1），故D错误．故选：C．由新定义可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在[-1，1]上的最大值为f1（1），最小值为f2（1），即可判断A，B，D错误，C正确．10.【答案】C解：a n+1-a n=≥0，a1=-，等号不成立，可得a n+1＞a n，∴数列{a n}是递增数列．∵数列{a n}满足，，∴==-，∴b n==-∴数列{b n}的前项和为S n=-+-+……+-=2-．则使得|S2019-k|=|2--k|使得|S2019-k|最小的整数k的值为2．故选：C．a n+1-a n=≥0，可得数列{a n}是递增数列．数列{a n}满足，，可得==-，b n==-进而得出结论．11.【答案】-80 -1解：根据题意得，（1-2x）5展开式的通项为T r+1=（-2x）r=（-2）r x r令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有项的系数和为（1-2）5=-1故答案为-80，-112.【答案】解：∵等比数列{a n}中，，，∴q==，∴===（）6=，a1a2a3a4==（）4（）6=4×=．故答案为：，．推导出q==，由等比数列的通项公式得==，a1a2a3a4=，由此能求出结果．13.【答案】7解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，∴由正弦定理可得，解得，，∴，解得ab=6，∵，cos C=，∴，解得a=1，b=6或a=6，b=1，∴a+b=7．故答案为：，7．14.【答案】[0，+∞）【解析】解：根据题意，函数，则f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，∴当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0．函数g（x）=f（x）-k有无穷多个零点，即函数y=f（x）与函数y=k有无穷多个交点，则k≥0．故答案为：6-8；[0，+∞）．由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根据由f（x）=2x+2-x-2≥0，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函数，当x＜0时，可得f（x）=2f（x+1），可知周期为1，函数值随x的减小而增大，且f（x）min≥0，零点问题转化为交点问题，即可求解．15.【答案】解：已知x，y∈R且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy≥2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令∈，，则xy=t2-1，，故当时x+y+xy的最小值为，故答案为：．16.【答案】10解：∵，设与的夹角为θ，∴===，∴cosθ=-1时，取得最大值10．故答案为：10．根据，可设与的夹角为θ，根据=进行数列的运算即可得出，从而可求出的最大值．17.【答案】[-4，8]解：当x∈[1，4]时，不等式可化为，若a=0，则0≤b≤4，故7a+b∈[0，4]；若a＞0，y=，y'=a-=a（1-）=a，当x∈[1，2]，y递减，x∈[2，4]，y递增，可得x=1，y最大值为5a，x=2，y最小3a，故3a+b≥0，5a+b≤4，7a+b═-（3a+b）+2（5a+b）≤8，若a＜0，由上知，5a+b≥0，3a+b≤4，由7a+b═-（3a+b）+2（5a+b≥-4，综上，7a+b∈[-4，8]．故答案为：[-4，8]．当x∈[1，4]时，不等式可化为，分三种情况讨论，根据3a+b，5a+b的范围，确定7a+b范围．考查不等式恒成立问题，函数最值计算，线性规划解不等式，中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin x cos（x+）+=2sin x•（cos x-sin x）+=sin x cosx-sin2x+ =sin2x-•+=sin（2x+）．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为1；当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-．19.【答案】解：（1）AD为BAC的平分线，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三点共线，，所以==．（2）由E为BC的中点，，由平行四边形对角线的性质，所以=，所以由柯西不等式（）（）≥（2+1）2=9，当且仅当时，取等号，故的最小值为．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，数列{a n}为正项等差数列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以数列{a n}的公差d=2-1=1，所以a n=1+（n-1）×1=n；（Ⅱ）证明：=（-1）n-1-（-1）n，∴b1+b2+b3+……+b n=（1+）+（--）+（+）+……+（（-1）n-1-（-1）n，）=1-≤1+=，命题得证．21.【答案】解：（1）∵f（x）=e x-ax+a，∴f'（x）=e x-a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=ln a，当f'（x）＜0时，x＜ln a，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞ln a，f（x）是单调增函数，于是当x=ln a时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（ln a）=a（2-ln a）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜ln a，f（1）=e＞0，存在3ln a＞ln a，f（3ln a）=a3-3a lna+a＞a3-3a2+a＞0，又由f（x）在（-∞，ln a）及（ln a，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）∵ ，∴两式相减得a=，记=s（s＞0），则f′（）=-=[2s-（es-e-s）]，设g（s）=2s-（e s-e-s），则g'（s）=2-（e s+e-s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x-a是单调增函数，且＞，∴f′（）＜0．22.【答案】解：（Ⅰ）当b=2时，f′（x）=-2ax-2=，x＞0，（1）当a＞0，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（2）当a=0时，令f′（x）=0，解得x=，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（3）当-＜a＜0，令f′（x）=0，解得x=或x=∴当0＜x＜，或x＞时，f′（x）＞0，当＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减，（4）a≤-，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）问题等价于=ax+b有两解令g（x）=，x＞0有g′（x）=，x＞0，令g′（x）=0，解得x=e3，当0＜x＜e3，g′（x）＞0，当x＞e3，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，e3）上单调递增，在（e3，+∞）上单调递减，当x→-∞时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，∵g（e2）=0，∴由图象可知a＞0时，过（0，-）作切线时，斜率a最大，设切点为（x0，y0），则有y=•x+，∴=-，∴x0=e，此时斜率a取最大值，故a的取值范围为（0，]．。
2020-2021杭州市高一数学上期末试卷附答案
【详解】
因为当 x≤0 时，f(x)＝ x a 2 ，f(0)是 f(x)的最小值，
所以 a≥0.当 x＞0 时， f (x) x 1 a 2 a ，当且仅当 x＝1 时取“＝”． x
要满足 f(0)是 f(x)的最小值，
需 2 a f (0) a2 ，即 a2 a 2 0 ，解得 1 a 2， 所以 a 的取值范围是 0 a 2 ，
先根据 y f x 2 在0, 2是单调减函数，转化出 y f x 的一个单调区间，再结合偶
函数关于 y 轴对称得 0，2 上的单调性，结合函数图像即可求得答案
【详解】
y f x 2 在0,2是单调减函数，
令 t x 2 ，则 t 2，0 ，即 f t 在2，0 上是减函数
y f x 在2，0 上是减函数
A． y x2 C． y 2x
B．
y
1 x2 1
D． y lgx 1(x 0)
7．已知函数 y f (x) 是偶函数， y f (x 2) 在[0,2] 是单调减函数，则（ ）
A． f (1) f (2) f (0) C． f (0) f (1) f (2)
B． f (1) f (0) f (2) D． f (2) f (1) f (0)
解析：D 【解析】
【分析】
由分段函数可得当 x 0 时， f (0) a2 ，由于 f (0) 是 f (x) 的最小值，则 (, 0] 为减函
数，即有 a 0 ，当 x 0 时， f (x) x 1 a 在 x 1 时取得最小值 2 a ，则有 x
a2 a 2 ，解不等式可得 a 的取值范围.
