专题训练：根据物体的三视图计算其表面积和体积(含答案)
三视图求几何体的表面积与体积
三视图求几何体的表面积与体积一、选择题1.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）(A)112(B)5 (C)92(D)42.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）(A)6 (B)9 (C)12 (D)183.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）(B) (C) (D)4.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 5.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）6A326.（2012·浙江高考文科·Ｔ3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）(A)1 cm 3 (B)2 cm 3 (C)3 cm 3 (D)6 cm 3 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+8.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )侧（左）视图俯视图10.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱.11.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）(A)12π (B)45π (C)57π (D)81π12.某几何的三视图如图所示，它的体积为(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )(A) (B)3π (C) (D)6π二、填空题14.已知某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 .15.如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为 .16.已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________3cm .17.（2012·天津高考理科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），83π103π1111ABCD A B C D -13,2AB AD cm AA cm===11A BB D D-3cm m则该几何体的体积为__________.18.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.19. （2012·山东高考理科·Ｔ14）如图，正方体的棱长为1，,E F 分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道上的任意一点到面 的距离相等.3m m 3m 1111ABCD A B C D -11,AA B C 1D EDF-C B 11DED【解析】的面积为正方形面积的一半，三棱锥的高即为正方体的棱长，所以. 【答案】20.（2012·山东高考文科·Ｔ13）如图，正方体的棱长为1，E 为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道上的任意一点到面 的距离相等.【解析】以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故【答案】21.（2012·安徽高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 .【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图.1DED ∆612131311111=⨯⨯⨯=⋅==∆--AB AD DD h S V V DED DED F EDF D 611111ABCD A B C D -1B C 1A DED-C B 11DAD 1ADD 61【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的表面积是.【答案】22.（2012·安徽高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_____.【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则得出几何体的直观图，进而求得体积.【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，则该几何体的体积是.【答案】23.（2012·辽宁高考理科·Ｔ13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________.412(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=9241(25)44562V =⨯+⨯⨯=56【解题指南】读懂三视图，它是长方体（挖去一个底面直径为2 cm 的圆柱），分别求表面积，注意减去圆柱的两个底面积.【解析】长方体的长宽高分别为4,3,1，表面积为； 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为；圆柱的两个底面积.故该几何体的表面积为.【答案】3824. （2012·辽宁高考文科·Ｔ13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【解题指南】读懂三视图，它是圆柱和长方体的组合，分别求体积即可. 【解析】该组合体上边是一个圆柱，底面圆直径为2，母线长为1；体积S，下面是一个长方体，长、宽、高分别为4,3,1，体积.故组合体体积. 【答案】25.（2012·辽宁高考文科·Ｔ16）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为.若,则△OAB 的面43231241238⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2112ππ⨯⨯=2212ππ⨯⨯=382238ππ+-=111V sh ππ==⨯⨯=2111V sh ππ==⨯⨯=243112V =⨯⨯=1212V V π+=+12π+积为______________.【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D 看作长方体的顶点来考虑.【解析】由题意，PA ⊥平面ABCD ，则点P,A,B,C,D,可以视为球O 的内接长方体的顶点，球O 位于该长方体的对角线的交点处，那么△OAB 的面积为长方体对角面的四分之一.的.【答案】三、解答题26.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ19）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点.(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面BDC 1⊥平面BDC ，可证 平面BDC ； （2）平面BDC 1分棱柱下面部分为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比.126=26=34AB PA PB OABD ==∴=∴∆⨯，面积126=4AB PA PB OABD ==∴=∴∆⨯，，面积1DC ⊥1B DACC -【解析】(I)由题设可知,所以平面. 又平面,所以.由题设知,所以,即.又 所以平面.又平面,故平面平面 (II)设棱锥的体积为,.由题意得. 又三棱柱的体积,所以. 故平面分此棱柱所得两部分体积的比为1:1.27.（2012·江西高考文科·Ｔ19）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG.（1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2） 求多面体C DEFG 的体积.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面DEG ⊥平面CFG ，可证EG ⊥平面CFG ；（2）多面体C DEFG 为四棱锥，由平面DEG ⊥平面CFG 得到四棱锥的高，利用体积公式求体积.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得.又因为,可得，即EG ⊥平面CFG,所以平面DEG ⊥平面CFG.11,,BC CC BC AC CC AC C ⊥⊥=BC ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A 1DC BC ⊥1145A DC ADC ∠=∠=︒190CDC ∠=︒1DC DC ⊥,DC BC C =1DC ⊥BDC 1DC ⊂1BDC 1BDC ⊥.BDC 1B DACC -1V 1AC =1112111322V +=⨯⨯⨯=111ABC A B C -=1V ()11-:=1:1V V V 1BDC EG GF ⊥CF EGF ⊥底面CF EG ⊥（2）过点G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为1 3S长方形DEFC·GO=13×4×5×125=16.。
