全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

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全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案

全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数()f x =的定义域是．答案：()10,100.解：()2lg 3lg 20,1lg 2,10100.x x x x -+-><<<<2.设实数,x y 满足62,1x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量()()2,,1,1a x y m b =-=-，若//a b ，则实数m 的最小值为．答案： 2.-解：因为()()2,,1,1a x y m b =-=-，所以211x y m-=-，2.m y x =- 在条件621x yy x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩下，求得2m y x =-的最小值为 2.-3.设a 、b 都为大于零的常数，01x <<，则221a b x x+-的最小值为．答案：()2.a b +解：设()()22,0,11a b f x x x x=+∈-，则 ()()()()()()()()()()22222222222222111111.1b x a x a b f x x x x x bx a x bx a x x x a b x a b a x a x x --'=-+=----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-1）当a b ≠时，()()()()()22222222111.1a a ab x x a b a b f x x x a a b x x b a b a x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭'=-⎛⎫ ⎪⎛⎫---⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭=-，因为,a b 都为正数，所以当0,a x a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<；当,1a x a b ⎛⎫∈⎪+⎝⎭时，()0.f x '>故函数()f x 在ax a b=+处取得最小值 ()222.1a a b f a b a a a b a b a b⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭-++ 2）当a b =时，()221a a f x x x=+-，()()222122.1a x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=- 因为a 为正数，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故函数()f x 在12x =处取得最小值 ()222214.112122aa f a a a ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭- 综上所述，当01x <<时，221ab x x+-的最小值为()2.a b +4.运行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为．答案：25.已知函数()3f x x =对应的曲线在点()(),k k a f a ()*k N ∈处的切线与x 轴的交点为()1,0k a +，若11a =，则(31010213ff fa +++=⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：3．6.已知点P 在曲线x y e =上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是．7.设*m N ∈，2log m 的整数部分用()F m 表示，则()()()121024F F F +++的值是．答案：8204.8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有种．答案：72.9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为“条件约束函数”．现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124.f x f x x x -≤-其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）．答案：①③④．10.已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2,CD AB CD =⊥，45135AOC ≤∠≤，则四面体ABCD 的体积的取值范围是．答案：4.3⎡⎢⎣⎦二、解答题（本大题共3小题，共70分）11.（本小题满分20分）已知数列{}n a 中，1211,,4a a ==且()()112,3,4,.n nn a n n a +-==-（1）设()11n nb n a =-，球数列{}2n n b ≥的通项公式；（2）求证：对一切*n N ∈，有217.6nk k a =<∑解：（1）()()1111,2,3,4,,nn nn a a a n n a +-===-∴当2n ≥时，()()111.111n n n n n a n a n a n a n +-==---- 两边同时除以n ，得()()1111,11n n na n a n n +=--- 1111n n b b n n +⎛⎫∴-=-- ⎪-⎝⎭()12121111 111k n k n k k k k n b b -+-==⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝∴-⎭-=∑∑*2211321, 2.1,.111n n n b b n b b n N n n n -⎛⎫⎛⎫∴-=--≥∴=--+=∈ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭（2）证明：当2k ≥时，()()()2211111,34313343132k a k k k k k ⎛⎫=<=- ⎪----⎝⎭-∴当2n ≥时，22121111111113255834311111711.323166n nkk k k aa n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+-<+= ⎪-⎝⎭∑∑又当1n =时，2171,6a =<∴对一切*n N ∈，有217.6nk k a =<∑12.（本小题满分25分）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接,,,,.AH BD QB QC QHAB 为⊙1O 的直径，90.ADB BDQ ∴∠=∠=BQ ∴为⊙2O 的直径．,.CQ BC BH HQ ∴⊥⊥点H 为△ABC 的垂心，,.AH BC BH AC ∴⊥⊥//,//AH CQ AC HQ ∴，四边形ACQH 为平行四边形．∴点P 为CH 的中点．13.（本小题满分25分）已知抛物线2:4C y x =，以()1,2M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB ．（1）求证：动直线AB 过定点；（2）过点M 作AB 的垂线交AB 于点N ，求点N 的轨迹方程．解：（1）设直线AB 的方程为x my n =+，()()1122,,,.A x y B x y2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440,y my n --= 12124,4y y m y y n ∴+==-．90,0,AMB MA MB ∠=∴⋅=即()()11221,21,20.x y x y --⋅--=()()()()121211220.x x y y ∴--+--=()()()()()()()()12122211211220,12140,my n my n y y m y y mn m y y n +-+-+--=++--++-+= ()()()221424250.mn mn m m n n +⋅-+--+-+=整理得()()22341,n m -=+()321n m ∴-=+或()321.n m -=-+当()321n m -=+，即25n m =+时，直线AB 的方程为()25x m y =++过定点()5,2P -；（2）由（1）知，点N 的轨迹是以PM 为直径的圆（除去点()1,2±），其方程为()()22381.x y x -+=≠。

解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

全国高中数学联赛安徽省预赛试题及参考答案

全国高中数学联赛安徽省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 . 2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 . 4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， .若),,,max(102011n a a a a =，则=n .5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ .6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应. 若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数（用z 表示）. 8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的第5题第6题最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5.417. 6. 2π46r ar +. 7. zz zz ++1. 8.)3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-==⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n n a n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k k n k nk a p k k n ====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)f c f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤)()(3233x x x f -=满足题设，b 的最大可能值为233.12．设),(),(),(2211y x P y x E y x D ，，，直线CD 的方程)2(-=x k y ，则222(2)1x k x --=，所以221212122241451()114k k x x x x x x k k -++==-=-++--，， ① 1212(1)(1)11y yx y x x x +==-+-，所以21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