故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性 质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】B【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论. 【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞， 图象表示集合为()U A B ⋂，()U,3A =-∞，()()U 2,3A B ⋂=-.故选：B2．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.3．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13 C ．-3D ．3【答案】A 【分析】将3πα+看成124ππα++，利用两角和的正切公式可求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan112431tan tan124ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 4．函数1()(2f x = ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．12⎤⎥⎝⎦C．12⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求出给定函数的定义域，再结合指数型复合函数单调性求解作答. 【详解】依题意，210x x -++≥x ≤≤，即()f x定义域为，令u，则函数u在1]2上单调递增，在1[2上单调递减，而函数1()2u y =在R 上单调递减，因此，()f x在1]2上单调递减，在1[2上单调递增，所以函数1()(2f x =1[2.故选：C5．已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是（ ） A ．12π- B ．1π- C ．12π+ D ．1π+【答案】A【分析】逐项验证()g x 是否等于()g x --可得答案. 【详解】当12m π-=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π-个单位后得到()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭，故A 正确；当1m π=-时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π-个单位后得到()()()()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣，故B 错误； 当12m π+=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π+个单位后得到()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦，故C 错误；当1m π=+时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π+个单位后得到()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣，故D 错误； 故选：A.6．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的13，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为()0k k >，通过x 块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则()*0.9x y k x N =⋅∈，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】由题意得30.9(0)x kk k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得30.9(0)xkk k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，因为lg 0.90<，所以11130.477310.37lg 0.92lg310.046g g x -->=≈≈--，则至少通过11块玻璃. 故选：C.7．已知函数()()3cos 2>0,<2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π，若,1216x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()2f x ≥恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,46ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π【答案】A【解析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得ω值，再由不等式恒成立得ϕ的范围．【详解】由题意()f x 的最大值是5，所以由()f x 的图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π知2T π=，242πωπ==．即()3cos(4)2f x x ϕ=++，()2f x 即cos(4)0x ϕ+<，,1216x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,34x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为2πϕ<，所以36ππϕ-+<，44ππϕ+>-，所以3242ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得64ππϕ-≤≤．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如4ω=，而ϕ的求法有两种：（1）由x 的范围，求出4x ϕ+的范围，并根据ϕ的范围得出3πϕ-和4πϕ+的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出()2f x ≥时，x 的范围，再由已知区间,1216ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是这个范围的子集，得出结论．8．已知函数22ln(1),1()ln(45),1x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，若关于x 的不等式()()1f x f ax <+的解集中有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2112,)(,3223⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦B ．111,,122⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．11(,)22-D ．22(,)33-【答案】A【分析】首先由解析式得(1)(1)f t f t +=-，得出()f x 关于1x =对称，再得出()()2ln 1f x x =+在[)1,+∞上单调递增，将原不等式转化为111x ax -<+-，然后对||a 分||0a =，||1a >，01a <≤讨论，解不等式即可.【详解】当0t >时，()22(1)ln (1)1ln 22f t t t t ⎡⎤+=++=++⎣⎦()22(1)ln (1)4(1)5ln 22f t t t t t ⎡⎤-=---+=++⎣⎦， 则(1)(1)f t f t +=-，即()f x 关于1x =对称又当1≥x 时，()ln f x t =在定义域上单调递增，21t x =+在[)1,+∞上单调递增，故()()2ln 1f x x =+在[)1,+∞上单调递增，所以由()()1f x f ax <+得111x ax -<+-， 即1x ax -<，当||0a =时，不等式无解；当||1a >时，1x ax -<即为()221210a x x -+->，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；若||1a =，则1x ax -<即为210x ，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去； 当01a <<，且0x ≠时，1x a x -<， 得1x a a x--<<，1111x a a <<+-， 显然当1x =满足此式，0x =不满足此式， 得2x =满足此式，3x =不满足此式， 1231a∴<≤-， 解得2112,)(,3223a ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦故选：A. 二、多选题9．已知,0a b >，21a b +=.则下列选项一定正确的是（ ）A b ≤B ．12C ．2+a b 的最大值为2D ．2149a b+≥【答案】ABD【分析】根据给定条件利用均值不等式、二次函数性质逐项分析即可判断作答.【详解】因,0a b >，21a b +=，则1b a =<<，b ==≤即1,22a b ==时取“=”，A 正确；因,0a b >，21a b +=，则22()122a b b a +≤=，当且仅当22a b ==时取“=”，即b a 的最大值为12，B 正确；因,0a b >，21a b +=，则2(01)1b b a =<<-，22212(1)22a b b b b +=-+=--+<，C 不正确；因,0a b >，21a b +=，则2222222141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当224b a a b=，即2223b a ==时取“=”，D 正确.故选：ABD10．已知函数()(sin cos )|sin cos |f x x x x x =+⋅-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．若()()122f x f x +=.则12(Z)2k x x k π+=∈ C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．()y f x =的对称轴是(Z)4x k k ππ=+∈【答案】BD【分析】把函数()f x 化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】依题意，3cos 2,2244()(Z)5cos 2,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，函数()f x 部分图象如图，函数()f x 是周期函数，周期为2π，而()[sin()cos()]|sin()cos()|()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=-，即π不是()f x 的周期，A 不正确；因()11f x ≤且()21f x ≤，则当()()122f x f x +=时，1|cos 2|1x =且2|cos 2|1x =， 则112k x π=且222k x π=，12,Z k k ∈，因此，1212()22k k k x x ππ++==，12Z k k k +=∈，B正确；观察图象知，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，事实上，(0)10()4f f π=>=，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，C 不正确； 观察图象知，4x π=，34x π=-是函数()y f x =图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x πππππ-=-+-⋅---=，即()y f x =图象关于4x π=对称，同理有()y f x =图象关于34x π=-对称，而函数()f x 的周期是2π，所以函数()y f x =图象对称轴,Z 4x k k ππ=+∈，D 正确.故选：BD【点睛】结论点睛：存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题11．如图，扇形AOB 的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______.【答案】2【分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论． 【详解】设半径为R ，则26R R +=，2R =，所以弧长为2l R ==，面积为1122222S lR ==⨯⨯=．故答案为：2．12．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕ=+>>≤≤π的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是___________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】根据给定函数图象借助“五点法”作图方法，依次计算即可求解作答. 【详解】观察图象知，2A =，令函数()f x 的周期为T ，则()2362T πππ=--=，解得T π=，22Tπω==， 而()06f π-=，于是得22,Z 6k k πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，即2,Z 3k k πϕπ=+∈，又0ϕπ≤≤，则0,3k πϕ==，所以()f x 的解析式是()2sin(2)3f x x π=+.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+13．已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤的解集为___________.【答案】(,0]-∞【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤化为：121x x ≤⎧⎨≤⎩或211x x >⎧⎨≤⎩，解121x x ≤⎧⎨≤⎩得：0x ≤，解211x x >⎧⎨≤⎩，无解，于是得0x ≤，所以不等式()1f x ≤的解集为(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞14．如图，在单位圆中，(1,0)P ，M ､N 分别在单位圆的第一､二象限内运动，若23PON S =△MON △为等边三角形，则sin POM ∠=___________.【答案】53145314【分析】先根据三角形面积公式求出sin PON ∠，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】由题意，111sin sin 2723437PON PON P S ON =⨯⨯⨯∠∠=⇒=△，而点N 在第二象限，所以24317c s 7o 1PON ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∠=--，因为3MON π∠=，所以134311353sin sin sin cos 322727214POM PON PON PON π⎛⎫∠=∠-=∠⨯-∠⨯=⨯+⨯=⎪⎝⎭.故答案为：5314. 15．如图，一块边长为1的正方形区域ABCD ，在A 处有一个可转动的探照灯，其照射角MAN ∠始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD 内部区域（阴影部分）的面积为S ．若设BAM α∠=，π0,4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则S 的最大值为______．【答案】22【分析】利用 ABCD ABMADNS S SS=--，推出探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S ，利用基本不等式即可求出面积的最大值．【详解】解：因为1,,0,4AB BAM παα⎡⎤=∠=∈⎢⎥⎣⎦，所以tan BM α=，令tan t α=，则01t ≤≤，而4DAN πα∠=-，所以1tan 41tDN t πα-⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，1111212(1)22121ABCD ABMADNt S S SSt t t t -⎡⎤=--=--⨯=-++⎢⎥++⎣⎦1221)2t ≤-⨯=≤≤，当且仅当1t =时取等号，所以S 的最大值为2故答案为：216．设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N ，则⋅=a b ________.【答案】15-【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由(2)(23)02x x x --≥⇒≥或 1.5≤x ，所以{2M N x x ==≥或}1.5x ≤， 当2x ≥时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-=-， 当 1.5≤x 时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-+=-+， 因此有|35|||x ax b -=+，当3,5a b ==-时，3(5)15a b ⋅=⨯-=-； 当3,5a b =-=时，3515a b ⋅=-⨯=-， 故答案为：15-17．