课时跟踪检测(六) 球的体积和表面积

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球的表面积和体积公式同步检测

柱锥台球的表面积体积公式同步检测一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．43C ．6D ．3 3．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2B ．2πC ．πD ．4π 4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π5．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 26．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π7．一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为( )A ．4πB ．2πSC ．πS D.233πS8．(2011－2012·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π 9．一个圆台的上、下底面面积分别是πcm 2和49πcm 2，一个平行于底面的截面面积为25πcm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )A ．2:1B ．3:1 C. 2 :1 D. 3 :1 10．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2 二、填空题11．已知圆柱OO ′的母线l ＝4cm ，全面积为42πcm 2，则圆柱OO ′的底面半径r = ________cm.12．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．13．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为________．14．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．三、解答题15．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD，如图所示，求它的表面积．16．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)17．(2011－2012·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．18．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)。

球的表面积和体积

球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。

简单几何体的表面积与体积跟踪训练含答案

8.3简单几何体的表面积与体积跟踪训练(答案)一、选择题1、已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( B )A.2B.2 2C.4D.4 2解：设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，侧面展开图为一个半圆，所以2π×2＝πl，解得l＝2 2.2、现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( D )A.3πB.3π2 C.5π2 D.5π解：设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.∴圆锥的母线l＝h2＋R2＝22＋1＝5，因此S圆锥侧＝πRl＝1×5π＝5π.3、等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为( B )A．2πB．2π或()1＋2πC．22πD．22π或()2＋2π解：如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长2，所以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边高为22，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选B．4、对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( B )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨解：由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r ＝20022＝50(mm)，故 V 小圆锥＝13×π×502×150＝503·π(mm 3)，从而可得积水厚度h ＝V 小圆锥S 大圆＝503·ππ·1002＝12.5(mm)，属于中雨.5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12解：设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为2a ，斜高为m ，依题意得h 2＝12×2a ×m ，即h 2＝am ①，易知h 2＋a 2＝m 2 ②，由①②得m ＝1＋52a (舍负)，所以m2a ＝1＋52a 2a ＝1＋54.故选C ．6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由x 2＝8，得x ＝22，所以S 表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B ．7、已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( C )A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π解：圆台的轴截面如图，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，高为h ，母线长为l ，则它的母线长l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.8、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( D )A.20＋12 3B.28 2C.563D.2823解：连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ＝22－（22－2）2＝2，下底面面积S 1＝16，上底面面积S 2＝4，所以该棱台的体积V ＝13h (S 1＋S 2＋S 1S 2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.9、已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( C )A.4B.6C.4 3D.6 3解：∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC ＝13×12×2×6×23＝4 3. 10、如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( C )A ．23πB ．324πC ．223πD ．22π解：如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为等边三角形ABC 的中心，连接AE 并延长，交BC 于点D .AE ＝23AD ，AD ＝32，所以AE ＝23×32＝33，所以PE ＝P A 2－AE 2＝63.设圆柱底面半径为r ，则r ＝AE ＝33，所以圆柱的侧面积S ＝2πr ·PE ＝2π×33×63＝22π3.11、已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S -ABC 的体积是( C )A ．4B ．6C ．4 3D ．6 3解：因为∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，所以AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.因为∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，所以AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，所以AC ⊥AS .又因为SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，所以AS ⊥平面ABC ，所以AS 为三棱锥S -ABC 的高，所以V 三棱锥S -ABC ＝13×12×2×6×2 3＝4 3.12、(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为21，则( AC )A.正四棱锥的底面边长为6B.正四棱锥的底面边长为3C.正四棱锥的侧面积为24 3D.正四棱锥的侧面积为12 3解：如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，SH ⊥AB ，设底面边长为2a (a ＞0)，因为∠SHO ＝30°，所以OH ＝a ，OS ＝33a ，SH ＝233a ，在Rt △SAH 中，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 2＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S ＝12×6×23×4＝24 3.故选AC.二、填空题13、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______．解：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.14、一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为____13____cm.解：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm).所以AB＝122＋52＝13(cm).15、已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2 3.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为___(6＋43)π_____.解：如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴34×AC2＝23，解得AC＝2 2.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r＝OC＝AC cos 30°＝22×32＝ 6.则该圆锥的表面积＝π×(6)2＋12×2π×6×22＝(6＋43)π.16、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__118.8____g.解：由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4×12×2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝13×12×3＝12(cm3).又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).17、棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.解：如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN ＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴V A1－D1MN ＝V D1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.18、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为___1 100π_____cm2.(结果中保留π)解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10(cm)，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2.19、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为___23_____.解：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH .则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E －ADG 的高EG ＝12，直三棱柱AGD －BHC 的高AB ＝1. 则AG ＝AE 2－EG 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.取AD 的中点M ，则MG ＝22，所以S △AGD ＝12×1×22＝24，∴V 多面体＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.20、如图，设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为________．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底，所以12·3a ·h ′＝34a 2×2. 所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2.所以32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6.所以S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. 所以S 表＝S 侧＋S 底＝93＋183＝27 3.21、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π______.解;设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62·h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.22、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为____23____.解： ∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD . ∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF . ∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S正方形ABCD×13＝1×2×2×13＝43，V A－DEF＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.23、若E ，F 是三棱柱ABC －A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，则四棱锥A －BEFC 的体积为____m3____.解：如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积. 又四棱锥A －BEFC 的高与四棱锥A －B 1EFC 1的高相等，所以V A －BEFC ＝V A －B 1EFC 1＝12V A －BB 1C 1C .又V A －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·AA 1， V ABC －A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·AA 1＝m ，所以V A －A 1B 1C 1＝m 3，所以V A －BB 1C 1C ＝V ABC －A 1B 1C 1－V A －A 1B 1C 1＝2m3，所以V A －BEFC ＝12×2m 3＝m3，即四棱锥A －BEFC 的体积是m3.24、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).故仓库的容积是312 m3.25、如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1-ABCD.设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1-ABCD的体积为V，AB＝x.(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．解：(1)连接AC(图略)，因为矩形ABCD内接于⊙O，所以AC为⊙O的直径．因为AC＝2，AB＝x，所以BC＝4－x2，所以S＝AB·BC＝x4－x2(0<x<2).(2)因为长方体的高AA1＝1，所以V＝S·AA1＝x4－x2＝x2(4－x2)＝－(x2－2)2＋4.因为0<x<2，所以0<x2<4，故当x2＝2即x＝2时，V取得最大值，此时V max＝2.。

2019-2020学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2：课时跟踪检测(六) 球的体积和表面积 Word版含解析

课时跟踪检测（六）球的体积和表面积层级一学业水平达标1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3C ．8πD.82π3解析：选C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S ＝π()R2－12＝(R 2－1)π＝π，∴R 2＝2，∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A ．16π B ．20π C ．24πD ．32π解析：选A 设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由V ＝13a 2h ＝a 2＝6，得a ＝6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r ，则(3－r )2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30 π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V2＝3216V2，S 球＝4πR 2＝336πV2<3216V2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( ) A.π3 B.π4 C.π2D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S1S2＝π2.6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π. 答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________．解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r ＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR 21∶4πR 2∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 2∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 3＝1∶8∶27， ∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 3＝R 31∶R 32∶R 3＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.层级二应试能力达标1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B. 2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3cm 3D.41613π3cm 3解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S ＝( )A ．32＋πB ．32＋2πC ．28＋2πD ．28＋π解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S ＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R ，则2R ＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π. 答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________．解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，柱体的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝483. 答案：4837．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD AC. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴r3－r ＝12，∴r ＝33 cm ，V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm 3)，即球的体积等于4327π cm 3.8．在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A -BCD ，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15.设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．∵HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12，∴OH ＝OB2－HB2＝9，∴正三棱锥A -BCD 的高h ＝9＋15＝24. 又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， ∴V 三棱锥A -BCD＝13×1083×24＝8643.②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A -BCD 的高h ′＝15－9＝6，S △BCD ＝1083， ∴V 三棱锥A -BCD ＝13×1083×6＝2163. 综上，可知三棱锥的体积为8643或2163.。

