内弹道学第三章 内弹道方程组的解法

SPdt = φ mdv
θ
（3.1） 3.1）
§3.2 内弹道方程组的解法
在上一篇讲述射击过程时， 在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的 特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、 特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第 一时期和第二时期。 一时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相 联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件， 联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件， 而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。 而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。因 对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点， 此，对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺 序地作出各阶段的解法。 序地作出各阶段的解法。
dl B = ⋅ lψ + l B1
xdx B xdx =− ⋅ K1 ψ0 B1 ξ 1 ( x ) 2 x − x− B1 B1
§3.2 内弹道方程组的解法
式中
ψ0 K1 ξ1 ( x ) = x − x− B1 B1
2
将上式对等号两边进行积分得 l dl B x xdx ∫0 lψ + l = − B 1 ∫0 ξ 1 ( x ) 下面我们即分别导出这两个积分。 下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的 积分。对于这样的积分式， 积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式 的积分方法。为此， 的积分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式
§3.1 内弹道方程组
根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下： 根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下： （1）形状函数： 形状函数： （2）燃速方程： 燃速方程： （3）弹丸运动方程： 弹丸运动方程：
ψ = χZ (1 + λZ + µZ 2 )
dZ u1 P = dt e1
（4）内弹道基本方程： SP (lψ + l ) = fωψ − φmv 2 内弹道基本方程： 2 dl 弹丸速度与行程关系式： 弹丸速度与行程关系式： = v dt 3.1）即为内弹道方程组，方程组中共有P 式（3.1）即为内弹道方程组，方程组中共有P、v、l、 六个变量，有五个独立的方程， t、ψ和Z六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个 变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数， 变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可 以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。
§3.1 内弹道方程组
基本假设： 基本假设： 1．火药的燃烧服从几何燃烧定律； 火药的燃烧服从几何燃烧定律； 2．不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的 条件下进行的； 条件下进行的； 3．火药的燃烧速度与压力成正比； 火药的燃烧速度与压力成正比； 4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的 4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后， 无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后 成分始终保持不变 ； 5.用 考虑各种功次要功； 5.用φ考虑各种功次要功； 6.膛壁的热散失忽略不计; 6.膛壁的热散失忽略不计; 膛壁的热散失忽略不计 7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程， 7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤 不计及弹带逐渐挤进膛线的过程 进膛线达到到挤进压力P 时弹丸才开始运动。 进膛线达到到挤进压力P0时弹丸才开始运动。
从弹道方程组利用数学解析的方法， 分析解法 ：从弹道方程组利用数学解析的方法，直 P=P(l)、v=v(l)、P=P(t)和 接或者间接解出 P=P(l)、v=v(l)、P=P(t)和v=v(t) 的函数关系。 的函数关系。 在一定的条件下预先将弹道解编成数值表， 表解法 ：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表， 应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹 道解。 道解。 计算机解法：通过计算机编程求弹道解。 计算机解法：通过计算机编程求弹道解。
§3.2 内弹道方程组的解法
