反比例函数K的几何意义专题

合集下载

专题01 用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(解析版)

专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。

反比例函数中k的几何意义的应用

反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。

1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。

当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。

2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。

当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。

3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。

4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。

5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。

总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。

它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。

因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。

反比例函数k的几何意义专项训练及答案

反比例函数K 的几何意义专项训练及答案（中考复习）1、如图（1）所示，已知反比例函数 y =x k 和 y =x 1分别过点 A 和点 B ，且 AB // x 轴， S ABC △ =23，点C 是 x 轴上任意一点，则 k =____________. 2、如图（2）所示,矩形ABOC 的顶点B ，C 分别在x 轴，y 轴上,顶点A 在第二象限,点B 的坐标为(-2,0)，将线段OC 绕点O 逆时针旋转60°至线段0D,若反比例函数y=xk （k ≠0）的图像经过A ，D 两点，则k 的值为_____________. 3、如图（3）所示,面积为25的Rt △OAB 的斜边OB 在x 轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=xk 的图象恰好经过点A ，则k 的值为______________.4、如图(4)所示,A ⎪⎭⎫ ⎝⎛1y 21，，B ()2y 2，为反比例数y=x 2图象上的两点，动点P(x,0)在x 轴上运动,当|AP-BPI 的值最大时，连接OA ，则△AOP 的面积为_________.5、如图(5)所示,反比例函数y=x12在第一象限内的分支经过菱形OACB 的顶点A,B,且点A,B 的横纵坐标都为正整数,则点C 的坐标为__________________.6、如图（6）所示,在反比例函数y=xk 的图象上有A,B 两点,过点A 作AC ⊥x 轴，交x 轴于点C ，连接BC 并延长交y 轴于点D,连接AB,AD,若BD=4CD,ABD S △=8,则k 的值为__________________.（1）（2）（3）7、如图（7）所示,直线y=3x-6分别交x ，y 轴于点A ，B ，M 是反比例函数y=xa (x>0)的图象上位于直线AB 上方的一点，MC//x 轴交AB 于点C,MD ⊥MC 交AB 于点D,若AC ·BD=43则a 的值为__________.8如图(8)所示，正方形ABCD 的顶点A.B 分别在x ，y 轴上，tan ABO=3,正方形的面积为10,反比例函数y=xk 的图象经过点D,则k 的值是_______________. 9如图（9）所示,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点A 在反比例函数y=x 1上，顶点B 在反比例函数y=xk 上,AB ∥x 轴,△OAB 的面积是3，则k 的值为____________. 10、如图（10）所示,在平面直角坐标系中,等边三角形的顶点 A 在反比例函数y=x 1（x>0）上,顶点B,C 在反比例函数y=xk (x>0)上,且点B,C 关于直线y=x 对称.若等边三角形的边长为62，则k 的值为________________.（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）参考答案1、-22、3316-3、5-4、55、（13,13）或（8,8）或（7,7）6、-47、-38、-69、7 10、13。

反比例函数中k的几何意义

专题二反比例函数中k的几何意义
【主干必备】反比例函数中比例系数k的几何意义设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】

反比例函数k几何意义专项练习测验题

反比例函数k 地几何意义专项练习1、如图，矩形AOCB 地两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 地坐标为B （20,53-），D 是AB 边上地一点.将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上地点E 处，若点E 在一反比例函数地图像上，那么该函数地解析式是 .2、如图，点P 在反比例函数地图象上，过P 点作PA ⊥x 轴于A 点，作PB ⊥y 轴于B 点，矩形OAPB 地面积为9，则该反比例函数地解析式为.3、如图, 如果函数y=－x 与y=x4-地图像交于A 、B 两点, 过点A 作AC 垂直于y 轴, 垂足为点C, 则△BOC 地面积为___________.4、如图，正方形OABC ，ADEF 地顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数()10y x x=>地图象上，则点E 地坐标是( )A 、11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B 、3322⎛+ ⎝⎭C 、⎝⎭D 、⎝⎭ 5、反比例函数xky =地图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 地值为（）(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-46、如图，A 、B 是反比例函数y ＝x2地图象上地两点．AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ．AB 地延长线交x 轴于点E ．若C 、D 地坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 地面积与ΔACE 地面积地比值是( )． A ．21 B ．41 Ｃ．81 D ．1617、如图5，A 、B 是函数2y x=地图象上关于原点对称地任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 地面积记为S ，则（）A ．2S =B ．4S =C ．24S <<D ．4S >8、如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 地值是（） A ．2 B 、m-2 C 、mD 、49、如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 地边BC 地中点E ，交AB 于点D.若梯形ODBC 地面积为3，则双曲线地解析式为A ．x y 1=B ．x y 2=C ． x y 3=D ．xy 6=10、如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上地一个定点，点B 是图5双曲线3y x=（0x >）上地一个动点，当点B 地横坐标逐渐增大时， OAB △地面积将会A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小11、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 地中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 地面积为3，则k ＝____________．12、已知，点p 是反比例函数2y x=图像上地一个动点，p 地半径为1，当p 与坐标轴相交时，点p 地横坐标x 地取值范围Zzz6Z 。

