东北大学高数试题上

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东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017=-+x x 共有个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。

（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小；无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1

东北大学大一公共课专业高等数学统考试卷及答案 (3)

东北大学?微积分〔下〕?自测试卷3〔时间120分钟，总分100〕学院〔系〕专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题 1．[3分]211x+的幂级数展开式为 2．[3分]幂级数()()21!2!nn n x n ∞=∑的收敛半径为3．[3分]假设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂4．[3分] 二次积分()()20,0af x y dx a >⎰在极坐标下的二次积分为5．[3分]设区域(){}22,4,0D x y xy y =+≤≥，利用被积函数的对称性及区域的对称性知积分()32Dx x y d σ+=⎰⎰6、[3分]设()()ln 11ydu x y dx e x dy -=-++++⎡⎤⎣⎦，则(),u x y =二、计算1、[5分]设()2,xz f ye x y =，且f 具有二阶连续偏导数，求2,f f x y x∂∂∂∂∂ 2、[6分]设x y z yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 具有二阶连续偏导数，求222z z x y x x y ∂∂+∂∂∂3、[6分]设()()(),xyz f u u u g t dt ϕ==+⎰，其中()g t 连续，()(),u f u ϕ均可导，且()1u ϕ'≠，求()()z zg y g x x y∂∂+∂∂ 4、[7分]求函数()()22(,)64f x y x xy y =--的极值5、[6分] 计算二重积分,x yDedxdy D ⎰⎰由2,0,1y x x y ===所围6、[6分计算,DD 由直线,0,y x y x a ===所围7、[6分] 判别级数())111n n n ∞-=-∑的敛散性，假设收敛，说明示条件收敛还是绝对收敛8、[7分] 将函数()212f x x x =--展开为3x -的幂级数9、[7分]求微分方程()1222xy y x y'=++的通解10、[8分]设生产某种产品的数量与所用的两种原料,A B 的数量,x y 间有关系式(),3Q x y x y αβ=，其中,αβ为正常数，且1αβ+=。

[东北大学]21春学期《高等数学(一)》在线平时作业1答卷

[东北大学]21春学期《高等数学(一）》在线平时作业1 试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)
1.
A.偶函数
B.奇函数
C.无界函数
D.单调函数
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:A
2.{题目为图片形式}
A.1
B.3
C.0
D.2
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
3.{题目为图片形式}
A.{题目为图片形式}
B.{题目为图片形式}
C.{题目为图片形式}
D.{题目为图片形式}
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
4.
A.
B.
C.
D.
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:C
5.{题目为图片形式}
A.A
B.B
C.C
D.D
解析：参看课本303，并分析回答
选项正确的是:B
6.{题目为图片形式}。

【东北大学】21春学期《高等数学(一)》在线平时作业1-学习资料答案

【东北大学】21春学期《高等数学(一）》在线平时作业1 注：本材料是东北大学2021年春季课程辅导资料，仅作为学习参考！！！一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)1.【A.】偶函数【B.】奇函数【C.】无界函数【D.】单调函数[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:A2.{此题目不显示}【A.】1【B.】3【C.】0【D.】2[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B3.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B4.【A.】【B.】【C.】【D.】[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C5.{此题目不显示}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:B6.{此题目不显示}【A.】A【B.】B【C.】C【D.】D[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:D7.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C8.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C9.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:C10.{此题目不显示}【A.】{此题目不显示}【B.】{此题目不显示}【C.】{此题目不显示}【D.】{此题目不显示}[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:A二、判断题 (共 10 道试题,共 50 分)11.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确12.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确13.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确14.无穷小是一个函数（）【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:正确15.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误16.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误17.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误18.【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误19.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误20.{此题目不显示}【A.】正确【B.】错误[提示：按照课程学习要求，对以上试题进行分析,并从中选择答案填写在答题卡上] 参考选项是:错误。

东北大学高等数学1-3

10 2 13、lim n 10 n 1 5
n
习题答案
• 4、 2 5、0 6、0
7、 2
8、 1
11、1
9、0
12、1
3 10、 2 1 13、 10
1 5、lim n n 2
1 6、lim 1 n n 1 2 2 7、lim n n
n
n 1 8、 lim n n 1 1 9、 lim 2 n n
3n 1 10、lim n 2n 1
n a 11、lim n n
2
n
2
0.999 9 12、lim n
故 lim x n a .
n
三、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },

高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

21 D. 21 C. 12 B. 21 A.)A (4 sin 1cos cos 22----+=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.=+→xx x sin 2)31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

