08硕士生应用泛函分析试题

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应用泛函分析习题解答

|| xn − xm ||≥||| xn || − || xm ||| 可知道， {|| xn ||} 是一个 Cauchy 数列，令 lim || xn ||= λ 。若
λ = 0 ，取 x = θ ，就有 lim x n = x 。当 λ ≠ 0 ，任取 x ' ∈ X ， x ' ≠ θ ，令 x =
第一部分预备知识
1. 证明有理数集 Q 是可数的。 2. 设 A = aij 是一个实的 n × n 矩阵, 证明
( )
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ min ⎨max aij ⎬ ≥ max ⎨min aij ⎬ , 1≤ j ≤ n ⎩ 1≤i ≤ n ⎭ 1≤i ≤ n ⎩ 1≤ j ≤ n ⎭
何时上面的等号成立? 3. 求 f ( x ) = ⎨ 4. 求 lim 5. 试从
k →∞
, n 。这样就当 k > N 时，有 d ∞ ( xk , x0 ) < ε ，即有
lim d ∞ ( xk , x0 ) = 0 。所以 ( X , d ∞ ) 是完备的。
3.证明：对任意的 α1 = ( x1 , y1 ) 与 α 2 = ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，令
这样 d ( x, y ) ≥| d ( x, z ) − d ( z , y ) | 。 2.证明：任取 X 的一个 Cauchy 序列 xk = (ξ1 , ξ 2 ,
(k ) (k )
k , l →∞
{
, ξ n( k ) )}
∞ k =1
，由
(0)
lim d ∞ ( xk − xl ) = 0 及知道 {ξi( k ) }
m∈M
个凸集。
10.解：令 f ( x) =

泛函分析(含答案)

山东师范大学试题（时间：120分钟共100分）课程编号： 4081331 课程名称：数学分析方法适用年级： 2004学制: 四适用专业：数学与应用数学试题类别：补考考生注意事项1、全题三个大题，22个小题。

判断正确（√）与错误（×）（本题10个小题，每题3分，共30分）：1、（）距离空间X 中的序列{}n x 收敛于X x ∈*的充要条件是{}n x 的任意子列收敛于*x ；t P311 22、（）任一离散空间必是完备的；t 311 93、（）全有界集不一定可分；f 312 214、（）相对紧集的闭包是紧集； t 313 345、（）完备距离空间的闭子空间可能是完备的；f 313 296、（)X 是完备距离空间，闭X F F T ⊂→:，如果存在[)1,0∈α，使()()F y x y x Ty Tx ∈∀<,,,,ρρ，则 F x ∈∃*!使得**x Tx =；f 280 Th17、（）有界数列空间m 不是可分的；t 292 7.6.5 8、（）函相对紧集未必是有界的；f 294 系19、（）紧有界线性算子T 连续⇔T 有界； t318 Th210、（）在空间[)[]3,21,0 =X ，()y x y x -=,ρ中，[)1,0=F 是相对紧集。

f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 11不收敛（本题共五个小题，每小题14分，共70分）：1、证明：连续函数空间[]b a C ,在范数()x f f bx a ≤≤=max 下构成一Banach 空间。

证1 显然[]b a C ,为一线性空间；2 ()()()00max 0;0max ≡⇔=⇔=≥=≤≤≤≤x f x f f x f f bx a bx a ；()()f x f x f f bx a bx a αααα===≤≤≤≤max max()()()()g f x g x f x g x f g f bx a bx a bx a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤max max max因而[]b a C ,为一赋范线性空间3 下证[]b a C ,的完备性设{}n f 是[]b a C ,的一基本列，及0>∀ε，0>∃N ，使得N n m >,时，有()ερ<-=n m n m f f f f ,。

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学第一章第一节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。

以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。

答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。

答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。

答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。

如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。

答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。

范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。

它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。

- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。

(完整word版)泛函分析试题B

(完整word 版)泛函分析试题B试卷第 1 页共 1 页泛函分析期末考试试卷（B ）卷一、填空题（每小题3分，共15分）1.设X =(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果____________________________, 则称{}n x 是X 中的收敛点列。