培优专题(一) 反比例函数比例系数k的几何意义

A．1 C.2
B．32 D．52
图9
三、k 与矩形的面积 9．如图 10，点 A 是双曲线 y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点 B，C，D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( D )
A．－1 C．2
B．1 D．－2
图 10
∴一次函数的表达式为 y＝－x－5.
(2)由y＝4x， y＝－x－5，
解得xy＝＝－－14，或xy＝＝－－41，，
∴点 P(－1，－4)．
在一次函数 y＝－x－5 中，令 y＝0，
得－x－5＝0，解得 x＝－5，∴A(－5,0)．
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ ＝12×5×4－12×5×1
x>0)的图象分别相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点．若
△ABC 的面积为 4，则 k1－k2 的值为( A )
A．8
B．－8
C.4
D．－4
图6
6．[2018·贵阳]如图 7，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 y＝3x与 y＝－6x的图象交于点 A 和点 B.若 C 为 y 轴上任意一点，连接 AC，BC，则△ABC 的面积为 4．5 .
S△BCF＝CF2·BC＝43a×2 ka1＝23k1， S△ABE＝AB2·AE＝2a×2－ka2＝－k2. ∵S△BEF＝7， ∴2k1＋23k2－23k1＋k2＝7，
整理，得43k1＋53k2＝7，① ∵k1＋3k2＝0， ∴k2＝－13k1，代入①，得 43k1＋53×－13k1＝7，解得 k1＝9.
点 O 的对称点)
应用归纳：一、k 与三角形的面积

反比例K的几何意义专题训练

《反比例函数k 的几何意义》专题班级姓名想不付出任何代价而得到幸福，那是神话。

—— 徐特立1．如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >2．如图，直线y=mx 与双曲线y =xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（） A ．2B 、m-2C 、mD 、43．如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A ．x y 1=B ．x y 2=C ． x y 3=D ．xy 6= 4．如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会（） A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小5.如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．6．如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．7.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .8.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．．9．如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（，）.10.如图, 123,,P P P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图象上的三个点.经过这三个点分别作y 轴的垂线,垂足分别为123,,A A A 设112233,,,P AO P A O P A O ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,试比较这三个三角形面积的大小如图，已知点A 在反比例函数4y=x 图象上，点B 在反比例函数k y=x(k ≠0)的图象上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，若OC =13OD ，则k 的值为【】A 、10B 、12C 、14D 、16如右图是y kx b =+与my x=在同一坐标系中的图象请判断： k 0，b 0，m 0。

反比例函数系数k的几何意义专题训练

反比例函数系数k的几何意义1．（2013•牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．2．（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．1题2题4题3．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A．B．C．D．4．（2013•宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（）A．1B．2C．3D．45．（2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）5题A．1B．2C．3D．4二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_________．6题7题8题7．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3、P4点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3、P4分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3则+ S1+S2+S3=8．（2013•张家界）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是_________．9.（2011辽宁阜新,6,3分）反比例函数6yx=与3yx=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）10.过反比例函数y=（k≠0）图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，C，如果△ABC的面积为3．则k的值为．11.（2011湖北孝感，15，3分）如图，点A在双曲线y=1x，点B在双曲线y=3x上，且AB∥x轴，C．D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为9题11题。