专题 由三视图求表面积和体积
故选B
3.(2016•衡水校级一模)已知一个几何体得三视图如图所示，则该几何体得体积为（）
A。B．ﻩC.2７﹣3πD.1８﹣３π
【解答】解:由三视图可知,该几何体为放到得直四棱柱，且中间挖去半个圆柱,
由三视图中得数据可得：四棱柱得高为3,底面为等腰梯形，梯形得上、下底边分别为２、4，高为2，
故选：Ｂ．
１4．(2016•河西区模拟）如图就是某几何体得三视图,其中正视图就是腰长为２得等腰三角形，俯视图就是半径为１得半圆，则该几何体得体积就是（ ）
A.B．Ｃ。D．
【解答】解：由三视图知几何体得直观图就是半个圆锥，
又∵正视图就是腰长为2得等腰三角形
∴r=1，h＝
∴
故选：D。
1５．(２0１6•岳阳二模）一个几何体得三视图如图所示，已知这个几何体得体积为，则h=(）
【解答】解：由三视图可知正方体边长为6,截去部分为三棱锥,作出几何体得直观图如图所示:
∴被截去得几何体得表面积S＝＋×（６)2=５4＋１8.
故答案为54+1８.
26。(2016•哈尔滨校级二模）一个空间几何体得三视图如图所示，则这个几何体得体积为．
【解答】解：根据已知中得三视图，可得几何体得直观图如下图所示:
该几何就是由一个以俯视图为底面得四棱锥,切去两个棱锥所得得组合体,
四棱柱得体积为:×（2＋4)×4×４=48，
四棱锥F﹣EHIJ得体积为:×（2+4）×４×2=8，
中棱锥Ｆ﹣HGJ得体积为:=，
故组合体得体积V=,
故答案为:
４.(2０11•北京模拟)已知一个几何体得三视图如所示，则该几何体得体积为（)
所以根据三视图中得数据可得:
三视图(直视图)、表面积、体积(含答案)
三视图（直视图）、表面积、体积姓名：得分：一、选择题1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C12()D182.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）3.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．112B.5C.4D.924.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可．．能．是5. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 6. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱7. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 38. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+图1正视图 俯视图侧视图（D ）60+二、填空题1. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.4. 如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．5. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积3m .6. 某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积等于______。
7. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.2，已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为为 。
《由三视图计算物体的表面积与体积》课堂练习(含答案).doc
2018-2019学年度湘教版数学九年级下册课堂练习班级 姓名第3章 投影与视图由三视图计算物体的表面积与体积1.一个物体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为3、底边为2的等腰三角形，根据三视图求这个物体的表面积，并画出该物体的侧面展开图．答图解：该几何体是一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，侧面展开图如答图．侧面积为12×2π×3＝3π，底面积为π×12＝π，∴表面积为3π＋π＝4π.2.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为( B )左视图 俯视图A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图可得到长方体的长和高，长方体的高为2，长为4，∴主视图的面积为2×4＝8.3.一个如图所示的长方体的三视图如图所示．若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为(A)A．66 B．48C．482＋36 D．57【解析】设长方体的底面边长为x，则2x2＝(32)2，∴x＝3，∴该长方体的表面积为3×4×4＋32×2＝66.4.[2018·东营]如图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为__20π__．【解析】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，所以圆锥的母线长l＝32＋42＝5，所以这个圆锥的侧面积是π×4×5＝20π.5.[2018·孝感]如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__16π__cm2.【解析】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．根据三视图知：该圆锥的母线长为6 cm，底面半径为2 cm，故表面积＝πrl＋πr2＝π×2×6＋π×22＝16π(cm2)．6.[2018·齐齐哈尔]如图，三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF＝8 cm，EG＝12 cm，∠EFG＝45°，则AB的长为__cm.【解析】如答图，过点E作EQ⊥FG于点Q，答图由题意可得出：EQ＝A B.∵EF＝8 cm，∠EFG＝45°，∴EQ＝AB＝22×8＝42(cm)．7. 如图所示是一个食品包装盒的三视图(单位：cm)，其中主视图是一个等边三角形．(1)请写出这个包装盒的几何体名称；(2)计算这个几何体的表面积．(结果保留根号)解：(1)由包装盒的三视图可得出包装盒是正三棱柱．(2)如答图，∵△ABC是等边三角形，答图∴∠B＝60°.∵AD＝ 3 cm，∴AB＝BC＝2 cm，∴S底面积＝12×2×3＝3(cm2)，S侧面积＝3×6×2＝36(cm2)，∴S表面积＝S侧面积＋2S底面积＝(36＋23)cm2.8.已知一个几何体的三视图的有关尺寸如图所示，请写出这个几何体的名称，并计算这个几何体的表面积．解：名称：直三棱柱．主视图为直角三角形，直角边长分别为4 cm 和3 cm ， 根据勾股定理得斜边长为5 cm ，S 侧＝3×2＋4×2＋5×2＝24(cm 2)，S 表＝2S 底＋S 侧＝2×12×3×4＋24＝36(cm 2)，故这个几何体的表面积为36 cm 2.9. 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图，单位：mm)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．(结果保留根号)解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如答图1)．答图1 答图2密封罐的高为50 mm ，底面正六边形的直径为100 mm ，边长为50 mm ，答图2是它的表面展开图．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为6×50×50＋2×6×12×50×50×sin 60°＝(15 000＋7 5003)mm 2.。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 空间几何体的三视图、表面积及体积 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)空间几何体的三视图、表面积及体积小题练一、选择题1.多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12 C．14 D．162.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )3.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则( )A．n=4，V=10 B．n=5，V=12C．n=4，V=12 D．n=5，V=105.