球的体积和表面积附答案

球的体积和表⾯积附答案球的体积和表⾯积附答案Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】球的体积和表⾯积[学习⽬标] 1.记准球的表⾯积和体积公式，会计算球的表⾯积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点⼀球的体积公式与表⾯积公式1.球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径).2.球的表⾯积公式S＝4πR2.思考球有底⾯吗球⾯能展开成平⾯图形吗答球没有底⾯，球的表⾯不能展开成平⾯.知识点⼆球体的截⾯的特点1.球既是中⼼对称的⼏何体，⼜是轴对称的⼏何体，它的任何截⾯均为圆，它的三视图也都是圆.2.利⽤球半径、截⾯圆半径、球⼼到截⾯的距离构建直⾓三⾓形是把空间问题转化为平⾯问题的主要途径.题型⼀球的表⾯积和体积例1 (1)已知球的表⾯积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表⾯积.解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝43πR3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R，则43πR3＝5003π，解得R＝5，所以球的表⾯积S＝4πR2＝4π×52＝100π.跟踪训练1 ⼀个球的表⾯积是16π，则它的体积是( )ππ答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝43πR3＝323π.题型⼆球的截⾯问题例2 平⾯α截球O的球⾯所得圆的半径为1.球⼼O到平⾯α的距离为2，则此球的体积为( )ππππ答案B解析如图，设截⾯圆的圆⼼为O′，M为截⾯圆上任⼀点，则OO′＝2，O′M＝1.∴OM ＝?2?2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练 2 已知长⽅体共顶点的三个侧⾯⾯积分别为3，5，15，则它的外接球表⾯积为________. 答案 9π解析如图，是过长⽅体的⼀条体对⾓线AB 的截⾯，设长⽅体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32，所以S 球＝4πR 2＝9π.题型三球的组合体与三视图例3 某个⼏何体的三视图如图所⽰，求该⼏何体的表⾯积和体积.解由三视图可知该⼏何体的下部是棱长为2的正⽅体，上部是半径为1的半球，该⼏何体的表⾯积为S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该⼏何体的体积为V＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.跟踪训练3 有三个球，第⼀个球内切于正⽅体，第⼆个球与这个正⽅体各条棱相切，第三个球过这个正⽅体的各个顶点，求这三个球的表⾯积之⽐.解设正⽅体的棱长为a.①正⽅体的内切球球⼼是正⽅体的中⼼，切点是正⽅体六个⾯的中⼼，经过四个切点及球⼼作截⾯，如图(1)所⽰，则有2r1＝a，即r1＝a2，所以S1＝4πr21＝πa2.②球与正⽅体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球⼼作正⽅体的对⾓⾯得截⾯，如图(2)所⽰，则2r2＝2a，即r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.③正⽅体的各个顶点在球⾯上，过球⼼作正⽅体的对⾓⾯得截⾯，如图(3)所⽰，则有2r3＝3a，即r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.轴截⾯的应⽤例4 有⼀个倒圆锥形容器，它的轴截⾯是⼀个正三⾓形，在容器内部放⼀个半径为r的铁球，并注⼊⽔，使⽔⾯没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中⽔的深度.分析分别表⽰出取出铁球前后⽔的体积→由⽔的体积不变建⽴等式→求出所求量.解如图，⊙O 是球的最⼤截⾯，它内切于△ABC ，球的半径为r .设将球取出后，⽔平⾯在MN 处，MN 与CD 交于点E .则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ，∴CD ＝3r .由图形知V圆锥CE ∶V圆锥CD ＝? ????13π·ME 2·CE ∶? ??13π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.⼜∵V 圆锥CD ＝π3(3r )2·3r ＝3πr 3，V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3－43πr 3＝53πr 3，∴5πr 33∶3πr 3＝CE 3∶(3r )3，∴CE ＝315r .∴球从容器中取出后，⽔的深度为315r .1.直径为6的球的表⾯积和体积分别是( )π，144ππ，36ππ，36ππ，144π2.若球的体积与其表⾯积数值相等，则球的半径等于( )3.两个半径为1的实⼼铁球，熔化成⼀个球，这个⼤球的半径是________.4.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表⾯积变为原来的________倍.5.某⼏何体的三视图如图所⽰，则其表⾯积为________.⼀、选择题1.设正⽅体的表⾯积为24，那么其外接球的体积是( )πππ2.⼀个正⽅体的⼋个顶点都在半径为1的球⾯上，则正⽅体的表⾯积为( )3.两个球的半径之⽐为1∶3，那么两个球的表⾯积之⽐为( )∶9 ∶27 ∶3 ∶14.设正⽅体的表⾯积为24 cm2，⼀个球内切于该正⽅体，那么这个球的体积是( )π cm3π cm3 π cm3π cm35.若与球外切的圆台的上、下底⾯半径分别为r，R，则球的表⾯积为( )π(r＋R)2πr2R2πRr D.π(R＋r)26.已知底⾯边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同⼀球⾯上，则该球的体积为( )πππ7.如图，有⼀个⽔平放置的透明⽆盖的正⽅体容器，容器⾼8 cm，将⼀个球放在容器⼝，再向容器内注⽔，当球⾯恰好接触⽔⾯时测得⽔深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )cm3 cm3cm3 cm3⼆、填空题8.⼀个⼏何体的三视图(单位：m)如图所⽰，则该⼏何体的体积为________ m3.9.已知⼀个正⽅体的所有顶点在⼀个球⾯上.若球的体积为9π2，则正⽅体的棱长为_____.10.正四棱锥的顶点都在同⼀球⾯上，若该棱锥的⾼为4，底⾯边长为2，则该球的表⾯积是________.11.圆柱形容器内盛有⾼度为8 cm的⽔，若放⼊三个相同的球(球的半径与圆柱的底⾯半径相同)后，⽔恰好淹没最上⾯的球(如图所⽰)，则球的半径是______cm.三、解答题12.如图所⽰，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转⼀周得到⼀⼏何体，求该⼏何体的表⾯积.(其中∠BAC＝30°)13.⼀个⾼为16的圆锥内接于⼀个体积为972π的球，在圆锥内⼜有⼀个内切球，求：(1)圆锥的侧⾯积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1.答案B解析球的半径为3，表⾯积S＝4π·32＝36π，体积V＝4 3π·33＝36π.2.答案D解析设球的半径为R，则4πR2＝43πR3，所以R＝3.3.答案3 2解析设⼤球的半径为R，则有43πR3＝2×43π×13，R3＝2，∴R＝3 2.4.答案8 4解析球的半径为R时，球的体积为V1＝43πR3，表⾯积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝43π(2R)3＝323πR3，表⾯积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.所以V2V1＝323πR343πR3＝8，S2S1＝16πR24πR2＝4，即体积变为原来的8倍，表⾯积变为原来的4倍.5.答案3π解析由三视图可知，该⼏何体为⼀个半径为1的半球，其表⾯积为半个球⾯⾯积与截⾯⾯积的和，即12×4π＋π＝3π.课时精练⼀、选择题1.答案C解析由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正⽅体外接球的半径为R，则3a＝2R，∴R＝3，∴V球＝43πR3＝43π.2.答案A解析∵球的半径为1，且正⽅体内接于球，∴球的直径即为正⽅体的对⾓线，即正⽅体的对⾓线长为 2.不妨设正⽅体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝4 3 .∴正⽅体的表⾯积为6a2＝6×43＝8.3.答案A解析由表⾯积公式知，两球的表⾯积之⽐为R21∶R22＝1∶9.4.答案D解析由正⽅体的表⾯积为24 cm2，得正⽅体的棱长为 2 cm，故这个球的直径为2cm，故这个球的体积为43π cm3.5.答案C解析⽅法⼀如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r21＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝Rr.故球的表⾯积为S球＝4πr21＝4πRr.⽅法⼆如图，设球⼼为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB 中，OF是斜边AB上的⾼.由相似三⾓形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表⾯积为S球＝4πRr.6.答案D解析∵正四棱柱的底⾯边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对⾓线的长为1＋1＋?2?2＝2.⼜∵正四棱柱的顶点在同⼀球⾯上，∴正四棱柱体对⾓线恰好是球的⼀条直径，∴球的半径R＝1.故球的体积为V＝43πR3＝43π.7.答案A解析利⽤球的截⾯性质结合直⾓三⾓形求解.如图，作出球的⼀个截⾯，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm).设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝43π×53＝500π3(cm3).⼆、填空题8.答案9π＋18解析将三视图还原为实物图后求解.由三视图知，⼏何体下⾯是两个球，球半径为32；上⾯是长⽅体，其长、宽、⾼分别为6、3、1，所以V＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.9.答案3解析先求出球的半径，再根据正⽅体的体对⾓线等于球的直径求棱长.设正⽅体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 10.答案 814π解析由已知条件可知，球⼼在正四棱锥的⾼所在的直线上.设球的半径为R ，球⼼为O ，正四棱锥底⾯中⼼为E ，则OE ＝|4－R |，所以(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94.所以球的表⾯积S ＝4πR 2＝81π4.11.答案 4解析设球的半径为r ，则圆柱形容器的⾼为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，⾼度为8 cm 的⽔的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm).三、解答题12.解如图所⽰，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2，1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 21BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S ⼏何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.故旋转所得⼏何体的表⾯积为11＋32πR 2.13.解 (1)如图作轴截⾯，则等腰三⾓形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18. 已知CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122，因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，所以AD ＝42，S圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O1的半径为r，因为△ABC的周长为2×(122＋42)＝322，所以S△ABC＝12r·322＝12×82×16，解得r＝4，所以内切球O1的体积V球＝43πr3＝256π.。