2. 设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间的充要条件为_____________________________。

3. T 为赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，如果_________________, 则称T 是同构映射。

4. 设X 是实Hilbert 空间，对X 中任何两个向量,x y X ∈满足的极化恒等式公式为：___________________________________________。

5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 强收敛于f 。

二、计算题（共20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。

三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。

2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。

3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。

4、（12分）证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。

5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。

《应用泛函分析》习题解答

《应⽤泛函分析》习题解答以下所有题⽬来⾃科学出版社许天周的《应⽤泛函分析》。

1. 设1≤p≤q≤+∞，证明l p⊂l q。

证明：∀x=(x1,x2,…)∈l p，∀ε>0，恒存在⾃然数N，使得∑+∞k=N||x k||p<εp，那么可得||x k||p<εp⇒||x k||<ε，p≥1，进⽽∑+∞k=N||x k||q≤εq−p∑+∞k=N||x k||p<+∞所以x∈l q2. 设[a,b]是有界闭区间，证明L2([a,b])⊂L1([a,b])。

证明：∀x∈L2([a,b])，有[∫b a|f(t)|2dt]12<+∞，那么∫b a|f|dt≤[∫b a|f(t)|2dt]12[∫ba1dt]12<+∞因此，x∈L1([a,b])3. 设(X,d)是⼀个距离空间，中⼼在x0，半径为r的开球定义为B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}集合A⊂X是开集是指对于任意的x0∈A，恒存在以x0为中⼼的开球包含在A中。

（1）证明开球是开集；（2）开集全体构成的集合是X上的⼀个拓扑。

证明：（1）对于任意开球B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}，存在B(x0,r/2)⊂B(x0,r)，所以开球是开集。

（2）显然，开集全体构成的集合满⾜拓扑的定义。

4. 证明d(x,y)=|arctanx−arctany|是R上的距离。

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学第一章第一节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

《泛函分析》期末试题

6 （20 分）设1 p , xn (xni ) l p (n 1), 并且范数有界，则当 i 1, xni xi (n ) 时, 存在{ xn }的凸组合的序列{ yn }依范数收敛于 x (xi ) .
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分）设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分）对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。

5 （15 分）设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《泛函分析》期末试题
1（20 分）证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当

《应用泛函分析》习题解答

1泛函分析与应用-国防科技大学第一章第一节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。

证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。

取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。

由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。

9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。

若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。

此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。

通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。

(完整word版)泛函分析试题A及答案

莆期末考试一试卷（A）卷2010—— 2011 学年第1学期课程名称：泛函剖析合用年级 / 专业07数学试卷类型：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要所有抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题 3 分，共 15 分）%是胸怀空间， T 是 X 到 Y 中的映照，x0X ,1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d)假如 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。

2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，假如 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界限性算子。

3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。

4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完整规范正交系。

5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，假如则,称点列 f n弱*收敛于f。

二、计算题（ 20 分）表达 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。

三、证明题（共65 分）1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令d ( x, y)1y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为胸怀空间。

| x(t)n2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|构成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i |i i1试卷第 1 页共 2 页构成的赋范线性空间Y 共轭。

3、（ 15 分）设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱 * 收敛子列4、（ 12 分）设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。

应用泛函分析试题闭卷2016级

广西大学土木建筑工程学院博士研究生课程作业
课程应用泛函分析
任课教师常岩军
专业年级2016级博士
研究生
学号
成绩
2017年月
2016-2017学年第一学期应用泛函分析试题
一、求泛函[]()⎰+'=4028πdx y y y J 满足边界条件(),,24y 00y =⎪⎭
⎫ ⎝⎛π=的极值曲线。

