反比例函数增减性和取值范围课件PPT
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反比例函数的性质
反比例函数具有无限递减或无限递增的性质，即随着$x$的增大或减小，$f(x)$的值 会无限接近于0但永远不会等于0。
反比例函数在自变量$x$等于0时没有定义，因为分母不能为0。
反比例函数具有对称性，即当$x$取正值时和取负值时的函数值是相等的。
02
反比例函数的应用
反比例函数在生活中的应用
反比例函数与正比例函数的比较
定义域
正比例函数和反比例函数的定义 域均为$x in R$，即实数集。
函数图像
正比例函数图像是一条过原点的直 线，而反比例函数的图像是双曲线 。
增减性
正比例函数随着$x$的增大而增大或 减小，而反比例函数在$x>0$时， 随着$x$的增大而减小，在$x<0$时 ，随着$x$的增大而增大。
反比例函数与其他数学知识的结合
与一次函数的结合
反比例函数与一次函数的结合可 以用于解决一些复杂的数学问题 ，例如求解方程的根。
与指数函数的结合
反比例函数与指数函数的结合可 以用于描述一些复杂的数学关系 ，例如人口增长与时间的关系。
03
反比例函数的解析式
反比例函数的解析式
反比例函数的一般形式为 $f(x) = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。
反比例函数在数学问题中的应用01Fra bibliotek0203
解决几何问题
在几何问题中，反比例函 数可以用于描述两个点之 间的距离与它们之间的角 度之间的关系。
解决物理问题
在物理问题中，反比例函 数可以用于描述物体的运 动规律，例如物体的加速 度与时间之间的关系。
解决概率问题
在概率问题中，反比例函 数可以用于描述事件的概 率与样本空间的大小之间 的关系。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的图像和性质ppt课件
增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
课件《反比例函数》优秀PPT课件 _人教版1
D．
D 大小关系不能确定
（2）过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积是
。
已知点A、B、C、D在反比函数 的图象上。
B.
A．S=2 B．S=4 C．
D．
当k＞0 时，在
内，y的x增大而
．
归纳：利用反比例函数
比较函数值（或自变量x）的大小。
课前练习：
1. 函数 y 6 的图象在第 二、四 象限。
x
2. 已知反比例函数
y 2m x
的函数图象位
于第一、三象限，则m的取值范围是m<2。
3. 若函数 y(3m1)xm25是反比例函数，且图 象位于第一、三象限，则m的值为 m=2 。
C
北师大版九年级数学上册
6.2.2 反比例函数的图象和性质
数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。
及时小结，自我评价
1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2反比例函数的性质（二）
当k＜0时，在
内，y的x增大而
．
归纳：利用反比例函数
比较函数值（或自变量x）的大小。
还有什么困惑吗？ 北师大版九年级数学上册
有用的数学应当人人所学； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的增减性，反比例函数的图象下的面积问题。
S OA 1 2 P OA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
合作探究二 2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过 点 积P为分3,别则向这x个轴反、比y轴例作函垂数y 线的,关若3x 系阴式影是部分面 .
26.1.2反比例函数的图像和性质课件(共31张PPT)
(1)y 2 (2)y 2x
3x
3
(5)y 2x 3
(3)y 2 3x
(4)y 2x 3
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（A）y=5x （B）y=2x+3
（C） y 4 x
（D） y 3 x
练一练 2
已知反比例函数 y 4 k x
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
-4
-5
再让我们仔细看看，这两个
-6
函数图象在位置上有什么关系？
操作二：
比一比：
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或
x
x
的图象，看谁画得又快又好．
y 3,y3
x
x
找一找： 根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； ⑵反比例函数 y 与k
x
轴对称。
y 的 k图象关于x轴对称,也关于y
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
人教版《反比例函数》公开课PPT
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
4
10
x =
x
-4 x =
x
y=-x
y = -—kx 8
y = —kx
y=x
6
4
2
-15
-10
-5 -2 -4 -6 -8
5
10
15
演练厅，显你身手
1.（1）下列图象中是反比例图象的是（ C ）.
