2008年四川省初中数学联赛初赛初二
2008年四川省巴中市初中毕业升学统一考试、数学试卷及答案
巴中市二○○八年高中阶段教育学校招生考试数 学 试 卷（全卷满分150分，120分钟完卷）第Ⅰ卷 选择题（共30分）注意事项：1．考生姓名、考号、考试科目，应在答题卡上“先填后涂”． 2．每小题选出的答案，必须用2B 铅笔在答题卡上“对应涂黑”． 3．答题卡上答案若需改动，应用橡皮擦擦干净后再涂．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的番号涂卡．（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式正确的是（ ） A ．33--=B ．326-=- C ．(3)3--=D ．0(π2)0-=2．在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给了一位灾区儿童．这个铅笔盒（图1）的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图2．在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ， 则下面条件能判定ABCD 是矩形的是（ ） A ．AC BD = B ．AC BD ⊥ C ．AC BD =且AC BD ⊥ D ．AB AD =4．在常温下向一定量的水中加入食盐Nacl ，则能表示盐水溶液的浓度与加入的Nacl 的量之间的变化关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列命题是真命题的是（ ）A ．对于给定的一组数据，它的平均数一定只有一个B ．对于给定的一组数据，它的中位数可以不只一个C ．对于给定的一组数据，它的众数一定只有一个D ．对于给定的一组数据，它的极差就等于方差6．点(213)P m -，在第二象限，则m 的取值范围是（ ）图1A ．12m >B ．12m ≥C ．12m <D ．12m ≤7．如图3，“吋”是电视机常用尺寸，1吋约为大拇指第一节的长， 则7吋长相当于（ ） A ．一支粉笔的长度 B ．课桌的长度 C ．黑板的宽度D ．数学课本的宽度8．用计算器计算数据13.49，13.53，14.07，13.51，13.84，13.98，14.67，14.80，14.61，14.60，14.41，14.31，14.38，14.02，14.17的平均数约为（ ） A ．14.15 B ．14.16 C ．14.17 D ．14.209．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示， 则下列说法不正确的是（ ） A ．240b ac -> B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 10．巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．45250x += B ．245(1)50x += C ．250(1)45x -=D ．45(12)50x +=巴中市二○○八年高中阶段教育学校招生考试数 学 试 卷说明：1．全卷满分为150分，120分钟完卷．2．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，答案涂卡；第Ⅱ卷为非选择题，考生用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔在试卷上作答．3．考试结束后监考老师将答题卡装入专用袋，不装订第Ⅰ卷，只装订第Ⅱ卷．第Ⅱ卷 非选择题（共120分）二、填空题：（每小题3分，共30分，把正确答案直接填写在题中横线上）． 11．当x = 时，分式33x x --无意义． 12．唐家山堰塞湖是“512汶川地震”形成的最大最险的堰塞湖，垮塌山体约达2037万立方米，把2037万立方米这个数用科学记数法表示为 立方米． 13．把多项式32244x x y xy -+分解因式，结果为 ．14．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ．15．如图5，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点B ，4PA =，3OA =，则OP =．16．在长为a m ，宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 2m ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图6）， 则此时余下草坪的面积为 2m ．17．如图7，将一平行四边形纸片ABCD 沿AE EF ，折叠，使点E B C ，，在同一直线上，则AEF ∠= ．18．如图8，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 19．若0234x y z ==≠，则23x y z+= ． 20．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则5()a b += ． 三、解答题（每题6分，共18分） 21．解方程：26160x x --=11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ1222332234432234()()2()33()464a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++Ⅱ22．计算：2008(1)2tan 20cot 20-+23．在解题目：“当1949x =时，求代数式2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+的值”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．四、推理论证（24题10分，25题10分，共20分）24．已知：如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：BCD FDE △≌△．（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．25．已知：如图10，在ABC △中，点D 是BAC ∠的角平分线上一点，BD AD ⊥于点D ，过点D 作DE AC ∥交AB 于点E ．求证：点E 是过A B D ，，三点的圆的圆心．五、社会实践（10分）26．国家主管部门规定：从2008年6月1日起，各商家禁止向消费者免费提供一次性塑料购物袋．为了了解巴中市市民对此规定的看法，对本市年龄在16—65岁之间的居民，进行了400个随机访问抽样调查，并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对此规定的支持人数绘制了下面的统计图．根据上图提供的信息回答下列问题：（1）被调查的居民中，人数最多的年龄段是 岁．（2）已知被调查的400人中有83%的人对此规定表示支持，请你求出31—40岁年龄段的满意人数，并补全图b ．（3）比较21—30岁和41—50岁这两个年龄段对此规定的支持率的高低（四舍五入到1%，注：某年龄段的支持率100=⨯该年龄段支持人数该年龄段被调查人数%）．六、实践应用（27题10分，28题10分，共20分） 27．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y 与x 的函数关系式． （2）求药物燃烧后y 与x 的函数关系式．（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？28．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”． 下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为60 乙：我站在此处看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）．七、实践探索（10分）29．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．八、拓展探索（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？巴中市二○○八年高中阶段教育学校招生考试数学试题参考答案及评分意见请评卷老师注意：解答题中各题的解法并不唯一，此答案只是给出一种参考答案，在评卷中，请视具体情况给分．一、选择题（每小题3分，共30分） 1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．312．72.03710⨯13．2(2)x x y -14．1315．5 16．(1)a b -（或ab a -） (1)a b -（或ab a -） 17．9018．6-19．13420．