反比例函数k的几何意义题目

反比例函数k的几何意义题目
反比例函数是一种特殊的函数形式，其定义为f(x) = k/x，其中k是一个非零常数。

反比例函数的几何意义可以通过其图像来理解。

当k为正数时，函数图像呈现出一条经过原点的拋物线，开口朝下。

当x值增大时，f(x)的值逐渐减小，但是递减的速度越来越慢。

当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于0。

同样地，当x值减小时，f(x)的值逐渐增大，但是增长的速度也越来越慢。

当x趋近于无穷小时，f(x)趋近于无穷大。

几何上，反比例函数的图像可以看作是一个对称于y轴的双曲线。

当k的值增大时，曲线会变得更陡峭，而当k的值减小时，曲线会变得更平缓。

反比例函数在几何学中有许多应用。

例如，在物理学中，反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，例如电阻和电流之间的关系。

当电阻增加时，电流减小，反之亦然。

同样，在经济学中，反比例函数可以用来描述供给和需求之间的关系。

当价格上升时，需求减少，而供给增加，反之亦然。

总之，反比例函数的几何意义是一条对称的双曲线，可以用来描述两个变量之间的相互关系，特别是当一个变量的增加导致另一个变量的
减小，反之亦然。

反比例函数中k的几何意义

反比例函数中k 的几何意义题型一 k 与一般三角形的面积1．如图，过原点O 的直线交双曲线y =kx 于A 、B 两点，分别过A 、B 向两坐标轴作垂线相交于点C ，若△ABC 的面积是12，则k ＝（）A ．4B ．6C ．8D ．12【解析】解：由题意可知：A 与B 是关于原点对称的，且k ＞0，故可设A （a ，b ），B （﹣a ，﹣b ），设BC 与y 轴交于点E ，AC 与x 轴交于点F ，∴△AOF 与△BOE 的面积都是：k 2，∵矩形OFEC 的面积为：|ab |＝k ，∵△ABC 的面积是12，∴2×k2+k ＝12∴k ＝6，故选：B ．2．如图，点A 与点B 分别在函数y =k 1x (k 1＞0)与y =k2x(k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴AC ∥BD ∥y 轴，∵M 是AB 的中点，∴OC ＝OD ，设A （a ，b ），B （﹣a ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝﹣ad ，∵S △AOB ＝2，∴12（b +d ）•2a −12ab −12ad ＝2， ∴ab +ad ＝4，∴k 1﹣k 2＝4，故选：C ．3．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为2，则k的值为﹣4．【解析】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝2，而S△OAB=12|k|，∴12|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．4．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是3．【解析】解：∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD=12×4＝2．∵S 四边形AODB ＝S △AOB +S △BOD ＝S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12（1+2）×2＝3，∴S △AOB ＝3．故答案是：3．题型二 k 与特殊三角形的面积5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y =kx（x ＜0）的图象经过点A ，若S △ABO =√3，则k 的值为 ﹣3√3 ．【解析】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示．∵∠AOB ＝30°，AD ⊥OD ，∴OD AD=cot ∠AOB =√3，∵∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，∴∠AOB ＝∠BAO ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∴BDAD =cot ∠ABD =√33，∵OB ＝OD ﹣BD ，∴OB OD=OD−BD OD=(√3−√33)AD √3AD=23，∴S △ABO S △ADO=23，∵S △ABO =√3，∴S △ADO =12|k |=3√32，∵反比例函数图象在第二象限，∴k ＝﹣3√3 6．如图，已知双曲线y 1=1x （x ＞0），y 2=4x （x ＞0），点P 为双曲线y 2=4x 上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交双曲线y 1=1x 于B ，C 两点，则△P AC 的面积为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【解析】解：作CH⊥x轴于H，如图，S△OCH=12×1=12，S△OP A=12×4＝2，∵CH∥P A，∴△OCH∽△OP A，∴S△OCH：S△OP A＝OH2：OA2=12：2，∴OH：OA＝1：2，∴S△OCA＝2S△OCH＝1，∴△P AC的面积＝S△OP A﹣S△OCA＝1．故选：A．7．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=3x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=−4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为7．【解析】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．∵AC⊥y轴于E，∴S△AOE=32，S△OEC＝2，∴S△AOC=72，∵A，C关于原点对称，∴OA＝OB，∴S△ABC＝2S△AOC＝7，故答案为7．8．如图，已知双曲线y1=1x(x＞0)，y2=4x(x＞0)，点P为双曲线y2=4x上的一点，且P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A、PB分别交双曲线y1=1x于D、C两点，则△PCD的面积为98．【解析】解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，∵双曲线y1=1x(x＞0)，y2=4x(x＞0)，且P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A、PB分别交双曲线y1=1x于D 、C 两点，∴矩形BCEO 的面积为：xy ＝1，∵BC ×BO ＝1，BP ×BO ＝4，∴BC =14BP ，∵AO ×AD ＝1，AO ×AP ＝4，∴AD =14AP ，∵P A •PB ＝4，∴34PB ×34P A =916P A •PB ＝CP ×DP =916×4=94，∴△PCD 的面积为：98．故答案为：98．题型三 k 与平行四边形的面积9．如图，双曲线y =kx （k ≠0，x ＜0）经过平行四边形ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，若平行四边形OABC 的面积是3，则k 的值是（）A ．