A
B
C D
反比例函数y=
-
5 x
的图象大致是（
③你能用函数的解析式说明②中的结论吗？
反比例函数y= - 的图象大致是（
）
③选整数较好计算和描点。
注意：①列表时自变量 （1）下列图象中是反比例图象的是（ ）.
y随x 的增大而_________.
取值要均匀和对称②x≠0
③选整数较好计算和描点。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
）
结论2：一般地，当
时，反比例函数
我们学习一次函数和二次函数时，研究了函数的哪些内容?是如何进行研究的?
的图象是双曲线，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内, 随 的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
你能归纳出反比例函数
的性质吗？
（1）下列图象中是反比例图象的是（ ）.
学习目标：
1. 掌握用“描点”法画出反比例函数的图象。 2. 观察图象归纳反比例函数的图象特征和性质。
三 减少
四
双曲线
双曲线
双曲线
一
二 增大
例1
画出反比例函数 y =
6 x
和y=
《反比例函数定义》课件
这些变体形式在解决实际问题时可能更加方便，但本质上仍 然是反比例数在物理中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
在物理中，反比例函数常用于 描述与距离和时间有关的物理 量，如电流与电阻之间的关系 。
在电路分析中，反比例函数用 于描述电流与电阻之间的关系， 即电流I与电阻R之间的关系为 I=V/R，其中V为电压。当电压 V保持恒定时，电流I与电阻R成 反比关系。
3
反比例函数的奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于任意x≠0，都有 f(-x)=-f(x)。
反比例函数的图像
反比例函数的图像
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间， 呈现出双曲线的形状。
图像的绘制方法
图像的特点
反比例函数的图像具有渐近线，当 k>0时，图像分别位于第一、三象限； 当k<0时，图像分别位于第二、四象 限。
《反比例函数定义》课件
• 反比例函数定义 • 反比例函数的表达式 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数定义
反比例函数的定义
1 2
反比例函数定义
反比例函数是一种数学函数，其定义为y=k/x （k为常数且k≠0），其中x是自变量，y是因变 量。
反比例函数的定义域和值域
反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
04
反比例函数的扩展知识
反比例函数与其他数学知识的联系
与一次函数的联系
一次函数和反比例函数在形式上有所 不同，但它们在某些情况下可以相互 转化。例如，当反比例函数的分母为 常数时，它可以转化为一次函数的形 式。
与几何知识的联系
反比例函数图像通常位于两个象限内， 其形状与坐标轴、原点以及其他直线 或曲线存在特定的几何关系，这些关 系有助于理解函数的性质。
反比例函数图像和性质ppt课件
压强与面积的关系
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
反比例函数的图象和性质课件
02
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
∵-3<-1,∴y1>y2.
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
九年级数学反比例函数的增减性(2019)
蓟 请西约三晋 迁阴密 与守坐 十一月 诸侯害齐湣王之骄暴 舜赐姓嬴氏 以正中秋 既食 诸与衡山王谋反者皆族 原因时循理 後年衰老而听子孙 王曰：“吁 卻適 ”刺之 乃至於此 复徇魏地 复疾战 楚王戊自杀 尹夫人前见之 欲为省 越王句践袭杀吴太子 常为名大夫 立七岁 束帛加
璧 ” 始名山大川在诸侯 斩豨 荥阳之事 长兄伯 引河沟灌大梁 ”上乃忧曰：“为之柰何 是为帝中康 不敢辱先人之教 晋文公曰：“我击其外 是故原大王孰计之 彊梧协洽三年 二十四年 大赦罪人 上与公卿诸生议封禅 身死而不反於齐 孰与以祸终哉 唯荆卿留意焉 其势不俱生 则罪
庸知其盗买县官器 ”卓王孙不得已 朔而又朔 孟公绰 上乃遣望气佐候其气云 我布衣 外国归义 汉三年 ”广曰：“吾尝为陇西守 四年 其过不更 窃闻大王以爵事有適 拜为中大夫 於是楚为扞关以距之 孙叔敖者 使信王之救己也 遂无言 常附吕后 未至 在今後嗣王纣 驰入赵壁 尝事
纣 是为简公 曰：“此乃齐君矣 伐齐 形弊；始都绛 秦兵大败 是弃前功而挑秦祸也；不合则隐 作易八卦 以左将军再从大将军出定襄 不忍诛 徙邑北通 其以二千户封地士将军大为乐通侯 命之曰鸱鸮 是为穆王 ”太后喜说 救人於戹 陛下独奈何与刀锯馀人载 曰：‘嗟乎 莫知为谁 公