54322345510105a a b a b a b ab b +++++三、解答题（每小题6分，共18分） 21．26160x x --=解：(8)(2)0x x -+= ···················································································· 3分 80x -=或20x += ······················································································ 5分 18x ∴=，22x =-························································································· 6分22．解：原式12)1=-+ ········································································· 2分121=-+ ··························································································· 5分4=-··································································································· 6分23．解：聪聪说的有理． ················································································· 1分2224421142x x x x x x x-+-÷-+-+ 2(2)211(2)(2)(2)x x x x x x x-+=⨯-++-- ····································································· 3分 111x x =-+ ··································································································· 4分 1= ············································································································· 5分 ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1． ························ 6分 四、推理论证（24题10分，25题10分，共20分）24．（1）证明：点E 是DC 中点 DE CE ∴= ························································· 1分 又AD BC ∥，F 在AD 延长线上，DFE EBC ∴∠=∠，FDE ECB ∠=∠ ······························································ 3分 在BCE △与FDE △中EBC DFEECB FDE CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩·························································· 5分(AAS)BCE FDE ∴△≌△ ·············································································· 6分 （2）四边形BCFD 是平行四边形．理由如下： ··················································· 7分BCE FDE △≌△DE CE ∴=，FE BE = ················································································· 9分 ∴四边形BCFD 是平行四边形． ······································································ 10分 25．证明：点D 在BAC ∠的平分线上12∴∠=∠ ··································································································· 1分 又DE AC ∥23∴∠=∠，13∴∠=∠ ················································································ 2分 AE DE ∴= ································································································· 3分 又BD AD ⊥于点D ，90ADB ∴∠= ···························································· 4分 1390EBD EDB ∴∠+∠=∠+∠= ································ 5分EBD EDB ∴∠=∠ ····················································· 6分 BE DE ∴= ······························································· 7分 AE BE DE ∴==······················································· 8分 过A B D ，，三点确定一圆，又90ADB ∠=AB ∴是A B D ，，所在的圆的直径． ································································· 9分 ∴点E 是A B D ，，所在的圆的圆心． ······························································ 10分 五、社会实践（26题10分，共10分）26．（1）21－30 ·································· 3分解：（2）40083332⨯=％（人） ··········· 4分 332(6015032135)72-++++=（人）5分 A B CD EFABCDE1 2 3 支持人数年龄段－ －－－AMNPCB乙 甲 60 30（3）21－30岁的支持率：1501009640039⨯⨯％≈％％··················· 7分 41－50岁的支持率：321005340015⨯⨯％≈％％···················· 9分 ∴20－30岁年龄段的市民比41－50岁年龄段的市民对此规定的支持率高，约高43个百分点． ··················································· 10分 六、实践应用（27题10分，28题10分，共20分）27．解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为11(0)y k x k =≠，由题意得：1810k = ······································································································· 2分145k =．∴此阶段函数解析式为45y x = ···························································· 3分 （2）设药物燃烧结束后的函数解析式为22(0)ky k x=≠，由题意得：2810k= ········································································································ 5分 280k =．