高中数学-球的表面积和体积跟踪测试卷及答案

课时跟踪检测（二十三）球的表面积和体积层级(一) “四基”落实练1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π解析：选D 因为半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π.故选D.2．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cm解析：选D 由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.故选D.3．若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1解析：选A 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 22＝1∶9.故选A.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V，R ＝ 33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.故选A.5．设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A.6π cm 3B.323π cm 3 C.83π cm 3 D.43π cm 3 解析：选D 由正方体的表面积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2 cm ，故这个球的体积为43π cm 3.故选D.6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8，解得r 2＝7，所以r ＝7. 答案：77．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得②；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得③；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得①，只要是过球心就不可能截出④. 答案：①②③8.如图，在圆柱O1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.答案：329．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，设球的半径为R ，如图．因为O ′A ＝23×23×2＝233.在Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以R 2＝ 2332＋14R 2，所以R ＝43，所以S 球＝4πR 2＝649π.层级(二) 能力提升练1．一飞行昆虫被长为12 cm 的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为 ( )A ．144π cm 3B ．288π cm 3C ．576π cm 3D ．864π cm 3解析：选B 飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的18，∴飞虫活动范围的体积为18×43×π×123＝288π(cm 3)．故选B.2．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3 cm ，高为10 cm)，共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm 2(损耗忽略不计)．解析：圆柱形容器的体积为V 圆柱＝π×32×10＝90π. 设棒棒糖的半径为r ，则每个棒棒糖的体积为 V 棒棒糖＝43πr 3＝90π20＝92π，解得r ＝32，∴S 表＝4πr 2＝4π×94＝9π.答案：9π3．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________．解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.答案：9π24.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积．解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V 长方体＝10×8×15＝1 200(cm 3)．又V 半球＝12×43πR 3＝12×43π× 523＝12512π(cm 3)，所以所求几何体体积V ＝V 长方体＋V 半球＝1 200＋12512πcm 3. 因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，故所求几何体的表面积S ＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋254πcm 2. 所以该组合体的体积为 1 200＋12512πcm 3，表面积为 700＋254πcm 2. 5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，球心O 与边BC ，AC 分别相切于点D ， E .连接AD ，OE . ∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CDAC . ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm. 设OE ＝r ，则AO ＝3－r ， ∴r 3－r ＝12，∴r ＝33 cm.∴V 球＝43π×3 33＝4327π(cm 3)，即球的体积为4327π cm 3.层级(三) 素养培优练1．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图②所示，已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 2V 1＝( )A ．2 B.32 C.12D ．1解析：选C 设酒杯上部分高为h ，则酒杯内壁表面积S ＝12×4πR 2＋2πRh ＝143πR 2，解得h ＝43R ，∴V 1＝πR 2h ＝43πR 3，V 2＝12×43πR 3＝23πR 3，∴V 2V 1＝122.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 cm ，高8 cm (不含杯脚)，已知水的高度是4 cm ，现往杯子中放入一种直径为1 cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变，如果放完珍珠后水不溢出，求最多可以放入珍珠的个数．解：如图，等腰△ABC 中，底边AB ＝6 cm ，高CD ＝8 cm ；等腰△CEF 中，底边为EF，高CP＝4 cm.∵△CAB∽△CEF，∴EFAB＝CPCD，即EF6＝48，∴EF＝3，∴放入珍珠的最大体积为V＝13π×32×8－13π×232×4＝21π.∵一颗珍珠体积为43π×213＝π6，21ππ6＝126，∴最多放入珍珠126颗．。

