第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
工程力学第七章 圆轴扭转
二、圆轴扭转的强度条件 1．圆轴扭转的强度条件 max M Tmax ≤
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
Wn≥M Tmax /
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
M Tmax ≤Wn
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
第七章 圆轴扭转
§7－1 圆轴扭转的力学模型 §7－2 扭矩和扭矩图 §7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第七章 圆轴扭转
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
Wn≥M Tmax /
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
M Tmax ≤Wn
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
第七章 圆轴扭转
§7－1 圆轴扭转的力学模型 §7－2 扭矩和扭矩图 §7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第七章 圆轴扭转
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
材料力学 第7章 扭转
Me
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
第7章 扭转的强度和刚度计算
WP
D3
16
1
4
3 M nmax 16
14 76.7mm
21
M n21L GIP
0.00734rad
13 34
M n13L MGn3I4PL
GIP
0.00917rad 0.00275rad
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n max GIP
1800
M n max
G d 4
1800
0 m
32
d
4
M nmax 180 32
G 2
4
7004 180 32
80109 2 0.3
0.114m 11.4 cm
由此应选直径 d maxd强，d刚＝max9.6,11.411.4cm
2. 选择空心圆轴直径
• 按强度条件
Mn WP
实心圆截面 d
d
d
2
IP 2dA 2 2 d 2 3d
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
D
IP
2
2 3d
D4 d4
d
32
d
D
2
IP
D4
32
1 4
WP
D3
16
1 4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模
量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。
清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
解：τ (ρ) = M x ρ Ip 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
工程力学-第7章
圆轴扭转时的剪应力分析
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式－例题 1 例题
实心轴 空心轴
d1=45 mm D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
1 A d 45×10 1 = 2 1 2 = ＝ .28 1 × 3 2 A2 D2 (1α ) 46×10 1 0.5
τ =τ′
D
z
剪应力互等定理
y
切应力互等定理
τ′
如果在微元的一对面上存在剪 应力，另一对与剪应力作用线互 相垂直的面上必然垂直大小相等 相垂直的面上必然垂直大小相等 、方向或相对(两剪应力的箭头相 x 方向或相对( 对)或相背(两剪应力的箭尾相对) 或相背(两剪应力的箭尾相对) ，以使微元保持平衡。这种相互 关系称为剪应力互等定理或 关系称为剪应力互等定理或剪应 力成对定理。 力成对定理。
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
τ = Gγ = Gρ
d dx
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 矩。于是有
平面假定
变 形 应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
圆轴扭转时的变形与刚度计算
圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。
圆轴扭转是指轴材受到扭矩作用产生的变形现象。
在圆轴扭转中，轴材会经历弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指轴材在扭矩作用下恢复原状的变形，而塑性变形则是指超过轴材弹性限度后产生的永久变形。
圆轴扭转可通过弹性力学原理进行分析。
根据胡克定律，弹性体的应力与应变之间有线性关系。
对圆轴来说，变形主要体现为轴材的剪切变形。
剪切形变角度φ与应力τ之间的关系为：τ=G*φ其中，G是剪切模量，表示材料抵抗剪切变形的能力。
φ是单位长度的圆周上小弧δs扭转对应的形变角。
通过积分可得到实际的扭转角θ与应力之间的关系：τ=G*θ/L其中，L是轴材的长度。
对于圆轴来说，扭转力矩T与应力分布之间的关系为：T=τ*A其中，A是轴材的横截面积。
将τ带入等式可得到扭转角与扭转力矩之间的关系：T=G*θ*A/L从上述公式可知，轴材扭转角度与扭转力矩之间存在一线性关系，即扭转刚度k。
k=G*A/L通过上述公式，可以得到轴材的扭转刚度。
扭转刚度越大，则轴材对于扭转力矩的抵抗能力越强。
此外，圆轴扭转时的变形也与材料的断裂强度有关。
当扭转力矩超过材料的断裂强度时，轴材会发生塑性变形，产生永久变形。
在实际应用中，通常会根据所需要的刚度和工作条件来选择合适的轴材及其横截面积。
在计算中需要考虑到轴材的材料特性、几何形状和所受的载荷等因素。
此外，还可以通过模拟实验或数值计算的方法对扭转变形和刚度进行验证和评估。
总之，圆轴扭转时的变形与刚度计算是机械工程中的一项重要内容。
通过弹性力学原理，可以分析轴材在扭转力矩作用下的变形情况，并计算出轴材的扭转刚度。
这对于轴类零件的设计和工程应用具有重要意义。
7-3圆轴扭转时的应力及强度条件
6
G空心轴
A2 L
D12 D2 d 2
532 2 3.21 2 90 85
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7 . 5 M T 9 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 . 2 N m x n 1 0 0 M 1 6 M Tx Tx 4 0 M P a 实心轴 m a x 1 3 W π d P 1 1
d mm 2 76
5.选同一直径时
d d 86 . 4 mm 1
d1
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
A
C
M e2
d2
M
M
B
e3
e1
4580 N m
7640 N m