∴此阶段函数解析式为80y x= ···························································· 6分（3）当 1.6y <时，得801.6x< ········································································ 7分 0x > ········································································································ 8分 1.680x >50x > ········································································································ 9分 ∴从消毒开始经过50分钟后学生才可回教室． ··················································· 10分 28．由题目可得：30CAB ∠=，60CBD ∠=，20m AB =1.5m AM BN DP === ················································································· 1分 在ABC △中，CBD ACB CAB ∠=∠+∠ ·························································· 2分603030ACB ∴∠=-=ACB CAB ∴∠=∠ ························································································· 3分 20m BC AB ∴== ························································································ 4分 在Rt CBD △中，20m BC =，60CBD ∠=sin CDCBD BC ∠= ······························· 6分sin 6020CD∴= ································· 7分20sin 6020CD ∴===····································································· 8分1.519m CP CD DP ∴=+=≈．答：白塔的高度约为19米．············································································ 10分 七、实践探索（29题10分，共10分） 29．解：（1）21855y x x =-+ 2116(4)55x =--+ ························································································· 1分 ∴抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫⎪⎝⎭，，对称轴为4x = ······················ 3分（2）令0y =，得：218055x x -+= ···························································································· 4分 解得：10x =，28x = ···················································································· 5分∴球飞行的最大水平距离是8m ． ······································································ 6分（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为5x =，顶点为1655⎛⎫ ⎪⎝⎭， ························································ 7分设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+ ·················································· 8分 又点(00)，在此抛物线上，162505a ∴+= 16125a =-···································································································· 9分 21616(5)1255y x ∴=--+ 2163212525y x x=-+ ················································· 10分 八、拓展探索（30题12分，共12分） 30．解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， (1)又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =。
2008年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题 参考解答及评分细则
2008年四川初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若b a ,为实数，满足b a b a +=-111，则ba ab -的值是（ D ）． （A ）1- （B ）0 （C ）21（D ）１解：由题设条件知ab a b =-22，两边同时除以ab ，得1=-ba ab ．故答案选Ｄ．2、下面4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； （2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； （3）两个无理数的和一定是无理数； （4）两个无理数的积一定是无理数. 其中，正确的说法种数为( A )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：在上述四种说法中（1）正确；（2）、（3）、（4）错误．故答案选Ａ．3、已知一次函数b kx y +=，其中0>kb ．则所有符合条件的一次函数的图象一定通过（ Ｂ ）．Ａ．第一、二象限 Ｂ．第二、三象限 Ｃ．第三、四象限 Ｄ．第一、四象限解：因为0>kb ，故b k 、同号．当b k 、同为正数时，则一次函数的图象通过第一、二、三象限；当b k 、同为负数时，则一次函数的图象通过第二、三、四象限．所以，符合条件的一次函数的图形一定通过第二、三象限．故答案选Ｂ．４、在凸四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别为DA CD BC AB 、、、的中点，EG 与FH 相交于O ，设四边形CGOF BFOE AEOH 、、的面积分别为3、4、5，则四边形DHOG 的面积为（ C ）A ．215B ．415C ．4D ．6解：如图，连结OD OC OB OA ,,,，则BEO AEO S S ∆∆=，CFO BFO S S ∆∆=，DGO CGO S S ∆∆=，AHO DHO S S ∆∆=．于是D H O G BFO E CFO G AEO H S S S S +=+， 所以4453=-+=DH OG S ．故答案选Ｃ．５、20082007=x ，则x 除以10的余数是（ A ）．Ａ．1 Ｂ． 3 Ｃ．7 Ｄ．9 解：x 除以10的余数等于20087除以10的余数．又 、、、、、543277777除以10的余数分别为 、、、、、71397．它们以4为周期．又45022008⨯=，于是20087除以10的余数为1，即x 除以10的余数是1．故答案选A ．6、已知c b a ,,为互不相同的有理数，满足)2)(2()2(2++=+c a b .则符合条件的c b a ,,的组数共有( Ａ )Ａ．０组 Ｂ．１组 Ｃ．２组 Ｄ．４组解：因为)2)(2()2(2++=+c a b ，即2)(22222c a ac b b +++=++，则2b ac =，b c a 2=+．于是ac b c a ac c a 44)(22222==+=++．所以0)(2=-c a ，故c a =，这与条件矛盾．故答案选Ａ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式：6|12|<-x 的所有非负整数解的和为 ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧->-<-612612x x ，解得2725<<-x ．于是，符合条件的所有非负整数解为3210，，，=x ．所以，所有非负整数解的和为6． 故答案填６． 2、已知321+=x ，321-=y ，则=++3312y xy x .解：32-=x ，32+=y ，则4=+y x ．于是64)()(31233333=+=+++=++y x y x xy y x y xy x .故答案填64.