球的表面积和体积

2019-2020学年人教A版必修二 1.3.2 球的体积和表面积课时作业

课时作业(六)1．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22倍 D ．2倍答案 C解析根据球的体积公式知，体积比为半径比的立方．2．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2 D ．24πa 2答案 B解析由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2，故选B.3．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π⇒R －r ＝2.4．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72πB．48πC．30πD．24π答案 C解析首先通过观察三视图判断出几何体的直观图，然后按照体积公式进行计算．此组合体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V＝12×4 3π×33＋13π×32×52－32＝30π，故选C.5．正四面体内切球与外接球的体积的比为()A．1∶3 B．1∶9C．1∶27 D．1∶81(注：正四面体是特殊的三棱锥，它的每个面都是正三角形．) 答案 C解析内切球半径是高的14，外接球半径是高的34，所以半径之比为1∶3，故体积之比为1∶27.6．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则() A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲<V乙且S甲<S乙C．V甲＝V乙且S甲>S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙答案 C解析 V 甲＝64×4π3×(a 4×12)3＝16πa 3， S 甲＝64×4π×(a 4×12)2＝4πa 2， V 乙＝43π×(a ×12)3＝16πa 3， S 乙＝4π×(a ×12)2＝πa 2， ∴V 甲＝V 乙，S 甲>S 乙，选C.7．一个球的表面积是144π cm 2，它的体积是________ cm 3. 答案 288π8．半径为R 的球的外切圆柱的表面积是________．答案 6πR 29．将一个半径为R 的木球削成尽可能大的正方体，则此正方体的体积为________．答案 893R 3解析该正方体与球内接，球的直径为正方体的体对角线． 10．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于________．答案86ππ解析设球的半径为R ，依题设有6(38)2＝4πR 2，则R 2＝6π，球的体积为43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫6π32＝86ππ.11．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米．答案 12解析 πr 2h ＝43πR 3，R ＝364×27＝12.12．正四棱锥S －ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为________．答案 43π解析球内接正四棱锥各棱长为2，则该球半径为1(连接正方体六个面的中心所得八面体就是两个棱长都相等的正四棱锥重合底面所得)，所以球的体积为V ＝43π.13.如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．解析作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23，设球的半径为R ，则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(6)2＋(3)2＝9. ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.14．已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切．求： (1)棱锥的全面积； (2)球的半径R.解析 (1)如图所示，正三棱锥A －BCD.由题可知AE ＝1，CD ＝26，EF ＝13×32×CD ＝ 2.∴侧面的高AF ＝AE 2＋EF 2＝ 3.∴S 全＝3×26×3×12＋26×32×26×12 ＝92＋6 3.(2)由题可得1－R 3＝R2，∴R ＝6－2.1．下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )答案 B解析 ∵在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线应互相平行，∴选B. 2．已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3，则它们的表面积S 1，S 2，S 3，满足的等量关系是( ) A ．S 1＋2S 2＝3S 3 B ．S 1＋4S 2＝9S 3 C.S 1＋2S 2＝3S 3 D.S 1＋S 2＝S 3答案 C解析 S 1＝4πR 12，S 1＝2πR 1，同理：S 2＝2πR 2，S 3＝2πR 3，即R 1＝S 12π，R 2＝S 22π，R 3＝S 32π，由R 1＋2R 2＝3R 3，得S 1＋2S 2＝3S 3.3．体积相等的球、正四面体和正方体，它们表面积间的大小关系是( )A ．S 球<S 正四面体<S 正方体B ．S 球<S 正方体<S 正四面体C ．S 正四面体<S 球<S 正方体D ．S 正方体<S 球<S 正四面体答案 B解析通过球、正四面体和正方体体积相等，找到球的半径、正四面体和正方体的棱长之间的等量关系，从而进一步计算表面积． 4.如图，由三个正方体木块粘合成的模型，它们的棱长分别为1 m ，2 m ，4 m ，要在表面上涂刷油漆，若大正方体的下底面不涂油漆，则模型涂油漆的总面积是________ m 2. 答案 1005．一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？解析设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x.如图所示：∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r)2·3r＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为V 水＝13πEH 2·PH ＝13π(PH·tan30°)2·PH ＝19πx 3.而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3， ∴x ＝315r.故球取出后水面的高为315r.1．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.2.(2015·新课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3. 某四棱台的三视图如右图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案 B解析由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.4．将正方体(如图所示)截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图为( )答案 B解析左视图中能够看到线段AD 1，画为实线，看不到线段B 1C ，画为虚线，而且AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，所以选择B. 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92 D ．4答案 D解析由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×2＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.故应选D.6.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把底面是等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的直角边等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．7．如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．18 3 B．12 3C．9 3 D．6 3答案 C解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案 B解析从俯视图看，B 和D 符合，从正视图看B 符合，而从侧视图看B 也是符合的．9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2答案 B解析该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2. 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12D.92π＋18答案 D解析这个空间几何体上半部分是一个半径为32的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为4π3×(32)3＋3×3×2＝9π2＋18.11．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3答案 A解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，正确选项为A. 12．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )答案 D解析被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．6答案 D解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.14．若几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.答案 24解析根据三视图、几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24 cm 3. 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.16．如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则几何体体积为________．答案2 317．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案12＋π解析由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A．280 B．292C ．360D ．372答案 C解析该几何体的直观图如图，则所求表面积为S 表＝2×(2×8＋8×10＋2×10)＋2×(8×6＋8×2)＝360，故选C.2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23 C ．1 D ．2答案 C解析空间几何体的直观图为平放的直三棱柱，且直三棱柱底面为直角三角形，两直角边边长分别为1和2，侧棱长为2，直接利用公式可知V ＝2×12×1×2＝1.3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80答案 C4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3.答案 144解析该空间几何体的上部分是底面长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案 103解析由三视图可知本题的几何体是：下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥．于是可以得到体积是1×2＋13×2×2×1＝103. 7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 答案 4解析设球的半径为r cm ，则底面圆的半径为r cm ，从而有8πr 2＋3×43πr 3＝6r·πr 2，由此解得r ＝4.。

球的体积和表面积(附答案)