−94B ．−32C ．﹣3D ．﹣6【解析】解：∵四边形OABC 是平行四边形，面积为3，∴△DCO 的面积=34，∵AC ⊥OC ，∴S △DCO =|k|2=34，∵k ＜0，∴k =−32，故选：B ．10．如图，点A 是反比例函数y =2x（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y =−3x的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S ▱ABCD 为 5 ．【解析】解：设点A 的纵坐标为b ，所以，2x =b ，解得x =2b ，∵AB ∥x 轴，∴点B 的纵坐标为−3x =b ，解得x=−3b，∴AB=2b−（−3b）=5b，∴S▱ABCD=5b•b＝5．故答案为：5．11．如图，点A、B分别在双曲线y=2x和y=6x上，四边形ABCO为平行四边形，则▱ABCO的面积为4．【解析】解：∵点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=6x上，且AB∥x轴，∴设A（2b ，b），B（6b，b），则AB=6b−2b，▱ABCD的CD边上高为b，∴S▱ABCD＝（6b −2b）×b＝6﹣2＝4．故答案为：4．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABOC的对角线交于点M，双曲线y=kx（x＜0）经过点B、M．若平行四边形ABOC的面积为12，则k＝﹣4．【解析】解：设M的坐标是（m，n），则mn＝k，∵平行四边形ABOC中M是OA的中点，∴A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n，把y＝2n代入y=kx得：x=k2n，即B的横坐标是：k2n．∴AB＝OC=k2n−2m，OC边上的高是2n，∴（k2n−2m）•2n＝12，即k﹣4mn＝12，∴k﹣4k＝12，解得：k＝﹣4．故答案为﹣4．13．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=45，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA＝5，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接P A，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）如图1，过点A作AH⊥OB于点H，∵sin∠AOB=45，OA＝5，∴AH＝4，OH＝3，∴A（3，4），根据题意得：4=k3，可得k＝12，∴反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）．（2）设OA＝a（a＞0），如图2，过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可知OH ＝BN ，∵sin ∠AOB =45，∴AH =45a ，OH =35a ，∴S △AOH =12•45a ⋅35a =625a 2，∵S △AOF ＝12，∴S 四边形AOBC ＝24，∵F 为BC 的中点，∴S △OBF ＝6，∵BF =12a ，∠FBM ＝∠AOB ，∴FM =25a ，BM =310a ，∴S △BMF =12BM •FM =350a 2，∵点A ，F 都在y =kx 的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM =12k ， ∴625a 2＝6+350a 2，∴a =10√33，∴OA =10√33，∴AH =8√33，OH ＝2√3，∵S 四边形AOBC＝24，∴OB ＝AC＝3√3，∴ON ＝OB +OH ＝5√3，∴C （5√3，8√33）．（3）存在两种情况，①A 为直角顶点，如图3所示，∵C （5√3，8√33），点F 为BC 中点，∴点F 的纵坐标为4√33，∵EF ∥OB ，点P 在直线EF 上， ∴点P 的纵坐标为4√33，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则PM =4√33，AN ＝2√3，∵∠OAP ＝90°，∴△OAN ∽△APM ，∴ON AM=AN PM，即8√33AM=√34√33，∴AM =16√39，∴MN =34√39，∴P （34√39，4√33）． ②以O 为直角顶点时，如图4所示，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝2√3，PN =4√33，AM =8√33， ∵∠AOP ＝90°，则△PON ∽△AOM ，∴PNOM=ON AM，即4√332√3=8√33，∴ON =16√39，∴点P（−16√39，4√33）．综上所述：点P（34√39，4√33）或（−16√39，4√33）．题型四k与特殊平行四边形的面积14．如图，点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=kx上，且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，且它的面积为3，则k的值是（）A．5B．3C．2D．1【解析】解：延长BA交y轴于E，如图，∵S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝|2|＝2，而矩形ABCD的，面积为3，∴S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝3，即|k|﹣2＝3，而k＞0，∴k＝5．故选：A．15．如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =|k|2，S △OAD =|k|2，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG ＝|k |，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴S矩形ABCO＝4S □ONMG ＝4|k |，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则k 2+k 2+9＝4k ，解得：k ＝3．故选：C ．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的面积为24，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =kx的图象上，则k ＝ ﹣12 ．【解析】解：连接CA 交y 轴于点D ，如图，∵四边形ABCO 为正方形，∴AC ⊥OB ，S △OCD =14S 正方形ABCO =14×24＝6，∵12|k |＝6，而k ＜0，∴k ＝﹣12．故答案为﹣12． 17．如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB =45，反比例函数y =48x在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于 40 ．【解析】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，如图所示．设OA ＝a ，在Rt △OAM 中，∠AMO ＝90°，OA ＝a ，sin ∠AOB =45，∴AM ＝OA •sin ∠AOB =45a ，OM =√OA 2−AM 2=35a ，∴点A 的坐标为（35a ，45a ）．