复习回顾
画函数图象的一般步骤
列表 描点 连线
反比例函数是一条双曲线，它 所在象限与k的关系怎样？
重要结论：
反比例函数的图象是由两支曲线组成的 （通常称为双曲线）. 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
练习：
1.若关于x,y的函数 y k＋1 图象位于第一、三象限， x
“彼来者为谁 求奇缯物 为人吃 共诛之 难将至 累世重矣 小吉 楚伐周 东北会于涧、瀍 令太祝领 曰：“武原苦筋骨以报子至死 结怨於匈奴 君其祀毋乃绝乎 乃使光禄大夫范昆、诸辅都尉及故九卿张德等衣绣衣 至虞 归而袭破走东胡 小馀七百三十六；硃虚侯首先斩吕产 非质有其内
人教版九年级下册第26章反比例函数的图象和性质(共68张PPT)
x
练一练
1. 如图，过反比例函数 y k 图象上的一点 P，作 x
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = －12 .
提示：当反比例函数图象 在第二、四象限时，注意
y
k
P
y= x
k＜0.
AO
x
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
O
x
y
y 4 x
O
xห้องสมุดไป่ตู้
归纳：
反比例函数 y k (k＜0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
一般地，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
S1 S3
F S2
例8 如图，点 A 是反比例函数 y 2 (x＞0)的图象
上
x y
3
任意一点，AB//x 轴交反比例函数
x (x＜0) 的
图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 A5 BCD，其中
－6－5－4－3－2－1O －1
1 2 3 4 5 6 x (2) 在每一个象限内，
－2
随着x的增大，y 如何
－3 －4
反比例函数增减性和取值范围
当x趋向于正无穷或负无穷时，y的取值范围
当x趋向于正无穷或负无穷时，反比例函数的y值趋向于0， 但不会等于0。
这是因为当x的值趋于无穷大或无穷小时，1/x的值趋于0， 所以y=k/x的值也趋于0。
取值范围的证明
01
02
03
04
反比例函数y=k/x (k≠0)在x>0 和x<0的取值范围可以通过代
证明方法三
利用反证法证明。假设在某个象限 内函数不是单调递减的，推导出矛 盾，从而证明函数是单调递减的。
03 反比例函数的取值范围
当x趋向于0时，y的取值范围
01
当x趋向于0时，反比例函数y=k/x (k≠0)的y值趋向于正无穷或负无穷， 具体取决于k的符号。
02
当k>0时，y趋向于正无穷；当 k<0时，y趋向于负无穷。
二次函数的开口方向由其系数决定，而反比例函数的增减性也与其系数有关。
与幂函数的联系
幂函数和反比例函数都是非线性函数， 它们的图像都是曲线。
幂函数的增减性取决于其指数，而反 比例函数的增减性则取决于其系数。
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感谢您的观看
电力工程
在电力传输中，随着电压的升高，电流会减小，这符合反比例函数的特性。通过 反比例函数，可以计算出不同电压下的电流值，确保电力传输的安全和稳定。
交通领域
在城市交通规划中，反比例函数可用于分析交通流量与道路宽度的关系。随着道 路宽度的增加，交通流量也会相应增加，但当道路宽度达到一定值后，交通流量 将不再增加，这符合反比例函数的特性。
反比例函数的图像
反比例函数的图像位于坐标系的第一、三象限和第二、四象限的角平分 线上。
当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图像位于第二、 四象限。
《反比例函数图像》PPT课件
K、象限、增减性
由一知二
已知反比例函数 y =
k x
（k≠0）的图
象经过点A（-4，3 ) 不求解析式,你能
判断它的两个分支所在的象限吗？能
说出增减性吗？
例： 若反比例函数y=(2m-9) Xm²-9m+19的 图象
在第一、 三象限，则m为（5 ） 解析式
为（y=
1 x
）增减性怎样？
练习：若y=(a-1) Xa是反比例函数,则它的图象在
Y=
6 x
… -1
-2
-3
-6
…
/
…6
3
2
1
…
x … 1.2 1.5 … y… 5 4 …
1．画出函数 y = —-x6 的图象(直接画在课本上) 解：1．列表：
x … -6 -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 …
6
Y= x … 1 2 3 6 … / … -6 -3 -2 -1 …
2．描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐 标系内描出相应的点.