已知*,a b ∈R ，ln 22ab b a ⎫+-≥⎪⎭则2a b +的最小值为___________. 【答案】4【分析】22ln ln a a b b ++，令()()ln 0f x x x x +>，则原不等式等价于()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭，易知函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，可得2a b≥，即2ab ≥，再根据基本不等式，即可得到结果.【详解】222ln ln ln a a b b b +≥+令()()ln 0f x x x x +>，则原不等式等价于()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭又函数y =ln y x =和函数y x =在区间(0)+∞，上单调递增， 所以函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，所以()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭，可得2a b ≥，即2ab ≥，所以24a b +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2a b +的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题18．已知函数()22sin cos x x f x x =-（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦,（2【解析】（1）根据题意可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，根据三角函数的性质即可求出()f x 的值域.（2）因为10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的两角差正弦公式sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而求出结果.【详解】（1）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，所以，此时()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）因为102sin 2313f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．已知函数()x xk f x a ka -=+（Z k ∈，0a >且1a ≠）.(1)若11()32f =，求1(2)f 的值；(2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数m ，使得()21(5)k k f mx mx f m --+->0对任意的[1,3]x ∈恒成立，若存在，请写出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)47； (2)存在，6(,)7-∞.【分析】(1)3=，由此计算1a a+即可计算1(2)f 的值. (2)由给定条件求出k ，再探求函数()k f x 的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数最值作答. (1)依题意，1()x xf x a a -=+，由11()32f =3=，两边平方得129a a ++=，解得17a a+=， 所以22211(2)()247f a a a a-=+=+-=.(2)因()k f x 为定义在R 上的奇函数，则R x ∀∈，()()0k k f x f x -+=，即0x x x x a ka a ka --+++=，则(01)()x x k a a -++=，而0x x a a -+>，解得1k =-，因此，()1x xf x a a --=-， 因01a <<，则x a 在R 上单调递减，x a -在R 上单调递增，从而得()1x xf x a a --=-在R 上单调递减，()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=- 2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔，而22131()024x x x -+=-+>，则261m x x <-+，依题意，[1,3]x ∀∈，261m x x <-+成立，显然21x x -+在[1,3]上单调递增，261x x -+在[1,3]上单调递减， 则当3x =时，min2166()7x x =-+，于是得67m <， 所以存在实数m 满足条件，m 的取值范围是6(,)7-∞.20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4) 【答案】(1)8天 (2)1.6【分析】(1)利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，分类讨论解出()4f x ≥即可；(2)设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，可得浓度()()116251286g x x a x ⎥=-+---⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理化简，利用基本不等式即可得出．(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥， ∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤， ∴此时48x <≤． 综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． (2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦， ∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤， ∴y a的最小值为24 1.6-．21．已知0a >，设函数()2sin 2(1)(sin cos )21f x a x a x x a =+-++-，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()2sin 2(1)sin g x a x a x =-+-，R x ∈，(1)当2a =时，求函数()f x 的值域； (2)记|()|f x 的最大值为M ， ①求M ；②求证：|()|2g x M ≤.【答案】(1)17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)①2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；②证明见解析 【分析】（1）令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，转化为21174816y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，配方求值域即可；（2）①设sin cos t x x =+，换元得()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭，分类讨论即可求解； ②利用绝对值不等式的性质求出()||g x 11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪≤+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩利用做差法与2M 比较大小即可求证. (1)当2a =时，()()4sin 2cos sin 3f x x x x =+++，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，所以()24sin 241=-x t ，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]1,1t ∈-，所以()221174134816y t t t ⎛⎫=-++=+- ⎪⎝⎭，因为[]1,1t ∈-，所以2117174,481616y t ⎛⎫⎡⎤=+-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()17,416f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.(2)①令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，所以2sin 21x t =-，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]1,1t ∈-，()()22216121121248-++⎛⎫=-+-+-=+-⎪⎝⎭a a a y a t a t a a t a a ， ()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()h t 是对称轴为14aa-，开口向上的抛物线， ()1h a -=，()132h a =-，216148a a a h a a -++⎛⎫=-⎪⎝⎭1）当105a <≤时，114a t a-=≥，32a a ≤-，所以23M a =-， 2）当115a <≤时，[)10,14a t a-=∈，()114a h h a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以2618a a M a ++=， 3）当1a >时，()11,04at a-=∈-，()114a h h a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以32M a =-，综上所述：2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩. ②()()()2sin 21sin 2sin 21sin 21g x a x a x a x a x a a =-+-≤-+-≤+-11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当105a <≤时，()()7122373305a a a +--=-≤-<，所以()2g x M ≤；当115a <≤时，()226132131131112084442442a a a a a a a a a ++--+-⨯==--≤--≤， 所以()2g x M ≤；当1a >时，()()3123233330a a a ---=-+<-<，所以()2g x M ≤， 综上所述：所以()2g x M ≤.。
2020-2020学年浙江省杭州市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得x E=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x E﹣x C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f （x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为﹣1．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为16．【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{|12}x x <…B ．{|02}x x <<C ．{|01}x x <…D ．{|01}x x <<2．（3分）已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(2)2x g x f f x =+-的定义域为()A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(1,1)-3．（3分）若角α的终边与单位圆交于点3(5P -，4)5，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35-C ．45-D ．454．（3分）函数2()x xe ef x x --=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）已知2log a e =，2b ln =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>6．（3分）已知1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，则1tan (1tan αα+=- )AB． CD． 7．（3分）在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，AB AD ⊥，点P 满足AP xAB y AD =+，且21x y +=，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=，则λ的最大值等于()A ．1B ．2C ．3D ．48．（3分）平面向量a ，b 满足，2()30a a b --=，||2b =，则||a b -最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．（3分）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间3[4π，5]4π上单调递增 B ．在区间3[4π，]π上单调递减 C ．在区间5[4π，3]2π上单调递增 D ．在区间3[2π，2]π上单调递减10．（3分）函数y x =+的值域为( )A ．[1+)+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．(1,)+∞二、填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在答题卷相应位置上．11．（4分）已知向量(1,2)a =，(,3)b x =-，若满足//a b ，则x = ，若满足a b ⊥，则x = ．12．（4分）函数()f x =的定义域为 ．13．（4分）若5sin()613πα-=，则cos()3πα+=14．（4分）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，3AB =，5AC =，120BAC ∠=︒，则A OB C = ．15．（4分）已知()sin()(0)6f x x πωω=+>，()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ上有最小值，无最大值，则ω= ．16．（4分）定义在区间(0,)2π上的函数y x =的图象与4tan y x =的图象的交点为P ，过点P 作1PP x ⊥轴交于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为 ． 17．（4分）设函数2()22f x ax bx =+，若存在实数0(0,)x t ∈，使得对任意不为零的实数a ，b 均有0()f x a b =+成立，则t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（8分）计算下列各式的值： （1）2212332182716()()227---+--（2）22(25(lg lg ++19．（8分）（1）已知tan 2θ=，求22sin 2sin cos 3cos 4θθθθ--+的值． （2）已知sin()cos()tan(3)()3cos()2f x πθπθπθπθ-+-=-，求7()3f π-的值．20．（8分）在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==． （1）当12λ=，求||AE ； （2）求AE AF 的最小值．21．（9分）已知函数()2sin(2):3f x x π=+（Ⅰ）若[0,]4x π∈，求()y f x =的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值． 22．（9分）已知函数：2()(,)f x x mx n m n R =--∈．（Ⅰ）若0m n +=，解关于x 的不等式()f x x …（结果用含m 式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m ，使得当[1x ∈，2]时，不等式()4x f x x 剟恒成立，求实数n 的取值范围．2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{|12}x x <…B ．{|02}x x <<C ．{|01}x x <…D ．{|01}x x <<【解答】解：全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =…， {|12}AB x x ∴=<…．故选：A ．2．（3分）已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(2)2x g x f f x =+-的定义域为()A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(1,1)-【解答】解：函数()f x 的定义域为(1,1)-，则对于函数()()(2)2xg x f f x =+-，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，求得12x <<，故()g x 的定义域为(1,2)， 故选：B ．