内弹道学第三章 内弹道方程组的解法

§3.1 内弹道方程组
根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下： 根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下： （1）形状函数： 形状函数： （2）燃速方程： 燃速方程： （3）弹丸运动方程： 弹丸运动方程：
ψ = χZ (1 + λZ + µZ 2 )
dZ u1 P = dt e1
（4）内弹道基本方程： SP (lψ + l ) = fωψ − φmv 2 内弹道基本方程： 2 dl 弹丸速度与行程关系式： 弹丸速度与行程关系式： = v dt 3.1）即为内弹道方程组，方程组中共有P 式（3.1）即为内弹道方程组，方程组中共有P、v、l、 六个变量，有五个独立的方程， t、ψ和Z六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个 变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数， 变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可 以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。
ψ = χZ + χλZ 2 = χ ( x + Z 0 ) + χλ ( x + Z 0 )
2 = χZ 0 + χλZ 0 + χ (1 + 2λZ 0 ) x + χλx 2
2
由于 ψ 0 = χZ 0+ χλZ 02
σ 0 = 1 + 2λ Z 0
并令 K 1 = χσ 0 ，从而导出
ψ = ψ 0 + K 1 x + χλx 2
§3.1 内弹道方程组
基本假设： 基本假设： 1．火药的燃烧服从几何燃烧定律； 火药的燃烧服从几何燃烧定律； 2．不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的 条件下进行的； 条件下进行的； 3．火药的燃烧速度与压力成正比； 火药的燃烧速度与压力成正比； 4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的 4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后， 无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后 成分始终保持不变 ； 5.用 考虑各种功次要功； 5.用φ考虑各种功次要功； 6.膛壁的热散失忽略不计; 6.膛壁的热散失忽略不计; 膛壁的热散失忽略不计 7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程， 7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤 不计及弹带逐渐挤进膛线的过程 进膛线达到到挤进压力P 时弹丸才开始运动。 进膛线达到到挤进压力P0时弹丸才开始运动。
γ =
K 12
§3.2 内弹道方程组的解法
于是就得到如下的积分 x xdx b + 1 x dx b − 1 x dx ∫0 ξ 1 ( x ) = 2b ∫0 x − x1 + 2b ∫0 x − x2
x = ln 1 − x1
式中
b +1 2b
x 1 − x2
b −1 2b
b −1 2b
= ln Zx
x Zx = 1 − x1
b +1 2b
x 1 − x2
b +1 2b
2 B1 1 − x = ⋅ b + 1 K1
2 B1 1 + x ⋅ b − 1 K1
S Ik dl = ⋅ lψ + l fωφm
2
2
xdx
2 S 2 Ik θ 2 ψ 0 + K 1 x + χλx 2 − ⋅ x fωφm 2
§3.2 内弹道方程组的解法
S 2 I k2 B = 令 f ωφ m 是各种装填条件组合起来的一个综合参量， B是各种装填条件组合起来的一个综合参量，我 们称之为装填参量，它是无量纲的， 们称之为装填参量，它是无量纲的，但是它的变化 对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响， 对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响，因此 它是一个重要的参量。 它是一个重要的参量。 Bθ 又令 B1 = − χλ 2 则上式即简化成如下形式
§3.2 内弹道方程组的解法
1．解速度的函数式 v = f1( x) 将燃速方程和弹丸运动方程联立消去Pdt 将燃速方程和弹丸运动方程联立消去Pdt
dv = S e1 dZ SI k dZ ⋅ = φm u1 φm
从起始条件v=0及 积分到任一瞬间的v 从起始条件v=0及Z=Z0积分到任一瞬间的v及Z v=0
ψ0 =
1 1 − ∆ δ f 1 +α − P0 − PB δ
忽略P 忽略PB
ψ0 ≈
1 1 − ∆ δ f 1 +α − δ P0
§3.2 内弹道方程组的解法
求得了ψ 应用§1.7所给出的 所给出的σ 求得了ψ0后，应用§1.7所给出的σ及Z的公式分别计 算出σ 算出σ0及Z0
λ σ0 = 1+ 4 ψ0 χ
x A1 A2 = + ξ 1 ( x ) x − x1 x − x 2
§3.2 内弹道方程组的解法
并得到如下的等式
ψ0 K1 x − x− B1 B1
2
x
( A1 + A2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx − A1 x2 − A2 x1 = x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2
从这样的等式建立了以下的方程组 b+1 K1 K1 A1 = (1 + b ) x1 = x1 + x 2 = B 2b 2 B1 1 b−1 ψ0 K1 A2 = (1 − b ) x2 = x1 x 2 = − B 2b 2 B1 1 A1 + A2 = 1 b = 1 + 4γ 式中 B1ψ 0 − A1 x 2 − A2 x1 = 0
σ0 −1 2ψ 0 Z0 = = 2λ χ (1 + σ 0 )
求出了这三个诸元之后， 求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行 第一时期的弹道解。 第一时期的弹道解。
二、第一时期的解法
第一时期是射击过程中最复杂的一个时期， 第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具 有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。 有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。
内弹道学
第三章
内弹道方程组的解法