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为( )A．24＋(2－1)π B．24＋(22－2)πC．24＋(5－1)π D．24＋(23－2)π6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3D．40 cm37.若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的( )A．2倍 B．4倍 C．8倍D．16倍8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B．43π C．46π D．63π9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B．64π C．144π D．256π10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体表面积为（）A.2（1B.2（1C.4（111.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 312.已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )A．64π B．65π C．66π D．128π二、填空题13.用一张16×10的长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x的正方形(如图)，然后沿虚线折起，得到一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________．14.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________．17.如图，BD是边长为3的正方形ABCD的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________．18.如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________．答案解析1.答案为：B ；解析：由多面体的三视图还原直观图如图．该几何体由上方的三棱锥A －BCE 和下方的三棱柱BCE －B 1C 1A 1构成，其中面CC 1A 1A 和面BB 1A 1A 是梯形，则梯形的面积之和为2×(2＋4)×22=12.故选B.2.答案为：A ；解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.3.答案为：B ；4.答案为：D ；解析：由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n =5，体积V =2×22＋12×2×1=10．故选D ．5.答案为：B ；解析：如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得． 由图中知圆锥的半径为1，母线为2，该几何体的表面积为S =6×22－2π×12＋2×12×2π×1×2=24＋(22－2)π，故选B ．6.答案为：B解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC －A 1B 1C 1截去一个三棱锥B 1－ABC ，则该几何体的体积为V =12×3×4×5－13×12×3×4×5=20(cm 3)．故选B ．7.答案为：C ；8.答案为：B ；解析：设球的半径为R ，由球的截面性质得R=22＋12=3，所以球的体积V=43πR 3=43π.9.答案为：C.解析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥OABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ABC =V C AOB =13×12R 2×R=16R 3=36，故R=6，则球O 的表面积为S=4πR 2=144π.10.B.解题思路：该几何体是棱长为2的正方体内的四面体11A BCC .1BCC ∆的面积为2，111A BC A CC ∆∆、的面积均为，11A BC ∆的面积为24表面积为，故选B.11.答案为：B ；解析：由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2=93，所以AB=6， 所以等边△ABC 的外接圆的半径为r=33AB=2 3.设球的半径为R ， 球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d=R 2－r 2=16－12=2.所以三棱锥DABC 高的最大值为2＋4=6，所以三棱锥DABC 体积的最大值为13×93×6=18 3.12.答案为：B.解析：如图，D ，E 分别为BC ，PA 的中点，易知球心O 在线段DE 上． ∵PB=PC=AB=AC ，∴PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD=AD.又平面PBC⊥平面ABC ，平面PBC∩平面ABC=BC ，∴PD ⊥平面ABC.∴PD⊥AD.∴PD =AD=4 2.∵点E 是PA 的中点，∴ED ⊥PA ，且DE=EA=PE=4.设球O 的半径为R ，OE=x ，则OD=4－x.在Rt △OEA 中，有R 2=16＋x 2，在Rt △OBD 中，有R 2=4＋(4－x)2，解得R 2=654，所以S=4πR 2=65π，故选B.13.答案为：144；解析：沿虚线折出纸盒后，该纸盒的长为16－2x ，宽为10－2x ，高为x ，则0＜x ＜5，其容积为V =x(16－2x)·(10－2x)=4x 3－52x 2＋160x ，所以V′=12x 2－104x ＋160=4(x －2)(3x －20)，令V′=0，得x =2或x =203>5(舍去)，当x ∈(0，2)时，V′＞0，即在(0，2)上，V(x)是增函数； 当x ∈(2，5)，V′＜0，即在(2，5)上，V(x)是减函数， 所以当x =2时，V(x)有最大值为144．14.答案为：26； 解析：易知该几何体是正四棱锥．连接BD ，设正四棱锥P －ABCD ，由PD =PB =1，BD =2，则PD ⊥PB ．设底面中心O ，则四棱锥高PO =22，则其体积是V =13Sh =13×12×22=26．15.答案为：3；解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V =13πh(r 2中＋r 2下＋r 中r 下)=π3×9×(102＋62＋10×6)=588π(立方寸)，降雨量为V 142π=588π196π=3(寸)．16.答案为：14；解析：设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是90πR180=πR2，设底面半径是r，则πR2=2πr，所以r=R4，所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.17.答案为：18π；解析：对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB 旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，所以V=π·32·3－13·π·32·3=18π.18.答案为：6π；解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|=(2)2＋(2)2＋(2)2=2R，所以R=62，故球O的体积V=4πR33=6π．。
专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积
∴AE＝ AB＝3 cm，EG＝ CD＝2 cm，
∴AG＝AE－EG＝3－2＝1(cm)．
在Rt△ACG中，
AC＝
(cm)．
∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.
∴
，即
.
解得OF＝10 cm.∴OE＝OF＋EF＝10＋5＝15(cm)．
由
，得OC＝2AC＝2 cm.
∴OA＝ OC＝3 cm. ∴手电筒圆台部分的表面积为S1＝π×
专训2根据物体的三视图 计算其表面积和体积
2020/9/3
在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺 寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是 先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸 利用相应的公式进行计算．
训练角度 1 利用三视图求几何体的表面积
1．如图是一个几何体的三视图． (1)写出此几何体的名称； (2)求此几何体的表面积S.
解：(1)圆锥． (2)由题图可知，圆锥高为8 cm，底面直径为12 cm， 易求得母线长为10 cm. ∴S＝πr2＋πrl＝36π＋60π＝96π(cm2)．
2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在 横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组 合体的表面积．(π取3.14)