全国高中数学联赛预赛试题及答案

全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（）A.16B.18C. 20D.22 2.已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（） A.[)16,12 B.[)16,8 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53 B.151 C.85 D.8150４．已知、为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式≥-M 是N 的（）Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中，其图象关于直线2=x 对称.其中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （）A.2B.1C.0D.2-二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为． 10.已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为． 11.多项式()310021x x x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后，150x的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈N n n ,0上的最小值为n b ，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ；（2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q .所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４．解：设=，=，则x 表示与OB-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()-⊥.选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为02818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C因此，150x的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S . 又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90. 14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分）设t t t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分）易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分）故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分）由t b a =，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）１6．解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分） 17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分）当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈N n n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分）又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（14分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分）因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+yy x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+yy x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y yx由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分）（2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分）由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试参考答案与评分标准(A卷)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x ≤−,则2()24f x x x =−,在这一区间上的最小值为(116f −=+；2.若(13x ∈−−，则()88f x x =−+，在这一区间上的最小值为(316f =−+…………15分3.若31x ∈− ，则2()24f x x x =−+，在这一区间上的最小值为((3116f f =−+=−+；4.若13x ∈− ，则()88f x x =−，在这一区间上的最小值为(116f −+=−+；5.若3x ≥+，则2()24f x x x =−，在这一区间上的最小值为(316f =+.综上所述，所求最小值为((3116f f =−+=−.…………20分。