３、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为z y x 、、，则zy x 111++的值为 ． 解：依题意，有360180218021802=⨯-+⨯-+⨯-zz y y x x ，化简得21111=++z y x ．故答案填21．４、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC AB =，DB DA =，90=∠ADB ， 则ACD ∠的度数等于 ．解：如图，过A 作CD AE ⊥交CD 延长线于E ，过D 作AB DF ⊥于F ．由DB DA =，90=∠ADB 知ADB ∆为等腰直角三角形． 故45=∠=∠DAF DBA ．因为AB ∥DC ，故45=∠ADE ． 因为AB DF ⊥，则AB DF 21=， 45=∠ADF ． 于是90=∠FDE ，即CD FD ⊥．又CD AE ⊥，故AE ∥FD ．又AF ∥ED ，故AFDE 为平行四边形． 从而AC AB DF AE 2121===．所以， 30=∠ACD ．故答案填 30．三、（本大题20分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DB AC ⊥，5=AC ， 30=∠DBC .（1）求对角线BD 的长度； （2）求梯形ABCD 的面积. 解：（１）如图，过A 作AE ∥DB 交CB 延长线于E∵ DB AC ⊥，AE ∥DB ．∴ AE AC ⊥，30=∠=∠DBC AEC ．∴90=∠EAC ，即EAC ∆为直角三角形． ∴ 102==ACEC ． ∴ 355102222=-=-=AC EC AE ．∵ AD ∥BC 且AE ∥DB ． ∴ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ 35==AE DB ．（２）记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作BC AF ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． ∵30=∠AEF ． ∴ 23521==AE AF ，即梯形ABCD 的高235=AF ．∵ 四边形AEBD 为平行四边形． ∴ EB AD =． ∴475235352121)(21=⨯⨯=⨯=⨯+=AF EC AF BC AD S ．四、(本大题25分) 设实数x 满足：1013536324213--≥---x x x . 求|4||1|2++-x x 的最小值.解：原不等式两边同乘以30，得：39)36(6)24(10)13(15--≥---x x x 化简得：6231-≥-x .解得：2≤x ．记|4||1|2++-=x x y（１）当4-≤x 时，23)4()1(2--=+---=x x x y ． 所以，y 的最小值都为102)4()3(=--⨯-，此时4-=x ． （２）当14≤≤-x 时，6)4()1(2+-=++--=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．（３）当21≤≤x 时，23)4()1(2+=++-=x x x y ． 所以，y 的最小值为５，此时1=x ．综上所述，|4||1|2++-x x 的最小值为５，在1=x 时取到． 五、（本大题25分）已知正整数c b a ,,满足：c b a <<，且a b c ca bc ab =++．求所有符合条件的c b a ,,．解：由c b a <<≤1知bc ca bc ab abc 3<++=，所以3<a ．故1=a 或者2=a ．（１）当1=a 时，有bc c bc b =++，即0=+c b ，这与c b ,为正整数矛盾． （２）当2=a 时，有bc c bc b 222=++，即022=--c b bc ． 所以4)2)(2(=--c b ．又因为c b <<2，故220-<-<c b ． 于是42,12=-=-c b ．即6,3==c b ．所以，符合条件的正整数仅有一组：6,3,2===c b a ．。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
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４ ．如 图３ △‘Ｂ 内接 于 ＯＤ， 曰 Ｃ， ， ４ Ｃ 且Ａ 直径ＡＤ交Ｂ 于Ｅ， Ｃ ）
Ｂ．５ Ｃ．２ ＋ ｘ ３ Ｄ． ｘ ３ ４＋
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图 １
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二)
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二)
四川省数学竞赛委员会
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2008(000)011
【总页数】3页(P25-27)
【作者】四川省数学竞赛委员会
【作者单位】四川省数学竞赛委员会
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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初二奥林匹克数学竞赛试题
22008年初中数学联赛（初二组）试卷一、选择题（本大题满分56分，每小题8分）1、已知a 、b 、c 是三角形的三边，则a 4＋b 4c 4 －2 a 2c 2－2 b 2c 2－2 a 2c 2的值是（ ）A.恒正 B. 恒负 C.可正可负 D.非负 2、已知a ＋b ＋c ＝0， a1＋b1＋c1＝－4，那么，（a1）2＋（b1）2＋（c1）2的值是（ ） A.3 B. 8 C. 16 D.203、已知：a 1－│a │＝1，那么代数式a1＋│a │的值是（ ）A.25B.－25C.－5D. 54、已知│a │＝5，b 2＝9时，且ab ＞0则a ＋b 的值为( )，A. 8B.－2C.－8或8D.－2或25、已知a 、b 、c 是正整数，a ＞b ，且a 2－a b －a c ＋bc ＝7,则a －c 的值为（ ）A.－1B.－1或－7C.1D.1或7 6、已知△ABC 的一个角是400，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )A. 1400B. 800或1000C. 1000或 1400D. 800 或14007、如图，已知FA ＝FB,FC ＝FD,下列结论中：①∠A ②DE ＝CE ；③连接FE ，则FE 平分∠F ，正确的是（ ） A. ①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题（本大题满分40分，每小题8分）1、若x 2＋x y ＋y ＝14，y 2＋x y ＋x ＝28，则 x ＋y 的值为 .2、（3+1）2001-2（3+1）2000-2（3+1）1999+2008＝ .3、已知x 、y 是实数，43+x +y 2-6y+9=0，若axy-3x=y ，则a= . 4、a 、b 、c 为△ABC 的三边，且3a 3+6a 2b-3a 2c-6abc=0，则△ABC 的形状为 .5、已知x1+y1=5，则yxy x yxy x +++-2252= .1 2三、计算（本大题满分20分，）要求写出必要的步骤.（1）2115141021151410+++--+2） 18612⨯＋（1＋3）（1－3）四、（本大题满分12分，）如图，在△ABC 中，AD 若AB=5，AC=3，求AD五、（本大题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ∠BAC=80°O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°,求∠BAO 的度数.。
2011-2013年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题及答案
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设x S ADO =∆。