球得体积与表面积［学习目标］ 1、记准球得表面积与体积公式，会计算球得表面积与体积、2、能解决与球有关得组合体得计算问题、知识点一球得体积公式与表面积公式1、球得体积公式V ＝４3πR ３(其中R 为球得半径）、 2、球得表面积公式S =４πＲ2、思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗?答球没有底面，球得表面不能展开成平面、知识点二球体得截面得特点１、球既就是中心对称得几何体,又就是轴对称得几何体，它得任何截面均为圆，它得三视图也都就是圆、2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面得距离构建直角三角形就是把空间问题转化为平面问题得主要途径、题型一球得表面积与体积例１（１)已知球得表面积为64π,求它得体积;（2)已知球得体积为错误!π,求它得表面积、解 (1)设球得半径为R ，则4πＲ2=64π,解得Ｒ=4，所以球得体积Ｖ＝错误!πR ３=错误!π·４3=错误!π、（２)设球得半径为R ,则错误!πR 3=错误!π,解得R ＝5,所以球得表面积Ｓ＝4πR ２＝4π×５2＝100π、跟踪训练1 一个球得表面积就是1６π,则它得体积就是（ )A、64π Ｂ、错误!C、32πD、错误!答案Ｄ解析设球得半径为R,则由题意可知4πR2=16π，故R=2、所以球得半径为2,体积V=错误!πR ３＝＼f(３2,3)π、题型二球得截面问题例２平面α截球O得球面所得圆得半径为1、球心Ｏ到平面α得距离为＼r(2)，则此球得体积为（）A、＼ｒ（6)π Ｂ、４错误!π C、4错误!π D、6错误!π答案 B解析如图，设截面圆得圆心为O′，M为截面圆上任一点,则OO′＝错误!,O′M=１、∴OM=错误!=错误!、即球得半径为３、∴Ｖ=错误!π(错误!)3＝4错误!π、跟踪训练2 已知长方体共顶点得三个侧面面积分别为3，错误!,错误!,则它得外接球表面积为__＿_＿_＿_、答案9π解析如图,就是过长方体得一条体对角线AB得截面，设长方体有公共顶点得三条棱得长分别为x,y,z,则由已知,得错误!解得错误!所以球得半径R＝错误!AB=错误!错误!=错误!,所以S球＝４πR2＝9π、题型三球得组合体与三视图例３某个几何体得三视图如图所示,求该几何体得表面积与体积、解由三视图可知该几何体得下部就是棱长为2得正方体,上部就是半径为１得半球，该几何体得表面积为S =１2×4π×１2＋6×22－π×12=2４＋π、该几何体得体积为V =2３+＼f （1,2)×43π×1３＝8＋＼f （2π,3)、跟踪训练３有三个球，第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体得各个顶点，求这三个球得表面积之比、解设正方体得棱长为a 、①正方体得内切球球心就是正方体得中心，切点就是正方体六个面得中心，经过四个切点及球心作截面,如图（1)所示,则有2r 1＝a ，即r 1=错误!,所以S 1=4πr 错误!=πａ2、②球与正方体得得各棱得切点在每条棱得中点，过球心作正方体得对角面得截面,如图（2)所示,则2r2=错误!ａ,即r2＝错误!a,所以Ｓ2=4πr错误!＝2πa2、③正方体得各个顶点在球面上，过球心作正方体得对角面得截面,如图(3)所示,则有2r3=＼r(3）a,即r3＝错误!a，所以S3＝4πr错误!=3πａ2、综上可得S1∶S2∶S3＝１∶２∶３、轴截面得应用例4有一个倒圆锥形容器,它得轴截面就是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r得铁球,并注入水,使水面没过铁球与球正好相切,然后将球取出，求这时容器中水得深度、分析分别表示出取出铁球前后水得体积→由水得体积不变建立等式→求出所求量、解如图，⊙O就是球得最大截面,它内切于△AＢC,球得半径为ｒ、设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E、则ＤO＝r,ＡＤ=错误!r,AB=AC=ＢC=2错误!r，∴CD＝3r、由图形知V圆锥CE∶Ｖ圆锥CD＝错误!∶错误!=CＥ3∶ＣD3、又∵V圆锥ＣD＝＼f(π,3)（３r)2·3r＝3πｒ３，V圆锥CE＝Ｖ圆锥ＣD-V球Ｏ＝３πr3-错误!πr3=错误!πr3,∴错误!∶3πr3=CE3∶（3ｒ）3,∴ＣE=错误!r、∴球从容器中取出后，水得深度为错误!r、１、直径为6得球得表面积与体积分别就是()A、３6π，144π ﻩＢ、36π，3６πC、144π,3６πD、1４４π,144π2、若球得体积与其表面积数值相等,则球得半径等于（)Ａ、错误!B、1 C、2Ｄ、33、两个半径为1得实心铁球，熔化成一个球,这个大球得半径就是＿＿_＿_＿__、4、若球得半径由R增加为2R,则这个球得体积变为原来得_＿__＿＿_＿倍，表面积变为原来得＿＿______倍、5、某几何体得三视图如图所示,则其表面积为_____＿__、一、选择题1、设正方体得表面积为24,那么其外接球得体积就是( )A、错误!π Ｂ、错误!C、4错误!π D、3２错误!π２、一个正方体得八个顶点都在半径为1得球面上，则正方体得表面积为()A、8B、82Ｃ、８错误!Ｄ、４错误!3、两个球得半径之比为1∶3,那么两个球得表面积之比为( )A、1∶9 Ｂ、1∶27 C、1∶３D、1∶14、设正方体得表面积为24cm２,一个球内切于该正方体，那么这个球得体积就是（)A、６π cm３B、＼f（3２,3）π ｃm３C、＼ｆ(8,3)πcm3D、错误!π cm35、若与球外切得圆台得上、下底面半径分别为r,R,则球得表面积为(）A、4π(ｒ＋R)2ﻩＢ、4πr2Ｒ２Ｃ、4πＲｒD、π（R+ｒ)26、已知底面边长为１，侧棱长为＼r(２)得正四棱柱得各顶点均在同一球面上,则该球得体积为()A、错误!B、4πC、2π Ｄ、错误!π７、如图,有一个水平放置得透明无盖得正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为６cｍ,如果不计容器厚度，则球得体积为（）A、错误!cm３B、错误!cm3Ｃ、错误!cm３ﻩD、错误!cm3二、填空题８、一个几何体得三视图(单位：ｍ)如图所示，则该几何体得体积为＿__＿____ m3、9、已知一个正方体得所有顶点在一个球面上、若球得体积为＼ｆ(９π,2),则正方体得棱长为＿＿___、10、正四棱锥得顶点都在同一球面上,若该棱锥得高为４,底面边长为２，则该球得表面积就是__＿_____、11、圆柱形容器内盛有高度为8 ｃｍ得水,若放入三个相同得球（球得半径与圆柱得底面半径相同)后,水恰好淹没最上面得球(如图所示),则球得半径就是＿_＿___ｃｍ、三、解答题12、如图所示，半径为Ｒ得半圆内得阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体得表面积、（其中∠BＡC＝３0°)13、一个高为16得圆锥内接于一个体积为972π得球,在圆锥内又有一个内切球，求：（１)圆锥得侧面积;(2)圆锥得内切球得体积、当堂检测答案1、答案 B解析球得半径为3，表面积Ｓ＝４π·3２＝36π,体积Ｖ=＼ｆ(4,3)π·33=36π、2、答案Ｄ解析设球得半径为Ｒ,则4πR 2＝43πR 3，所以Ｒ＝3、３、答案＼r(3,2）解析设大球得半径为R ，则有错误!πR 3=2×错误!π×１３,R ３＝２,∴R ＝３2、4、答案 8 4解析球得半径为Ｒ时,球得体积为V 1＝错误!πR 3,表面积为Ｓ1＝4πR 2,半径增加为2R 后，球得体积为V ２=错误!π(2R ）３=错误!πR 3,表面积为Ｓ2=4π（2R )2＝1６πR 2、所以＼f(V 2,V 1)=错误!＝8,错误!=错误!＝4,即体积变为原来得8倍,表面积变为原来得４倍、5、答案３π解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1得半球，其表面积为半个球面面积与截面面积得与,即＼f(1,2)×4π＋π＝3π、课时精练一、选择题1、答案Ｃ解析由题意可知，6ａ２＝2４，∴ａ＝２、设正方体外接球得半径为Ｒ,则＼r(3)a＝2R,∴R＝错误!,∴V球＝错误!πＲ３=4错误!π、2、答案 A解析∵球得半径为1,且正方体内接于球,∴球得直径即为正方体得对角线，即正方体得对角线长为２、不妨设正方体得棱长为a,则有3ａ2=4,即ａ2＝错误!、∴正方体得表面积为6ａ2=6×错误!＝8、3、答案A解析由表面积公式知,两球得表面积之比为R错误!∶Ｒ错误!=１∶9、4、答案 D解析由正方体得表面积为24 cm2，得正方体得棱长为2 ｃm,故这个球得直径为2cm,故这个球得体积为＼f(４,3）π cm3、5、答案C解析方法一如图，设球得半径为r1，则在Ｒｔ△ＣDＥ中,DE＝２r1,CE=R－ｒ,DＣ=R＋r、由勾股定理得4r错误!=(Ｒ＋ｒ)2-（R－ｒ)2,解得r1＝错误!、故球得表面积为S球＝４πr 错误!＝4πＲr、方法二如图,设球心为O,球得半径为r1,连接ＯA，OB,则在Ｒt△AOB中,OＦ就是斜边ＡB 上得高、由相似三角形得性质得ＯF2＝ＢF·ＡF＝Rｒ,即ｒ错误!＝Rr，故r1＝错误!,故球得表面积为S球＝4πRr、6、答案Ｄ解析∵正四棱柱得底面边长为1，侧棱长为错误!,∴正四棱柱得体对角线得长为错误!＝2、又∵正四棱柱得顶点在同一球面上,∴正四棱柱体对角线恰好就是球得一条直径，∴球得半径Ｒ＝１、故球得体积为V＝错误!πR3=错误!π、7、答案 A解析利用球得截面性质结合直角三角形求解、如图，作出球得一个截面,则MＣ＝8－6=2(cm),BM＝＼f（１,2）AB＝错误!×8＝4(cｍ)、设球得半径为R cｍ,则R2=OM2+MB2＝（R-2)２＋42,∴Ｒ＝５,∴V球＝错误!π×5３=错误!(ｃm3）、二、填空题8、答案9π+18解析将三视图还原为实物图后求解、由三视图知,几何体下面就是两个球，球半径为错误!；上面就是长方体,其长、宽、高分别为6、3、１,所以V=错误!π×错误!×2＋１×3×6＝9π＋18、9、答案错误!解析先求出球得半径，再根据正方体得体对角线等于球得直径求棱长、设正方体棱长为ａ，球半径为R，则错误!πR3=错误!π，∴Ｒ＝错误!,∴错误!a＝3,∴a=错误!、10、答案错误!π解析由已知条件可知,球心在正四棱锥得高所在得直线上、设球得半径为Ｒ,球心为O,正四棱锥底面中心为E,则OE=|4-R｜，所以(４-R）2＋（错误!）2＝R２,解得Ｒ＝错误!、所以球得表面积S＝4πＲ2=＼ｆ（８1π,4）、１１、答案4解析设球得半径为ｒ，则圆柱形容器得高为６r,容积为πr２×６r＝６πr3,高度为8 cｍ得水得体积为8πｒ2，3个球得体积与为3×错误!πr３=4πr３，由题意得６πr3-8πr２＝４πr３,解得r ＝４(cｍ)、三、解答题12、解如图所示,过Ｃ作CO1⊥AB于O１、在半圆中可得∠BCＡ=90°,∠BＡC＝30°，ＡB=２Ｒ,∴AC=错误!Ｒ,BC＝Ｒ,CO１＝错误!Ｒ，∴S球＝4πR2，=π×错误!R×错误!R＝错误!πR2,=π×错误!Ｒ×R＝错误!πR２,∴S几何体表=S球+＋＝错误!πＲ2＋错误!πＲ2＝错误!πR2、故旋转所得几何体得表面积为错误!πR2、１3、解（1）如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O,⊙Ｏ1内切于△ABC、设⊙O得半径为Ｒ，由题意,得错误!πR3=972π，所以R3＝72９，Ｒ=9,所以CE＝１8、已知ＣD=16,所以ED＝2、连接AＥ,因为ＣＥ就是直径，所以ＣＡ⊥AE,所以CA2＝CＥ·CD＝１８×1６＝288，所以CA＝12错误!,因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE＝16×２＝32，所以AD=4错误!,Ｓ圆锥侧＝π×4＼r（2）×１２＼r(2）＝9６π、(2）设内切球O1得半径为r，因为△AＢC得周长为2×(12错误!+４错误!)＝3２错误!，所以S△ABC=错误!ｒ·3２错误!＝错误!×8错误!×１6,解得r＝4,所以内切球O1得体积Ｖ球＝错误!πr3＝错误!π、。