解：(1)主；俯 (2)表面积＝2×(11×7＋ 11×2＋7×2)＋4×π× 6≈301.36(cm2)．
(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可得答 案．(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体 的表面积＋上面圆柱的侧面积即可得解．
训练角度 2 利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不 倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺 寸计算其容积.(球的体积公式：V= πr3)
专题 由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积和体积一、方法与技巧二、常见几何体1．（2016•益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60 B．54 C．48 D．24【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．2．（2016•凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选B3．（2016•衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．4．（2016•广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3故选A5．（2016•江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（）A．12πB．15πC．24πD．36π【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，底面圆的面积S1=π×（）2=9π．侧面积S2=π×3×5=15π，表面积为S1+S2=24π．故选C．6．（2016•安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．7．（2016•杭州模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．8．（2016•呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B9．（2016•广东模拟）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选D．10．（2016•延边州模拟）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B．C． D．4【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．11．（2016•江西校级一模）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．12．（2016•太原二模）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选A．13．（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．14．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．15．（2016•岳阳二模）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．16．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．17．（2016•榆林一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．18．（2016•揭阳一模）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是48．【解答】解：由三视图可知原几何体如图所示，可看作以直角梯形ABDE为底面，BC为高的四棱锥，由三棱锥的体积公式可得V=××（2+6）×6×6=48，故答案为：48．三、常见几何体的组合体19．（2016•佛山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．20．（2016•乐山模拟）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选B．四、常见几何体的切割体21．（2016•茂名一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．22．（2016•威海一模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．【解答】解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．23．（2016•张掖校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为26【解答】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．∴几何体的体积V==26．故答案为：26．24．（2016•商洛模拟）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体是正方体削去一个角，体积为1﹣=1﹣=．故选：D．25．（2016•银川校级一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为54+18．【解答】解：由三视图可知正方体边长为6，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：∴被截去的几何体的表面积S=+×（6）2=54+18．故答案为54+18．26．（2016•哈尔滨校级二模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【解答】解：根据已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：该几何是由一个以俯视图为底面的四棱锥，切去两个棱锥所得的组合体，四棱柱的体积为：×（2+4）×4×4=48，四棱锥F﹣EHIJ的体积为：×（2+4）×4×2=8，中棱锥F﹣HGJ的体积为：=，故组合体的体积V=，故答案为：4．（2011•北京模拟）已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）A．6 B．5.5 C．5 D．4.5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积可以做出，高是3，做出截去得到三棱锥的体积，长方体的体积也可以做出．【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体割去两个三棱锥，三棱锥的底面是一个底面面积是×1×1=，高是3，∴截去得到三棱锥的体积是2××=1，长方体的体积是3×2×1=6∴几何体的体积是6﹣1=5故选C．。
三视图与表面积、体积训练与解答
三视图与直观图1．下列命题正确的是( ) A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台2．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是() A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体3．三视图如下图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三梭台4.将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C＝90°)绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的()5．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为()A．2π B．4π C．6π D．8π6．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是()7．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．8．给出下列命题：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题为________．9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，求由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积．12．