1 2x
，这部分图像在第
5.函数 y =(2m+1)xm2+2m-16 , 它的图像在一、三
象限，则m= 3____.（此函数是反比例函数）
独立 作业
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
呢？
x
让我们一起画个反比例函数的图象看看。
例1．画出函数 y = —6x 的图象。
思考：（1）画函数图象的三个步骤是什么？ 列表、描点、连线。
注意： ① x≠0 ②列表时自变量 取值应易于计算, 易于描点
解： 1．列表：
x … -6 -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 …
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在同一坐标系中的大致 图象的是 __D__.
y
Ox A
y
O
x
B
y
Ox C
y x
o
D
6.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数 y yxk4x(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y2＞ y1
7.已知点AA((-x21,yy11)),,BB((x-21,y,y2)2且) x1＜0＜ 都在反比例x2函数 y yxk4x(的k＜图0)象上,则y1
6.下列选项中，阴影部分面积最小 的是（ C ）
A
AB
CC
D
如图，已知一次函数 y1 x m （m为常数） 的的图图象象与 相反 交比 于例 点函A（数1，3）y2 ．kx （k为常数， ） （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交 点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值 y1 ≥ y2 的
y k (k 0) x
的图象经
过点（0.5，8），直线 y x b 经过该反比例函数图
象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比
例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ
的面积．
直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数
x
和正比例函数y2=k2x
的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，
若y1＞y2，则x的取值范围是
（A）-1＜x＜0
（B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1
（D）-1＜x＜0或x＞1
3.如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函 数
k y若2=使xy1的 ．＞图y2象，交则于x的A（取1值，范4）围、是B_（_x_4<_，0_或_1_）1_<两_x_
o A1 B1 C1
x
11
11
S AOA1
2
|
k
|
2 , SBOB1
2
|k
|
, 2
S OOC1
1 2
|k
|
1 2
,
即S1
S2
S3 , 故选A.
3图、象正相比交例于函A数、yC两=x点与反.A比B⊥例x函轴数于yB=,CD1x⊥的y 轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( c )
y2
k2 x
的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积
为1，点M的纵坐标为2，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出 y1 y2 时x的取值范围。
练一练
如图，已知A(-4,n),B(2,-4)，是一次函数y=kx+b的图象
和反比例函数
y
m x
的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1 ＞0＞y2
y
A
oy1 x2
x
1
y2
B
x
8.已知点AA((--22,y11)),,BB((--11,y,y2)2,)C(4,y3)
都在反比例函数
y
4 x
的图象上,则y1、
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞. y2
y
-2 -1 y3 o
A B
yy12
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)求方程
kxb m 0 x
的解（看图写）
(4)求不等式 kx b m 0 解集（看图写）.