东北大学大一公共课专业高等数学统考试卷及答案 (2)

东北大学?微积分〔下〕?自测试卷2〔时间120分钟，总分100〕学院〔系〕专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]假设(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]假设()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域 6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()ln f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >=单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑收敛参考答案及提示一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰ 三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑收敛。

高等数学东北大学出版社第15章和第810章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与y=是同一函数（2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数（8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π（3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→n n （3）2sinπn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x n n 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n nn n2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim=++∞→x x（3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim =++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量（2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，x e 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量（6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x xx x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→xx xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩，则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的.3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x -→∞- 1-=e15.101lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。

(完整)东北大学历年期末高等数学试题

3．方程017=-+x x 共有个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。

（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。

2008-2009-1高数试题

1 ⎧ 2 ⎪ x sin , 三、分）设函数 f ( x) = ⎨ （8 x ⎪ x sin x, ⎩
x>0 x≤0
，求 f ′( x) .
ξ ∈ ( a, b) ；
ξ ∈ ( x1 , b) ；
(C) f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 − x1 ) ， ξ ∈ ( x1 , x2 ) ； (D) f ( x2 ) − f ( a ) = f ′(ξ )( x2 − a ) ， 5. 设函数 f ( x) =
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共计 15 分) ]
1 ⎧ ⎪(cos x) x2 , x ≠ 0 1. 已知 f ( x) = ⎨ ，在 x = 0 处连续，则 a = ⎪ a, x=0 ⎩
(A) 必要充分条件； (C) 必 ′( x) = f ( x) ，则[ (A) (C)
2.
∫
x 2 dx 4 − x2
.
d2y 3 . 设函数 y = y ( x) 由 y = 1 + xe 确定，求 2 . dx
y
⎧ xe − x , 六、(8 分) 设函数 f ( x) = ⎨ ⎩1 + x,
x≥0 x<0
，计算
∫
2 0
f ( x − 1)dx .
4. 设函数 f ( x) 连续，且
内质点所经过的路程等于
(米).
(e x − 1) 高阶的无穷小，则正整数 n =[
2
].
5. 以 y1 = cos 2 x ， y2 = sin 2 x 为特解的常系数齐次线性微分方程为 .
(A) 1；
(B) 2 ； (C) 3；

东北大学文科高数一期末试卷练习题 (5)

…
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学院班级学号姓名
…
… 2. 求由 xy2 ey cos(x2 ) 0 所确定函数的微分 dy . …
… 解.由于： y2dx 2xydy eydy 2x sin(x2 )dx 0
2分
…
○ …
所以，
dy
2x sin(x2 ) 2xy ey
y2
dx
x
(1 cos t)dt
3.
lim
x0
0
x sin x2
__________1/6_________.
4.向量组1 (1, 2,1)T ，2 (2, 3, 4)T ，3 (1, 1, 3)T 的秩 r{1, 2 ,3} ___ 2 ____ .
… 2.下列函数在指定的变化过程中，哪个是无穷小？[ D ];
9/2
2分 3分 4分
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学院班级学号姓名
…
…
…
得分：
…
六.（4
分）
a
为何值时线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1 2x1 x2 3x3 4x4 2
有解？有
3x1 3x2 4x3 5x4 a
…
○
…
解 .由于
解时求其通解.
…
1 1 2 3 1 1 5 0 1 1
A
的逆矩阵
A1
[
C ];
lim x( 1 sin x 1 sin x )
2分
x0
2sin x
1
3分
线 … …
( A)
4 2
13
；
(B)
1 2
43 ，

高等数学b东北师范大学试题及答案

高等数学b东北师范大学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的通解？A. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} \)B. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln x + C_2 x \)答案：A2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 如果函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导，那么下列说法正确的是：A. \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处不可导C. \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处不连续D. \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处单调递增答案：A4. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数是：A. \( 3x^2 - 12x + 11 \)B. \( 3x^2 - 6x + 11 \)C. \( 3x^2 - 12x + 6 \)D. \( 3x^2 - 12x + 6 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：C6. 以下哪个选项是函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数？A. \( x \ln(x) \)B. \( x \ln(x) - x \)C. \( x \ln(x) + x \)D. \( x \ln(x) - x + 1 \)答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则 \( f'(x) \) 等于 ________。