由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班 姓名_________________一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）313、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ） （A ）124o （B ）122o （C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ） （A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c（C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则44-+a a 的个位数字为_____________． 2、在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD 面积的最小值为__________________．3、实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、7 2、25 3、29≤t 4、6 三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b ∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ······································· 5分 （一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ················· 10分 当22=a 时，2-=c 得d ＝－c －b ＝12-； ········································· （1） 当22-=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12--． ······································· （2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2 =c ，d ＝12-±是符合条件的两组解． ······· 15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c 若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2 经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解． ································ 20分 四、（本大题25分） 证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2 ···················· 5分延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3 ··············· 10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆．········ 15分 （2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3 同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3 ··········································· 20分∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ················· 25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360． ············································ 10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576． ·································· 20分所求概率P ＝3561415164916=⨯⨯⨯⨯=N m ． ·················································· 25分。
2008年四川省初中数学联赛初赛初二
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二) 一、选择题(每小题7分,共42分)1.若a 、b 为实数,满足1a -1b =1a +b ,则b a -ab的值是( ).(A )-1 (B )0 (C )12 (D )12.下面四种说法:①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数;②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数;③两个无理数的和一定是无理数;④两个无理数的积一定是无理数.其中,正确的说法种数为( ).(A )1(B )2(C )3(D )43.已知一次函数y =kx +b ,其中kb >0.则所有符合条件的一次函数的图像一定通过( ).(A )第一、二象限(B )第二、三象限(C )第三、四象限(D )第一、四象限4.在凸四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,EG 与FH 交于点O .设四边形AEOH 、BFOE 、CGOF 的面积分别为3、4、5.则四边形DHOG 的面积为( ).(A )152 (B )154 (C )4 (D )65.已知x =20072008.则x 除以10的余数是( ).(A )1(B )3(C )7(D )96.设a 、b 、c 为互不相同的有理数,满足(b +2)2=(a +2)(c +2).则符合条件的a 、b 、c 共有( )组.(A )0(B )1(C )2(D )4二、填空题(每小题7分,共28分)1.关于x 的不等式|2x -1|<6的所有非负整数解的和为.2.已知x =12+3,y =12-3.则x 3+12xy +y 3=.3.用三种边长相等的正多边形地砖铺地,其顶点拼在一起,刚好能完全铺满地面.设正多边形的边数为x 、y 、z .则1x+1y+1z的值为.4.如图1,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =AC ,DA =DB ,∠ADB =90°.则∠ACD 的度数等于.图1图2三、(20分)如图2,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥DB ,AC =5,∠DBC =30°.(1)求对角线BD 的长度;(2)求梯形ABCD 的面积.四、(25分)设实数x 满足3x -12-4x -23≥6x -35-1310.求2|x -1|+|x +4|的最小值.五、(25分)已知正整数a 、b 、c 满足a <b <c ,且ab +bc +ca =abc .求所有符合条件的a 、b 、c .参考答案一、1.D.由题设条件知b 2-a 2=ab .两边同时除以ab 得b a -a b=1.2.A.题目的四种说法中,①对,②、③、④错.3.B.由kb >0,知k 、b 同号.522008年第11期当k 、b 同为正数时,一次函数的图像通过第一、二、三象限;当k 、b 同为负数时,一次函数的图像通过第二、三、四象限.所以,符合条件的一次函数的图像一定通过第二、三象限.4. C.图3如图3,联结OA 、OB 、OC 、OD .则S △AEO =S △B EO , S △B FO =S △CFO , S △CG O =S △DG O , S △DH O =S △AH O .故S 四边形AEOH +S 四边形CFOG=S 四边形B FOE +S 四边形DH OG .所以,S 四边形DH OG =3+5-4=4.5.A.x 除以10的余数等于72008除以10的余数.又7,72,73,74,75,…除以10的余数分别为7,9,3,1,7,….它们以4为周期.又2008=502×4,于是,72008除以10的余数为1,即x 除以10的余数是1.6.A.因为(b +2)2=(a +2)(c +2),即b 2+2+22b =ac +2+(a +c )2,则 ac =b 2,a +c =2b .故a 2+c 2+2ac =(a +c )2=4b 2=4ac .所以,(a -c )2=0.因此,a =c ,与题设矛盾.二、1.6.原不等式等价于2x -1<6,2x -1>-6.解得-52<x <72.于是,符合条件的所有非负整数解为x =0,1,2,3.因此,所有非负整数解的和为6.2.64.易知x =2-3,y =2+ 3.于是,x +y =4.则x 3+12xy +y 3=x 3+y 3+3xy (x +y )=(x +y )3=64.3.12.依题意有x -2x×180°+y -2y×180°+z -2z×180°=360°.化简得1x+1y+1z=12.4.30°.图4如图4,过A 作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ,过D 作DF ⊥AB 于F .由DA =DB ,∠ADB =90°,知△ADB 为等腰直角三角形.故∠DBA =∠DAF =45°.因为AB ∥DC ,所以,∠ADE =45°.又DF ⊥AB ,则DF =12AB ,∠ADF =45°.所以,∠FDE =90°,即FD ⊥CD .由AE ⊥CD ,得AE ∥FD .又AF ∥ED ,故四边形AFDE 为平行四边形.从而,AE =DF =12AB =12AC .