(完整版)六年级圆球的表面积和体积练习题

(完整版)六年级圆球的表面积和体积练习题问题1一个直径为10厘米的圆球的表面积是多少？解答：根据圆球的表面积公式，一个直径为10厘米的圆球的表面积可以计算如下：1. 首先，确定圆球的半径。

半径等于直径的一半，所以半径等于10厘米的一半，即5厘米。

2. 使用表面积公式：表面积= 4πr^2，其中π取近似值3.14。

3. 将半径代入公式进行计算：表面积 = 4 × 3.14 × 5^2。

4. 计算得出表面积的结果：表面积 = 4 × 3.14 × 25 = 314平方厘米。

因此，一个直径为10厘米的圆球的表面积为314平方厘米。

问题2一个半径为8厘米的圆球的体积是多少？解答：根据圆球的体积公式，一个半径为8厘米的圆球的体积可以计算如下：1. 使用体积公式：体积= (4/3)πr^3，其中π取近似值3.14。

2. 将半径代入公式进行计算：体积 = (4/3) ×3.14 × 8^3。

3. 计算得出体积的结果：体积 = (4/3) × 3.14 × 512 = 2143.36立方厘米。

因此，一个半径为8厘米的圆球的体积为2143.36立方厘米。

问题3一个圆球的表面积是480平方厘米，它的半径是多少？解答：要计算出圆球的半径，可以使用表面积公式进行反推。

1. 使用表面积公式：表面积= 4πr^2，其中π取近似值3.14。

2. 将已知的表面积代入公式：480 = 4 ×3.14 × r^2。

3. 将公式进行整理：r^2 = 480 / (4 × 3.14)。

4. 计算得出半径的平方值：r^2 = 38.22。

5. 取平方根得出半径的结果：r ≈ √38.22 ≈6.19。

因此，一个表面积为480平方厘米的圆球的半径约为6.19厘米。

以上为六年级圆球的表面积和体积练习题的解答。

如有任何疑问，请随时向老师提问。

球的表面积和体积

课时跟踪训练(六) 球的表面积和体积

课时跟踪训练(六) 球的表面积和体积
1．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A .22π
B ．252π
C ．50π
D ．200π
2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A ．2∶3
B ．4∶9
C .2∶ 3
D .8∶27
3．(2011·湖南高考)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．9π＋42
B ．36π＋18
C .92π＋12
D .92
π＋18 4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )
A ．4∶3
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．9∶4
5．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M.若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．
6．如下图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．放入一个半径为r 的实
心铁球，球被水淹没，高度恰好升高r ，则R r
＝________．
7.某个几何体的三视图如图所示(单位：m )．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
8．圆锥的底面半径为3，母线长为5，求它的内切球的表面积与体积．。

课时作业6：1.3.2　球的体积和表面积

1．3.2 球的体积和表面积一、基础达标1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3 C ．43π D ．323π 答案 C解析由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A ．8 B ．82 C ．8 3 D ．42 答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，则有3a 2＝4，即a 2＝43.∴正方体的表面积为6a 2＝6×43＝8.3．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.答案 9π＋18解析将三视图还原为实物图后求解．由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求的比为1∶3 3.5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr D ．π(R ＋r )2 答案 C解析方法一如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr . 方法二如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．答案3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2⎣⎡⎦⎤4π3×⎝⎛⎭⎫523＝125π3(cm 3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53 cm.二、能力提升8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 3答案 A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.10. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案 4解析设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．11．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)．设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12，∴∠O ′CO ＝30°，∴r R ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，(*)又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3. ∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π.三、探究与创新12. 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)解如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2.13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解设圆锥形杯子的高为h cm ，要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，而V 半球＝12×43πr 3＝12×4π3×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝π3×42×h .依题意：π3×42×h ≥12×4π3×43，解得h ≥8，即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．。