东北大学高数试题

东北大学高等数学(上)期末考试试卷2006.1.一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1．下列结论中，正确的是（）（A ）有界数列必收敛；（B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调.2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠ )(x f 在0x 点连续；≡ )(x f 在0x 点可导；≈ )(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（）.（A ）≡ ⇒ ≈ ⇒ ≠；（B ）≡ ⇒ ≠ ⇒≈ ；（C ）≈ ⇒ ≠ ⇒ ≡ ；（D ）≠ ⇒≡ ⇒ ≈ .3. 曲线3x y x=-（）. （A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线；（B ）仅有水平渐近线；（C ）仅有垂直渐近线；（D ）无任何渐近线.4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()ba f x f x dx =⎰存在的必要条件是（）（A ）)(x f 在[,]a b 上可导；（B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续；（C ）)(x f 在[,]a b 上有界；（D ）)(x f 在[,]a b 上单调.5．()y y x =是微分方程23x y y e ''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（）（A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加；（B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少；（C ）()y x 在0x 取极大值；（D ）()y x 在0x 取极小值.6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（）.（A ）1sin x +；（B ）1sin x -；（C ）1cos x -；（D ）1cos x +.二、填空题（本题36分，每小题4分）1．1lim 1x x x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ . 2．1()11f x x=+的可去间断点是x = .3．1arctan y x=，则dy = .4．10x xe dx ⎰的值是 .5．20tan lim sin x x x x x→-= . 6. 0x +→2x x α ，则α= . 7. 0(2)(3)dx x x +∞=++⎰ . 8. 设2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则22d y dx = . 9. 微分方程14dy y dx x-=-满足条件(1)1y =的特解是y = . 三、（8分）计算不定积分22arctan 1x x dx x+⎰. 四、（8分）求曲线326124y x x x =-++的升降区间，凹凸区间及拐点.五、（8分）求微分方程323x y y y xe -'''++=的通解.六、（10分）在[]0,1上给定函数2y x =，问t 为何值时，如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.七、（6分）设)(x f 在[],a b 上连续，且不恒为常数. 又)(x f 在(,)a b 内可微，且()()f a f b =. 试证：(,)a b ξ∃∈使()0f ξ'>.t。

高等数学(东北大学出版社)第5章和第8-10章习题集和复习资料题标准参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数（2）y x =与（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数（4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数（2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数（4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数（6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数（8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的（2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的（4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界（3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限（4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量（2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量（4）+∞→x 时，xe 是无穷大量（5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量（6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量（8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价（２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限：（1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限：（1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数（B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数（D ）周期函数二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩，则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。

东北大学2011-2012-1高等代数试卷及答案

封…………○………线……………………………东北大学期末考试试卷（ B 卷）2011 ---2012 学年第一学期课程名称：高等代数工（一）B . (2-n n A . 12213443-a a a a ； B . 12233441-a a a a ；C . 12223443-a a a a ；D . 12233444-a a a a .3．若方程组12120λλ+=⎧⎨+=⎩x x x x 有非零解，则λ为（）.A .任意值；B . 1±；C .1；D . -1. 4．若线性方程组增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，下面正确的是( ) .A. 方程组无解；B. 方程组有唯一解；C. 方程组有无穷解；D. 方程组有解.5. A ，B ，C 均为3级方阵，设A 经第3行乘以5后变为B ，B 经过第3行与第1行交换位置变成C ，若设PA =C ，则P 为( ) .A .500001010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；B.500010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C.005010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D. 005100010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设n 级方阵B 与C 满足'=B C C ，其中0=C ，则矩阵B 是（）. A . 正定的； B . 半正定的； C. 负定的； D. 半负定的.2．设行列式41248104811111211-=-D ，ij A 为ij a 的代数余子式，则1222324222-+-=A A A A .3. 设3级方阵A 按列分块为A =),,(γβα，且5=A ，又设()2,3,γαβα=-B ，则=B .4．矩阵101021210⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A , 则矩阵A 的伴随矩阵*A = . 5．二次型12(,,,)'=n f x x x X AX 在线性替换=X CY 下二次型的矩阵为 .6．t 满足时，二次型222112132233222222-++-+-x tx x tx x x tx x x 是负定的.…………○………线………………………本试卷共 3 页，第2 页……………○………线……………………………2．（7分）设A为方阵，且2=A A，求证：()(21)+=+-k kA E E A.3．（8分）假设向量β可以经向量组12,,,αααn线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是12,,,αααn线性无关.3 页高代工一11-12-1学期2012.1-B(答案及评分标准)一、1. C ；2. B ；3. B ；4. D ；5. C ；6. B二、1. 8；2. 72；3. -15；4. 112221412--⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭；5. 'C AC ；6. 21t -<< 三、1.解：利用行列式性质 45r xr +，34r xr +， ………….. 3分 =543254321x x x x x +++++ ………….. 2分2.解：011121020022200101001111001001101100001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，秩为4 ………….. 3分 1235,,,αααα为一个极大线性无关组 ………….. 3分（或1345,,,αααα，或2345,,,αααα）4122ααα=- ………….. 3分四、解：由11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，得2212132324y y y y y y --+=22213233()(2)3y y y y y ---+，由113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，=2221233z z z -+ ………….. 4分所用非退化线性替换为1110101113110012111001001001X Z Z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，….. 5分在复数域上，令1113100111001300100/3003iX i W i W⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=---= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w++………….. 3分在实数域上，令111131001110011/31001030030X W W⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则规范形=222123w w w+-………….. 3分五、解：12111(2)(1)11λλλλ=---，当21λλ≠≠且时，有唯一解；………….. 5分当=2λ时，1212103/521212011/5021140000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，有无穷解；通解为230105k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….. 5分当=1λ时，121210101111010011140001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解. ………….. 5分六、1.解：1111100112--⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭010231121⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭，1111022110-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭11/2011/21111-⎛⎫⎪--⎪⎪-⎝⎭，……….. 3分X=1111101100110112011--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1111022110-⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭=21169/25433--⎛⎫⎪--⎪⎪--⎝⎭……….. 2分2.证明：由A与E可交换，得001110()k k k k kk k kA E C A E C A E C A E-+=+++……….. 5分1()kk kE A C C E+++=(21)kE A+-……….. 2分3.证明：必要性反证法若12,,nααα相关，则存在不全为零的12,,nk k k使1122n n k k k ααα+++=0. 若有1122n n p p p βααα=+++，则有111()()n n n p k p k βαα=++++，这与条件矛盾，故12,,n ααα必无关. ……….. 4分充分性反证法若表法不唯一，设有1122n n l l l βααα=+++及1122n n k k k βααα=+++，则必有111222()()()n n n l k l k l k ααα-+-++-=0，由表法不唯一，说明12,,n ααα相关，矛盾，故表法必唯一. ……….. 4分。