内弹道方程组中共有P 内弹道方程组中共有P、v、l、t、ψ和Z六个变量， 六个变量， 其它各量都是已知常量，有五个独立的方程， 其它各量都是已知常量，有五个独立的方程，如取其 中一个变量为自变量， 中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的 函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 在选择自变量时， 在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的 边界条件作为选择的主要标准。 边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变 量中，只有φ 这两个变量的边界条件是已知的， 量中，只有φ及Z这两个变量的边界条件是已知的， 从数学处理来讲，选择Z 即φ从φ0到l，Z从Z0到l。从数学处理来讲，选择Z作 为自变量比选择φ方便。因此， 为自变量比选择φ方便。因此，在现有的弹道解法中 大多是采用Z作为自变量。不过在具体解方程组时。 大多是采用Z作为自变量。不过在具体解方程组时。 由于z的起始条件Z 总是以Z 的形式出现， 由于z的起始条件Z0同Z总是以Z-Z0的形式出现，所以 则所解出的各变量都将以x 令x=Z-Z0。则所解出的各变量都将以x的函数形式来 表示。 表示。
γ =
K 12
§3.2 内弹道方程组的解法
于是就得到如下的积分 x xdx b + 1 x dx b − 1 x dx ∫0 ξ 1 ( x ) = 2b ∫0 x − x1 + 2b ∫0 x − x2
x = ln 1 − x1
式中
b +1 2b
x 1 − x2
σ0 −1 2ψ 0 Z0 = = 2λ χ (1 + σ 0 )
求出了这三个诸元之后， 求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行 第一时期的弹道解。 第一时期的弹道解。
二、第一时期的解法
第一时期是射击过程中最复杂的一个时期， 第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具 有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。 有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。
§3.2 内弹道方程组的解法
3．解弹丸行程的函数式 l = f3 ( x) 将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SP得 将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SP得 SP dl vdv φm = ⋅ θφ m 2 lψ + l fω v ψ − 2 fω 代入, 再将以上导出的 v = f 1 ( x ) 及ψ = f 2 ( x ) 代入,则式中的右 边仅表示为x 边仅表示为x的函数
ψ0 =
1 1 − ∆ δ f 1 +α − P0 − PB δ
忽略P 忽略PB
ψ0 ≈
1 1 − ∆ δ f 1 +α − δ P0
§3.2 内弹道方程组的解法
求得了ψ 应用§1.7所给出的 所给出的σ 求得了ψ0后，应用§1.7所给出的σ及Z的公式分别计 算出σ 算出σ0及Z0
λ σ0 = 1+ 4 ψ0 χ
内弹道学
第三章
内弹道方程组的解法
膛内结构:口径d 炮膛横断面面积S 药室容积W 膛内结构:口径d、炮膛横断面面积S、药室容积W0 和弹 丸全行程长l 丸全行程长lg 等 弹丸重量q 装药量ω 火药力f 装填条件 :弹丸重量q、装药量ω、火药力f、火药气体 的余容α 燃烧速度系数u 火药密度δ 的余容α、燃烧速度系数u1、火药密度δ、 火药的形状特征量( 火药的形状特征量(χ、λ)等 内弹道解法 ：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度 变化规律， 变化规律，首先我们就必须列出能够体现瞠内主要矛盾的 方程，从而组成所谓内弹道方程组， 方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能 够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。 够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再 用一定的数学方法，将这样的方程组解出P 用一定的数学方法，将这样的方程组解出P-l、v-l、P-t 的弹道曲线， 及v-t的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所 谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。 谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个 过程，我们就称为内弹道解法。 过程，我们就称为内弹道解法。
x A1 A2 = + ξ 1 ( x ) x − x1 x − x 2
§3.2 内弹道方程组的解法
并得到如下的等式
ψ0 K1 x − x− B1 B1
2
x
( A1 + A2 )x − A1 x2 − A2 x1 = x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2
从这样的等式建立了以下的方程组 b+1 K1 K1 A1 = (1 + b ) x1 = x1 + x 2 = B 2b 2 B1 1 b−1 ψ0 K1 A2 = (1 − b ) x2 = x1 x 2 = − B 2b 2 B1 1 A1 + A2 = 1 b = 1 + 4γ 式中 B1ψ 0 − A1 x 2 − A2 x1 = 0
ψ = χZ + χλZ 2 = χ ( x + Z 0 ) + χλ ( x + Z 0 )
2 = χZ 0 + χλZ 0 + χ (1 + 2λZ 0 ) x + χλx 2
2
由于 ψ 0 = χZ 0+ χλZ 02
σ 0 = 1 + 2λ Z 0
并令 K 1 = χσ 0 ，从而导出
ψ = ψ 0 + K 1 x + χλx 2
§3.2 内弹道方程组的解法
1．解速度的函数式 v = f1( x) 将燃速方程和弹丸运动方程联立消去Pdt 将燃速方程和弹丸运动方程联立消去Pdt
dv = S e1 dZ SI k dZ ⋅ = φm u1 φm
从起始条件v=0及 积分到任一瞬间的v 从起始条件v=0及Z=Z0积分到任一瞬间的v及Z v=0
一、前期的解法
根据假设7 弹丸是瞬时挤进膛线， 根据假设7，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达 到挤进压力P 时才开始运动。 到挤进压力P0时才开始运动。所以这一时期的特点应 该是定容燃烧时期， 该是定容燃烧时期，因此