3．（3分）若角α的终边与单位圆交于点3(5P -，4)5，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35-C ．45-D ．45【解答】解：角α的终边与单位圆交于点3(5P -，4)5，35x ∴=-，45y =，||1r OP ==，3cos 5x r α∴==-， 则3sin()cos 25παα+==-，故选：B ．4．（3分）函数2()x xe ef x x --=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，2()()x xe ef x f x x---==-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当x →+∞，()f x →+∞排除C ，D ， 故选：B ．5．（3分）已知2log a e =，2b ln =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【解答】解：2log 1a e =>，021b ln <=<，12221log log 3log 3c e a ==>=， 则a ，b ，c 的大小关系c a b >>， 故选：D ．6．（3分）已知1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，则1tan (1tan αα+=- )AB． CD． 【解答】解：由1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，得112sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα∴=-， 则sin 0α>，cos 0α<，sin cos αα∴-==联立1sin cos 2sin cos αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩sin αcos α=，tanα==．∴11tan1tanαα+==-．故选：B．7．（3分）在矩形ABCD中，2AB=，4AD=，AB AD⊥，点P满足AP xAB y AD=+，且21x y+=，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且AM APλ=，则λ的最大值等于( )A．1B．2C．3D．4【解答】解：建立如图坐标系，则(2,0)AB =，(0,4)AD =，∴AP xAB y AD=+(2x=，0)(0y+，4)(2,4)x y=，∴AM APλ=(2,4)x yλλ=，M在矩形ABCD内，∴022044xyλλ⎧⎨⎩剟剟，可得246x yλλ+…，(2)3x yλ+…，21x y+=，3λ∴…．故选：C．8．（3分）平面向量a ，b 满足，2()30a a b --=，||2b =，则||a b -最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由2()30a a b --=得2||2||cos 30a a θ--=，则2||3||cos 2a a θ-=，由2||3cos [1,1]2||a a θ-=∈-可得1||3a 剟又因为222222||3||||||2||||cos ||422||102a ab a b a b a a θ--=+-=+-⨯⨯=-+，所以当||1a =时2||a b -取最大值，即||a b -3． 故选：C ．9．（3分）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间3[4π，5]4π上单调递增 B ．在区间3[4π，]π上单调递减 C ．在区间5[4π，3]2π上单调递增 D ．在区间3[2π，2]π上单调递减 【解答】解：将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，得到的函数为：sin 2y x =， 增区间满足：22222k xk ππππ-++剟，k Z ∈，减区间满足：322222k x k ππππ++剟，k Z ∈， ∴增区间为[4k ππ-+，]4k ππ+，k Z ∈，减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈，∴将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数在区间3[4π，5]4π上单调递增． 故选：A ．10．（3分）函数y x =+的值域为( )A ．[1+)+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：函数y x x ==R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x …时，可得0y x -=， 两边平方，0y x -…，即1y >；2()y x ∴-=可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠ 23122y x y -∴=-…．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…，1y >．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =+的值域为(1)+∞．故选：D ．二、填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在答题卷相应位置上． 11．（4分）已知向量(1,2)a =，(,3)b x =-，若满足//a b ，则x = 32- ，若满足a b ⊥，则x = ．【解答】解：向量(1,2)a =，(,3)b x =-，若//a b ，则1(3)20x ⨯--=，解得32x =-；若a b ⊥，则12(3)0a b x =⨯+⨯-=，6x =． 故答案为：32-，6．12．（4分）函数()f x =的定义域为 [2，)+∞ ． 【解答】解：由题意得：2log 1x …， 解得：2x …，∴函数()f x 的定义域是[2，)+∞．故答案为：[2，)+∞．13．（4分）若5sin()613πα-=，则cos()3πα+= 513【解答】解：632πππαα-++=，5cos()sin()3613ππαα∴+=-=．故答案为：513． 14．（4分）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，3AB =，5AC =，120BAC ∠=︒，则AO BC = 8 ．【解答】解：如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则OD AC ⊥，OE AB ⊥， ∴212AO AC AC =，212AO AB AB =， ∴22221111()5382222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB =-=-=-=⨯-⨯=， 故答案为：8．15．（4分）已知()sin()(0)6f x x πωω=+>，()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ上有最小值，无最大值，则ω=163． 【解答】解：对于函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，由()()63f f ππ=得，函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间(6π，)3π上有最小值，无最大值，可得3462πππω⨯+=，解得163ω=． 故答案为：163． 16．（4分）定义在区间(0,)2π上的函数y x =的图象与4tan y x =的图象的交点为P ，过点P 作1PP x ⊥轴交于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为． 【解答】解：由题意可得，线段12P P 的长即为2P 的纵坐标， 即sin x 的值，且其中的x 即为P4tan x x =，解得sin x =． ∴线段12P P17．（4分）设函数2()22f x ax bx =+，若存在实数0(0,)x t ∈，使得对任意不为零的实数a ，b 均有0()f x a b =+成立，则t 的取值范围是 (1,)+∞ ．【解答】解：()f x a b =+成立等价于2(21)(12)x b x a -=-， 当12x =时，左边0=，右边0≠，不成立， 当12x ≠时，2(21)(12)x b x a -=-等价于21221b x a x -=-，设21k x =-，则12k x +=，则22(1)121112(2)22k b k k k a k k k+---+===--，(0,)x t ∈，1()2t<，或(0x∈，11)(22⋃，)t，1()2t>，(1,21)k t∴∈--，1()2t<，或(1k∈-，0)(0⋃，21)t-，1()2t>，(*)a∀，b R∈，∴11(2)2bka k=--，在(*)上有解，∴11(2)2kk--，在(*)上的值域为R，设11()()12g k kk=--，则()g k在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递减，∴12211tt⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得1t>，故答案为：(1,)+∞三、解答题：本大题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8分）计算下列各式的值：（1）221233218 2716()()227---+--（2）22(5(lg lg++【解答】解：（1）22123321819 2716()()94322744---+--=+--=；（2）2222(25(2)212(2)2512lg lglg lg lg lglg ++-+=++-21=+-1=-1=．19．（8分）（1）已知tan2θ=，求22sin2sin cos3cos4θθθθ--+的值．（2）已知sin()cos()tan(3)()3cos()2f xπθπθπθπθ-+-=-，求7()3fπ-的值．【解答】解：（1）tan2θ=，22sin2sin cos3cos4θθθθ∴--+2222222sin cos344sin cos sin cossin cosθθθθθθθθ--++=+22222252sin cos 52tan 11sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+； （2）sin()cos()tan(3)()3cos()2f πθπθπθθπθ-+-=- sin (cos )(tan)sin sin θθθθθ--==--． ∴77()sin()sin()sin 3333f ππππ-=--=--== 20．（8分）在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==． （1）当12λ=，求||AE ； （2）求AE AF 的最小值．【解答】解：以等腰梯形ABCD 的底AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒， (1,0)A ∴-，(1,0)B ，1(2C ， 1(2D -， ∴(2AE AB BE =+=，10)(2λ+- 1(22λ=-)， （1）当12λ=时，7(4AE =，则49||AE == （2）1(2DE AD DF =+=1(19λ+，110)(29λ=+， ∴1721721722921892189218318AE AF λλλλ=+++=+=…，当且仅当23λ=时取得最小值．21．（9分）已知函数()2sin(2):3f x x π=+ （Ⅰ）若[0,]4x π∈，求()y f x =的最大值和最小值，并写出相应的x 值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值．【解答】解：（Ⅰ）[0,]4x π∈， 2[33x ππ∴+∈，5]6π， ∴1sin (2)123x x π+剟， 即1()[2f x ∈，1]， 当4x π=时，()f x 取得最小值，最小值为12，当12x π=时，()f x 取得最大值，最大值为1； （Ⅱ）函数()y f x =的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象， 则()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++， 令()2sin(2)106g x x π=++=，解得6x k ππ=-+或2x k ππ=+，k Z ∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为和3π或23π， 故若()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，则b a -的最小值为228109333πππ⨯+⨯=． 22．（9分）已知函数：2()(,)f x x mx n m n R =--∈．（Ⅰ）若0m n +=，解关于x 的不等式()f x x …（结果用含m 式子表示）； （Ⅱ）若存在实数m ，使得当[1x ∈，2]时，不等式()4x f x x 剟恒成立，求实数n 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2x x mx m +-…，即()(1)0x m x +-…， ①1m =-时，可得x R ∈； ②1m <-时，1m ->，可得解集为(-∞，1][m -，)+∞； ③1m >-时，1m -<，可得解集为(-∞，][1m -，)+∞；（Ⅱ）[1x ∈，2]时，24x x mx n x ++剟恒成立， 即为14n x m x++剟对[1x ∈，2]恒成立， 即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+--+剟对[1x ∈，2]恒成立， (1)(4)max min n n x x x x∴--+--+…， 由(0)n y x n x=--<在[1，2]递减， 22n n ∴--…，即4n -…， n ∴的最小值为4-． 实数n 的取值范围：[4-，)+∞．。
2020-2021高一数学上期末试卷(含答案)
一、选择题
1．设 a，b，c
均为正数，且 2a
log 1
2
a
，
1 2
b
log 1
2
b
，
1 2
c
log2
c
．则（
）
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b a c
2．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在0, 上是增函数，若对任意
等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
13．若15a 5b 3c 25 ，则 1 1 1 __________． abc
14．已知幂函数 y ( m 2)xm 在 (0, ) 上是减函数，则 m __________．
15．已知 a ， b R ，集合 D x | x2 a2 a 2 x a3 2a2 0 ，且函数
B． y x3
C． y 2|x|
D． y cos x
10．已知 a log3 2 ， b 20.1 ， c sin 789 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
11．偶函数 f x 满足 f x f 2 x ，且当 x 1,0时， f x cos x 1，若函
【详解】
因为 a log23 , b
2
3 ,c e3
令 f x log2x , g x x
函数图像如下图所示:
则 f 4 log24 2 , g 4 4 2
所以当 x 3 时, 3 log2 3,即 a b
2023—2024学年浙江省杭高三校高一上学期期末数学试卷
2023—2024学年浙江省杭高三校高一上学期期末数学试卷一、单选题1. 若角终边上一点，则（）A．B．C．D．2. 已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．3. 函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．4. “且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 设函数.若，则等于（）A．B．C．D．6. 已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（）A．B．C．D．10. 设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（）A．B．C．D．11. 已知函数.则下列说法正确的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立.D．若实数满足，则12. 函数，有且，则下列选项成立的是（）A．B．C．D．三、填空题13. 计算： ____________ .14. 写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式 ___________ .15. 已知为定义在R上的奇函数，且又是最小正周期为的周期函数，则的值为 ____________ ．16. 对于任意实数，定义. 设函数，，则函数的最大值是_______ .四、解答题17. 已知.(1)求的值；(2)求的值.18. 已知集合，函数的定义域为集合．(1)求；(2)若，求时的取值范围．19. 已知，（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在闭区间上的最大值和最小值．20. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求方程的解集.21. 已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，，求的值.22. 已知函数，.(1)求的最大值；(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.。