所以,∠ACD =30°.图5三、(1)如图5,过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E .由AC ⊥DB , AE ∥DB]AC ⊥AE , ∠AEC =∠DBC =30°]∠EAC =90°,即△EAC 为直角三角形]EC =2AC =10]AE =EC 2-AC 2=102-52=5 3.又AD ∥BC 且AE ∥DB ,则四边形AEBD 为平行四边形.从而,DB =AE =5 3.(2)记梯形ABCD 的面积为S .过A 作AF 62中等数学⊥BC于F,则△AFE为直角三角形.因为∠AEF=30°,所以,AF=12AE=532,即梯形ABCD的高AF=532.又四边形AEBD为平行四边形,因此,AD=EB.故S=12(AD+BC)AF=12EC・AF=12×10×532=2532.四、原不等式两边同乘以30得15(3x-1)-10(4x-2)≥6(6x-3)-39.解得x≤2.记y=2|x-1|+|x+4|.(1)当x≤-4时,y=-2(x-1)-(x+4)=-3x-2.所以,y的最小值为(-3)×(-4)-2= 10,此时x=-4.(2)当-4≤x≤1时,y=-2(x-1)+(x+4)=-x+6.所以,y的最小值为5,此时x=1.(3)当1≤x≤2时,y=2(x-1)+(x+4)=3x+2.所以,y的最小值为5,此时x=1.综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5,在x=1时取到.五、由1≤a<b<c,知abc=ab+bc+ca<3bc.所以,a<3.故a=1或a=2.(1)当a=1时,有b+bc+c=bc,即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾.(2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0.所以,(b-2)(c-2)=4.又2<b<c,则0<b-2<c-2.于是,b-2=1,c-2=4.从而,b=3,c=6.所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.(四川省数学竞赛委员会 提供)2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( ).(A)π4(B)π2(C)π(D)2π2.已知平面上点的集合M={(x,y)|y=2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}.当M∩N≠ 时,k的取值范围是( ).(A)-33,33(B)0,33(C)-33,0(D)33,+∞3.“x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)既不充分也不必要条件(D)充分必要条件4.已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a =0至少有一个模为3的复数根.则实数a 的所有取值为( ).(A)1,9(B)-1,9,2-13(C)1,9,2+13(D)1,9,2-13图15.设f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数.图1所示的是y=xf′(x)的图像的一部分.则f(x)的极大值与极722008年第11期。
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成都市二00八年高中阶段教育学校统一招生考试试卷（含成都市初三毕业会考）数学总体评析2008年四川成都中考数学试题功能性明确，生活气息很浓，注重双基，注重思想方法的体现以及和综合能力的检测，题量与07年持平，现简单分析如下：1. 诊断性和选拔性强•试题分A卷和B卷，A卷着重于学生基本知识和基本技能的考查，尤以基本知识为重点，题目相对于B 卷要简单得多，面向于全部考生，让学生考出学到的数学，考出学生的自信.B卷题目稍难，着重于基本技能和综合知识的考查，这部分面对大部分同学，学生需要有较强的分析问题，解决问题的能力•这部分考出了学生的水平,拉开学生之间的距离，所以说它的选拔性较强•2. 试题生活气息很浓全卷的试题让学生读来并不陌生，感到很自然，大部分试题来源于生活，如第5,8,9,11,17,19,22,26 题等，让学生感觉到数学就在我的身边，生活中离不开数学•从而激发学生学有用的数学的热情，也激发学生继续探究数学的兴趣•3. 试题有较强的计算功能选拔性的试题难度并不大，就在于需要我们认真的计算，计算能力也是学习数学不可缺少的一种必备的能力，实际教学中，好多学生都缺少耐心，需要有三步以上的计算，往往放弃.如最后一题其实并不难，第2问除了需要清淅的分类思想外，就得靠计算，每一种情况都必须求二次一次函数的解析式，然后解方程组，还得打辅助线利用勾股定理计算两底不等才能得出所求点的坐标.最后一问，是含参数计算，有a和k两个参数，即使学生对二次函数的一般式，顶点式熟透于心，如果没有很强的整式运算能力，不可能算出最后的答案的.难度信息选择题参考答案、解析可以通过定义来求或是表格来记忆 30 o 45o 60 o 的正弦、较难题 24、25、27(3)、28、选择题：(每小题 3分，共30分)1.2cos45°的值等于 2(A ) 2 (B )2(C )4(D )2,2【参考答案】B余弦和正切值。
2•化简(-3x 2) • 2x 3的结果是 (A ) - 6x 5 ( B ) - 3x 5 【参考答案】A (C ) 2x 5 (D) 6x 5 【解析】本题考查单项式的乘法以及幕的运算，先把它的系数相乘得 -6，再把同底数的幕相乘得 x 5,结果 为-6 x 5,本题注意同底数的幕相乘时，指数相加，不是相乘，异号两数相乘，得负。
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a Λ排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++Λ的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n Λ-与n n a a a a 110-Λ互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数.6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+-Λ能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：321Λ321Λ119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
四川省自贡市2008年初中毕业暨升学考试数学试题及答案
18．解不等式组
x
3
x +1 4
19．在下面△ABC 中，用尺规作出 AB 边上的高及∠B 的平分线（不写作法，保留作图痕迹）
A
B
C
四、解答题：本大题 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分。 20．我市准备在相距 2 千米的 A、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在 B 地北偏东 60°方
向、A 地北偏西 45°方向的 C 处，有一个半径为 0.6 千米的住宅小区（见下图），问修筑公路 时，这个小区是否有居民需要搬迁？
（2）上述一次函数中 k = −30 0 ∴ y 随 x 的增大而减小 ∴当 x ＝70 吨时，总运费最省
最省的总运费为： − 30 70 + 39200 = 37100(元）
答：从甲库运往 A 库 70 吨粮食，往 B 库运送 30 吨粮食，从乙库运往 B 库 80 吨粮食时，总运 费最省为 37100 元。
13
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19
从表中可看出，在这 6 张牌中任取两张牌，有 30 种可能结果，其中点数和为奇数的可能结果有
16 种，所以 P(点数和为奇数)＝ 8 15
22．
解：DE＝DF
证明如下：
连结 BD
∵四边形 ABCD 是菱形
26．抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0) 的顶点为 M，与 x 轴的交点为 A、B（点 B 在点 A 的 右侧），△ABM 的三个内角∠M、∠A、∠B 所对的边分别为 m、a、b。若关于 x 的一元二次方 程 (m − a)x2 + 2bx + (m + a) = 0 有两个相等的实数根。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
2008年全国初中数学联赛试题及标准答案(修正版)