2023_年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析

２０２３年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析张㊀君(四川省温江中学ꎬ四川成都６１１１３０)摘㊀要:文章给出２０２３年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析ꎬ部分试题给出一题多解ꎬ解答题给出了有别于参考答案的精彩解法.关键词:高中数学联赛ꎻ四川预赛ꎻ数学竞赛试题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－００８８－０５收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:张君(１９７８.１０－)ꎬ男ꎬ四川省宣汉人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２３年全国高中数学联赛(四川预赛)试题ꎬ全卷共１１道题(满分１２０分)ꎬ其中８道填空题(每小题８分)ꎬ３道解答题(第９题１６分ꎬ第１１㊁１２题各２０分).笔者参考２０２２年四川预赛试题及其解析[１]ꎬ对２０２３年四川预赛每道题都进行了分析和研究ꎬ逐个给出解析.１试题内容简析该试题涉及函数性质(第１题)ꎬ平面向量(第２题)ꎬ二项式定理(第３题)ꎬ函数与导数(第４题)ꎬ数论(第５题)ꎬ立体几何(第６题)ꎬ平面解析几何(第９题)ꎬ三角函数与三角变换(第７ꎬ８题)ꎬ函数与数列(第５ꎬ１０题)ꎬ函数与不等式(第８ꎬ１１题).２试题及其解析题１㊀已知ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ均有２ｆ(ｘ)＋ｆｘ２－１()＝１ꎬ则ｆ(２)的值为.解析㊀令ｘ＝１ꎬ得２ｆ(１)＋ｆ０()＝１.①令ｘ＝－１ꎬ得２ｆ(－１)＋ｆ０()＝１.②令ｘ＝０ꎬ得２ｆ(０)＋ｆ－１()＝１.③由①②③解得ｆ(１)＝１３.令ｘ＝２ꎬ得２ｆ(２)＋ｆ１()＝１.解得ｆ(２)＝１３.题２㊀设平面向量ａꎬｂ满足:｜ａ｜＝１ꎬ｜ｂ｜＝２ꎬａʅｂ.点ＯꎬＡꎬＢ为平面上的三点ꎬ满足ＯＡң＝２ａ＋ｂꎬＯＢң＝－３ａ＋２ｂꎬ则ΔＡＯＢ的面积为.解析㊀由ａʅｂ建立以Ｏ为原点ꎬ分别以向量ａꎬｂ的方向为正方向建立平面直角坐标系ꎬ因为｜ａ｜＝１ꎬ｜ｂ｜＝２ꎬ所以ａ＝(１ꎬ０)ꎬｂ＝(０ꎬ２).所以ＯＡң＝２ａ＋ｂ＝(２ꎬ２)ꎬＯＢң＝－３ａ＋２ｂａ＝(－３ꎬ４).即Ａ(２ꎬ２)ꎬＢ(－３ꎬ４).从而求得ＳΔＡＯＢ＝７.题３㊀在(－ｘｙ＋２ｘ＋３ｙ－６)６的展开式中ꎬｘ４ｙ３的系数为.(用具体数字作答)解析㊀因为(－ｘｙ＋２ｘ＋３ｙ－６)６＝(ｙ－２)６(ｘ＋３)６ꎬ所以ｘ４ｙ３的系数为Ｃ３６(－２)３Ｃ２６３２＝－２１６００.题４㊀设Ｐ(０ꎬａ)是ｙ轴上异于原点的任意一点ꎬ过点Ｐ且平行于ｘ轴的直线与曲线ｙ＝１ａｌｎｘ交于点Ｑꎬ曲线ｙ＝１ａｌｎｘ在点Ｑ处的切线交ｙ轴于点Ｒꎬ则ΔＰＱＲ的面积的最小值为.解析㊀由题意知ꎬａ＝１ａｌｎｘꎬ解得ｘ＝ｅａ２.所以Ｑ(ｅａ２ꎬａ).因为ｙᶄ＝１ａｘꎬ所以切线ＲＱ的方程为ｙ－ａ＝１ａｅａ２(ｘ－ｅａ２).令ｘ＝０ꎬ得Ｒ(０ꎬａ－１ａ).所以ＳΔＰＲＱ＝１２ＰＱＰＲ＝１２ａｅａ２.令ｆ(ａ)＝１２ａｅａ２(ａ>０)ꎬ所以ｆᶄ(ａ)＝１２ｅａ２(２－ａ－２).当ａɪ０ꎬ２２æèçöø÷时ꎬｆᶄ(ａ)<０ꎬｆ(ａ)单调递减ꎻ当ａɪ２２ꎬ＋ɕæèçöø÷时ꎬｆᶄ(ａ)>０ꎬｆ(ａ)单调递增[２].㊀所以ｆ(ａ)ｍｉｎ＝ｆ(２２)＝２ｅ２.题５㊀㊀设集合Ｉ＝{０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ２２}ꎬＡ＝{(ａꎬｂꎬｃꎬｄ)｜ａꎬｂꎬｃꎬｄɪＩꎬａ＋ｄʉ１(ｍｏｄ２３)ꎬ且ａｄ－ｂｃʉ０(ｍｏｄ２３)}ꎬ则集合Ａ中元素的个数为.解析㊀若ａꎬｄ中有０ꎬ由于ａ＋ｄʉ１(ｍｏｄ２３)ꎬ则ａꎬｄ()有０ꎬ１()和１ꎬ０()两种情况.此时ａｄ＝０ꎬ且ａｄ－ｂｃʉ０(ｍｏｄ２３)ꎬ则ｂꎬｃ中有０ꎬｂꎬｃ()有４５种情况.所以ꎬ此类共有２ˑ４５＝９０种情况.若ａꎬｄ中无０ꎬ由于ａ＋ｄʉ１(ｍｏｄ２３)ꎬ则ａꎬｄ()有２ꎬ２２()ꎬ３ꎬ２１()ꎬ ꎬ２２ꎬ２()共２１种情况.因为ａｄ－ｂｃʉ０(ｍｏｄ２３)ꎬ注意到ｋｍ(ｋꎬｍɪ１ꎬ２ꎬ ꎬ２２{})对每一个确定的ｋꎬｋｍ(ｍɪ１ꎬ２ꎬ ꎬ２２{})的每两个值对于ｍｏｄ２３不同余ꎬ即与１ꎬ２ꎬ ꎬ２２关于ｍｏｄ２３同余的值各有一个ꎬ则ｋｍ(ｋꎬｍɪ１ꎬ２ꎬ ꎬ２２{})的值与１ꎬ２ꎬ ꎬ２２关于ｍｏｄ２３同余的各有２２个.