如图1，在四棱锥P ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图2所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求侧棱P A的长．三视图与直观图1．下列命题正确的是( ) A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台解析D A项中，若绕斜边所在直线旋转，得到的几何体不是圆锥；B、C两项中，若截面不平行于底面，则得不到相应的几何体．只有D正确．2．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ) A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体解析A长方体任何方向的视图都不可能是圆．3．三视图如下图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三梭台解析B由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．4.将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C＝90°)绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的()解析B由题意可得直角三角形绕斜边AB旋转一周所得几何体为具有公共底面的两个圆锥，故其正视图为具有公共底边的两个等腰三角形．5．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为()A．2π B 4π C．6π D．8π解析C由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其表面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C. 6．(2013·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是()解析B由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边长为3，高为2的直角三角形，故选B. 7．(2013·福州模拟)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．【答案】 1 8．给出下列命题：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题为________．解析③中，连线不符合母线的定义，母线是生成圆柱的矩形的一边．【答案】①②④9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.【答案】③10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解析 图①几何体的三视图：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，求由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积．解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.12．如图1，在四棱锥P ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图2所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求侧棱P A 的长． 解析(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝63(cm)．空间几何体的表面积和体积1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．162．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A.12B.32 C ．1 D.134．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于 ( )A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ( )A.3π2B.5π2C.7π2D.9π26．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 ( )A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π7.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．8．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为____________________．9．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为________．10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．11.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.12．如图所示，正三角形ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥．(1)求折成三棱锥后∠MNP等于多少度？(2)擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？空间几何体的表面积和体积1．棱长为2的正四面体的表面积是 ( ) A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 C 每个面的面积为12×2×2×32＝ 3. ∴正四面体的表面积为4 3.2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( ) A.72π B ．56π C ．14π D ．64π解析 C 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ ab ＝2 bc ＝3， ac ＝6解得{ a ＝2 b ＝1 c ＝3，令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32，解得R 2＝72，∴S球＝4πR 2＝14π. 3．(2013·西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A. 12B. 32 C ．1 D. 13解析 A 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，V ＝13×12×(2＋1)×1×1＝12.4．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于 ( )A ． 15πB ． 18πC ． 21πD ． 24π解析 C 由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π(3)2＋2π×3×23＋π×3×23＝21π. 5．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. 3π2 B.5π2 C.7π2 D.9π2解析A V＝V大圆锥－V小圆锥＝13πr2(1＋1.5－1)＝3π2，故选A.6．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π解析C由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝43π×325⎪⎭⎫⎝⎛＝125π6.7.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为3 2，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 【答案】3128．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为____________________．解析该几何体的直观图如图．∴S表＝2(2×8＋8×10＋2×10)＋2(8×6＋8×2)＝360. 【答案】360 9．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为________．解析 由三视图可知几何体为三棱锥，底面边长为2，由正视图可知其一侧面与底面垂直，且此侧面也是边长为2的等边三角形，故三棱锥的高为3，因此其体积V ＝13×34×22×3＝1. 【答案】 110.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直棱柱B 1C 1Q A 1DP 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．11．(2013·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋44＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯246215821＝40＋242.12．如图所示，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥．(1)求折成三棱锥后∠MNP 等于多少度？(2)擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解析 (1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，△MNP 为正三角形，故∠MNP ＝60°.(2)擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台，其侧面积为：S 侧＝S E -ADF 侧－S E -MNP 侧＝3×34×22－3×34×12＝934.。