∵点A在反比例函数y=48x的图象上，∴35a×45a=1225a2＝48，解得：a＝10，或a＝﹣10（舍去）．∴AM＝8，OM＝6，OB＝OA＝10．∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，∴S△AOF=12S菱形OBCA=12OB•AM＝40．故答案是：40．18．已知，如图，A，B，C，D是反比例函数y=8x图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴、纵轴作垂线段，以短垂线段为边作正方形（如图），分别以正方形的边长为半径作两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的周长总和是6π（用含π的代数式表示）【解析】解：∵A，B，C，D是反比例函数y=8x图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），∴A（1，8），B（2，4），C（4，2），D（8，1），∴一个顶点是A、D的正方形的边长为1，一个顶点是B、C的正方形的边长为2，∴四个橄榄形的周长总和＝4×90π×1180+4×90π×2180=6π，故答案为：6π．巩固练习1．（2020柳林县期末）如图，点P在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，P A⊥x轴于点A，△P AO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【解析】解：依据比例系数k 的几何意义可得，△P AO 的面积=12|k |，即12|k |＝2，解得，k ＝±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k ＝4，故选：C ．2．（2020•阜南县期末）反比例函数图象的一支如图所示，△POM 的面积为2，则该函数的解析式是（）A ．y =2xB ．y =4xC ．y =−2xD ．y =−4x【解析】解：∵△POM 的面积为2，∴S =12|k |＝2，∴k ＝±4，又∵图象在第四象限， ∴k ＜0，∴k ＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y =−4x ．故选：D ．3．如图，已知双曲线y =4x 上有一点A ，过A 作AB 垂直x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】解：根据题意得△OAB 的面积=12×|4|＝2．故选：B ．4．（2020•香坊区模拟）如图，点A 是反比例函数y =2x（x ＞0）图象上任意一点，AB ⊥y 轴于B ，点C 是x 轴上的动点，则△ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．不能确定【解析】解：设A 的坐标是（m ，n ），则mn ＝2．则AB ＝m ，△ABC 的AB 边上的高等于n ．则△ABC 的面积=12mn ＝1．故选：A ．5．（2020•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x 上，顶点B 在反比例函数y =5x 上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（）A ．32B ．52C ．4D ．6【解析】解：如图作BD ⊥x 轴于D ，延长BA 交y 轴于E ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，OA ＝BC ，∴BE ⊥y 轴，∴OE ＝BD ，∴Rt △AOE ≌Rt △CBD （HL ），根据系数k 的几何意义，S 矩形BDOE ＝5，S △AOE =12，∴四边形OABC 的面积＝5−12−12=4，故选：C ．6．（2020•丹东期末）如图，已知矩形OABC 的面积是200，它的对角线OB 与双曲线y =kx（x ＞0）图象交于点D ，且OD ：DB ＝3：2，则k 值是（）A ．9B ．18C ．36D ．72【解析】解：∵OD ：DB ＝3：2，∴OD ：OB ＝3：5，由题意，设点D 的坐标为（x D ，y D ），则点B 的坐标为（53x D ，53y D ）．∴矩形OABC 的面积＝|53x D •53y D |＝200，∵图象有第一象限，∴k ＝x D •y D ＝72．故选：D ．7．（2020•高新区一模）如图，两个反比例函数y =2x 和y =1x 在第一象限的图象如图所示，当P 在y =2x 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y =1x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y =1x 的图象于点B ，则四边形P AOB 的面积为 1 ．【解析】解：由于P 点在y =2x 上，则S □PCOD ＝2，A 、B 两点在y =1x 上，则S △DBO ＝S △ACO =12×1=12．∴S 四边形P AOB＝S □PCOD ﹣S △DBO ﹣S △ACO ＝2−12−12=1．∴四边形P AOB 的面积为1．故答案为：1．8．（2020•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为 6 ．【解析】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上，∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形，∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6，故答案为6．9．（2020•永州期末）如图，点A是反比例函数y=−6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为6．【解析】解：连结OA、CA，如图，则S△OAD=12|k|=12×6＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴S△CAD＝S△OAD＝3，∴▱ABCD的面积＝2S△CAD＝6．故答案为6．10．（2020•河北区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【解析】解：∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．故答案为x＜﹣2或0＜x＜1．11．（2020•长垣县期末）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S10＝110．（n≥1的整数）【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=12|k|＝1．又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5所以S1=12|k|，S2=14|k|，S3=16|k|，S4=18|k|，S5=110|k|…依此类推：S n的值为1n．当n＝10时，S10=110．故答案是：110．12．（2020•五华县期末）如图，点P在函数y=kx的图象上，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于﹣8．