则对于每一个ａꎬｄ()ꎬｂꎬｃ()有２２种情况.故此类共有２１ˑ２２＝４６２种情况.㊀所以ꎬ集合Ａ中元素的个数为９０＋４６２＝５５２.题６㊀在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＢ＝１ꎬＢＣ＝ＣＣ１＝３ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬ点Ｐ是平面ＡＢＣ上一动点ꎬ则Ａ１Ｐ＋１２ＰＣ的最小值为.解析㊀易知ꎬ点Ｐ在线段ＡＣ上时ꎬＡ１Ｐ＋１２ＰＣ才可能最小.由已知可求得ＡＣ＝２ꎬＡＡ１＝３.设øＡＡ１Ｐ＝αꎬ则αɪ０ꎬａｒｃｔａｎ２３æèçöø÷ꎬＡ１Ｐ＝３ｃｏｓαꎬＡＰ＝３ｔａｎα.则Ａ１Ｐ＋１２ＰＣ＝３ｃｏｓα＋２－３ｔａｎα２＝１＋３２－ｓｉｎα()２ｃｏｓα.设ｔ＝２－ｓｉｎαｃｏｓαꎬ则ｔｃｏｓα＋ｓｉｎα＝２.于是ｔ２＋１ȡ２ꎬｔȡ３.则Ａ１Ｐ＋１２ＰＣȡ５２.当ｔ＝３时ꎬ３ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝２ꎬ则ｓｉｎα＋π３æèçöø÷＝１ꎬ解得α＝π６.故当α＝π６时ꎬＡ１Ｐ＋１２ＰＣ取最小值５２.题７㊀如图１ꎬ将函数ｙ＝ｃｏｓｘ＋１(０ɤｘɤ２π)的图象Γ画在矩形ＯＡＢＣ内ꎬ将ＡＢ与ＯＣ重合围成一个圆柱ꎬ则曲线Γ在圆柱表面形成的曲线的离心率为.解析㊀如图２ꎬ设图１中ＯＡꎬＣＢ的中点分别为ＥꎬＤꎬ则围成圆柱后ＡＥꎬＢＤ分别为上㊁下底面的直径ꎬ易知ＡＥ＝２.设ＡＥ的中点为ＧꎬＰ为曲线上一点ꎬ作ＰＱʅ底面ꎬ垂足为点ＱꎬＱＭʅＡＥ于点ＭꎬＭＮʊＡＢ交ＢＥ于点Ｎ.㊀图１㊀函数ｙ＝ｃｏｓｘ＋１图象㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀圆柱设ＡＱ(＝ｘꎬ则ＰＱ＝１＋ｃｏｓｘꎬøＡＧＱ＝ｘꎬøＡＥＱ＝ｘ２.所以ＥＱ＝ＡＥｃｏｓøＡＥＱ＝２ｃｏｓｘ２ꎬＭＥ＝ＱＥｃｏｓøＡＥＱ＝２ｃｏｓ２ｘ２.易知әＮＭＥ为等腰直角三角形ꎬ则ＭＮ＝ＭＥ＝２ｃｏｓ２ｘ２＝１＋ｃｏｓｘ.所以ＰＱ＝ＮＭꎬ则四边形ＰＱＭＮ为矩形.所以ＰＮʅＮＭꎬ则ＰＮʅ平面ＡＢＤＥꎬ于是点Ｐ在平面ＡＢＤＥ内的投影为点Ｎ.所以曲线在平面ＡＢＤＥ内的投影为线段ＢＥꎬ于是曲线为过直线ＢＥ且垂直于平面ＡＢＤＥ的平面截圆柱侧面所得曲线[３].该曲线为椭圆ꎬ长轴为ＢＥ＝２２ꎬ短轴长等于底面直径２ꎬ所以离心率为２２.题８㊀设ＡꎬＢꎬＣ是ΔＡＢＣ的三个内角ꎬ则３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ的取值范围为.解析㊀设Ｍ＝３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ.易知Ｍ<６ꎬ当Ａң０ꎬＢңπꎬＣң０时ꎬＭң６.当Ｃң０时ꎬＭ＝－３ｃｏｓＢ＋Ｃ()＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃң－３ｃｏｓＢ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋１ꎬ又－３ｃｏｓＢ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋１＝４ｃｏｓ２Ｂ－３ｃｏｓＢ－１＝４ｃｏｓＢ－３８æèçöø÷２－２５１６ꎬ所以ꎬ当Ｃң０ꎬＢ＝ａｒｃｃｏｓ３８πꎬＡңπ－ａｒｃｃｏｓ３８时ꎬＭң－２５１６.下面证明Ｍ>－２５１６.当Ａɤπ３时ꎬＭȡ３ｃｏｓπ３－３＝－３２>－２５１６.当Ａ>π３时ꎬ０<Ｂ<２π３ꎬ０<Ｃ<２π３ꎬ０<Ｂ＋Ｃ<２π３.此时ꎬＡ不是ＡꎬＢꎬＣ中最小的.(１)若Ｃ最小ꎬ则Ｃ<ＡꎬＣɤＢ.此时ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ＋ｃｏｓ２Ｃȡ０ꎬ证明如下:ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ＋ｃｏｓ２Ｃ＝－ｃｏｓＢ＋Ｃ()－ｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ２Ｃ＝－２ｃｏｓＢ＋２Ｃ２ｃｏｓＢ２＋２ｃｏｓＢ＋２Ｃ２ｃｏｓＢ－２Ｃ２＝４ｃｏｓＢ＋２Ｃ２ｓｉｎＢ－Ｃ２ｓｉｎＣ２.因为Ｂ＋２Ｃ２ꎬＢ－Ｃ２ꎬＣ２ɪ０ꎬπ２[öø÷ꎬ所以ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ＋ｃｏｓ２Ｃȡ０成立.