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一(上)期末数学试卷+详解
12．（6
分）若
ABCD
是边长为
2
的菱形，且 BAD
，则
AB
AD
3
． ， | AB CB |
13．（6 分）已知函数 f (x) lg(2 x) lg(2 x) ，则函数 f (x) 为 函数（奇偶性判断），
函数 f (x) 的单调递增区间是 ． 14．（4 分）已知函数 f (x) Asin(x )(A 0 ， 0 ， | | ) 的部分图象如图所示，则
（精确到 0.01) ．（参考数据： 2 1.414 ， 5 2.236 ， lg2 0.301 ， lg3 0.477) 20．（10 分）设函数 f (x) cos(2x ) 2sin2 x ．
3 （Ⅰ）求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时 x 的集合；
第 3页（共 17页）
C． | OA BC | 有最小值无最大值
B． OA OC 有最大值无最小值
D． OA BC 无最大值也无最小值
二、填空题（11-13 每空 3 分，14-17 题每空 4 分，合计 34 分）
11．（6
分）已知函数
f
(x)
2x , x
0
，则 f (3)
x, x 0
； f [ f （4） ]
16．（4 分）若正实数 x ， y 满足 x 2y xy 0 ，则 x 2 y 的最小值为 ．
17．（4 分）已知函数 f (x) | a sin 2x cos 2x | | sin x cos x | | (1 a)sin x (1 a) cos x | ，a R ，
且函数 y f (x) 的最大值为 5，则实数 a ．
于( )
A． M N
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷 (解析版)
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={x ∈N|x 2−3x ≤0}，则∁U (A ∪B)=( )A. {0,1,2，3}B. {0,4,5}C. {1,2,4}D. {4,5} 2. 已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin 2α+sinαcosα+1等于( ) A. 115 B. 25 C. 85 D. 75 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数是( )A. y =sinxB. y =x 3−xC. y =2xD. y =x 34. 函数f(x)=2x −8的零点是( )A. 3B. (3,0)C. 4D. (4,0)5. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14 C. −13 D. 13 6. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,√2] C. [−1,+∞) D. [−√2,+∞)7. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 37B. 13C. 6D. 127 8. sin 296π等于( ) A. −√32 B. −12C. 12D. √32 9. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0,π2]上的最小值是( )A. −1B. −√22C. √22D. 0 10. 若a ，b 分别为函数y =13sinx −1的最大值和最小值，则a +b 等于( )A. 23B. −23C. −43D. −2二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若f(x)为幂函数，且满足f(8)f(2)=2，则f(3)=______．12.已知扇形的面积为2π3平方厘米，弧长为2π3厘米，则扇形的半径r为______厘米．13.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为______．14.已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为______．15.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)．其中正确的命题序号有______．16.已知函数f(x)=|x2−2x|+|2x2−3x|−ax.若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为_____．17.已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R.若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3，则实数k的取值范围是_____．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知|a⃗|=√10，|b⃗ |=√5，a⃗·b⃗ =−5，c⃗=x a⃗+(1−x)b⃗ ．(1)当b⃗ ⊥c⃗时，求实数x的值；(2)当|c⃗|取最小值时，求向量a⃗与c⃗的夹角的余弦值．19.已知函数f(x)满足f(x)+3f(−x)=4ax2−8ax+8(a≠0)．(1)求f(x)的解析式；(2)若t>−3，求f(x)在[−3,t]上的最大值．20.已知函数f(x)=√3sin(2ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(−π3,0)，求当m取得最小值时，g(x)在[−π6,7π12]上的单调递增区间．21.若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a,b]上均有定义；②函数y=f(x)−g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上具有关系G．(1)若f(x)=lnx，g(x)=2−x，判断f(x)和g(x)在[1,3]上是否具有关系G，并说明理由；(2)若f(x)=2|x−2|和g(x)=mx2−1在[1,4]上具有关系G，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．解：B={x∈N|0≤x≤3}={0,1，2，3}，则A∪B={0,1，2，3}，则C U(A∪B)={4,5}，故选D．2.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα−sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosα22+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A.是正弦函数，为奇函数，在(2kπ−π2,2kπ+π2)，k∈Z，为增函数，故A错；对于B.函数满足f(−x)=−x3+x=−f(x)，则为奇函数，f′(x)=3x2−1>0，解得，x>√33或x<−√33则为增，故B错；对于C.是指数函数，不为奇函数，故C错；对于D.f(−x)=−f(x)，则为奇函数，且y′=3x2≥0，则为增函数，故D对．故选D ．运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断在定义域内既是奇函数，又是增函数的函数．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，属于基础题．4.答案：A解析：解：函数f(x)=2x −8的零点，就是2x −8=0的解，解得x =3．故选：A ．利用函数的零点与方程根的关系，求解方程的根即可．本题考查零点判定定理的应用，方程根的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 通过利用向量加减运算的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．解：∵∵点E 为线段AD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选A ．6.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围． 本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：。
2020-2021学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|(x−1)(x−2)≥0}，则A∪B=()A.{x|1≤x≤2}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x≤3}D.R【答案】D【考点】并集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行并集的运算即可．【解答】∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤1或x≥2}，∴A∪B=R．2. 已知a∈R，若(2+ai)(a−2i)＝−4i（i为虚数单位），则a＝（）A.−1B.0C.1D.2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的四则运算进行化简，然后利用复数相等的充要条件得到a的关系式，求解即可．【解答】因为(2+ai)(a−2i)＝−4i，所以4a+(a2−4)i＝−4i，则有4a＝0，a2−4＝−4，解得a＝0．3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.1B.13C.12D.32【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．【解答】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是13×1×1×1=13．4. 若a>0，b>0，则“a>b”是“ln a−b>ln b−a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当a>0，b>0时，若a>b，则ln a>ln b，此时a+ln a>b+ln b成立，即充分性成立，设f(x)＝x+ln x，当x>0时，f(x)为增函数，则由a+ln a>b+ln b得f(a)>f(b)，即a>b，即必要性成立，则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的充要条件，5. 函数f(x)＝（−1)cos x（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号是否对应进行判断即可．【解答】f(x)＝•cos x＝•cos x，则f(−x)＝•cos x＝•cos x＝−f(x)，则f(x)是奇函数，排除A，C，当0<x<时，f(x)<0，排除B，6. 已知随机变量ξ满足P(ξ＝x)＝ax+b(x＝−1, 0, 1)，其中a，b∈R．若E(ξ)＝，则D(ξ)＝（）A. B. C. D.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据分布列的性质以及期望求出a，b的值，由此即可求出方差．【解答】由已知可得：P(ξ＝−1)＝−a+b，P(ξ＝0)＝b，P(ξ＝1)＝a+b，则−a+b+b+a+b＝1，即b＝，又E(ξ)＝−1×(−a+b)+0×b+1×(a+b)＝，所以a＝，所以ξ的分布列如下：ξ−101所以D(ξ)＝，7. 已知(x2+1)(2x−1)7＝a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9(x∈R)，则a1＝（）A.−30B.30C.−40D.40【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】令f(x)＝(x2+1)(2x−1)7＝a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9(x∈R)，根据a1＝f′(1)，计算求得结果．【解答】∵(x2+1)(2x−1)7＝a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9(x∈R)，令f(x)＝(x2+1)(2x−1)7＝a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9(x∈R)，则f′(x)＝2x＝a1+a2(x−1)1+...+a9(x−1)8，f′(x)＝2x⋅(2x−1)7+(x2+1)⋅14(2x−1)6，∴a1＝f′(1)＝2×1+2×14×(2−1)6＝30故选：B．8. 已知实数a，b满足|b|≤2−a，且a≥−1，则2a+b的最小值为（）A.−7B.−5C.−3D.−1【答案】B【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件表示的平面区域，设目标函数z＝2a+b，平移目标函数找出最优解，从而求出z＝2a+b的最小值．【解答】不等式|b|≤2−a可化为−2+a≤b≤2−a，且a≥−1，所以约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如阴影部分所示：设z＝2a+b，平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值；由，求得A(−1, −3)，所以z＝2a+b的最小值为z min＝2×(−1)+(−3)＝−5．9. 已知函数f(x)＝ln x−ex −2mx+n，若不等式f(x)≤0对x∈(0, +∞)恒成立，则nm的最大值为（）A.e 4B.e2C.eD.2e【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得ln x−ex ≤2m(x−n2m)对x>0恒成立，设g(x)＝ln x−ex，ℎ(x)＝2m(x−−n2m)，x>0，考虑它们的图象，结合导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求最大值．【解答】不等式f(x)≤0对x∈(0, +∞)恒成立，即为ln x−ex −2mx+n≤0，即ln x−ex≤2m(x−n2m)对x>0恒成立，设g(x)＝ln x−ex ，由g′(x)=1x+ex2>0，可得g(x)在(0, +∞)递增，且g(e)＝0，当x→0时，g(x)→−∞；x→+∞，g(x)→+∞，作出y＝g(x)的图象，再设ℎ(x)＝2m(x−n2m )，x>0，可得ℎ(x)表示过(n2m, 0)，斜率为2m的一条射线（不含端点），要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可求n2m的最大值，由于点(n2m, 0)在x轴上移动，只需找到合适的m>0，且与g(x)＝ln x−ex 切于点(n2m, 0)，如图所示：此时n2m =e，即有nm的最大值为2e，故选：D．10. 设数列{a n}满足a1＝3，a2＝6，a n+2＝(n∈N∗)，（）A.存在n∈N∗，a n∉QB.存在p>0，使得{a n+1−pa n}是等差数列C.存在n∈N∗，a n＝D.存在p>0，使得{a n+1−pa n}是等比数列【答案】D【考点】等差数列的性质数列递推式【解析】先利用递推公式得到，由此推出，进而结合a1，a2的情况判断选项A，C，利用等差数列的定义判断选项B，假设存在p>0，使得{a n+1−pa n}是等比数列，公比为q，利用等比数列的定义以及a n+2＝3a n+1−a n，列出关于p和q的方程，求解即可判断选项D．【解答】由a n+3＝3a n+2−a n+1，可得a n+3−a n+2＝5a n+1−2a n不是常数，所以不存在p>0，使得{a n+1−pa n}是等差数列，故选项B错误（1）假设存在p>0，使得{a n+1−pa n}是等比数列，公比为q，则有a n+1−pa n＝q(a n−pa n−1)，所以a n+1＝(p+q)a n−pqa n−1，由a n+2＝3a n+1−a n，则，解得，所以存在，使得{a n+1−pa n}是等比数列，故选项D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．计算lg2−lg＝________；4＝________．【答案】1,9【考点】对数的运算性质【解析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．【解答】lg2−lg＝lg2+lg5＝lg10＝1；4＝＝9．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．