（15分）
二、求连接平面上两条曲线3x 2y +=与x y ln =的最短曲线，给出最
短距离及最短曲线与两条曲线的交点坐标。

（15分）
三、设一梁的长度为L，一端固定一端简支，受均布荷载q作用，
试采用最小势能原理确定该梁的挠曲线。

（15分）
四、设有长度为L 简支梁，受均布荷载q 作用，请用里茨法给出该简
支梁的挠度曲线函数的第一和第二近似解，求解最大挠度值，并与材料力学解进行对比。

（15分）
（提示：设位移函数为()()∑=-=n
1i i i x L x a x v ）
阶近似解。

（17分）（提示：设()()∑=-=n
1i i i x 1x a x y ）
阶近似解。

（18分）（提示：设()()∑=-=n 1i i i x 1x a x y ）。

泛函分析试题及答案

泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。

答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。

一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。

2. 什么是紧算子？请解释其性质。

答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。

紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。

三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。

答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。

因此，A是单射的。

2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。

证明f是连续的。

答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。

因此，f在H上是连续的。

四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。

答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。

- P是自伴的，即P^* = P。

泛函分析试题二

泛函分析试题二
一、叙述题(20分)
叙述内积空间的定义并验证: 在实n 维欧氏空间n R 中，对),,,(21n x x x x =∀, n
n R y y y y ∈=),,,(21 , 定义i n
i i y x y x ∑==1),(, 则n R 在),(⋅⋅下是内积空间. 二、证明题(每小题15分，共60分)
1．设X 是距离空间, ρ是其上的距离. 令)
,(1),(~y x y x ρρρ
+=，证明ρ~也是X 上的距离.
2．证明: 准紧集为紧集的充要条件是它为闭的. 3．设X ,1X 是赋范线性空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 在某一点X
x ∈0连续的充要条件是T 在X 上连续的.
4．设H 是内积空间，H y x ∈,，则y x ⊥的充要条件是任何数α，有||||||||x y x ≥+α.
三、问答题(20分)
设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子, 如果T 的零空间}|{)(θ==Tx x T N 是闭集, 问T 是否有界? 当T 是有界算子时, )(T N 是闭集吗?。

泛函分析(含答案)

泛函分析（含答案）山东师范大学试题(时间:120分钟共100分)课程编号: 4081331 课程名称:数学分析方法适用年级: 2004 学制: 四适用专业:数学与应用数学试题类别: 补考二、证明题题号一二三阅卷人复核人得得分分阅卷考生注意事项人1、全题三个大题，22个小题。

(本题共五个小题，每小题14分，共70分):一、判断题 1、证明:连续函数空间在范数下构成一Banach空间。

，，C,,a,bf,maxfxa,x,b得分阅卷人 ,1证显然为一线性空间; C,,a,b判断正确(?)与错误(×)(本题10个小题，每题3分，共30分):,**2 ; ，，，，，，f,maxfx,0;f,0,maxfx,0,fx,0X,,,,1、 ( )距离空间中的序列收敛于的充要条件是的任意子列收敛于;t xxxx,Xnna,x,ba,x,b P311 2 ，，，，,f,max,fx,,maxfx,,fa,x,ba,x,b2、 ( )任一离散空间必是完备的;t 311 93、 ( )全有界集不一定可分;f 312 21 ，，，，，，，，f，g,maxfx，gx,maxfx，maxgx,f，ga,x,ba,x,ba,x,b4、 ( )相对紧集的闭包是紧集; t 313 345、 ( )完备距离空间的闭子空间可能是完备的;f 313 29 因而为一赋范线性空间 C,,a,bXT:F,F,X闭6、 ()是完备距离空间，，如果存在，使，,,,0,1, 下证的完备性 C,,a,b3***，则使得;f 280 Th1 ，，，，,Tx,Ty,,x,y,,x,y,F，!x,FTx,xm,n,N 设,,是的一基本列，及，，使得时，有,,,0，N,0fC,,a,bn7、 ( )有界数列空间不是可分的;t 292 7.6.5 m8、 ( )函相对紧集未必是有界的;f 294 系1 ，，,f,f,f,f,,。

