2020大庆三模数学(理)参考答案

2020大庆三模数学理科参考答案

一、选择题 ABACC BDDCA CD 13.2 14.1

15. 16,

1103

2

17.解（Ⅰ）因为12n n S a +=-，①

当2n ≥时，12n n S a -=-，② ...............................2分 由①-②得

1n n n

a a a +=-，即

12n n

a a +=， ............................................4分

当1n =时，2124a a =+=，2142

2a a ==，

所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，

所以112n n

n a a q -==； ..................................................................6分

（Ⅰ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，

所以()2n T n n =+， ........................................................8分

所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭

， 11111111111...2324112n

k k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑........10分

31114212n n ⎛⎫=

-+ ⎪++⎝⎭

因为

021

11>+++n n 所以4311<∑=n

k k

T ............................12分 18.解（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，Ⅰ四边形ABCD 为正方形，ⅠAC BD ⊥ ⅠPB PD =，OB OD =,ⅠBD OP ⊥,...........................................................2分 又ⅠOP AC O ⋂=,ⅠBD PAC ⊥面

又BD PAC ⊂面,ⅠPAC ABCD ⊥面面...........................................................4分 （2）方法1：ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E

ⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ

030PAC ∠=,...............................................................6分

又PA PC ⊥，设2PC =,则

3,3,3,4,2AP PE AE AC AD =====

过F 做FE 垂直于AB,垂足为F,则AF=

2

2

3 如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v

为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -

()()()()

32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,322A B C D P ⎛ ⎝..........8分 设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ，(

)

22

0,22,0,3BC CP ⎛== ⎝u u u v u u u v 1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ,Ⅰ220

22302

2x y z ⎧=+=⎩， 1,0,6z y x ===令则Ⅰ)

16,0,1n =u v

......................................................................9分

同理PCD 面的法向量()

26,1n =u u v

， ....................................................................10分

1212121cos ,7

n n n n n n ⋅==u v u u v

u v u u v u v u u v ....................................................................11分

Ⅰ二面角B PC D --的正弦值

7

3

4 ....................................................................12分 （2）方法2ⅠPAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E

ⅠABCD PE ⊥面ⅠPA 与底面ABCD 所成的角为030，Ⅰ030PAC ∠=,.........................9分 设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a 2,由PA PC ⊥，030PAC ∠=得AP=

a 2

6

， PE=

a 46，AE=a 4

2

3，过E 做EF 垂直AB ，垂足为F,则AF=a 43，

如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD u u u v u u u v

为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -

所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0), P(a 43,a 43,a 4

6)，....................................................................8分

)4

6,4,4(a a a CP --=，=(0,a.0)，=(a,0,0)

设面PBC 法向量为()1,,n x y z =u v ,1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u

v u u u v ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=04644

0z a y a x a ay , 令z=1.则⎪⎩⎪

⎨⎧===106

z y x ，即)1,0,6(1=n ，....................................................................9分

设PCD 面的法向量),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=•=•0022CP n DC n ,⎪⎩⎪⎨⎧=+--=046440

2222

z a y a x a ax ，

令z=1.则⎪⎩⎪

⎨⎧===1

60

222z y x ，)1,6,0(2=n ， ....................................................................10分

(直接书写：同理可得)1,6,0(2=n ，本次考试不扣此步骤分）

所以71

==

， ..................................................................11分 则二面角B PC D --的正弦值为

7

3

4 .....................................................................12分 19.解（1）设零件经A ，B ，C 三道工序加工合格的事件分别记为A ，B ，C ， 则()P A p =，()2

3

P B =

，()34P C =，()1P A p =-，()13P B =，()

14P C =.

设事件D 为“生产一个零件为二级品”，由已知A ，B ，C 是相互独立事件，则

()()P D P ABC ABC ABC =++()()()

P ABC P ABC P ABC

=++()2313211343434p p p =-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯611

1224

p -==，.............................................2分