2007-2008-1T东北大学期末考试高数题

七、（7 分）设当 x 1 时，可微函数 f ( x) 满足
f ( x) f ( x)
1 x f (t )dt 0 ， x 1 0
f (0) 1 .
1. 求 f ( x) ； 2. 证明：当 x 0 时， f ( x) e x ．
六、（7 分）求心形线 r a(1 cos ) 与圆 r 3a cos 所围图形公共部分的面积．
八、（ 4 分）设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) 0 ，证明

b a
f ( x)dx (b a) f (
ab )． 2
3
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）
1. y 3 e 2 x sin( xy ) 0 在 x 0 处的切线方程是
．
2. 一个圆锥形容器，深度为 10m，上面的顶圆半径为 4m，则灌入水时水的体积 V 对
水面高度 h 的变化率为．
1
…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………
2
1 x2 dx ． x2
d2 y x ln 1 t 2 3. 设，计算 2 ． dx y arctan t
6. 求微分方程 y 4 y x cos x 的通解．
2
…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………
五、（7 分）由曲线 y 0 ， x 8 ， y x 2 围成曲边三角形 OAB ，其中 A 为 y 0 与 x 8 的交点，B 为 y x 2 与 x 8 的交点．在曲边 OB 上求一点，过此点作 y x 2 的切线，使该切线与直线段 OA ， AB 所围成的三角形面积为最大．

[东北大学]21春学期《高等数学(一)》在线平时作业3辅导学习资料

[东北大学]21春学期《高等数学(一）》在线平时作业3 注：本试卷为东北大学2021年课程学习材料，仅作参考学习使用！！！
一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)
1.
A.
B.
C.
D.
[仔细阅读上述题目，并从中选择你认为正确的选项进行作答]
正确选择:B
2.若2/3 lncos2x是f(x)=ktan2x的一个原函数，则k=( )
A.2/3
B.-2/3
C.4/3
D.-4/3
[仔细阅读上述题目，并从中选择你认为正确的选项进行作答]
正确选择:D
3.{图}
A.-2
B.2
C.-1
D.1
[仔细阅读上述题目，并从中选择你认为正确的选项进行作答]
正确选择:B
4.
A.
B.
C.
D.
[仔细阅读上述题目，并从中选择你认为正确的选项进行作答]
正确选择:C
5.{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
[仔细阅读上述题目，并从中选择你认为正确的选项进行作答]
正确选择:A。