三视图与体积、表面积(例、练及答案)
专题十三：三视图与体积、表面积（例、练及答案）1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．C ．D ．8练习一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．44．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）1111ABCD A B C D E 1AA 1B E D 、、2367276A ．B ．C ．D ．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）)21+π21⎫+π⎪⎪⎝⎭122⎫+π⎪⎪⎝⎭12⎫π⎪⎪⎝⎭34π32π17π172π32π16π36π72πA ．B ．C ．D ．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）6+8+6+8+a b ()520,02a b a b +=>>174π214π4π5πP ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =12131415A ．15B ．16C ．D ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A ．B ．C ．12D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．B ．7C ．D ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．5035339438320322323314．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．参考答案1．【答案】【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为，∴表面积为．2．【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。
根据几何体三视图求表面积、体积专题
根据展开图求体积面积专练
例1．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．小正方形的棱长为2cm，求表面积
例2．2．如图所示是一个由若干个相同的小立方块所搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数，请画出它从正面和从左面看到的平面图形．小正方形的棱长为1cm，求表面积
例3．例2．由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．小正方形的棱长为3cm，求表面积
2．小康利用7个大小相同的小正方体搭成了一个如图所示的几何体．（1）请在图中画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状图；（2）若每个小正方体的棱长均为3cm，求这个几何体的表面积．
例3．一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），a，b，c分别是长方体的长宽高．（1）求长方体的高c；（2）求长方体的容积．
4．诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．
5．某种产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图．（1）求长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
6．如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．（1）该几何体名称是；（2）根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
7．从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示．（计算结果用π表示）（1）求这个圆柱的表面积；（2）求这个圆柱的体积．。
三视图及空间几何体的表面积、体积会考真题I(含答案)
12.【2016.7】若一几何体的三视图如右图所示，则这个几何体可以是（ ）
圆柱
空心圆柱
圆
圆椎
13.【2017.1】.一个空间几何体的正视图与侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图是一个半径为3的圆，那么的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ）
18.【2020.1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A B. C. D.
3.【2012.1】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.
4.【2012.7】如图所示是一个组合体的三视图，
图中的四边形均为边长为2的正方形，
圆的半径为1，那么这个组合体的体积为( )
A. B.
C. D.
考点2：三视图及其与空间几何体的表面积、体积
1.【2011.1】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都
是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那
么这个几何体的体积为( )
A.4 B. C. D.
2.【2011.7】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为 的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为( )
5.【2013.1】.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A.三棱柱
B.三棱锥
C.四棱柱
D.四棱锥
6.【2013.7】有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（ ）
初中三视图试题及答案
初中三视图试题及答案
1. 题目：观察下列物体的正视图和侧视图，画出其俯视图。
答案：根据正视图和侧视图，我们可以确定物体的俯视图是一个圆形。
2. 题目：给出一个物体的三视图，判断该物体的形状。
答案：该物体是一个长方体。
3. 题目：如果一个物体的正视图和俯视图都是矩形，而侧视图是一个
三角形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个三角柱。
4. 题目：观察下列物体的三视图，计算其体积。
答案：物体的体积为长×宽×高，具体数值根据三视图中给出的尺
寸计算得出。
5. 题目：根据下列物体的三视图，判断其表面积。
答案：物体的表面积为各面面积之和，具体数值根据三视图中给出
的尺寸计算得出。
6. 题目：如果一个物体的正视图是一个正方形，侧视图是一个矩形，
俯视图是一个圆形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个圆柱。
7. 题目：观察下列物体的三视图，判断其是否为对称图形。
答案：该物体是对称图形，因为它的三视图在对称轴两侧是相同的。
8. 题目：给出一个物体的三视图，计算其棱长总和。
答案：物体的棱长总和为各棱长度之和，具体数值根据三视图中给出的尺寸计算得出。
9. 题目：如果一个物体的三视图都是相同的圆形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个球体。
10. 题目：观察下列物体的三视图，判断其是否为多面体。
答案：该物体是一个多面体，因为它的三视图显示了多个平面的交线。
高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积试题(含答案)
则该几何体的体积 = 1 + 1 = + ，故答案为： + ．
A. 1 B. 16 C.
D.
. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. t
B. 6
C.