所以３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃȡ３－ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ－ｃｏｓ２Ｃ()＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝－３ｃｏｓＢ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋３ｃｏｓＣ－３ｃｏｓ２Ｃ＋ｃｏｓ３Ｃ＝４ｃｏｓ２Ｂ－３ｃｏｓＢ＋４ｃｏｓ３Ｃ－６ｃｏｓ２Ｃ＋１＝４ｃｏｓＢ－３８æèçöø÷２＋２ｃｏｓＣ－１()２２ｃｏｓＣ＋１()－２５１６.因为０<Ｃ<２π３ꎬ－１２<ｃｏｓＣ<１ꎬ所以３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ>－２５１６.(２)若Ｂ最小ꎬ则ＢɤＣꎬＢ<Ａꎬ３Ｂ＋Ｃ２ɪ０ꎬπ()ꎬＣ－Ｂ２ɪ０ꎬπ２[öø÷.于是ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ２Ｂ＝－ｃｏｓＢ＋Ｃ()＋ｃｏｓ２Ｂ＝２ｓｉｎ３Ｂ＋Ｃ２ｓｉｎＣ－Ｂ２ȡ０ꎮ所以３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３ＣȡｃｏｓＡ＋ｃｏｓ３Ｃ＝－ｃｏｓＢ＋Ｃ()＋ｃｏｓ３Ｃ>－ｃｏｓＣ＋ｃｏｓ３Ｃ＝４ｃｏｓ３Ｃ－４ｃｏｓＣ.设ｔ＝ｃｏｓＣꎬ由于０<Ｃ<２π３ꎬ－１２<ｃｏｓＣ<１ꎬ则－１２<ｔ<１.令４ｃｏｓ３Ｃ－４ｃｏｓＣ＝４ｔ３－４ｔ＝ｆｔ()ꎬ则ｆᶄｔ()＝１２ｔ２－４＝４３ｔ２－１()ꎬ则ｆｔ()的极值点为ʃ１３.则ｆｔ()在－１２ꎬ－１３æèçöø÷上单调递增ꎬ在－１３ꎬ１３æèçöø÷上单调递减ꎬ在１３ꎬ１æèçöø÷上单调递增.计算知ｆ－１２æèçöø÷＝３２>－２５１６ꎬｆ１３æèçöø÷＝－８３３>－２５１６ꎬ所以ｆｔ()>－２５１６.所以３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ>－２５１６.综上所述ꎬ３ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ的取值范围是－２５１６ꎬ６æèçöø÷.题９㊀已知抛物线Γ的顶点是原点Ｏꎬ焦点是Ｆ(０ꎬ１).过直线ｙ＝－２上任意一点Ａ作抛物线Γ的两条切线ꎬ切点分别为ＰꎬＱꎬ求证:(１)直线ＰＱ过定点ꎻ(２)øＰＦＱ＝２øＰＡＱ.证明㊀(１)易得拋物线Γ的方程为ｘ２＝４ｙ.设点Ａ(ｔꎬ－２)ꎬＰｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ则过点Ｐ的抛物线Γ的切线ｌ１的方程为ｙ－ｙ１＝ｘ１２ｘ－ｘ１().即ｘ１ｘ－２ｙ－２ｙ１＝０.同理ꎬ过点Ｑ的抛物线Γ的切线ｌ２的方程为ｘ２ｘ－２ｙ－２ｙ２＝０.由ｌ１ꎬｌ２过点Ａꎬ可得ｘ１ｔ＋４－２ｙ１＝０ꎬｘ２ｔ＋４－２ｙ２＝０ꎬ这表明ꎬ点Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()的坐标满足方程ｔｘ－２ｙ＋４＝０.所以直线ＰＱ的方程为ｔｘ－２ｙ＋４＝０.所以易得直线ＰＱ过定点(０ꎬ２).(２)不妨设点Ｐ在点Ｑ的左边ꎬ则ｘ１<ｘ２.因为ｔａｎøＰＡＱ＝ｘ１/２－ｘ２/２１＋(ｘ１/２) (ｘ２/２)＝２ｘ１－ｘ２()ｘ１ｘ２＋４ꎬ所以ｔａｎ２øＰＡＱ＝２ｔａｎøＰＡＱ１－ｔａｎ２øＰＡＱ＝４ｘ１－ｘ２()/ｘ１ｘ２＋４()１－４ｘ１－ｘ２()２/ｘ１ｘ２＋４()２＝４ｘ１－ｘ２()ｘ１ｘ２＋４()ｘ１ｘ２＋４()２－４ｘ１－ｘ２()２.又因为ｔａｎøＰＦＱ＝(ｙ１－１)/ｘ１－(ｙ２－１)/ｘ２１＋[(ｙ１－１)/ｘ１] [(ｙ２－１)/ｘ２]＝ｘ２ｘ２１/４－１()－ｘ１ｘ２２/４－１()ｘ１ｘ２＋ｘ２１/４－１()ｘ２２/４－１()＝４ｘ１－ｘ２()ｘ１ｘ２＋４()ｘ１ｘ２＋４()２－４ｘ１－ｘ２()２ꎬ所以ｔａｎ２øＰＡＱ＝ｔａｎøＰＦＱ.易知０ʎ<øＰＡＱ<９０ʎ<øＰＦＱ<１８０ʎ.所以øＰＦＱ＝２øＰＡＱ.题１０㊀给定正整数ｎ(ｎȡ２).已知２ｎ个正实数ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２ｎꎬ满足:ðｎｋ＝１ａ２ｋ－１ ðｎｋ＝１ａ２ｋ＝ᵑｎｋ＝１ａ２ｋ－１＋ᵑｎｋ＝１ａ２ｋ.