【答案】,2【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得sin B＝1，结合B∈(0, π)，可得B＝，利用勾股定理可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】因为在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，由正弦定理，可得＝，可得sin B＝1，因为B∈(0, π)，则B＝，所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝ac＝＝2．若a>0，b>0，且a+b＝1，则a2+b2的最小值等于________，+的最大值等于________．【答案】,【考点】基本不等式及其应用【解析】根据a>0，b>0，a+b＝1可得出，进而得出，然后根据a2+b2＝1−2ab即可求出a2+b2的最小值；并可求出，从而可得出的最大值．【解答】∵a>0，b>0，a+b＝1，∴，，∴，∴a2+b2的最小值等于；∵，∴，∴的最大值等于．已知tanα＝cosα，则cos2α+cos4α＝________，＝________．【答案】1,1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα＝cos2α，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可计算求解．【解答】因为tanα＝＝cosα，可得sinα＝cos2α，则cos2α+cos4α＝cos2α+sin2α＝1，＝＝＝＝＝1．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是________．【答案】44【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2种情况讨论，①两个都在左边的4个座位或右边的4个座位就坐，②两个人一人在左边4个座位，一个在右边4个座位就坐，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2种情况讨论，①两个都在左边的4个座位或右边的4个座位就坐，有2×A22×3＝12种排法，②两个人一人在左边4个座位，一个在右边4个座位就坐，有2×CA41×C41＝32种排法，则一共有12+32＝44种不同的排法，平面向量，的夹角为60∘，且|-|＝1，则•（+2）的最大值为________．【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据向量数量积的公式，利用换元法转化为分式形式，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】设||＝a，||＝b，则由|-|＝1，平方得||2+||2−2•＝1，即a2+b2−2ab×＝1，即a2+b2−ab＝1，则•（+2）＝||2+2•＝a2+ab，∵a2+ab＝＝＝，令m＝，则m>0，则原式＝＝，再设t＝1+m，则t>1，则m＝t−1．则＝＝＝≤＝＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，取等号，即•（+2）的最大值为，在棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于________．【答案】【考点】轨迹方程棱柱的结构特征【解析】连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，通过线面垂直的判定定义以及性质定理可得到B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，同理可得点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，然后得到△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，求解三角形的面积即可得到答案．【解答】连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又，所以，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝sin(ωx+）cos(ωx+）(ω>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)在锐角△ABC中，若sin A sin C−sin2C＝sin2A−sin2B，求f(B)的值．【答案】（I）函数f(x)＝sin(ωx+）cos(ωx+）＝（sinωx+cosωx)（cosωx−sinωx)＝cos2ωx−sin2ωx＝×-×＝cos2ωx−，因为函数f(x)最小正周期为π，由T＝＝π，且ω>0，解得ω＝1，所以f(x)＝cos2x−，令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ−≤x≤kπ，k∈Z，可得函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−，kπ]，k∈Z．(II)由sin A sin C−sin2C＝sin2A−sin2B得：ac−c2＝a2−b2，即a2+c2−b2＝ac，∴cos B＝＝＝，又B为锐角，可得B＝，∴f(B)＝cos-＝-＝．【考点】两角和与差的三角函数正弦定理【解析】（I）利用三角恒等变换化函数f(x)解析式，利用周期公式求出ω的值，利用余弦函数的单调性即可求解．(II)由正弦、余弦定理求得B的值，即可计算得解f(B)的值．【解答】（I）函数f(x)＝sin(ωx+）cos(ωx+）＝（sinωx+cosωx)（cosωx−sinωx)＝cos2ωx−sin2ωx＝×-×＝cos2ωx−，因为函数f(x)最小正周期为π，由T＝＝π，且ω>0，解得ω＝1，所以f(x)＝cos2x−，令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ−≤x≤kπ，k∈Z，可得函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−，kπ]，k∈Z．(II)由sin A sin C−sin2C＝sin2A−sin2B得：ac−c2＝a2−b2，即a2+c2−b2＝ac，∴cos B＝＝＝，又B为锐角，可得B＝，∴f(B)＝cos-＝-＝．已知函数f(x)＝x2−ax−|ax−2|(a>0)．(Ⅰ)若a＝2，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)设x1，x2，x3，x4是函数y＝f(x)+1的四个不同的零点，且x1<x2<x3<x4．问是否存在实数a，使得x2，x3，x4成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当a＝2时，不等式f(x)<0，即x2−2x−|2x−2|＝|x−1|2−2|x−1|−1<0，所以0≤|x−1|<，解得，故不等式f(x)<0的解集为{x|}；（2）因为f(x)＝x2−ax−|ax−2|(a>0)，则，又y＝f(x)+1有四个不同的零点，所以△＝4a2−12>0且，解得，因为x1<x2<x3<x4，当时，f(x)+1＝x2−1＝0，可得x1＝−1，x2＝1，所以x3，x4是x2−2ax+3＝0的两个根，若x2，x3，x4成等差数列，则，所以，代入方程x2−2ax+3＝0可得，，解得或−2（舍），综上可知，存在使得x2，x3，x4成等差数列．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)将a＝2代入，将f(x)<0进行变形，得到即x2−2x−|2x−2|＝|x−1|2−2|x−1|−1<0，利用一元二次不等式以及绝对值不等式的解法求解即可；(Ⅱ)求出函数y＝f(x)+1的解析式，利用y＝f(x)+1有四个不同的零点，得到x1＝−1，x2＝1，且，然后利用x2，x3，x4成等差数列，求出x3，代入方程中，求出a的值即可．【解答】（1）当a＝2时，不等式f(x)<0，即x2−2x−|2x−2|＝|x−1|2−2|x−1|−1<0，所以0≤|x−1|<，解得，故不等式f(x)<0的解集为{x|}；（2）因为f(x)＝x2−ax−|ax−2|(a>0)，则，又y＝f(x)+1有四个不同的零点，所以△＝4a2−12>0且，解得，因为x1<x2<x3<x4，当时，f(x)+1＝x2−1＝0，可得x1＝−1，x2＝1，所以x3，x4是x2−2ax+3＝0的两个根，若x2，x3，x4成等差数列，则，所以，代入方程x2−2ax+3＝0可得，，解得或−2（舍），综上可知，存在使得x2，x3，x4成等差数列．在三棱锥A−BCD中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF＝2FA．若AD＝1，AB＝，CB＝CD＝．(Ⅰ)求证：AG // 平面CEF；(Ⅱ)求直线AD与平面CEF所成的角．【答案】（1）证明：连接BG交EC于H，连接FH，则点H为△BCD的重心，有，∵，∴FH // AG，且FH⊂平面CEF，AG⊄平面CEF，则AG // 平面CEF；（2）∵BF＝，BE＝1，∠ABD＝30∘，∴EF2＝BF2+BE2−2BE⋅BF⋅cos∠ABD＝＝，故BF2＝BE2+EF2，∴BE⊥EF，又由已知，CE⊥BD，CE∩EF＝E，则BD⊥平面CEF，过F作AD的平行线FP，交BD于P，则PE⊥CEF，故∠PFE为直线AD与平面CEF所成的角，且FP＝，EP＝，∠FEP＝90∘，∴sin，得直线AD与平面CEF所成的角为．【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)连接BG交EC于H，连接FH，由已知可得，得FH // AG，再由直线与平面平行的判定可得AG // 平面CEF；(Ⅱ)求解三角形证明BE⊥EF，由已知得CE⊥BD，可得BD⊥平面CEF，过F作AD的平行线FP，交BD于P，则PE⊥CEF，得到∠PFE为直线AD与平面CEF所成的角，求解三角形得答案．【解答】（1）证明：连接BG交EC于H，连接FH，则点H为△BCD的重心，有，∵，∴FH // AG，且FH⊂平面CEF，AG⊄平面CEF，则AG // 平面CEF；（2）∵BF＝，BE＝1，∠ABD＝30∘，∴EF2＝BF2+BE2−2BE⋅BF⋅cos∠ABD＝＝，故BF2＝BE2+EF2，∴BE⊥EF，又由已知，CE⊥BD，CE∩EF＝E，则BD⊥平面CEF，过F作AD的平行线FP，交BD于P，则PE⊥CEF，故∠PFE为直线AD与平面CEF所成的角，且FP＝，EP＝，∠FEP＝90∘，∴sin，得直线AD与平面CEF所成的角为．在数列{a n}中，a1＝1，a2k−1，a2k，a2k+1(k∈N∗)成等比数列，公比为q k>0．(Ⅰ)若q k＝2，求a1+a3+a5+...+a2k−1；(Ⅱ)若a2k，a2k+1，a2k+2(k∈N∗)成等差数列，公差为d k，设b k＝．①求证：{b n}为等差数列；②若d1＝2，求数列{d k}的前k项和D k．【答案】（1）因为a1＝1，a2k−1，a2k，a2k+1(k∈N∗)成等比数列，公比为q k>0，所以，则a1+a3+a5+...+a2k−1＝＝；（2）①证明：因为a2k，a2k+1，a2k+2(k∈N∗)成等差数列，所以2a2k+1＝a2k+a2k+2，即，则，即b k+1−b k＝1，所以数列{b n}为等差数列，公差为1；②若d1＝2，所以a3＝a2+2，则有，所以a2＝2或a2＝−1；当a2＝2时，q1＝2，所以b1＝1，则b k＝1+(k−1)×1＝k，即，解得，所以，则＝，所以，则d k＝a2k+1−a2k＝k+1，故；若a2＝−1时，q1＝−1，所以，则，即，解得，则＝，则，所以d k＝a2k+1−a2k＝4k−2，故．综上所述，或．【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】(Ⅰ)利用条件求出，然后再利用等比数列的求和公式求解即可；(Ⅱ)①利用等差中项得到2a2k+1＝a2k+a2k+2，从而得到，然后利用等差数列的定义证明即可；②由d1＝2，解得a2＝2或a2＝−1，然后根据a2进行分类讨论，利用迭乘法求出a2k+1，即可得到a2k，从而得到d k，然后再求和即可．【解答】（1）因为a1＝1，a2k−1，a2k，a2k+1(k∈N∗)成等比数列，公比为q k>0，所以，则a1+a3+a5+...+a2k−1＝＝；（2）①证明：因为a2k，a2k+1，a2k+2(k∈N∗)成等差数列，所以2a2k+1＝a2k+a2k+2，即，则，即b k+1−b k＝1，所以数列{b n}为等差数列，公差为1；②若d1＝2，所以a3＝a2+2，则有，所以a2＝2或a2＝−1；当a2＝2时，q1＝2，所以b1＝1，则b k＝1+(k−1)×1＝k，即，解得，所以，则＝，所以，则d k＝a2k+1−a2k＝k+1，故；若a2＝−1时，q1＝−1，所以，则，即，解得，则＝，则，所以d k＝a2k+1−a2k＝4k−2，故．综上所述，或．已知函数f(x)＝x ln x−a(x+1)2，a∈R恰好有两个极值点x1，x2(x1<x2)．(Ⅰ)求证：存在实数m∈（），使0<a<m；(Ⅱ)求证：-<f(x1)<−．【答案】证明：(Ⅰ)f′(x)＝ln x+1−a(x+1)，x>0，结合题意，ln x+1−a(x+1)＝0，即ln x+1＝a(x+1)存在2个不同正根，先考虑y＝a(x+1)与y＝ln x+1相切，记切点横坐标为x0，则，解得：，记g(x)＝x ln x−1，x>0，则g′(x)＝1+ln x，令g′(x)＝0，解得：x＝，故y＝g(x)在(0，）递减，在（，+∞)递增，且g(1)＝−1<0，g(2)＝ln4−1>0，故存在唯一x0∈(1, 2)，使得x0ln x0＝1成立，取m＝∈（，1)，则0<a<m时，f(x)恰有2个极值点，得证；（2）由(Ⅰ)知：f′(x1)＝ln x1+1−a(x1+1)，且<x1<x0<2，故a＝，代入f(x1)，得f(x1)＝(x1ln x1−x1−ln x1−1)，设ℎ(x)＝(x ln x−x−ln x−1)，ℎ′(x)＝(ln x−），<x<2，由ℎ′(x0)＝0，得ln x0＝，即x0ln x0＝1，则x∈（，x0)时，ℎ′(x)<0，x∈(x0, 2)，ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在（，x0)递减，在(x0, 2)递增，ℎ(x)>ℎ(x0)＝(x0ln x0−ln x0−x0−1)＝(1−−x0−1)＝-(x0+），∵x0∈(1, 2)，∴x0+∈(2，），∴ℎ(x0)∈(−，−1)，故ℎ(x)>−，即f(x1)>−，而ℎ(x)<ℎ（）＝->ℎ(2)＝(ln2−3)，故：-<f(x1)<−．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合函数的单调性求出故存在唯一x0∈(1, 2)，使得x0ln x0＝1成立，从而证明结论成立；(Ⅱ)求出a＝，代入f(x1)，得f(x1)＝(x1ln x1−x1−ln x1−1)，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论成立．【解答】证明：(Ⅰ)f′(x)＝ln x+1−a(x+1)，x>0，结合题意，ln x+1−a(x+1)＝0，即ln x+1＝a(x+1)存在2个不同正根，先考虑y＝a(x+1)与y＝ln x+1相切，记切点横坐标为x0，则，解得：，记g(x)＝x ln x−1，x>0，则g′(x)＝1+ln x，令g′(x)＝0，解得：x＝，故y＝g(x)在(0，）递减，在（，+∞)递增，且g(1)＝−1<0，g(2)＝ln4−1>0，故存在唯一x0∈(1, 2)，使得x0ln x0＝1成立，取m＝∈（，1)，则0<a<m时，f(x)恰有2个极值点，得证；（2）由(Ⅰ)知：f′(x1)＝ln x1+1−a(x1+1)，且<x1<x0<2，故a＝，代入f(x1)，得f(x1)＝(x1ln x1−x1−ln x1−1)，设ℎ(x)＝(x ln x−x−ln x−1)，ℎ′(x)＝(ln x−），<x<2，由ℎ′(x0)＝0，得ln x0＝，即x0ln x0＝1，则x∈（，x0)时，ℎ′(x)<0，x∈(x0, 2)，ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在（，x0)递减，在(x0, 2)递增，ℎ(x)>ℎ(x0)＝(x0ln x0−ln x0−x0−1)＝(1−−x0−1)＝-(x0+），∵x0∈(1, 2)，∴x0+∈(2，），∴ℎ(x0)∈(−，−1)，故ℎ(x)>−，即f(x1)>−，而ℎ(x)<ℎ（）＝->ℎ(2)＝(ln2−3)，故：-<f(x1)<−．。
2020-2020学年浙江省杭州市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．2020-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得x E=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x E﹣x C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f （x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g （x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a 的值为﹣1．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为16．【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。
杭州学军中学2022年数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值是8.