【解析】解：∵点P在反比例函数y=kx的图象上，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，∴S△APB=12|k|＝4，∴k＝±8．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．13．（2020•娄星区期末）如图，A、B两点在双曲线y=5x上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝2，则S1+S2＝6．【解析】解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝5，而S阴影＝2，所以S1＝S2＝3，所以S1+S2＝6．14．（2020•临颍县期末）请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：y=−5x．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，根据题意得k＜0，|k|＜6，当k取﹣5时，反比例函数解析式为y=−5x．故答案为y=−5x．15．（2020•双峰县一模）如图，▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y=kx上，边AD交y轴于点E，且▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k＝36．【解析】解：如图，过D点作x轴的垂线，垂足为G，过C点作y轴的垂线，垂足为F，交DG于H点，连接BD，∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵BO∥DG，∴∠OBC＝∠GDE，∴∠HDC＝∠ABO，∴△CDH≌△ABO（AAS），∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝3，∵▱ABCD的面积是△ABE面积的8倍，∴S△ABD ＝4S△ABE，∴AD＝4AE，∴AG＝4OA，∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），设D（3，m），则点C（4，m﹣3），∵点C和点D均在双曲线上，则有：3m＝4（m﹣3），解得m＝12，∴k＝3m＝36．16．（2020•茂名期中）如图，菱形OABC的一OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y =24x的图象经过点C ，与AB 交于点D ，则△COD 的面积为 20 ．【解析】解：作DF ∥AO 交OC 于F ，CE ⊥AO 于E ，∵tan ∠AOC =43，∴设CE ＝4x ，OE ＝3x ，∴3x •4x ＝24，x ＝±√2，∴OE ＝3√2，CE ＝4√2，由勾股定理得：OC ＝5√2，∴S 菱形OABC ＝OA •CE ＝5√2×4√2=40，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DF ∥AO ，∴S △ADO ＝S △DFO ，同理S △BCD ＝S △CDF ，∵S菱形ABCO＝S △ADO +S △DFO +S △BCD +S △CDF ，∴S菱形ABCO＝2（S △DFO +S △CDF ）＝2S△CDO＝40，∴S △CDO ＝20；故答案为：20．17．（2020•义乌市期末）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y =2x（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y =2x （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则P 2点的坐标为（2，1），P 3的坐标为（ √3+1，√3−1）．．【解析】解：作P 1C ⊥y 轴于C ，P 2D ⊥x 轴于D ，P 3E ⊥x 轴于E ，P 3F ⊥P 2D 于F ，如图，设P 1（a ，2a ），则CP 1＝a ，OC =2a ，∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形，∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，∴OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，∴OA 1＝B 1C ＝P 2D =2a −a ，∴OD ＝a +2a −a =2a ，∴P 2的坐标为（ 2a，2a−a ），把P 2的坐标代入y =2x （x ＞0），得到（ 2a −a ）•2a=2，解得a ＝﹣1（舍）或a ＝1，∴P 2（2，1），设P 3的坐标为（b ，2b），又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形，∴P 2P 3＝P 3A 2，∠P 3EA 2＝∠P 2FP 3，∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，∴P 3E ＝P 3F ＝DE =2b ，∴OE ＝OD +DE ＝2+2b ，∴2+2b =b ，解得b ＝1−√3（舍），b ＝1+√3，∴2b =1+√3=√3−1，∴点P 3的坐标为（√3+1，√3−1）．故答案为：（2，1），（√3+1，√3−1）．18．（2020•江岸区校级月考）如图，A （−12，0），B （−52，3），∠BAC ＝90°，C 在y 轴的正半轴上．（1）求出C 点坐标；（2）将线段AB 沿射线AC 向上平移至第一象限，得线段DE ，若D 、E 两点均在双曲线y =kx 上， ①求k 的值；②直接写出线段AB 扫过的面积．【解析】解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，∴∠BHA ＝∠BAC ＝∠AOC ＝90°∴∠B +∠BAH ＝∠BAH +∠OAC ＝90°∴∠B ＝∠OAC ∴△BAH ∽△ACO ∴BH AO=AH CO∵A （−12，0），B （−52，3）∴OA =12，OH =52，BH ＝3∴AH ＝OH ﹣OA =52−12=2∴CO =AO⋅AH BH =12×23=13∴点C 坐标为（0，13）（2）①∵线段AB 沿射线AC 向上平移至第一象限∴点A 对应点D 在直线AC 上，AD ∥BE ，∴x D ﹣x E ＝x A ﹣x B ＝2，y E ﹣y D ＝y B ﹣y A ＝3 设直线AC 解析式为：y ＝ax +b {−12a +b =00+b =13解得：{a =23b =13∴直线AC 解析式为：y =23x +13设点D 坐标为（d ，23d +13），则x E ＝x D ﹣2＝d ﹣2，y E ＝y D +3=23d +13+3=23d +103即点E （d ﹣2，23d +103）∵点D 、E 在函数y =k x 图象上（k ＞0）∴k =d(23d +13)=(d −2)(23d +103)解得：d ＝4∴k ＝4×（23×4+13）＝12②∵A （−12，0），B （−52，3），D （4，3）∴AB =√[−12−(−52)]2+32=√13，AD =√[4−(−12)]2+32=3√132∵AB ∥DE ，AD ∥BE ∴四边形ABED 是平行四边形∵∠BAC ＝90°∴▱ABED 是矩形∴S 矩形ABED ＝AB •AD =√13×3√132=392∴线段AB 扫过的面积为392。