求Ｓ＝ð２ｎｋ＝１ａｎ－１ｋａｋ＋１的最小值ꎬ其中ａ２ｎ＋１＝ａ１.解析㊀一方面ꎬ记Ａ＝ᵑ２ｎｋ＝１ａｋ()１ｎꎬ则Ｓ＝ðｎｋ＝１ａｎ－１２ｋａ２ｋ＋１＋ðｎｋ＝１ａｎ－１２ｋ－１ａ２ｋȡｎᵑｎｋ＝１ａｎ－１２ｋａ２ｋ＋１æèçöø÷１ｎ＋ｎᵑｎｋ＝１ａｎ－１２ｋ－１ａ２ｋæèçöø÷１ｎ＝ｎＡᵑｎｋ＝１ａ２ｋ－１＋ᵑｎｋ＝１ａ２ｋ()＝ｎＡðｎｋ＝１ａ２ｋ－１ ðｎｋ＝１ａ２ｋ()ȡｎＡｎᵑｎｋ＝１ａ２ｋ－１()１ｎｎᵑｎｋ＝１ａ２ｋ()１ｎ＝ｎ３.另一方面ꎬ易知ｎ＝２时ꎬ取ａ１＝ａ３＝１ꎬａ２＝ａ４＝２＋３时可满足条件ꎬ且Ｓ＝ｎ３.ｎȡ３时ꎬ取ａ１＝ａ２＝＝ａ２ｎ＝ｎ２２æèçöø÷１ｎ－２时可满足条件ꎬ且Ｓ＝ｎ３.综上所述ꎬ所求的最小值是ｎ３.题１１㊀给定正整数ａꎬｂ(ａɤｂ).数列ｆｎ{}满足:ｆ１＝ａꎬｆ２＝ｂꎬｆｎ＋２＝ｆｎ＋１＋ｆｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ).若对任意的正整数ｎꎬ都ðｎｋ＝１ｆｋ()２ɤλ ｆｎｆｎ＋１ꎬ求实数λ的最小值.解析㊀先证以下３个引理:引理１㊀对任意ｎɪＮ∗ꎬ有ｆｎ＋２＝ðｎｋ＝１ｆｋ＋ｆ２.证明㊀ｆｎ＋２＝ðｎ＋１ｋ＝２ｆｋ＋１－ｆｋ()＋ｆ２＝ðｎ＋１ｋ＝２ｆｋ－１＋ｆ２＝ðｎｋ＝１ｆｋ＋ｆ２.引理２㊀记Ｔ＝ａ２＋ａｂ－ｂ２ꎬ则对任意ｎɪＮ∗ꎬ有ｆｎｆｎ＋２＋(－１)ｎＴ＝ｆ２ｎ＋１.证明㊀由条件知ｆ３＝ａ＋ｂ.从而ｆ１ｆ３＋(－１)１Ｔ＝ａ(ａ＋ｂ)－ａ２＋ａｂ－ｂ２()＝ｂ２＝ｆ２２ꎬ故结论对ｎ＝１成立.假设ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时ꎬ结论成立ꎬ即ｆｋｆｋ＋２＋(－１)ｋＴ＝ｆ２ｋ＋１.当ｎ＝ｋ＋１时ꎬｆｋ＋１ｆｋ＋３＋(－１)ｋ＋１Ｔ＝ｆｋ＋１ｆｋ＋１＋ｆｋ＋２()＋ｆｋｆｋ＋２－ｆ２ｋ＋１＝ｆｋ＋１ｆｋ＋２＋ｆｋｆｋ＋２＝ｆ２ｋ＋２ꎬ故当ｎ＝ｋ＋１时ꎬ结论也成立.由归纳原理知ꎬ对任意的正整数ｎꎬ都有ｆｎｆｎ＋２＋(－１)ｎＴ＝ｆ２ｎ＋１.引理３㊀ｌｉｍｎң＋ɕｆｎｆｎ＋１＝５－１２.证明㊀首先ꎬ由ｆｎｆｎ＋１－ｆｎ＋１ｆｎ＋２＝ｆｎｆｎ＋２－ｆ２ｎ＋１ｆｎ＋１ｆｎ＋２＝(－１)ｎＴｆｎ＋１ｆｎ＋２ң０知ｌｉｍｎң＋ɕｆｎｆｎ＋１存在ꎬ设其值为ａꎬ其中０ɤａɤ１.其次ꎬ将ｆｎ＋２＝ｆｎ＋１＋ｆｎ同时除以ｆｎ＋１ꎬ再令ｎң＋ɕꎬ得１ａ＝１＋ａꎬ解得ａ＝５－１２.回到原题:记Ｔｎ＝ðｎｋ＝１ｆｋ()２ｆｎｆｎ＋１ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ则Ｔｎ＋１－Ｔｎ＝ðｎ＋１ｋ＝１ｆｋ()２ｆｎ＋１ｆｎ＋２－ðｎｋ＝１ｆｋ()２ｆｎｆｎ＋１＝ｆｎðｎｋ＝１ｆｋ＋ｆｎ＋１()２－ｆｎ＋２ðｎｋ＝１ｆｋ()２ｆｎｆｎ＋１ｆｎ＋２＝ｆｎ－ｆｎ＋２()ðｎｋ＝１ｆｋ()２＋２ｆｎｆｎ＋１ðｎｋ＝１ｆｋ()＋ｆｎｆ２ｎ＋１ｆｎｆｎ＋１ｆｎ＋２＝－ｆｎ＋１ｆｎ＋２－ｆ２()２＋２ｆｎｆｎ＋１ｆｎ＋２－ｆ２()＋ｆｎｆ２ｎ＋１ｆｎｆｎ＋１ｆｎ＋２＝２ｆｎ＋１ｆ２－ｆ２２＋ｆｎｆｎ＋２－ｆ２ｎ＋１ｆｎｆｎ＋２＝２ｂｆｎ＋１－ｂ２－(－１)ｎＴｆｎｆｎ＋２.注意到ｆｎ＋１ȡｂꎬ且(－１)ｎＴ＝(－１)ｎａ２＋ａｂ－ｂ２()ɤｂ２ꎬ所以２ｂｆｎ＋１－ｂ２－(－１)ｎＴȡ２ｂ２－ｂ２－ｂ２＝０.因此ꎬＴｎ＋１ȡＴｎ对任意的正整数ｎ均成立.由Ｔｎ{}单调递减可知:若ｌｉｍｎң＋ɕＴｎ存在ꎬ则其值为λ的最小值.又ｌｉｍｎң＋ɕＴｎ＝ｌｉｍｎң＋ɕðｎｋ＝１ｆｋ()２ｆｎｆｎ＋１＝ｌｉｍｎң＋ɕｆｎ＋２－ｆ２()２ｆｎｆｎ＋１＝ｌｉｍｎң＋ɕｆｎ＋１＋ｆｎ－ｆ２()２ｆｎｆｎ＋１＝ｌｉｍｎң＋ɕｆｎ＋１＋ｆｎ()２ｆｎｆｎ＋１＝ｌｉｍｎң＋ɕｆｎｆｎ＋１＋ｆｎ＋１ｆｎ＋２æèçöø÷＝５－１２＋５＋１２＋２＝２＋５.综上可知ꎬλ的最小值为２＋５.参考文献:[１]张君.２０２２年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及解析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(２５):８４－８８.[２]李鸿昌.我这样做奥数[Ｍ].成都:四川省教育电子音像出版社ꎬ２０２１.[３]甘志国.圆锥曲线光学性质的证明及其应用[Ｊ].数学教学ꎬ２０１７(０９):１６－１８ꎬ３７.[责任编辑:李㊀璟]。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

