微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一．累次极限与重极限

例.1 ()y x f ,=

⎝

⎛=⋅≠⋅+0,00,1sin 1sin y x y x x

y y x

例.2

⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠++=0

03),(22222

2y x y x y x xy

y x f

例.3 22

222(,)()

x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0

→→不存在。

一般结论：

二．多元函数的极限与连续，连续函数性质

例.4 求下列极限：

（1）

1

1

)

0,1(),()

(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）

)ln()(lim 22)

0,0(),(y x y x y x ++→;

（3）

(,)(0,0)sin()

lim

x y xy x

→；

（4）22lim

x y x y

x xy y →∞→∞

+-+；

（5）2

2

()

lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞

+。

例.5 证明：极限0)

(

lim 2

2

2)

,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．

例.6

若()y x f z ,=在2

R 上连续, 且

()22

lim ,x y f x y +→+∞

=+∞, 证明 函数f 在2R 上一

定有最小值点。

例.7 )(x f 在n R 上连续,且

(1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>∀c )()(x x cf c f =

例.8

若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且

a y

x y x y x f y x =++-→2

2

2

2)

0,0(),(),(lim

a 为常数。证明：

（1）),(y x f 在)0,0(点连续；

（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。

例.9 函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠+++=0,00),sin(),(2

22

2222

2y x y x y x y x xy

y x f 在)0,0(点是否连续?

(填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．

三．多元函数的全微分与偏导数

例.10 有如下做法：

设),()(),(y x y x y x f ϕ+=其中),(y x ϕ在)0,0(点连续, 则

[][]

dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(ϕϕϕϕ+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=ϕ.

(1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.

例.11

设二元函数),(y x f 于全平面2

ℜ上可微，),(b a 为平面2

ℜ上给定的一点，则极限

=--+→x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

。

例.12

设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，

)),(,()(x x f x f x g =，求)1(g '。

例.13 设),,(2

x y y x f z =其中2

C f ∈，求x z ∂∂和y

x z ∂∂∂2。

例.14 设()y x z ,定义在矩形区域(){}

b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0,上的可微函数。证明: （1）()()()0,

,,≡∂∂∈∀⇔=x

z

D y x y f y x z ; （2）()()()()0,,,2≡∂∂∂∈∀⇔+=y

x z

D y x y g y f y x z

例.15

n 为整数，若任意0,t >(,)(,)n f tx ty t f x y =，则称f 是n 次齐次函数。证明：

(,)f x y 是零次齐次函数的充要条件是

0.f f x y x y

∂∂+=∂∂ 例.16

下列条件成立时能够推出),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=df 的是

（ ）.

(A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2y

x y x f ∆+∆∆∆=∆,

(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2

22)sin(y

x y x f ∆+∆∆+∆=

∆

(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

222

1

sin )(y

x y x f ∆+∆∆+∆=∆

例.17 设xy y x f =

),(,则在)0,0(点( B )

(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微； (C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.

例.18 设y

x

z arcsin

=，求dz . 例.19

y

x y

x u +-=arctan

，则=u d