依范数定义有，对有 ,x,,,a,bmnmnTT9、 ( )紧有界线性算子连续有界; t 318 Th2 , ，，，，，，，，，fx,fx,maxfx,fx,f,f，，,x,y,x,y10、 ( )在空间，中，是相对紧集。

泛函分析与空间映射

泛函分析与空间映射当然可以！以下是根据“泛函分析与空间映射”主题的20道试题，包括选择题和填空题，并且每道题目都有详细的序号。

1. 选择题：泛函分析的基本概念包括以下哪些？A. 线性空间与范数空间B. 偏微分方程C. 群论D. 数学分析2.填空题：泛函分析的研究对象是__________空间及其上的_______ ___。

3. 选择题：泛函分析中的范数是指？A. 一个映射B. 一个线性算子C. 一个在线性空间上定义的非负实数函数D. 一个微分方程4.填空题：在泛函分析中，连续性是指对于__________空间上的任意__________，若输入数据在某种拓扑条件下足够接近，则输出数据也足够接近。

5. 选择题：什么是巴拿赫空间？A. 无限维度的完备赋范空间B. 有限维度的完备赋范空间C. 一种特殊的线性算子D. 一种拓扑空间6.填空题：泛函分析中的双线性型是指从__________到__________的映射，且满足线性与对称性。

7. 选择题：关于空间映射的说法，哪个是正确的？A. 线性映射必然是一对一映射B. 含有零向量的空间映射一定是满射C. 单射不一定是满射D. 任何映射都可以用矩阵表示8.填空题：空间映射中的核是指所有__________映射到__________的向量构成的集合。

9. 选择题：在空间映射中，什么是像？A. 所有映射的集合B. 所有正交向量的集合C. 所有被映射到的向量的集合D. 所有原始空间的集合10.填空题：在线性映射中，一种特殊的映射形式是__________映射，其满足对任意__________和__________，均有f(u+v) = f(u) + f(v)。

11. 选择题：对于空间映射，哪个描述是正确的？A. 非线性映射一定是单射B. 单射一定是满射C. 双射一定是线性映射D. 同态映射保持运算结构12.填空题：欧几里得空间中的内积是一种__________双线性型。

泛函分析考研真题-杨教授

天水师范学院 2010—2011学年第2学期数统学院数学与应用数学专业 2008级《泛函分析》考试试题一、叙述距离空间的定义并判断在所有实数组成的集合上，下列),(y x ρ是否为距离：（1）2)(),(y x y x -=ρ；（2）y x y x -=),(ρ . (10分)二、叙述Arzela-Ascoli 定理（即连续函数空间)],,[(∞ρb a C 中集合准紧的充分必要条件），并利用该定理证明：},sin )(:{N n ntt x x A n n ∈==π是)],1,0[(∞ρC 中的准紧集. (20分)三、利用Banach 压缩映射原理解决一下问题：（1）设xx Tx X X T X 12,:),,1[+=→+∞=，证明T 是压缩映射；（2）令R x x x Tx ∈-+=,arctan 2π，判断T 是否为R 上的压缩映射，是否存在不动点；（3）设R R f →:是可微映射，且1)(<≤'θx f ，则方程x x f =)(有唯一解. (15分)四、设线性空间X 按ρ成为距离空间，且ρ满足),(),(),,(),(θρθρρθρx a ax y x y x ==-，其中K a X y x ∈∈,,. 证明：X 按照X x x x ∈=),,(θρ成为线性赋范空间. (15分)五、证明实线性赋范空间X 是实内积空间的充分必要条件是：其中的范数满足平行四边形法则，即X y x ∈∀,，有222222y x yx yx +=-++.并用此定理证明)],,[(∞∙b a C 不是内积空间. (20分)六、证明：（1）设E 、1E 都是线性赋范空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子，证明T 连续的充分必要条件是T 有界.（2）对积分算子，⎰=tads s x t Tx )())((，若把T 看作)],,[(∞∙b a C →)],,[(∞∙b a C的算子时，a b T -=. (20分)专业级班姓名学号密封线内不要答题。

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