全国高中数学联赛预赛试题及答案

全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|.设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（）A.16B.18C. 20D.22 2.已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（） A.[)16,12 B.[)16,8 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53 B.151 C.85 D.8150４．已知a 、b 为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，不等式-≥-M 是N 的（）Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中，其图象关于直线2=x 对称.其中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （）A.2B.1C.0D.2-二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为． 10.已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为． 11.多项式()310021x x x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后，150x的系数为 .（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ；（2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q .所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４．解：设a OA =，b OB =，则b x 表示与OB-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC-表示点A 到B 的距离. 当(b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()b a b -⊥. 选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为02818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9．解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ① 的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C 因此，150x的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S .又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分）设tt t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分）易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分）故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分）由t ba=，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立.…………………………………………………………………………（14分）１6．解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分） 17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分）当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分）又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（14分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分）因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+yy x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+yy x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y yx由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分）（2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分）由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。

1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

2022年全国高中数学联赛(山东赛区)预赛试题及参考答案

2022年全国高中数学联赛（山东赛区）预赛试题一、填空题（本题共10道小题，每题6分，共60分）1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，则方程[][]2221+211=0x x ---的解集_______. 2.设,,,,0a b c R a c ∈≠，方程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x R x ∈，则2022102kk x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑______. 3.已知()f x 是(,)-∞+∞上单调递增的奇函数，满足对一切实数θ恒有(cos 2)(sin )0f a f a θθ-++≥，则实数a 的取值范围是______.4.数列{}n a 共有100项，1100=0,=475a a ，且1=1,2,99k k a a k +-=5,.则满足这种条件的不同数列的个数为______. 5.若单位圆内接四边形对角线互相垂直，则该四边形四条边平方和是______.6.已知10a b e<<<，则,,,a b b a a b a b 从小到大排列为______. 7.将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（图1）；将这6个部分接于一个边长为62的正六边形上（图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是______.8.设,a b 是从集合{}1,2,3,4,5中随机选取的数，则直线y ax b =+与圆22=2x y +有公共点的概率是______. 9.已知正数列{}n a 满足对2*311,n n i i i i n N a a ==⎛⎫∀∈= ⎪⎝⎭∑∑，则=n a ______.10.已知0,2x y π<<，则22291sin cos cos sin f x x y y=+的最小值是______. 二、解答题（本题共4道小题，每题15分，共60分）.11.已知函数()f x 满足对任意实数,x y 有()()()f xy f y x f x y +-≥+，求证：对于任意实数x ，均有()0f x ≥.12.已知椭圆2222:=1(0)x y C a b a b+>>，证明：存在圆心在原点的定圆，使该圆上任一点的切线与椭圆C 恒有两个交点,A B 且0OA OB ⋅=.13.设,,0a b c >且2++=53a b c ,=28abc ，求f =.14.把集合{}1011,1012,,2022A =任意划分为两个不交的非空子集.证明：至少有一个子集中包含两个数，这两个数之和为完全平方数.。