d1
C
受力合理
A
M
e1
d2
M
M e2
B
e3
3060 N m
4580 N m
• 例 某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速 n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应力 [τ ]=50MPa，试校核轴的强度。
M 1 6 M T T x 3 x4 4 0 M P a m a x 2 W π D P 2 2 1
1 67 1 6 . 2 D 0 . 0 4 6 m = 4 6 m m 3 2 4 6 π 1 4 01 0
d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
G空心轴
A2 L
D12 D2 d 2
532 2 3.21 2 90 85
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7 . 5 M T 9 5 4 9 9 5 4 9 7 1 6 . 2 N m x n 1 0 0 M 1 6 M Tx Tx 4 0 M P a 实心轴 m a x 1 3 W π d P 1 1
d mm 2 76
5.选同一直径时
d d 86 . 4 mm 1
d1
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
A
C
M e2
d2
M
M
B
e3
e1
4580 N m
7640 N m
d1
C
受力合理
A
M
e1
d2
M
M e2
B
e3
3060 N m
4580 N m
• 例 某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速 n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应力 [τ ]=50MPa，试校核轴的强度。
M 1 6 M T T x 3 x4 4 0 M P a m a x 2 W π D P 2 2 1
1 67 1 6 . 2 D 0 . 0 4 6 m = 4 6 m m 3 2 4 6 π 1 4 01 0
d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
圆轴扭转变形和刚度计算
14
焊接前轴在m作用下的扭转角为
ml G 1I p1
1 2 变形协调条件
2
T2l G 2I p2
1
T1l G 1I p1
m
T2
m
T1
2 1
15
ml G 1I p1
2
T2l G 2Ip2
1
T1l G 1I p1
T1l T2l ml G1Ip1 G2Ip2 G1Ip1
T1-T2=0
T1
2
等截面薄壁圆管扭转变形公式
对于长为l，T=Const，等截面薄壁圆 管，扭转变形为：
Tl
2G R03
R0
3
二、圆轴扭转刚度条件
d T
单位长度扭转角：
(rad/m)
dx GIp
定义：单位长度许用扭转角为[ ]。圆轴扭转的刚度条件为：
T GIp
max
[]
(rad/m)
or GTIpmax180[] /m
mD9549P n D446Nm
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1350Nm
mB+ mC+ T2=0
T2700Nm
-mD+ T3=0
T3 446Nm
3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
Tm axT 2700Nm 5. 强度设计
T
max
max
16
d0316 T m ax316 50 70 0 1 (0 N 6(P m a ))0.04147m
32mx
GIp
Gd241d1d2d2
x4dx
l
在0到l区间内积分，得
G 3 2d m 24 0l1d1d x 2d2x l4dx3G 16 m d1 l2d 22 212d d1 2
07-2圆轴扭转变形和刚度091116
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角： φ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ϕl 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
28
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角：
Mx φ＝ l GI p M xi li GI pi
M n＝∫ ρτ P dA
A
？
15
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA =
A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
16
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
图9.1 扭转变形
4
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，任意两个横截面之间发生绕轴线的 相对转角（扭转角），图示p151。 ），图示 相对转角（扭转角），图示 。
5
6
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
7
剪应变： 剪应变：
P153式（6－27） 式 － ）
Mn τ max＝ ≤ [τ ] Wp
31
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件 τ
max
＝......
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
τ max＝
32
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
Mx Mx φ＝∫ dφ = ∫ dx = l＝ϕl 0 0 GI GI p p
l l
若在 l 内，Mx为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆 为定值且圆轴为同一材料的等截面直杆
28
两截面间的扭转角： 两截面间的扭转角：
Mx φ＝ l GI p M xi li GI pi
M n＝∫ ρτ P dA
A
？
15
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA =
A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
Ip表示截面对原点 的极惯性矩 表示截面对原点O的极惯性矩
16
（1）圆轴扭转变形的静力学关系 ）
M n＝∫ ρτ P dA = Gϕ ∫ ρ dA
2 A A
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
图9.1 扭转变形
4
7.2圆轴扭转的变形和刚度 圆轴扭转的变形和刚度
圆轴扭转时， 圆轴扭转时，任意两个横截面之间发生绕轴线的 相对转角（扭转角），图示p151。 ），图示 相对转角（扭转角），图示 。
5
6
剪应变： 剪应变：
bb’ bb’ γ ≈ tanγ＝ ＝ ab dx
7
剪应变： 剪应变：
P153式（6－27） 式 － ）
Mn τ max＝ ≤ [τ ] Wp
31
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件 τ
max
＝......