中考复习函数专题12 反比例函数比例系数k的几何意义(学生版)

专题12 反比例函数比例系数k的几何意义知识对接考点一、反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-专项训练一、单选题1．如图，已知反比例函数2yx=-的图像上有一点P，过点P作PA x⊥轴，垂足为点A，则POA的面积是（）A．2B．1C．1-D．122．如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数kyx=在第一象限的图象上的两点，且其横坐标分别为1，4，若AOB的面积为54，则k的值为（）A ．23B ．1C ．2D ．1543．若图中反比例函数的表达式均为4y x=，则阴影面积为4的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，点A 是反比例函数4y x=-图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为B ，C ，则矩形ABOC 的面积为（）A ．-4B ．2C ．4D ．85．如图，等腰ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点B 在y 轴上，//BC x 轴，反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象经过点A ，交BC 于点D ．若AB BD =，则k 的值为（）A ．60B ．48C ．36D ．206．在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线11ky x=（x ＞0），经过点B ，双曲线22k y x=（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（）A ．﹣3B ．3 C．D7．如图，A 、B 是双曲线y ＝kx图象上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于点D ，BD ＝2OD ，且ADO 的面积为8，则DCO 的面积为（）A ．12B ．1C ．32D ．28．如图，平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，点P 是y 轴上一动点，若⊥PMN 的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y 3=x （x ＞0）和y 6=x-（x ＞0）的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则⊥ABC 的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．9210．如图．在平面直角坐标系中，⊥AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝kx相交于点C ，且BC ⊥OC ＝1⊥2，则k 的值为（）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．92二、填空题11．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图象上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ．若四边形AMON 的面积为12，则k 的值是__________．12．如图，在反比例函数3yx=的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图象上运动，tan⊥CAB=2，则k的值为_____13．如图，点P在反比例函数4yx=-的图像上，过点P作PA x⊥轴于点A，则POA的面积是_______．14．如图所示，反比例函数kyx=（0k≠，0x>）的图像经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．。

第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册

第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：例1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3变式1.如图，在▱AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k的值是（）A．5B．6C．7D．8变式2.如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4变式3.如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．则k的值为（）A．8B．﹣8C．﹣4D．4变式4.如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y 轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2B．4C．6D．无法确定变式5.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．6变式6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6变式7.关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB 与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a ﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是（）A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根C．1个实数根D．无实数根变式8.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6变式9.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，C点是y轴上一点，且△ABC的面积4，则k的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8变式10.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为6，则k的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6变式11.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC 的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣6C．6D．﹣3变式12.下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式13.如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠BAO＝90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（）A．3B．C．6D．9变式14.如图1，在△OAB中，∠AOB＝45°，点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上，设△OAB的面积为S1；如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC在x轴上，且OB：BC＝1：2，点A在反比例函数的图象上，设△ABC的面积为S2，则S1+S2的值为（）A．B．5C．D．变式15.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（）A．5B．10C．15D．变式16.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4变式17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x 轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．变式18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（）A．B．3C．D．5变式19.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定例2.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数的图象相交于点D，且，若矩形OABC的面积为24，则k的值是．变式1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO的面积分为1：3，则k的值为．变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为．变式3.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6，则k的值为．变式4.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝8，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k ≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为．变式5.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴上，且，点B（﹣2，0）在x轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB'C′，线段AB′与双曲线交于点D，连接B′C、C′C，当点D为AB′中点，且S△B'CC′＝6时，则k的值是．变式6.如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为9，则k的值为．变式7.如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＜0）的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为；过点A作AE∥x轴交反比例函数y＝（n＜0）的图象于点E，连结ED并延长交x轴于点F，连结OD．若S△DOF＝7，则m的值为．变式8.如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是．变式9.如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．变式10.如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．变式11.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若k1+k2＝2，则菱形ABCD面积的最小值是．变式12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为．例3.如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．变式1.已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y＝图象上的两个点，且a＞0，b＜0，m＞0．（1）求证：a+b＝﹣；（2）若OA2+OB2＝2a2+2b2，求m的值；（3）若S△OAB＝3S△OCD，求km的值．变式2.如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．。