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨 2022年全国高中数学联合竞赛一试(A1 卷)含答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛一试（A1卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 设复数e(1i)(1i)e ez（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），则z 的模为．答案：2．解：记e,e eu v，则22,,1R u v u v ．因此2222()()i ()()2()2z u v u v u v u v u v ． 2. 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:0x y dx ey f （其中,,d e f 为实数）的一条直径为AB ，其中(20,22),(10,30)A B ，则f 的值为．答案：860．解：易知的圆心（即AB 的中点）为(15,26)，的半径为412AB，故圆的方程为22(15)(26)41x y ，即2230528600x y x y ．所以860f ．3. 设函数()f x 的定义域为R ，且当0x 时，()2f x x a （其中a 为实数）．若()f x 为奇函数，则不等式()1f x 的解集为．答案：[3,1][5,) ．解：由条件知(0)20f a ，故2a ．当0x 时，由()221f x x ，解得5x ．当0x 时，()1f x 等价于()1f x ，即221x ，即21x ，解得31x ．综上，不等式()1f x 的解集为[3,1][5,) ．4. 若ABC 满足345A B C ，则2||AB ACBC的值为．答案：334．解：由条件知45,60,75A B C ，于是2||||sin sin cos ||||||||||sin sin AB AC AB AC AB AC C BA BC AB AC BC BC A A62323342242222． 5. 若等差数列{}n a 及正整数(3)m m 满足：11,2m a a ，且122311113m ma a a a a a ，则12m a a a 的值为．答案：212．解：设{}n a 的公差为d ，则111122311111m i i i m m i i a a a a a a a a da a 111111m i ii d a a11111111m mmma a m d a a da a a a ，结合条件可知132m，得7m ．所以12(12)72122m a a a ．6. 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为．答案：15．解：这7名学生的任意圆排列有6!种．以下考虑满足条件的圆排列的种数．先对四名男生进行圆排列，有3!种排法，任意两名相邻男生之间暂视为一个空位，共4个空位；为使三名女生两两不相邻，需挑选3个不同的空位将她们依次排入，有34P 种排法．因此满足条件的圆排列有343!P 种．从而所求概率为343!P 16!5． 7. 已知四面体ABCD 满足,,23AB BC BC CD AB BC CD ，且该四面体的体积为6，则异面直线AD 与BC 所成的角的大小为．答案：45 或60 ．解：作DH 平面ABC 于点H ，则四面体的体积163ABC V S DH ．由,23AB BC AB BC ，得6ABC S ，所以3DH ．又DH CH ，23CD ，故3CH ．由,BC CD BC DH ，得BC 平面CDH ，所以BC CH ．构造正方形ABCE ，则H 在直线CE 上，且由AE 平面CDH 知AE DE ．由于||AE BC ，故DAE 为异面直线AD 与BC 所成角的平面角．DH CD H C EABEAB若3HE CE CH （如左图），则23DE AE ，此时45DAE ；若33HE CE CH （如右图），则63DE AE ，此时60DAE ．因此，所求角的大小为45 或60 ．8. 在55 矩阵中，每个元素都为0或1，且满足：五行的元素之和都相等，但五列的元素之和两两不等．这样的矩阵的个数为（答案用数值表示）．答案：26400．解：设矩阵的所有元素之和为S ．由于五行的元素之和都相等，故5|S ．又五列的元素之和两两不等，故10012341234515S ．所以10S 或15．于是只有以下两类情形：(1) 10S ，此时每行有2个1，其余为0，各列中1的个数为0、1、2、3、4的排列；(2) 15S ，此时每行有2个0，其余为1，各列中0的个数为0、1、2、3、4的排列．对于情形(1)，不妨先考虑对任意1,2,,5i ，第i 列中恰有1i 个1，且第2列中的1位于第1行的矩阵，设这样的矩阵有n 个（则由对称性，符合情形(1)的矩阵有5!5600n n 个）．若第5列中的0在第1行，则第3列的2个1可任选位置，第4列的3个1必须与第3列的2个1两两不同行，这种矩阵有25C 10 个．以下设第5列中的0在第(25)k k 行处．此时，在第3、4列中，第1行处必须都为0，第k 行处必须都为1，然后，第3列中的另一个1可在除第1、第k 行外的剩下三个位置中任选一处，第4列中的另两个1的位置随之确定（必须与第3列的1不同行），这种矩阵有4312 个．所以101222n ，从而符合情形(1)的矩阵有60013200n 个．同理，符合情形(2)的矩阵也有13200个．综上，所求的矩阵的个数为21320026400 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）对任意正实数a ，记函数()lg f x x 在[,)a 上的最小值为a m ，函数()sin2xg x 在[0,]a 上的最大值为a M ．若12a a M m ，求a 的所有可能值．解：由于(1)0f 为()f x 的最小值，()f x 在[1,) 上严格递增，故0,01,lg , 1.a a m a a……………4分由于(1)1g 为()g x 的最大值，()g x 在[0,1]上严格递增，故sin ,01,21, 1.a a a M a……………8分当01a 时，sin 2a a a M m ，由1sin 22a 解得26a ，即13a ． ……………12分当1a 时，1lg a a M m a ，由11lg 2a 解得10a ．因此a 的所有可能值为13或10． ……………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设一条动直线l 与抛物线2:4y x 相切，且与双曲线22:1x y 交于左、右两支各一点A 、B ．求AOB 的面积的最小值．解：设l 与相切于点P （显然P 不为原点O ，否则l 为y 轴，与无交点）．由对称性，不妨设P 为第一象限内上一点，坐标为(,2)t t ，其中0t ，则切线l 的方程为22()t y x t ，即xy t t． ……………5分代入的方程，整理得关于x 的方程2(1)2(1)0t x tx t t ，,A B 的横坐标为该方程的两解，记为12,x x ，则1t ，且12122(1),11t t t x x x x t t．根据题意有120x x ，而0t ，故1t ．注意到l 的截距为t ，故有21212121()422AOB tS t x x x x x x2224(1)142(1)11t t t t t t t t t t ． ……………10分令1u t ，则0u ．利用基本不等式，得2(1)(1)2425AOB u u u u u uS u u．当1u （即2t ）时，AOB S 取到最小值25． ……………20分 11.（本题满分20分）设正整数数列{}n a 同时具有以下两个性质：(i) 对任意正整数k ，均有2122k k k a a ；(ii) 对任意正整数m ，均存在正整数l m ，使得1mm i i la a ．求2462022a a a a 的最大值．解：由于{}n a 为正整数数列，在(i)中令1k 知122a a ，故121a a ．以下证明：对任意正整数2k ，有122k k a 或232k ．根据(ii)，对任意正整数m ，显然有1m m a a ．当2k 时，由344a a 及43a a 知42a 或3，故结论成立．假设k 时结论成立，考虑1k 的情形．由(ii)知存在正整数2l k ，使得221kk i i l a a ．当21l k 时，由(i)及2221k k a a ，可知212221221222k k k k k k k a a a a a，于是不等号均为等号，这表明21l k ，21222k k k a a ，符合结论．当2l k 时，212k k a a ，12222k k k a a ．若122k k a ，则12232k k a ，符合结论；若2232k k a ，则22212232,52k k k k a a ，此时2122221k k k k a a a a ，故对任意正整数121l k ，总有12122k k i i l a a ，与(ii)矛盾，即该情形不会发生．综上，1k 时结论也成立．从而由数学归纳法知结论成立．……………10分从上述证明进一步可见，对任意正整数2k ，2232k k a 与12232k k a 不能同时成立．因此，对任意正整数t ，均有222212121442max{322,232}2t t t t t t t a a ．所以2462022a a a a 1010101350521212125218413t t a． ① ……………15分当121a a ，且对任意正整数t ，取212141441422,32t t t t t t a a a a 时，易验证数列{}n a 具有性质(i)、(ii)，并且①取到等号．从而2462022a a a a 的最大值为1013253 ． ……………20分。