2008年全国初中数学联赛试卷（第一试)一、选择题1．设a２+1=3a，b2＋1=３b,且a≠b，则代数式＼f(1,a2)＋＼ｆ(１,ｂ2)的值为(）(Ａ） 5. (B)7.(C) 9．(D)11．2.如图，设AD，BＥ,ＣF为三角形ＡＢC的三条高,若AＢ＝６,BＣ＝5,EＦ＝3，则线段ＢＥ的长为（）(A)185. (Ｂ) 4. (C）错误!. (D) 错误!.3.从分别写有数字1,２，3，４，5的５张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( ）(A）错误!. (B) 错误!.(Ｃ) 错误!. （D) 1２.4．在△ABＣ中，∠AＢＣ=12°，∠ACＢ=132°，BM和ＣN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则()(Ａ）ＢM>CN. (B) BM＝ＣN.(C) ＢM<CN.（D) ＢM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价１0%或２0%,若干天后,这５种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( ）(A）(错误!）3．(Ｂ) (错误!）4. (C) (错误!)5. （Ｄ) 98.6.已知实数x,y满足(x-错误!)(y－错误!)=2008，则3x2－2ｙ2＋３x－3y-2007的值为（）(Ａ) -200８.(B) 2０08. (C）-1.(D)1.二、填空题1.设a=错误!,则错误!＝ ___＿_____.2.如图,正方形AＢＣD的边长为１,Ｍ,Ｎ为BD所在直线上的两点,且AＭ＝错误!，∠ＭＡN=135°,则四边形AMCＮ的面积为_＿＿_____＿__.３.已知二次函数y＝ｘ2＋ａx＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为ｍ，n，且│m│＋│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q，则│ｐ│+│q│＝_＿____＿__＿.4．依次将正整数1,2,3，…的平方数排成一串:149162536４９64811001211４4…,排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是６，排在第10个位置的数字是4,排在第２008个位置的数字是__＿＿_______.第二试一、已知a2＋ｂ2＝1，对于满足条件0≤x≤１的一切实数x,不等式ａ(1－ｘ) (1－ｘ－aｘ）-ｂｘ(b-x-bｘ)≥０恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值.二、如图,圆O与圆D相交于Ａ,B两点,BＣ为圆D的切线,点Ｃ在圆O上，且AB=BC．（１）证明:点Ｏ在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径ｒ的最小值．三、设a为质数，b为正整数,且9(2ａ＋b)2=509(４ａ+511b)求a，b的值．。
城郊中学2008年八年级数学竞赛初赛试题(含答案)-
(图5）CBAB1A1B2C1城郊初中八年级上数学竞赛试题一、填空题：每小题4分，共80分。
1、使等式x x x =-成立的的值是 。
2，P （3、—2）关于y=1对称点的Q （ ， ）。
3、如果点A （3，a ）是点B （3，4）关于y 轴的对称点，那么a 的值是 。
4、如图1，正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF 的面积是 2cm . 5、已知四个命题：①1是1的平方根，②负数没有立方根，③无限小数不一定是无理数，④3a -一定没有意义；其中正确的命题有 个。
6、已知7个数：2231180.2362 3.141632232π⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦，，，（1-），，，（），其中无理数有 个。
7、若24A=9)A a +（，则的算术平方根是 。
8、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的底角平分线交点，那么图中例行全等的三角形的对数是 对。
9、足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了场。
10、若方程组4101,43x y k x y k x y +=+⎧<+<⎨+=⎩的解满足则的取值范围是 。
11、如图3，在一个正方体的两个面上画两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 。
12、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金元。
13、正三角形△ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有 个。
14、若61m m -表示一个数，则整数可取值的个数是 个。
15、已知x 和y 满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式22312x xy y ++的值是 。
16、方程550x x -+-=的解的个数为 个。
一次函数奥数测试题1
《一次函数》能力测试题一、选择题（每小题4分, 共40分）1、（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）在平面直角坐标系中, 先将直线y=3x-2关于x轴作轴对称变换, 再将所得直线关于y轴作轴对称变换, 则经过两次变换后所得直线的表达式是（）A.y=2x-3B.y=3x-2C.y=2x+3D.y=3x+22.（2003年富阳市初二数学竞赛试题）当－1≤≤2时, 函数满足, 则常数的取值范围是（）A. B. C. 且 D.3.(2006年宁波市阳光杯初二数学竞赛题)线段（1≤≤3, ）, 当a值由-1增加到2时, 该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A. 6B. 8C. 9D. 104、（“《数学周报》杯”2009年韶关市八年级数学竞赛初赛试题）在平面直角坐标系中,为坐标原点, 直线与轴交于点, 点在直线上, 且满足为等腰三角形, 则满足条件的点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题)已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(0, 1), 它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形, 则a的值为（）A.1B.－1C.±1D.不确定6.（ 2012年北京市初二数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中, 直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72, 则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是（）A. (3, 12)B. (1, 20)C. (－0.5, 26)D. (－2.5, 32)7.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）一次函数和的图象分别与y轴交于点P和Q, 这两点关于x轴对称, 则m的值是（）A.2B.2或-1C.1或-1D.-18.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题）如图, 在平面直角坐标系内, A.B.C三点的坐标分别是（0, 0）, （4, 0）, （3, -2）, 以A.B.C三点为顶点画平行四边形, 则第四个顶点不可能在（）A.第一象B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.（2010年北京市初二数学竞赛试题）如图, 正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分, 已知线段OD.AD的长都是正整数, , 则满足上述条件的正方形面积的最小值是（）A.324B.331C.354D.36110.（第19届希望杯全国数学邀请赛初二第1试试题）一次函数的图象经过点（0, 5）和点B（4, 0）, 则在该图象和坐标轴围成的三角形内, 横坐标和纵坐标都是正整数的点有（）A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题（每小题5分, 共35分）11.（2012年肇庆市八年级数学竞赛决赛试题）已知, 则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是 .12.（2008年宁波市慈溪实中杯初二数学竞赛第1试试题）△ABC的三个顶点的坐标为A（m, 4）, B（3, 5）, C（6, n）, 且AC=5, 将△ABC平移后得△, 其中（0, 3）, 在轴上, 则的坐标为 .13.（2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题）点A和B在直线上, 点A的横坐标是2, 且AB=5, 当线段AB绕点A顺时针旋转90度后, 点B的坐标是14.(2004年富阳市初二数学竞赛试题)已知四边形的四个顶点为A（8,8）, B（－4,3）, C（－2, －5）, D（10, －2）, 则四边形在第一象限内的部分的面积是。