高中数学课时提升作业(六) 1.3.2 球的体积和表面积

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课时提升作业(六)球的体积和表面积一、选择题(每小题3分,共18分)1.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1倍B.2倍C.倍D.倍【解析】选C.设最小的一个球的半径为r,则另外两个球的半径分别为2r,3r,则各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2,所以=.2.已知某球的大圆周长为c,则这个球的表面积是( )A. B. C. D.2πc2【解析】选C.设球的半径为r,则2πr=c,所以r=,所以球的表面积为S=4πr2= 4π·=.3.(2014·菏泽高一检测)将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球,则这个球的体积为( )A.πB.C.πD.4π【解析】选B.根据题意知,此球为正方体的内切球,所以球的直径等于正方体的棱长,故r=1,所以V=πr3=π.4.(2013·上海高考)若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为( ) A.1∶2 B.1∶4C.1∶8D.1∶16【解题指南】设两个球的半径分别为r1,r2,根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=,解之得=,由此结合球的体积公式,即可算出这两个球的体积之比.【解析】选C.设两个球的半径分别为r1,r2,根据球的表面积公式,可得它们的表面积分别为S1=4π,S2=4π.因为两个球的表面积之比为1∶4,所以===,解之得=(舍负).因此,这两个球的体积之比为===,即两个球的体积之比为1∶8.【变式训练】(2014·黄冈高一检测)如果两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为( )A.1∶27B.1∶9C.1∶3D.2∶9【解析】选B.两个球的体积之比为1∶27,根据体积比等于相似比的立方,表面积之比等于相似比的平方,可知两球的半径比为1∶3,从而这两个球的表面积之比为1∶9.5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A.πB.4πC.4πD.6π【解析】选B.设球O的半径为R,则R==,故V球=πR3=4π.6.(2014·济南高一检测)正四棱锥(顶点在底面的投影为底面中心)P-ABCD的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为2,则此球的表面积为( ) A.18π B.36π C.72π D.9π【解析】选B.设球的半径为r,正方形ABCD的对角线的交点为M,则球心在直线PM上,MC=AC=2,由勾股定理,得PM===4,再由射影定理,得PC2=PM×2r,即24=4×2r,所以r=3,所以此球的表面积为4πr2=36π.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·包头高一检测)用过球心的平面将一个球分成两个半球,则一个半球的表面积与原来整球的表面积之比为________.【解析】设球的半径为r,则半球的表面积为S半=×4πr2+πr2=3πr2,整球的表面积为S=4πr2,所以半球的表面积与原来整球的表面积之比为3∶4.答案:3∶48.将一个铁球投入底面半径为4cm的圆柱形容器中,球被淹没在水中,水面上升cm,则这个球的表面积是________.【解析】铁球的体积等于上升的水的体积,设铁球的半径为R,则π×R3=π×42×,所以R=2cm,故球的表面积为4πR2=16π(cm2).答案:16πcm29.(2013·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为____________.【解析】设球半径为R,因为球的体积为πR3=,所以R=,又由球的直径与其内接正方体对角线的相等关系知正方体的对角线长为3,故其棱长为.答案:【举一反三】若条件改为一个长方体的所有顶点在一个球面上,且相邻三个面的面积分别为2,3,6,则球的表面积为__________.【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c则解得令球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,所以R2=,所以S球=4πR2=14π.答案:14π三、解答题(每小题10分,共20分)10.若正三棱柱内有一个半径为r的内切球,求此棱柱的体积.【解析】由题意知三棱柱的高为球的直径2r,如图为过球心和各切点的截面图形,截三棱柱得与底面全等的正三角形,求得底面边长为2r,底面三角形的高为3r,所以三棱柱的体积为:V=S底h=×2r×3r×2r=6r3.11.有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,若正方体的棱长为a,求这三个球的表面积.【解析】(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个切点及球心作截面,如图(1),所以有2r1=a,r1=,所以S1=4π=πa2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2),所以有2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3),所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4π=3πa2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·上海高一检测)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1,S2,则S1∶S2= ( )A.1∶1B.2∶1C.3∶2D.4∶1【解析】选C.由圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,可设球的半径为1,所以等边圆柱的表面积为S1=6π,球的表面积为S2=4π,所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1∶S2=3∶2.【变式训练】(2014·定西高一检测)已知两个球的表面积之比为1∶16,则这两个球的半径之比为( )A.1∶16B.1∶48C.1∶32D.1∶4【解析】选D.设大球与小球两个球的半径分别为R,r,所以两个球的表面积分别为S1=4πR2,S2=4πr2.因为两个球的表面积之比为1∶16,所以==,所以=.2.已知一个表面积为24的正方体,设有一个与每条棱都相切的球,则此球的体积为( )A. B.4π C.8π D.【解析】选D.设正方体的棱长为a,则6a2=24,得a=2,又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长2等于球的直径,则球的半径为,所以球的体积为:π()3=π.3.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下面的说法最合适的是( ) A.V1比V2大约多一半 B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半【解题指南】设出球的半径,求出球的体积,内接正方体的体积,然后比较即可得到正确答案.【解析】选D.设球的半径为r,则球的体积为πr3;球的内接正方体的体对角线是球的直径,所以正方体的棱长为,正方体的体积为=·πr3,所以==.4.(2014·陕西高考)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.【解题指南】根据截面圆半径,球心到截面圆的距离,球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底成截面圆的半径为R1,则+=1,可得=;又侧棱长为,所以球心到上底成截面圆的距离d=;由截面圆半径,球心到截面圆的距离,球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为________.【解析】球的直径d==,r=,S=4πr2=14π.答案:14π【举一反三】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三个侧面的面积为,,,则此球的表面积为________.【解析】如图为过长方体的一条体对角线的截面.设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x,y,z则由已知有:解得所以球的半径R=AB==.所以外接球的表面积S球=4πR2=9π.答案:9π6.半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是__________.【解题指南】解决本题的关键是找出正方体的棱长和半球的半径之间的关系.正方体内接于半球,则正方体的四个顶点在半球面上,另外四个顶点在半球的底面圆面上.【解析】如图所示的是内接正方体的对角面轴截面图,O为半球球心,O1为正方体上底面中心,则OE=O1B,设正方体的棱长为a,则O1B=a,在Rt△OEB中,OB=R(球半径),OE=a,BE=a,所以R2=+a2=a2,而S正方体表面积=6a2,S半球表面积=×4πR2+πR2=π,所以==π.答案:3π∶4【变式训练】一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,则这个球的体积为________.【解析】如图所示的正六棱柱内接于球,则球心O在体对角线AD′上,因为正六边形周长为3,所以其边长为,所以AD=1,又DD′=,所以AD′==2,所以球的体积V=·=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·成都高二检测)已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO为三棱锥S-ABC的高,AC=r,求球的体积与三棱锥的体积之比.【解析】如图,AB=2r,∠ACB=90°,BC=r,所以V三棱锥=×SO×S△ABC=·r··r·r=r3,V球=πr3,所以V球∶V三棱锥=πr3∶r3=4π.8.体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1,S2,S3,试比较它们的大小.【解题指南】根据三种几何体的体积相等,用正方体的棱长表示球的半径和等边圆柱的底面半径,进而表示出三种几何体的表面积,比较其大小.【解析】设正方体的棱长为a,球的半径为R,等边圆柱的底面半径为r,则S1=6a2,S2=4πR2,S3=6πr2.由题意知,πR3=a3=πr2·2r,所以R=a,r=a,所以S2=4π(a)2=4π·a2=a2,S3=6π(a)2=6π·a2=a2,所以S2<S3.又6a2>3a2=a2,即S1>S3.所以S1,S2,S3的大小关系是S2<S3<S1.关闭Word文档返回原板块。

