全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

全国高中数学联赛江西省预赛试题

一、选择题（每小题6分,共36分）

1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()

(),14,-∞-+∞．

2、设2

2

1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +

=有公共点，则a

b

的取值范围是（ ）.

A 、11,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.

3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .

A 、7 ；

B 、13 ；

C 、18 ；

D 、27．

4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．

5、设(21

2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．

A 、必为无理数；

B 、必为偶数；

C 、必为奇数；

D 、可为无理数或有理数．

6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.

你的判断是（ ）

A.甲对乙错；

B. 甲错乙对；

C.甲乙都对；

D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）

7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22

194

x y +

=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .

8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .

9、

四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．

10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .

11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，

则20

1

k k b ==∑ .

12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =中取出一个k 元子集A ，

使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：

13、

（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于

点M ；

证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．

14、

（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明： 1115

2

x y y z z x ++≥+++．

15、

（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,

,n A a a a =，

{}12,,

,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，且1

1

n

n

k k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的

一个“等和划分”（A B 与B

A 算是同一个划分）

． 试确定集{}1,2,

,12M =共有多少个“等和划分”

．

全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

一、选择题（每小题6分,共36分）

1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．

答案：B ．

解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤

2、设2

2

1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +

=有公共点，则a

b

的取值范围是（ ）.

A 、11,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.

答：C ． 解：将2ax

y b

-=

代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()2

22212431260a a b b -+-≥，利用

221a b +=，化简得22a b ≥，所以

1a b ≥．即(][),11,a

b

∈-∞-+∞．

3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则

CD = .

A 、7 ；

B 、13 ；

C 、18 ；

D 、27． 答案：B .

解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，

{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。

因此只有13CD =.另一方面，使41,13AB CD ==的四面体ABCD 可作出，例如取

7,36,18,27BC AC BD AD ====.故选B

4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）.