反比例函数中K的几何意义专题训练

反比例函数中K的几何意义专题训练【知识梳理】1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅|y A|+12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|+|y B|)；（3）如图③，已知反比例函数y=kx的图象上的两点，其坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=12OC⋅|y A|–12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|−|y B|)．【精典训练】【01】如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO 的面积是3，则反比例函数的解析式是()A. y=32x B. y=3xC. y=6xD. y=34x【02】如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，矩形PEOF的面积为5，则反比例函数的表达式是________．【03】如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，使AD＝DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC交y轴于点E．若△ABC 的面积为6，则k的值为．【04】如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=−8x在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则S△AOB＝．【05】如图，双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝．【06】如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A．6 B．3√3C．4√2D．12【07】如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（）A．-2 B．-4 C．2 D．4【08】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y=kx 的图象分别交BC，OB于点D，点E，且BDCD=54，若S△AOE＝24，则k的值为．【09】如图，过原点的直线与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC=3DC，ΔADE的面积为8，则k的值为________.【10】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【11】如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为．【12】在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点B(1x ,1y)称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为_________．【13】如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝ax （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝bx （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，ba 的值为__．【14】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=k 1x（x ＞0）及y 2=k 2x（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2＝．【15】双曲线C 1：y =k 1x和C 2：y =k 2x如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1﹣k 2＝．【16】如图，点A 是第一象限内双曲线y =mx （m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y =nx （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y =nx （n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（）A．m=19，n=−109B．m=14，n=−54C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2。

中考专题复习-反比例函数K的几何意义

y
3上的点，过
x
点A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，若S阴影=1，
则S1+S2= ____4____. y
A
2 S1
B
S2
O
x
2
模型一：反比例函数与矩形的面积
变式2：如图，A在双曲线 y 1 上，点B在双曲线
y3
x
上，且AB∥x轴，C、D在x 轴上，若四边形
x
ABCD为矩形，则它的面积为 2 .
反比例函数中k的几何意义
模型一：反比例函数与矩形的面积
如图,点P（m，n）是反比例函数y k 图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分x别是点A
(2)、过BP，分则别S矩作形xO轴 APB,=y_轴|_k_|的 ___垂__线 . ,垂足分别为A, B,
则S矩形OAPB OA AP | m | • | n || k | (如y图所示).
E O
模型一：反比例函数与矩形的面积
变式3：如图，点P在反比例函数
y 4 上，PA⊥y轴，
x
M、N为x轴上两动点，则S
-4
APMN
=
。
小组讨论
1、S APMN与 k 有
怎样的关系?
图1
图2
模型一：反比例函数与矩形的面积
变式3：如图，点P在反比例函数
y 4 上，PA⊥y轴，
x
M、N为x轴上两动点，则S
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
OA
x
模型一：反比例函数与矩形的面积
练习1：
如图，已知点P是反比例函=4，则k的取值为
。

反比例函数K的几何意义专题_初三数学_数学_初中教育_教育专区.doc

A B & °2 （2003 -宜昌）函数y=kx+1与函数y 二一在同一坐标系中的大致图象是（反比例函数K 的几何意义专题一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及儿种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如比较函数值大小，求对称点坐标等）。

重点掌握反比例函数），=*（&主0）中的比例系数k 的几何意义。

二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现, 常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。

所以，应该引起广大学生的重视。

反比例函数中k 的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。

这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。

木次专题目的在于让学生掌握反比例函数k 儿何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题悉与反比例函数k 几何意义的常见考察方式和解题思路。

三、授课内容：1 .反比例函数的概念y = —（k 7^0）、如图所示，过双曲线•工上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N,所得矩形PMON 的面积S=PM ・PN=lyl ・lxl.ky = —, xy - k, S =1 比 I 。

x这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数Ikl 。

这是系数k 儿何意义,明确了 k 的儿何意义，会给解题带来许多方便。

（请学生思考，图中三角形 OEF 的面积和系数k 的关系。

）2 .反比例函数的图象k 在用描点法画反比例函数y=-的图象时，应注意日变量x 的取值不能为0,应从1或-1 x开始对称取点.例题1 （2003 -三明）函数y=-- （x>0）的图象大致是（）XA B C D3.反比例函数y=尤中k的意义注意:反比例函数y=* (k"0)中比例系数心的几何意义即过双曲线y=-(k^0)±任X X 意一点引X轴、y轴垂线，所得矩形面积为| k | .4 例题1：如图，P、C是函数y = -(x>0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线XPA,垂足为A,过点C作x轴的垂线CD,垂足为D,连接OC交PA于点E,设ZPOA的面积为S1,则S1=，梯形CEAD的面积为S2,则S1与S2的大小关系是S1 S2, ZPOE的面积S3和梯形CEAD的面积为S2的大小关系是S2 S3.例题2：如图所示，直线1与双曲线y = -(Z：>0)交A、B两点，P是AB±的点，试X比较Z1 AOC的面积SI , Z1 BOD的面积S2 , / POE的面积S3的大小：____________________k例题3：如图所示，点A(x 1 ,y 1)、B(x2,y2)都在双曲线y = — (x > 0)上，且x2-x 1=4,yl-y2=2; x分别过点A、B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F, AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为。