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
τ max＝
32
圆轴扭转时的强度条件： 圆轴扭转时的强度条件： 强度条件
Mn ϕ＝ GI p
τ p＝Gγ P＝Gρϕ
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。
工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。
通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。
本讲主要分析圆截面杆的扭转。
非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。
图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。
力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。
● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。
实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。
二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。
例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。
若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
解: (1) 计算力偶距m 2 。
m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。
（3）根据强度条件计算直径。
从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。
圆轴扭转时的应力与强度计算
4)
π 32
(904
804 ) mm4
1.32 106
mm4
2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为
TT内AT Ipd 2
1.5103 85103 2
1.32106 1012
Pa
48.3106 Pa 48.3MP a
外
B
T Ip
D 2
1.5103 90 103 2
1.32106 1012
④ 由于各纵向线都倾斜了一个 角度 ，故各矩形 网格的直角都改变了 角，直角的改变量称为切应变。 切应变 是切应力τ引起的。
2. 圆轴扭转时横截面上的切应力
（1）切应力的计算公式
圆轴扭转时横截面上的切应力的计算公式为（推导
从略）
T
Ip
式中：T——横截面上的扭矩，以绝对
T
值代入；
——横截面上欲求应力的点处
●扭转时横截面上切应力的计算公式只适用于 圆轴。
（3）极惯性矩和扭转截面系数的计算
极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp是只与横截面形状、 尺寸有关的几何量。
直径为D的圆截面和外径为D、内径为d的圆环形截 面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为
圆截面：
πD4
Ip 32
Wp
πD3 16
圆环形截面： πD4 Ip 32
Tmax
Wp
4103 N m 1.16104 m3
34.5106 Pa
=34.5MPa<[τ]=50MPa
可见轴是安全的。
【例4.11】 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合 器连在一起，如图所示。已知轴的转速n=100r/min， 传递功率P=10kW，材料的许用切应力[τ]=20MPa。 （1）选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径 比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与 空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2.扭矩和扭矩图
T = Me
5
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
30
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
例题7－4
31
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6
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
画出扭矩图
7
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 7.2剪应力互等原理
3
35
3
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解：1、计算各轴的功率与转速
z1 36 n1=n2= 120r/min n3＝n1 ＝120 r/min ＝360r/min z3 12
23
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
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单向应力：微体仅 在一对相互平行的 截面上承受正应力
纯剪切：微体仅 承受切应力
微体两种最基本的受力形式
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
长为 l ，扭矩为 T 的等截面圆轴，其两端横截面 间的相对转角为：
Tl ＝ GI p
对于扭矩、截面积或者切变模量沿轴线逐段变化 的圆截面轴，其两端横截面间的相对转角为： 叠加原理：
max H
T2 16 557 Pa 22.69MPa 3 -9 WP 2 π 50 10
T3 16 185.7 max C Pa 21.98MPa 3 -9 WP3 π 35 10
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16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d2＝0.5D2=23 mm
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm
d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3 2
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
7.3.3 静力学方程
A
G
d dA T dx
圆轴扭转变形的基本公式
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
• 总结
圆轴最大扭转切应力
T Ip
当ρ＝R时应力最大
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
Ip 与 Wp 的计算
实心轴
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Ti li ＝ i 1 Gi I pi
33
n
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 传 动 轴 的 转 速 为 n =500r/min ， 主 动 轮 A 输 入 功 率 P1=400kW ， 从 动 轮 C ， B 分 别 输 出 功 率 P2=160kW ， P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
解： 1.外力
M e2
P 400 1 M e1 9549 9549 7640 N m n 500 160 240 M e1 3060 N m M e3 M e1 4580 N m 400 400
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空心轴
令
则
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实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2、计算各轴的扭矩
M2
3
P M 9549 n
P1
M3
M1
P M 1 9549 1 1114 NM n1 P2 M 2 9549 557 NM n2 P3 M 3 9549 185.7 NM n3
T1=M1=1114 NM
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2
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16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
空心轴
max2
M 16 M T T x 40MPa x 3 WP 2 πD2 1 4
T2=M2=557 NM
T3=M3=185.7 NM
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
3
3、计算各轴的横截面上的 最大切应力
T1 16 1114 max E Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
已知：P＝7.5kW, n =100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7.5 M x T 9549 9549 716.2N M n 100 M 16 M T x max1 T3 x 40MPa 实心轴 WP1 πd1
7.3.1 变形协调方程
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7.3.2 弹性范围内的剪应力－剪应变关系
G
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2.扭矩图 3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
max
16T 3 d1
4580 N m 7640 N m
16T 16 7640 3 d1 82 . 2 10 m 82.2mm 6 π[ ] π 7010
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 7.4 圆轴扭转时的强度与刚度设计