x
平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴 于点B且与反比例函数图像分别交于C、D两点， 过点C作CMx轴于M，AO=6，BO=3，CM=5。求 直线AB的解析式和反比例函数解析式。
一次函数与反比例函数的 综合应用
课前复习
1、如图是三个反比例函数在x轴上方
的图像，yy11 得到( ) B
k11, xx
,yy2
2kxx22
,
y3
k33 xx
由此观察
• A k1>k2>k3 • C k2>k1>k3
B k3>k2>k1 D k3>k1>k2
2.如图, 在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
自变量的取值范围．
例4.如图，反比例函数 y k 的图象与一次 x
函数 y ax b 的图象交于M、N两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式。 （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一 次函数的值的x的取值范围。
y
M （2，m）
o
x
N （-1，-4）
如图，一次函数 y1 k1x 1 的图象与 y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数
已知反比例函数 y1
k1 x（k1＞0）与一次函数
y2
k2 x 1(k2
0)
相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且
AC:OC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例
函数y1的值大于一次函数y2的值？
如图，已知反比例函数
（2）观察图象得：
当x<-1或0<x<2时，反 比例函数的值大于一次 函数的值
y
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
关于取值范围
1．如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=
m x
的图象，观察图象，写出y1>y2时，x的取值
范围_-_•2_<_x_<_0_或__x_>．3
2.如图，反比例函数 y k1
经过三点分别向x轴引垂线, 交x轴于A1, B1, C1三点
边结OA, OB, OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2 , S3,则有_A_ .
y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
∴k=4,
∴y=
4 x
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
y
∵点M、N都y=ax+b的图象上
∴解得a=2，b= -2
∴y= 2x-2
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（2）根据图象写出反比例函数的值大 于一次函数的值的x的取值范围。
值范围。
3＜x＜0或x＞2
例2
下图是反比例函数 y n 7 的图象
的一支。
x
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数n 的取值范围是什么？
解：由图可知另一支位于第四象限；
n7 0
则n 7
-6 （2）在某一支上取A（a ,b ）和B（a，b）
如果 a a，比较 b 与 b 的大小？
解：k 0 ，则 y 随x 的增大而增大 ， 又a a b b
（A）1 （C）2
（B）32 （D）5
2
y A
D OB x
C
4.若正比例函数y k1x(k1 0)与反比例函数
y
k2 x
(k2
0)的函数值都随x的增大而增大,
那么它们在同一直坐角系内的大致图
象是__D__ .
y
Ox A
y
O
x
B
y
O
x
C
y x
o
D
5.
如图能表示 y k(1 x)和y k (k 0) x
（1）求点P的坐标； （2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象 上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂 足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.
C
4x
例1
如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数
y=
k x
交于 M （2，m） 、N （-1，-4）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
y
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值 的x的取值范围。
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
yk x
（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，
且AO：AH=2．
（1）求k的值； （2）点N（a，1）是反比例函数
y
k x
（x＞0）图象
上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是 该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂 足，S△ABP＝9．
（1，4） （4，1）
（2011中考）一次函数y=kx+1的图像和反比例函数 y m 的图像 x
交于点M（2，3），和另一点N，
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
y x 1 y 6 （2）求 △ MON的面积； x
y M
（3）利用图像写出一次函数的值
-3
02
x
N
大于反比例函数值的X的取
y
Ox A
y
O
x
B
y
Ox C
y x
o
D
6.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
都在反比例函数 y yxk4x(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y2＞ y1
7.已知点AA((-x21,yy11)),,BB((x-21,y,y2)2且) x1＜0＜ 都在反比例x2函数 y yxk4x(的k＜图0)象上,则y1
6.下列选项中，阴影部分面积最小 的是（ C ）
A
AB
CC
D
如图，已知一次函数 y1 x m （m为常数） 的的图图象象与 相反 交比 于例 点函A（数1，3）y2 ．kx （k为常数， ） （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交 点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值 y1 ≥ y2 的
y k (k 0) x
的图象经
过点（0.5，8），直线 y x b 经过该反比例函数图
象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比
例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ
的面积．
直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数
x
和正比例函数y2=k2x
的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，
若y1＞y2，则x的取值范围是
（A）-1＜x＜0
（B）-1＜x＜1
（C）x＜-1或0＜x＜1
（D）-1＜x＜0或x＞1
3.如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函 数
k y若2=使xy1的 ．＞图y2象，交则于x的A（取1值，范4）围、是B_（_x_4<_，0_或_1_）1_<两_x_
o A1 B1 C1
x
11
11
S AOA1
2
|
k
|
2 , SBOB1
2
|k
|
, 2
S OOC1
1 2
|k
|
1 2
,
即S1
S2
S3 , 故选A.