故答案为：8.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出 ，利用“1”的妙用求解.
12、
【解析】根据函数零点可转化为 有2个不等的根，利用对数函数的性质可知 ，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设 ，
因为函数 有两个零点分别为a，b，
10、C
【解析】由任意角的定义判断
【详解】 ，故与其终边相同的角的集合为 或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】可得定点 ，代入一次函数得 ，利用 展开由基本不等式求解.
【详解】由 可得当 时， ，故 ，
点A在一次函数 的图像上， ，即 ，
【解析】（1） 是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件 ，求出 的值，进而求出 ，验证 是否为奇函数；
（2）可判断 在 上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由 ，换元令 ， ，由（2）得 ， ，根据条件转化为 在 最小值为-2，对二次函数 配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
（2）先解关于 的一元二次不等式得到 ，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.
【小问1详解】
解： 是奇函数，证明如下：
令 ，即 ，
解得 ，即 的定义域为 ；
对于任意 ，都有 ，
且 ，
即 ，
所以 是奇函数.
【小问2详解】
解：因为 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
浙江省杭州市学军四校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
学军中学四校区2022学年第一学期期末联考高一数学试卷命题人：王馥审题人：顾侠一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则A ．sin 0α>B ．sin 0α<C ．cos 0α>D ．cos 0α<2．“a ＞b 2”是b >”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若扇形的周长为16cm ，圆心角为2rad ，则扇形的面积为（）A ．212cm B ．214cm C ．216cm D ．218cm 4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．0.5v t=B ．()20.51v t =-C ．0.5log v t =D ．2log v t=5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．20226．函数()ay x b x c =--的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（）A ．a<0，0b >，0c =B ．0a >，0b >，0c =C ．a<0，0b =，0c >D ．a<0，0b =，0c =7．已知3log 2a =，11log 5b =，lg 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c<a<bC ．c b a<<D ．a c b<<8．已知函数()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,且123x x x <<，则()()()()()()2123222f x f x f x +++的值为（）A ．4B ．2C ．()22a +D ．2a +二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（）A ．1ab ≤BC ．222a b +≥D ．212a b+>10．已知非零实数a ，b ，若()f x ，()g x 为定义在R 上的周期函数，则（）A ．函数()f ax b +必为周期函数B ．函数()af x b +必为周期函数C ．函数()()f g x 必为周期函数D ．函数()()f x g x +必为周期函数11．已知函数()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x 为偶函数，点()1,1A x -，()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的是（）A ．π2=ωB ．π2ϕ=C ．()11f =-D ．()f x 在()111,1x x -+上单调递增12．设函数()()4,,f x x t g x x=+=-若存在[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，使得121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++，则t 的值可能是（）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数3y x αα=-，则此函数的定义域为________．14．已知θ是第二象限角，()3cos π25θ+=，则tan θ=________．15．如图所示，摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后距离地面的高度为________m ．16．设,a b ∈R .若当||1x ≤时，恒有2|()|1x a b -+≤，则a b +的取值范围是____.四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．17．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.18．已知集合{A x y ==，集合{}121B x m x m =+≤≤-，集合{}310,C x x x Z =≤<∈.（1）求A C 的子集的个数；（2）若命题“x A B ∀∈⋃，都有x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.19．已知函数()()2sin f x x ω=，其中常数0ω>．(1)若()y f x =在π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；(2)令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在区间[],a b 上至少含有30个零点，求b a -的最小值．20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．21．已知函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R a ∈．(1)若方程()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；(2)设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x ，[]2,1x b b ∈+时，满足()()12ln 4f x f x -≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】根据三角函数定义可得sin α=cos α=.【详解】解：由三角函数的定义可知，sin α=符号不确定，cos 0α=>，故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x x ααα===≠；（2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα==≠.2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若0,1a b ==-b >，而201a b=<=b >不能推出2a b >，当2a b >b >，当0b ≥b >，当0b <b b >->，所以当2a b >时，b >，所以“a ＞b 2”是b >”的充分不必要条件，故选：A 3．C 【分析】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =，再计算面积得到答案.【详解】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =；扇形的面积2124162S =⨯⨯=.故选：C4．D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数2log v t =的图象类似，所以选项D 最能反映,t v 之间的函数关系.故选：D.5．B 【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.6．A 【分析】分0,0b c =>、0,0b c >=两种情况讨论即可.【详解】函数()ay x b x c =--的定义域为{},x x b x c ≠≠①当0,0b c =>时，ay x x c=-，当()0,x c ∈时，y 与a 同号，当(),x c ∈+∞时，y 与a 同号，与图中信息矛盾；②当0,0b c >=时，()ay x b x =-，由图可得，当()x b ∈+∞,时，0y <，所以a<0，然后可验证当0,0b c >=，a<0时，图中信息都满足，故选：A 7．B 【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为235125,11==，所以112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为42310=232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c<a<b ，故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．A 【分析】令()f x t =，结合函数的图象，将方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,转化为()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，进而由()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222t t=++，利用韦达定理求解.【详解】因为函数()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩图像如下：令()f x t =，则()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，由韦达定理知：122t t a +=--,1222t t a =+则()11f x t =，()()232f x f x t ==，所以()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++，()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++，()2224244a a =+--+=.故选：A 9．ACD 【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，2a b =+≥1ab ≤，故A 正确；对于B ，令1,1a b ==不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得1ab ≤，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅=+ ⎪⎭>⎝，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．ABC 【分析】()f ax b +是周期为ma的函数，A 正确，()af x b +是周期为m 的函数，B 正确，(())f g x 是周期为n 的函数，C 正确，当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.【详解】设()f x 周期为,()m g x 周期为,0n m ≠，0n ≠，对选项A ：()()m f ax b f ax b m f ax b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()f ax b +是周期为m a 的函数，正确；对选项B ：则()()af x b af x m b +=++，所以()af x b +是周期为m 的函数，正确；对选项C ：(())(())f g x f g x n =+，所以(())f g x 是周期为n 的函数，正确；对选项D ：当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，若()()f x g x +是周期函数，设周期为T ，则π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠，π是无理数，所以上式无解，所以此时()()f x g x +不是周期函数，错误.故选：ABC 11．AC 【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由()1f x =-，得()4sin 11ωϕ+-=-x ，即()sin 0x ωϕ+=，12x x - 的最小值为2，22T ∴=,即4T =，即2π4ω=，则π2=ω，故选项A 正确；对于B ，()f x 为偶函数，ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k ，πϕ≤ ，0k ∴=时π2ϕ=，1k =-时π2ϕ=-，故选项B 错误；对于C ，综上()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f 或者()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x ，则()11f =-，故选项C 正确；对于D ，()1,1- A x ，()2,1B x -，14cos 11π2-=-x ，即10π2cos =x ，即1x 是函数πcos 2y x=的零点，()111,1-+ x x 的区间长度为2，是半个周期，则函数在()111,1x x -+上不具备单调性，故选项D 错误.故选：AC.12．BCD 【分析】根据题意可得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ，令4()()()F x f x g x x t x =-=++([1,4]x ∈)，结合对勾函数的性质可得函数()F x 的单调性，则4()5t F x t +≤≤+，进而有(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，结合4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 使得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 成立，令4()()()F x f x g x x t x=-=++，[1,4]x ∈，因为对勾函数4y x x=+在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以函数()F x 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，由(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+，得4()5t F x t +≤≤+，即*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤，所以(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，又4()()5n n t f x g x t +≤-≤+，则4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩，即952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，因为N ,3n n *∈≥，951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得64t -≤≤-.故选：BCD.13．()(),00,∞-+∞U .【分析】根据幂函数的定义，求得13a =-，得到y =.【详解】由幂函数3y x αα=-，可得31α-=，解得13a =-，即13y x -==，则满足0x ≠，即幂函数3y x αα=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .故答案为：()(),00,∞-+∞U .14．2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得tan 2θ=或tan 2θ=-，再根据θ是第二象限角即可得tan 2θ=-.【详解】由诱导公式可得()3cos π2cos 25θθ+=-=，所以3cos 25θ=-；根据二倍角公式可得222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，解得tan 2θ=或tan 2θ=-，又因为θ是第二象限角，所以tan 2θ=-.故答案为：2-15．37.5##752【分析】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，然后根据条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，因为摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，所以12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得55,65A k ==，因为每30min 转一圈，所以2π30T ω==，15πω=，当0=t 时，10h =，所以sin 1ϕ=-，所以可取π2ϕ=-，所以ππ55sin 65152h ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当5t =时，π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．