人教新课标版数学高一人教数学必修2课时作业6球的体积和表面积

一、选择题1．(2013·武威高一检测)球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于()A.12B．1C．2D．3【解析】设球的半径为R，则由题意可知43πR3＝4πR2，∴R＝3.【答案】 D2．(2013·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.43π B.8π3C．43π D．323π【解析】由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则3a＝2R，∴R＝3，∴V球＝43πR3＝43π.【答案】 C3．(2012·新课标全国高考)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B．43πC．46π D．63π【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝43π(3)3＝43π.【答案】 B4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为() A．R B．2RC．3R D．4R【解析】设圆柱的高为h，则πR2h＝3×43πR3，∴h＝4R.【答案】 D5．(2013·日照高一检测)如图1－3－13是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()图1－3－13A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12D.92π＋18【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18.【答案】 D 二、填空题6．已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________．【解析】设球的半径为R ，则V ＝43πR 3＝43π， ∴R ＝1，∴球的表面积S ＝4π. 【答案】 4π7．已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．【解析】长方体的对角线即为球的直径， ∴2R ＝4，∴R ＝2，∴该球的体积V ＝43π×23＝323π. 【答案】32π3图1－3－148．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1－3－14所示)，则球的半径是________cm.【解析】设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm.【答案】 4 三、解答题图1－3－159．(2013·郑州高一检测)如图1－3－15，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【解】因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×10 ＝1603π(cm 3)，因为V 半球<V 圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图1－3－16所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．图1－3－16【解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，由已知知圆锥的底面半径为r，高为h，∴V圆锥＝13πr2h，球的半径为r，∴V球＝43πr3.又h＝2r，∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝(13πr 2h)∶(43πr3)∶(πr2h)＝(23πr3)∶(43πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.图1－3－1711．(思维拓展题)如图1－3－17所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)【解】如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2.。

高中数学课时提升作业(六)球的体积和表面积a

=700(cm2),
( ) S 半球=21×4π×
5 2
2=225π,
( ) S =π× 半球底
5 2
2=245π,
故所求几何体的表面积 S =S 长方体全+S -S
表面积
半球半球底
=700+245π(cm2).
6.如图(单位:cm),求图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体
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课时提升作业(六)
球的体积和表面积
一、选择题(每小题 5 分,共 25分)
(25分钟 60分)
1.已知圆锥 SO的底面直径和高相等且都等于球 O 的直径,那么球的体积 V 与圆
1
锥的体积 V 的关系是( )
2
A.V =V
12
B.V1= 2V2
C.V =2V2 1
D.V1=3V 2
【解析】选 C.设球 O 的半径 r,则由题意得圆锥 SO的底面直径和高都是 2r,
6.若一个球的表面积与其体积在数值上相等,则此球的半径为
.
【解析】设此球的半径为 R,则 4πR2=4πR3,R=3.
3
答案:3
7.(2015·上海高一检测)在底面直径为 6 的圆柱形容器中,放入一个半径为 2 的
冰球,当冰球全部溶化后,容器中液面的高度为
.(相同质量的冰与水的
体积比为 10∶9)
【解析】半径为 2 的冰球的体积为4π×23=32π,水的体积为48π,
2
又因为底面边长为 4,
( ) ( ) 所以 R2=
3x 2
2
=
x 2
2
+(2
2)2,
解得 x=2,所以 R=3,
该球的表面积 S=4πR2=36π.

2020版高中数学课时作业6 球的体积和表面积 2

课时作业6 球的体积和表面积基础巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ）A．2倍B．2错误!倍C。

错误!倍D。

错误!倍解析:球的表面积扩大到原来2倍,半径扩大到原来的错误!倍,体积扩大到原来的2错误!倍．答案：B2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ）A.6π6B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：设正方体的边长为a,球的半径为R，则6a2＝4πR2。

则错误!＝错误!，则错误!＝错误!·错误!错误!＝错误!。

答案：A3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为( ）A．R B．2R C．3R D．4R解析：设圆柱的高为h，则3×错误!πR3＝πR2·h，所以h＝4R.答案：D4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝错误!。

设正四棱柱底面边长为x，则错误!错误!＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2。

故选B.答案:B5．(2019年许昌高一检测)已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为( )A．20错误!πB．25错误!πC．50πD．200π解析：球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直,是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为错误!＝5错误!，外接球的半径为错误!。

外接球的表面积为4π错误!错误!＝50π，故选C。

答案:C6．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球,则这个球的体积为( )A 。

错误!πB 。

错误! C.错误!π D ．4π解析：根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝错误!π。

新教材北师大版高中数学必修二 6.3球的表面积和体积课时练(课后作业设计)

6.3球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是()A.①③B.①②C.②④D.②③2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为()A.21πB.42πC.84πD.84图,M ,N 为上下底面正三角形的中心,O 为MN 的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的所有棱长都是6,AM=23√62-32=2√3,OM=3,球半径R=OA=√(2√3)2+32=√21,该棱柱外接球的表面积为S=4π×(√21)2=84π.3.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为 .R ,r ,则{R -r =1,4πR 2-4πr 2=28π,所以{R =4,r =3.所以体积和为43πR 3+43πr 3=364π3.4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .R ,正方体棱长为a ,则V 球=43πR 3=92π,得到R=32,正方体体对角线的长为√3a=2R ,则a=√3,所以正方体的棱长为√3. √35.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.S=4πr 2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr 3+πr 2l=43π×13+π×12×3=13π3.能力提升练1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为()A.2+4√2(cm2)B.8+16√2(cm2)C.4+8√2(cm2)D.16+32√2(cm2)h,则由题意及球的性质可得,√22+22+ℎ2=2R=4,所以h=2√2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2√2=8+16√2(cm2),故选B.2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cmπr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3.r,则由3V球+V水=V柱,可得3×433.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为.,圆柱底面半径r=球的半径R ,圆柱的高h=2R ,则V 球=43πR 3,V 柱=πr 2h=π·R 2·2R=2πR 3,所以V柱V 球=2πR 343πR3=32.S 球=4πR 2,S柱=2πr 2+2πrh=2πR 2+2πR ·2R=6πR 2.所以S 柱S球=6πR 24πR 2=32.324.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为4 cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O.E ,F ,G ,H 为圆O 上的点,△ABE ,△BCF ,△CDG ,△ADH 分别是以AB ,BC ,CD ,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB ,BC ,CD ,DA 为折痕,折起△ABE ,△BCF ,△CDG ,△ADH ,使得E ,F ,G ,H 重合,得到一个四棱锥.当AB=2 cm 时,该四棱锥的表面积为 ;该四棱锥的外接球的表面积为 .OE 交AB 于点I ,设E ,F ,G ,H 重合于点P ,正方形的边长为2,则OI=1,IE=3,AE=√10,设该四棱锥的外接球的球心为Q ,半径为R ,则OC=√2,OP=√10-2=2√2,则R 2=(2√2-R )2+(√2)2,解得R=2√2,外接球的表面积S=4π×(2√2)2=252π cm 2,该四棱锥的表面积为4×12×2×3+2×2=16 cm 2.2252π cm2素养培优练有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=a2,√2a=2R2,R2=√22a,√3a=2R3,R3=√32a,所以R1∶R2∶R3=1∶√2∶√3.所以S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.。

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