D. 6
第题
第题
第题
3. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
A. +6 B. 6 +6 C. +1 D.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
4. 如图正方形 OABC 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的面积为 A.
B. 1 C.
D. 1 +
5. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
第题
第6题
第题
A. t
B.
C.
D.
6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若
知 = ，所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为 ， 所以原图形的面积为：1 t = ．故选 A．
5.【答案】C
【分析】本题考查由三视图求表面积，空间立体几何三视图，属于基础题．
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 ， 在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理求出，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底
利用三视图求几何体的表面积和体积
6
5
由三视图求几何体的体积和表面积的思路
1、由三视图确定几何体的形状 （1）由俯视图确定几何体的底面 （2）根据正视图或侧视图确定几何体侧棱与侧面特征，调整 实线和虚线所对应的棱、面的位置 （3）确定几何体直观图形状 2、由题目中的数据进行代入公式求解
布置作业：
《优化设计》p22-基础巩固3,4,6,7 P24例2，变式训练2， P25-基础巩固7,9
积等于
.
解析:该几何体如图所示，挖去的圆锥的母线长为
62 22 2 10
则圆锥的侧面积等于 4 10 圆柱的侧面积为2π×2×6=24π,圆柱的一个底面面 积为 22 4 ,所以组合体的表面积
为 4 10 24 4 4 10 28 .
答案: 4 10 28
题型二：三视图有关的体积计算
1 3Байду номын сангаас
(S
SS' S')h
题型一：三视图有关面积计算
例1.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )
A.72 B.66 C.60 D.30
解析:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为
直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,
如图所示,所以表面积为
2
温故知新
1、三视图
画三视图的三大原则
正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽
温故知新
面积
圆柱的表面积：S圆柱 2r(r l) 圆锥的表面积：S圆锥 r(r l) 圆台的表面积：S圆台 (r 2 r'2 rl r'l)
体积
柱体的体积：V柱 Sh
锥体的体积：V锥
1 Sh 3
台体的体积：V台
2020-2021学年北师版九年级数学上册专训2根据三视图计算表面积和体积
2020-2021学年
专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积名师点金：在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸利用相应的公式进行计算．
利用三视图求几何体的表面积
1．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是()
(第1题)
A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1
C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S2
2．(1)如图①是一个组合体，如图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
(第2题)
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)
利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如
图)的尺寸计算其容积.⎝
⎛⎭⎫球的体积公式：V ＝43πr 3 (第3题)
4．一透明的敞口正方体容器ABCDA′B′C′D′内装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α)．如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三种视图及尺寸如图②.解决问题：
(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ；
(2)求液体的体积．
(第4题)。
专题01 根据三视图求几何体的表面积与体积-2021年高考理数母题题源系列理
全揭秘《高考母题题源》系列母题一 根据三视图求几何体的表面积与体积【母题原题1】【2017新课标卷II,理4】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积213436V =π⨯⨯=π,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π,故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【考点】 三视图、组合体的体积【名师点睛】求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑．【母题原题2】【2016新课标卷II,理6】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π【答案】C 【解析】由题意可知,圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=,圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=,圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=,故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=,故选C.【考点】三视图,空间几何体的表面积【名师点睛】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意各几何体重叠部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【母题原题3】【2015新课标卷II,理6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51【答案】D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,,设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51,故选D ． 【考点】三视图．CADD1C1B1A1【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．【命题意图】高考对本部分内容的考查以读图、识图能力以及空间想象能力为主,重点考查根据几何体的三视图确定其体积或表面积,在考查三视图的同时,又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．【命题规律】从近几年的高考试题来看,三视图是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度中、低档．高考对三视图的考查主要考查由三视图得出几何体的直观图,求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；试题难度逐年有所增加,近几年组合体、几何体的切割及非正常状态下放置的棱锥的三视图成为高考考查的热点.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：观察三视图,确定几何体形状观察三视图,确定该几何体是一个组合体,下半部分是一个圆柱,上半部分是圆柱的一半；第二步：由三视图确定相关数据根据三视图,可知圆柱的底面半径为3,下半高为4,上半部分高为6；第三步：利用公式求表面积体积借助圆柱的体积计算公式,分别求出两部分的体积,再相加.【方法总结】1.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．由三视图还原几何体时,要遵循以下三步：(1)看视图,明关系；(2)分部分,想整体；(3)综合起来,定整体．