膛内结构:口径d 炮膛横断面面积S 药室容积W 膛内结构:口径d、炮膛横断面面积S、药室容积W0 和弹 丸全行程长l 丸全行程长lg 等 弹丸重量q 装药量ω 火药力f 装填条件 :弹丸重量q、装药量ω、火药力f、火药气体 的余容α 燃烧速度系数u 火药密度δ 的余容α、燃烧速度系数u1、火药密度δ、 火药的形状特征量( 火药的形状特征量(χ、λ)等 内弹道解法 ：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度 变化规律， 变化规律，首先我们就必须列出能够体现瞠内主要矛盾的 方程，从而组成所谓内弹道方程组， 方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能 够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。 够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再 用一定的数学方法，将这样的方程组解出P 用一定的数学方法，将这样的方程组解出P-l、v-l、P-t 的弹道曲线， 及v-t的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所 谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。 谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个 过程，我们就称为内弹道解法。 过程，我们就称为内弹道解法。
SI k ∫0 dv = φm
v
∫
Z
Z0
dZ
因x=Z-Z0，于是 x=Z-
SI k v= x φm
该式表明，在一定装填条件下， 该式表明，在一定装填条件下，弹丸速度 与火药的已燃厚度成比例。 与火药的已燃厚度成比例。
§3.2 内弹道方程组的解法
2．解火药的已燃部分的函数式 ψ = f2 ( x) 将Z=x+Z0代入形状函数中导出
§3.2 内弹道方程组的解法
内弹道方程组中共有P 内弹道方程组中共有P、v、l、t、ψ和Z六个变量， 六个变量， 其它各量都是已知常量，有五个独立的方程， 其它各量都是已知常量，有五个独立的方程，如取其 中一个变量为自变量， 中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的 函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。 在选择自变量时， 在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的 边界条件作为选择的主要标准。 边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变 量中，只有φ 这两个变量的边界条件是已知的， 量中，只有φ及Z这两个变量的边界条件是已知的， 从数学处理来讲，选择Z 即φ从φ0到l，Z从Z0到l。从数学处理来讲，选择Z作 为自变量比选择φ方便。因此， 为自变量比选择φ方便。因此，在现有的弹道解法中 大多是采用Z作为自变量。不过在具体解方程组时。 大多是采用Z作为自变量。不过在具体解方程组时。 由于z的起始条件Z 总是以Z 的形式出现， 由于z的起始条件Z0同Z总是以Z-Z0的形式出现，所以 则所解出的各变量都将以x 令x=Z-Z0。则所解出的各变量都将以x的函数形式来 表示。 表示。
SPdt = φ mdv
θ
（3.1） 3.1）
§3.2 内弹道方程组的解法
在上一篇讲述射击过程时， 在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的 特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、 特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第 一时期和第二时期。 一时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相 联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件， 联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件， 而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。 而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。因 对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点， 此，对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺 序地作出各阶段的解法。 序地作出各阶段的解法。
dl B = ⋅ lψ + l B1
xdx B xdx =− ⋅ K1 ψ0 B1 ξ 1 ( x ) 2 x − x− B1 B1
§3.2 内弹道方程组的解法
式中
ψ0 K1 ξ1 ( x ) = x − x− B1 B1
2
将上式对等号两边进行积分得 l dl B x xdx ∫0 lψ + l = − B 1 ∫0 ξ 1 ( x ) 下面我们即分别导出这两个积分。 下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的 积分。对于这样的积分式， 积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式 的积分方法。为此， 的积分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式
一、前期的解法
根据假设7 弹丸是瞬时挤进膛线， 根据假设7，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达 到挤进压力P 时才开始运动。 到挤进压力P0时才开始运动。所以这一时期的特点应 该是定容燃烧时期， 该是定容燃烧时期，因此
l = 0，v = 0
§3.2 内弹道方程组的解法
在这一时期中，火药在药室容积W 中燃烧， 在这一时期中，火药在药室容积W0中燃烧，压力则 升高到P 由PB 升高到P0，与P0相应的前期结束的瞬间标志火药形 状尺寸的诸元也将相应地为ψ 状尺寸的诸元也将相应地为ψ0、σ0及Z0。这些量既是 这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以， 这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以， 这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的P 这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的P0分别解 这三个前期诸元。 出ψ0、σ0及Z0这三个前期诸元。 首先根据定容的状态方程解出ψ 首先根据定容的状态方程解出ψ0 ：
从弹道方程组利用数学解析的方法， 分析解法 ：从弹道方程组利用数学解析的方法，直 P=P(l)、v=v(l)、P=P(t)和 接或者间接解出 P=P(l)、v=v(l)、P=P(t)和v=v(t) 的函数关系。 的函数关系。 在一定的条件下预先将弹道解编成数值表， 表解法 ：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表， 应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹 道解。 道解。 计算机解法：通过计算机编程求弹道解。 计算机解法：通过计算机编程求弹道解。
§3.2 内弹道方程组的解法
3．解弹丸行程的函数式 l = f3 ( x) 将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SP得 将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SP得 SP dl vdv φm = ⋅ θφ m 2 lψ + l fω v ψ − 2 fω 代入, 再将以上导出的 v = f 1 ( x ) 及ψ = f 2 ( x ) 代入,则式中的右 边仅表示为x 边仅表示为x的函数