[【分析】构造函数2()()f x x a =-，则将题目转化为当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤，分1a ≤-，1a ≥，10a -<≤，01a <<讨论，即可得到结果.【详解】设函数2()()f x x a =-，则当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤.当1a ≤-时，()f x 在[1,1]-上递增，则2(1)(1)1f a b =--≤，且2(1)(1)1f a b -=----≥，从而22222a a b a a ----≤≤，则22222a a a a ----≤，于是12a ≥-，矛盾；同理，当1a ≥，()f x 在[1,1]-上递减，则2(1)(1)1f a b =-≥--，且2(1)(1)1f a b -=--≤-，从而22222a a b a a -+---≤≤，则22222a a a a -+-≤--，于是12a ≤，矛盾；当10a -<≤，212b a a --≤≤,则22110a a a -≥-⇒-≤，10b -≤≤当01a <<，212b a a ---≤≤，则22110a a a --≥-⇒-≤，10b -≤≤由此得，a b +的取值范围是[.当且仅当1a =1b =-时，a b +=，当且仅当0a b ==时，0a b +=.故答案为:[17．(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.18．（1）8个；（2）3m .【解析】（1）求出集合{|25}A x x =-和{3,4,5,6,7,8,9}C =，再求A C ，根据集合子集的个数2n可得答案；（2）由题意可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论可得答案.【详解】（1）由23100x x -++≥解得25x -，所以{|25}A x x =- ，又因为{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z ，所以{3,4,5}A C ⋂=，所以A C 的子集的个数为328=个.（2）因为命题“x A B ∀∈⋃都有x A ∈”是真命题，所以A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩解得23m，综上所述：3m.19．(1)30,4⎛⎤ ⎝⎦(2)43π6【分析】（1）求条件可得π2πππ,[2π,2π4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，由此可求ω的取值范围，（2）由函数图象变换结论求函数()y g x =的解析式，要使b a -最小，则130,a x b x ==，研究1sin 2t =-的零点进而可以求出结果．【详解】（1）由题设2ππ11ππ34122T ω+=≤=，∴1211ω≤，∴304ω<≤，当π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，Z k ∈，解得3034k ω<≤+，Z k ∈．综上，ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）由题设()2sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位得ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()0g x =得π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令π43t x =+，设()y g x =在区间[],a b 上的30个零点分别为1230,,,x x x ，则113030ππ4,,433t x t x =+=+ ，1sin 2t =-在ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上有30个零点，要使b a -最小，则130,a x b x ==，因为sin y t =在每个周期内各有两个函数值为12-，所以15个周期里面有30个零点，则b a -最小时，若113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=，则301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以30143π6x x -=，即b a -的最小值为43π6．20．(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．(1){}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．(2)4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得2(3)(4)10a x a x -+--=，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于0即可求解；（2）易知函数1()ln()f x a x=+为定义域上为减函数，将问题转化成()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，再构造二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由[]1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭得2(3)(4)10a x a x -+--=；即[(3)1](1)0a x x --+=当3a =时，=1x -，经检验，满足题意；当2a =时，121x x ==-，经检验，满足题意；当2a ≠且3a ≠时，12121,1,3x x x x a ==-≠-，若1x 是原方程的解，当且仅当11230a a x +=->，即32a >，若2x 是原方程的解，当且仅当2110a a x +=-+>，即1a >，故当1x 是原方程的解，2x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且，无解，当2x 是原方程的解，1x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且，解得31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，a 的取值范围为{}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）不妨令121b x x b ≤≤≤+，则1211a a x x +>+，由于ln y x =单调递增，1y a x =+单调递减，所以函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[b ,1]b +上为减函数；()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，因为当1x ，2[x b ∈,1]b +，满足12|()()|ln4f x f x -≤，故只需11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，因为0a >，所以函数()233(1)1g b ab a b =++-为开口向上的二次函数，且对称轴为102a a+-<，故()g x 在1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当14b =时，y 有最小值33151(1)1164164a a a ++-=-，由1510164a -≥，得415a ≥，故a 的取值范围为4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．。
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杭州学军中学2020学年第一学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（1-8为单选题，每题一个正确答案，每题4分；第9题和第10题为多选题，少选和错选均不
给分，每题4分；合计40分）
1．若全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4}M =，{2,3}P =，则集合{5,6}=（ ）
A ．M P ⋃
B ．M P ⋂
C ．
(
)()U
U M P ⋃
D ．
(
)()U
U M P ⋂
2．命题p ：“*
N x ∀∈，11
22
x
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭”的否定为（ ）
A ．*
N x ∀∈，1122
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
B ．*
N x ∀∉，1122
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．*
0N x ∃∉，011
22
x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
D ．*
0N x ∃∈，011
22
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
3．设sin33a =︒，cos55b =︒，tan37c =︒，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
4．函数2
()22x x
x f x -=+的图象大致是（ ）
A
B
C
D
5．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD a =，AB b =，则OC =（ ）
A ．
36
a b - B ．
36
a b + C ．
233
a b + D ．
233
a b -
6．将函数sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象上各点沿x 轴向右平移
6
π
个单位长度，所得函数图象解析式可以是（ ） A ．sin 2y x =
B ．sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．cos 2y x =-
D ．cos 2y x =
7．设函数()y f x =，x R ∈，则“|()|y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当10x -≤<时，2
()f x x =，则方程
1
()02
f x +
=在[2,6]-内的所有根之和为（ ） A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
9．（多选题）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且4abc =，则下列结论正确的是（ ）
A ．2
2
4a b ab <+ B ．4ab a b ++> C ．2
2
4a b c ++>
D ．4a b c ++<
10．（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴．．．和y 轴正半．．
轴．
上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）
A ．||OA OC +有最大值也有最小值
B ．OA O
C ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值
D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值
二、填空题（11-13每空3分，14-17题每空4分，合计34分）
11
．已知函数2,0
()0
x
x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(3)f -=________；[(4)]f f =________．
12．若ABCD 是边长为2的菱形，且3
BAD π
∠=
，则AB AD ⋅=________，||AB CB -=________．
13．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-，则函数()f x 为________函数（奇偶性判断），函数()f x 的单
调递增区间是________．
14．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<
）的部分图象如图所示．则函数()
y f x =的解析式为________．
15．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的
小路（如图阴影部分所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =，若要使S 最大，则y =________．
16．若正实数x ，y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为________．
17．已知函数()|sin 2cos 2||sin cos ||(1)sin (1)cos |f x a x x x x a x a x =+++⋅++-，a R ∈，且函数
()y f x =的最大值为5，则实数a =________
．
三、解答题（18-19每题8分，20-22每题10分，合计46分） 18．求下列各式的值：
（Ⅰ）()13
2227log log 16lg 2lg 508-
⎛⎫
+++
⎪⎝⎭
；
．
19．某疫苗公司生产某种型号的疫苗，2016年平均每箱疫苗的成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．2017年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低2020年平均每箱疫苗出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率． （Ⅰ）求2020年的每箱疫苗成本；
（Ⅱ）以2016年的生产成本为基数，求2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率（精确到
0.01）． 1.414= 2.236=，lg 20.301=，lg30.477=）．
20．设函数2
()cos 22sin 3f x x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
． （I ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）若,42ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，且2()5f α=，求sin 2α．
21．已知函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义在R 上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （I ）确定函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若存在实数θ，使得不等式(
)2
(sin 2)2sin 10f f t θθ-+++<成立，求正实数．．．t 的取值范围．
22．设函数2
()(,)f x x ax b a b R =-+∈．
（I ）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；
（Ⅱ）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数
b 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 9．ABC 10．BD
11．
18；1
4
12．2； 13．偶；(2,0)-
14．2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
15．45 16．8 17．18．（I ）原式214
2233
=
++=．
（Ⅱ）原式
=
=
19．（I ）5000(120%)80%(150%)3200⨯+⨯÷+=元．
（Ⅱ）450000(1)32001111%
x x -=⇒==≈．
20．（I ）1()cos 221cos 22f x x x x =
+-1sin 26x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 当226
2x k π
π
π+
=-
+，即,3x x
k x k z ππ⎧⎫
∈-+=∈⎨⎬⎩⎭
∣时，max ()2f x =． （Ⅱ）21sin 265πα⎛
⎫
-+
= ⎪⎝
⎭，3sin 265
πα⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭，
341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=⋅=
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦． 21．（I ）2
()1x
f x x =
+，易证在(1,)+∞递减， （Ⅱ）()2
2sin
1(2sin )f t f θθ++<-，
22sin 1t θφ++>，2sin 1θ-≥， 22sin 12sin t θθ∴++>-，
()
2min
2sin sin 12t θθ∴>--+=-，(0,)t ∴∈+∞．
22．（I ）2
()2f x x x b =-+，(0)f b =，
(3)3f b =+，(1)1f b =-，max 3,1|()|1,1b b
f x b b +-≤⎧=⎨-<-⎩
．
（Ⅱ）由2(0)6f b ≤=≤知[2,6]b ∈，
26(0)b b
x a x x b x x
---≤-≤-<≤递减，
递增，)b 递减，
6
(3)(1236)0b
b b b b
-∴-≤
-⇒-++≤， 3b ∴≤，综上：[2,3]b ∈．。