函数奇偶性的定义与应用

函数2：函数的奇偶性

【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；

【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念；

难点：奇偶性的应用

一、函数的奇偶性

1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做

偶函数．

2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫

做奇函数．

3.判断函数奇偶性的方法：

（1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

4.奇偶函数的简单性质：

（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为

增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.

（2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为

增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.

二、函数奇偶性的应用

1、利用定义判断函数奇偶性

例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2

432)(x x x f +=； （3）1)(2

3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ；

（6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2

x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩

2、利用定义求函数解析式

（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；

（2）()x f 为R 上偶函数，当0

+-=x x x f ，求()x f 在R 上解析式． （3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2

+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式. 3、利用奇偶性求参数取值范围

（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；

（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，

求a 的取值范围.

（3） 已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数)(x f 是偶函数，并且在（－∞，0）上

是增函数，若0)3(=-f ，则不等式)

(x f x <0的解集是 . （4） 已知)(x f 是定义在（－3，3）上的奇函数且f (0)=0,当0

所示.那么不等式0)(≤x xf 的解集是（ ）

A ．]1,0(]1,3( --

B ． ]1,0()0,1[ -

C ．]1,0[]1,3( --

D ． [－1，1] (5) 设)(x f 为定义域在R 上的偶函数，且)(x f 在

)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（ ）

A ．)2()3()(->>-f f f π

B ．)3()2()(f f f >->-π

C ．)2()3()(-<<-f f f π

D ．)3()2()(f f f <-<-π

(6) ()y f x =在(0,2)上是增函数,(2)y f x =+是偶函数,则57(1),(),()22

f f f 的大小关系是 .

(7) 如果奇函数)(x f y =在区间[3, 7]上是增函数，且最小值为5，那么)(x f y =在区间[－7, －3]上是（ ）。

（A ）增函数且最小值为－5 （B ）增函数且最大值为－5

（C ）减函数且最小值为－5 （D ）减函数且最大值为－5

三、奇偶性练习

1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）

A ．0

B ．-5

C ．5

D ．不确定

2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）

A ． (())a f a ，-

B ． (())--a f a ，

C ． (())---a f a ，

D ．(())a f a ，-

3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）

A ．增函数，最小值是-5

B ．增函数，最大值是-5

C ．减函数，最小值是-5

D ．减函数，最大值是-5

4. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．1

D ．2

5. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）

A.f(0)>f(5)

B.f(3)

C.f(-1)>f(3)

D.f(-3)>f(1)

6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）

A ．)()(21x f x f <

B ．)()(21x f x f >

C ．)()(21x f x f =

D ．无法确定

7. 下列函数为偶函数的是（ ）

A.()x x x f +=

B.()x x x f 12

+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f = 8.已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 即奇又偶函数

D.非奇非偶函数

9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）

A .最大值）（a -f

B .最小值）（a -f

C .最大值）（b -f

D .最小值）（b -f

10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）

A ．()2f -<()223f a a -+

B ．()2f -≥()

223f a a -+