4.画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同．5.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等．6.由三视图求几何体体积的步骤(1)应先根据三视图得到几何体的直观图；(2) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7.由三视图求几何体表面积应注意的问题以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．注意多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8．从能力上来看,三视图着重考查空间想象能力,即空间形体的观察分析和抽象的能力,要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形,想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.9.易错警示(1)不能正确把握投影方向、角度致误；不能正确确定点、线的投影位置；不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．是解决三视图问题常出现的错误(2) 求组合体的表面积时,要忽视重叠部分不再是组合体表面积的一部分．(3)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆．(4)当三视图都在全等的正方形内时,常通过构造正方体,把几何体放到正方体内求解.1.【2017黑龙江大庆三模】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥,如下图所示,根据上图计算可得三棱锥的表面积为.故选择D.2．【2017辽宁省实验中学考前模拟】某几何体的三视图如图所示,其体积为A. 28πB. 37πC. 30πD. 148π【答案】B【解析】由三视图可知,原物体为一个圆柱中间挖去了一个矮一点的圆柱,体积22443337V πππ=⋅⋅-⋅⋅=.选B.3．【2017吉林吉大附中6月模考】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r ＝A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,∴其表面积为： 22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ 又∵该几何体的表面积为16+20π,∴22541620r r ππ+=+ ,解得r=2,本题选择B 选项.4．【2017黑龙江虎林最后冲刺】如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A. 28π+B. 88π+C. 48π+D. 68π+【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分,下半部分是长、宽、高分别为4,2,1的长方体,上半部分为底面半径为1,高为2的两个半圆柱,故其体积为24211282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+,故选A.5．【2017辽宁鞍山最后一次模】如图是某四棱锥的三试图,且该四棱锥的顶点都在同一球面上,则该四棱锥的外接球的表面积为A. 32πB. 48πC. 50πD. 64π【答案】C【解析】如图四棱锥11P BDD B -就是题中的几何体,它是正方体中的一部分,正方体棱长为4,记正方体棱长为a ,四棱锥外接球半径为r ,则222322r a r a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得42r a =,所以224445042S r πππ⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,故选C ．6．【2017辽宁沈阳三模】已知一个三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为A. 9B. 21C. 25D. 34【答案】B【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个三棱锥,由正视图和俯视图可得底面底边长为2, 由左视图可得底面底边上的高为2,故底面积12222S =⨯⨯=由主视图和左视图可得棱锥的高2h = 故棱锥的体积11422333V Sh ==⨯⨯=. 7．【2017内蒙古鄂尔多斯三拟】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. 1B. 13C. 12D. 16 【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥底面为直角三角形,其面积111122S =⨯⨯=,高为1h =,则三棱锥的体积111113326V Sh ==⨯⨯=．故选D ． 8．【2017甘肃省肃南5月联考】若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示,则此几何体的侧面积等于A. 212cm πB. 215cm πC. 224cm πD. 230cm π【答案】C【解析】由三视图知：几何体是圆锥,其中圆锥的母线长为5,底面直径为6,∴圆锥的侧面积3515S ππ=⨯⨯=（cm 2）,故选C.9．【2017黑龙江哈尔滨三模】北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层,上底由a b ⨯个物体组成,以下各层的长、宽依次各增加一个物体,最下层（即下底）由c d ⨯个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为()()()2266n n s b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示,则该垛积中所有小球的个数为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知： ()()()3,1,7,5,5,228566n n a b c d n S b d a b d c c a ⎡⎤=====∴=++++-=⎣⎦,故选A. 10．【2017青海西宁二模】某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A. 8B.83 C. 4 D. 43 【答案】D【解析】由三视图可知,几何体是一个底面是正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.底面对角线的长为2,底面面积是21222S =⨯=,四棱锥高为h=2,所以它的体积是142233⨯⨯=,故选D.。
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专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积
名师点金：在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸利用相应的公式进行计算．
利用三视图求几何体的表面积
1．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是()
A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S2
2．(1)如图①是一个组合体，如图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)
利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三
视图(如图)的尺寸计算其容积.⎝
⎛⎭⎫球的体积公式：V ＝43πr 3
4．一透明的敞口正方体容器ABCD -A ′B ′C ′D ′内装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α (∠CBE ＝α)．如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三种视图及尺寸如图②.解决问题：
(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ；
(2)求液体的体积．
参考答案
1．D
2．解：(1)主；俯 (2)表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm 2)．
3．解：圆锥的高为132－52＝12(cm )，
则不倒翁的容积为13π×52×12＋12×43π×53＝100π＋250π3＝550π3
(cm 3)． 4．解：(1)CQ ∥BE ；3
(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)．。