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2008年四川省初中数学联赛初赛(初二) 一、选择题(每小题7分,共42分)1.若a 、b 为实数,满足1a -1b =1a +b ,则b a -ab的值是( ).(A )-1 (B )0 (C )12 (D )12.下面四种说法:①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数;②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数;③两个无理数的和一定是无理数;④两个无理数的积一定是无理数.其中,正确的说法种数为( ).(A )1(B )2(C )3(D )43.已知一次函数y =kx +b ,其中kb >0.则所有符合条件的一次函数的图像一定通过( ).(A )第一、二象限(B )第二、三象限(C )第三、四象限(D )第一、四象限4.在凸四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,EG 与FH 交于点O .设四边形AEOH 、BFOE 、CGOF 的面积分别为3、4、5.则四边形DHOG 的面积为( ).(A )152 (B )154 (C )4 (D )65.已知x =20072008.则x 除以10的余数是( ).(A )1(B )3(C )7(D )96.设a 、b 、c 为互不相同的有理数,满足(b +2)2=(a +2)(c +2).则符合条件的a 、b 、c 共有( )组.(A )0(B )1(C )2(D )4二、填空题(每小题7分,共28分)1.关于x 的不等式|2x -1|<6的所有非负整数解的和为.2.已知x =12+3,y =12-3.则x 3+12xy +y 3=.3.用三种边长相等的正多边形地砖铺地,其顶点拼在一起,刚好能完全铺满地面.设正多边形的边数为x 、y 、z .则1x+1y+1z的值为.4.如图1,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =AC ,DA =DB ,∠ADB =90°.则∠ACD 的度数等于.图1图2三、(20分)如图2,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥DB ,AC =5,∠DBC =30°.(1)求对角线BD 的长度;(2)求梯形ABCD 的面积.四、(25分)设实数x 满足3x -12-4x -23≥6x -35-1310.求2|x -1|+|x +4|的最小值.五、(25分)已知正整数a 、b 、c 满足a <b <c ,且ab +bc +ca =abc .求所有符合条件的a 、b 、c .参考答案一、1.D.由题设条件知b 2-a 2=ab .两边同时除以ab 得b a -a b=1.2.A.题目的四种说法中,①对,②、③、④错.3.B.由kb >0,知k 、b 同号.522008年第11期当k 、b 同为正数时,一次函数的图像通过第一、二、三象限;当k 、b 同为负数时,一次函数的图像通过第二、三、四象限.所以,符合条件的一次函数的图像一定通过第二、三象限.4. C.图3如图3,联结OA 、OB 、OC 、OD .则S △AEO =S △B EO , S △B FO =S △CFO , S △CG O =S △DG O , S △DH O =S △AH O .故S 四边形AEOH +S 四边形CFOG=S 四边形B FOE +S 四边形DH OG .所以,S 四边形DH OG =3+5-4=4.5.A.x 除以10的余数等于72008除以10的余数.又7,72,73,74,75,…除以10的余数分别为7,9,3,1,7,….它们以4为周期.又2008=502×4,于是,72008除以10的余数为1,即x 除以10的余数是1.6.A.因为(b +2)2=(a +2)(c +2),即b 2+2+22b =ac +2+(a +c )2,则 ac =b 2,a +c =2b .故a 2+c 2+2ac =(a +c )2=4b 2=4ac .所以,(a -c )2=0.因此,a =c ,与题设矛盾.二、1.6.原不等式等价于2x -1<6,2x -1>-6.解得-52<x <72.于是,符合条件的所有非负整数解为x =0,1,2,3.因此,所有非负整数解的和为6.2.64.易知x =2-3,y =2+ 3.于是,x +y =4.则x 3+12xy +y 3=x 3+y 3+3xy (x +y )=(x +y )3=64.3.12.依题意有x -2x×180°+y -2y×180°+z -2z×180°=360°.化简得1x+1y+1z=12.4.30°.图4如图4,过A 作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ,过D 作DF ⊥AB 于F .由DA =DB ,∠ADB =90°,知△ADB 为等腰直角三角形.故∠DBA =∠DAF =45°.因为AB ∥DC ,所以,∠ADE =45°.又DF ⊥AB ,则DF =12AB ,∠ADF =45°.所以,∠FDE =90°,即FD ⊥CD .由AE ⊥CD ,得AE ∥FD .又AF ∥ED ,故四边形AFDE 为平行四边形.从而,AE =DF =12AB =12AC .所以,∠ACD =30°.图5三、(1)如图5,过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E .由AC ⊥DB , AE ∥DB]AC ⊥AE , ∠AEC =∠DBC =30°]∠EAC =90°,即△EAC 为直角三角形]EC =2AC =10]AE =EC 2-AC 2=102-52=5 3.又AD ∥BC 且AE ∥DB ,则四边形AEBD 为平行四边形.从而,DB =AE =5 3.(2)记梯形ABCD 的面积为S .过A 作AF 62中等数学⊥BC于F,则△AFE为直角三角形.因为∠AEF=30°,所以,AF=12AE=532,即梯形ABCD的高AF=532.又四边形AEBD为平行四边形,因此,AD=EB.故S=12(AD+BC)AF=12EC・AF=12×10×532=2532.四、原不等式两边同乘以30得15(3x-1)-10(4x-2)≥6(6x-3)-39.解得x≤2.记y=2|x-1|+|x+4|.(1)当x≤-4时,y=-2(x-1)-(x+4)=-3x-2.所以,y的最小值为(-3)×(-4)-2= 10,此时x=-4.(2)当-4≤x≤1时,y=-2(x-1)+(x+4)=-x+6.所以,y的最小值为5,此时x=1.(3)当1≤x≤2时,y=2(x-1)+(x+4)=3x+2.所以,y的最小值为5,此时x=1.综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5,在x=1时取到.五、由1≤a<b<c,知abc=ab+bc+ca<3bc.所以,a<3.故a=1或a=2.(1)当a=1时,有b+bc+c=bc,即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾.(2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0.所以,(b-2)(c-2)=4.又2<b<c,则0<b-2<c-2.于是,b-2=1,c-2=4.从而,b=3,c=6.所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.(四川省数学竞赛委员会 提供)2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( ).(A)π4(B)π2(C)π(D)2π2.已知平面上点的集合M={(x,y)|y=2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}.当M∩N≠ 时,k的取值范围是( ).(A)-33,33(B)0,33(C)-33,0(D)33,+∞3.“x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)既不充分也不必要条件(D)充分必要条件4.已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a =0至少有一个模为3的复数根.则实数a 的所有取值为( ).(A)1,9(B)-1,9,2-13(C)1,9,2+13(D)1,9,2-13图15.设f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数.图1所示的是y=xf′(x)的图像的一部分.则f(x)的极大值与极722008年第11期。