3图、象正相比交例于函A数、yC两=x点与反.A比B⊥例x函轴数于yB=,CD1x⊥的y 轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( c )
y2
k2 x
的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积
为1，点M的纵坐标为2，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出 y1 y2 时x的取值范围。
练一练
如图，已知A(-4,n),B(2,-4)，是一次函数y=kx+b的图象
和反比例函数
y
m x
的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1 ＞0＞y2
y
A
oy1 x2
x
1
y2
B
x
8.已知点AA((--22,y11)),,BB((--11,y,y2)2,)C(4,y3)
都在反比例函数
y
4 x
的图象上,则y1、
y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞. y2
y
-2 -1 y3 o
A B
yy12
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)求方程
kxb m 0 x
的解（看图写）
(4)求不等式 kx b m 0 解集（看图写）.
x
平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴 于点B且与反比例函数图像分别交于C、D两点， 过点C作CMx轴于M，AO=6，BO=3，CM=5。求 直线AB的解析式和反比例函数解析式。
一次函数与反比例函数的 综合应用
课前复习
1、如图是三个反比例函数在x轴上方
的图像，yy11 得到( ) B
k11, xx
,yy2
2kxx22
,
y3
k33 xx
由此观察
• A k1>k2>k3 • C k2>k1>k3
B k3>k2>k1 D k3>k1>k2
2.如图, 在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
自变量的取值范围．
例4.如图，反比例函数 y k 的图象与一次 x
函数 y ax b 的图象交于M、N两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式。 （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一 次函数的值的x的取值范围。
y
M （2，m）
o
x
N （-1，-4）
如图，一次函数 y1 k1x 1 的图象与 y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数
已知反比例函数 y1
k1 x（k1＞0）与一次函数
y2
k2 x 1(k2
0)
相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且
AC:OC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例
函数y1的值大于一次函数y2的值？
如图，已知反比例函数
（2）观察图象得：
当x<-1或0<x<2时，反 比例函数的值大于一次 函数的值
y
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
关于取值范围
1．如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=
m x
的图象，观察图象，写出y1>y2时，x的取值
范围_-_•2_<_x_<_0_或__x_>．3
2.如图，反比例函数 y k1
经过三点分别向x轴引垂线, 交x轴于A1, B1, C1三点
边结OA, OB, OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2 , S3,则有_A_ .
y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
∴k=4,
∴y=
4 x
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
y
∵点M、N都y=ax+b的图象上
∴解得a=2，b= -2
∴y= 2x-2
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（2）根据图象写出反比例函数的值大 于一次函数的值的x的取值范围。
值范围。
3＜x＜0或x＞2
例2
下图是反比例函数 y n 7 的图象
的一支。
x
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数n 的取值范围是什么？
解：由图可知另一支位于第四象限；
n7 0
则n 7
-6 （2）在某一支上取A（a ,b ）和B（a，b）
如果 a a，比较 b 与 b 的大小？
解：k 0 ，则 y 随x 的增大而增大 ， 又a a b b
（A）1 （C）2
（B）32 （D）5
2
y A
D OB x
C
4.若正比例函数y k1x(k1 0)与反比例函数
y
k2 x
(k2
0)的函数值都随x的增大而增大,
那么它们在同一直坐角系内的大致图
象是__D__ .
y
Ox A
y
O
x
B
y
O
x
C
y x
o
D
5.
如图能表示 y k(1 x)和y k (k 0) x
（1）求点P的坐标； （2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象 上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂 足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.
C
4x
例1
如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数
y=
k x
交于 M （2，m） 、N （-1，-4）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
y
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值 的x的取值范围。
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
yk x
（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，
且AO：AH=2．
（1）求k的值； （2）点N（a，1）是反比例函数
y
k x
（x＞0）图象
上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是 该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂 足，S△ABP＝9．
（1，4） （4，1）
（2011中考）一次函数y=kx+1的图像和反比例函数 y m 的图像 x
交于点M（2，3），和另一点N，
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
y x 1 y 6 （2）求 △ MON的面积； x
y M
（3）利用图像写出一次函数的值
-3
02
x
N
大于反比例函数值的X的取