08硕士生应用泛函分析试题

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{φnm ( x, y ) | n = 1, 2," , N , m = 1, 2," , M } ，将 F ( x, y ) 进行展开
F ( x, y ) = ∑∑ cnmφnm ( x, y ) + e( x, y )
n =1 m =1 N M
其 中 e( x, y ) 为 图 象 残 余 量 。 图 象 F ( x, y ) 就 可 以 离 散 表 示 为
2008 年硕士研究生应用泛函分析试题
一、（1）设 X 为一个 Hilbert 空间， φ1 , φ2 ," , φn 为 X 中 n 个线性无关的向量，求一组线
{φ1 , φ2 ,", φn }} 使得 (φi ,ψ j ) = ⎨ 性无关的向量 ψ 1 ,ψ 2 ," ,ψ n ∈ M = span{
i =1 i =1
f1 , f 2 , f 3 生 成 ， 这 里
f1 (t ) = e − t , f 2 (t ) = e −2 t , f 3 (t ) = e −3t ，求矩形脉冲
⎧ 1, ⎪ ⎪ x(t ) = ⎨ ⎪0 ⎪ ⎩
1 0<t < , 2 1 t> 2
在 M 中的最佳逼近元(最小均方误差意义下)，并求出它与其在 M 中的最佳逼近元之间 的距离。 三、设 a < t1 < t2 << tn < b 为 n 个定点。 C[ a, b] 赋予范数 || ||∞ .定义 A : C[ a, b] ⎯→ R ,
五、 设有长度为 N 的离散随机信号 x = { x1 , x2 ," , xN } ，试确定空间 C N 的一个规范正交基
{Φ1 , Φ 2 ,", Φ N } 使得 x 在这个基下的展开式
x = α1Φ1 + α 2Φ 2 + " + α N Φ N
满 足 ：
α1 , α 2 , " , α N
彼 此 不 相 关 ， 并 且 对 任 意
ˆk = α1Φ1 + " + α k Φ k 为 x 的最佳均方逼近。 k ∈ {1, 2," , N } ， x
六、 用正交基展开讨论图象的离散化表示。 已知图象 F ( x, y ) ， a1 ≤ x ≤ b1 ， a2 ≤ y ≤ b2 ， 将图象看成二维参数的随机过程，并假定自相关函数已知。现在设计正交函数系
明，对任何一个 x ∈ X , x0 = 逼近元） 。 （2）在合适的函数空间中求出函数 1, t , t ," , t 的双正交基。 二、 设 Hilbert 空 间 L [0, +∞) 的 子 空 间 M 由
2 2 10
n n
⎧1 i = j ,并证 ⎩0 i ≠ j
∑ ( x, φi )ψ i = ∑ ( x,ψ i )φi ,为 x 在 M 中得正交投影（最佳
n
Ax = ( x (t1 ), x (t2 )," , x(tn ))T , ∀x (t ) ∈ C[ a, b] ，( R n 赋予范数 || ||2 )。 证明 A 是一个有
界线性算子，并给出它的零空间 N ( A) 与范数 || A || 。 四、设 x (t ) 是 [ −1,1] 上的一个平方可积的函数，现用
∑at
i =0 i
n
i
来逼近它（ n 为一正整数） 。
（1） 为使
∫
1
−1
| x(t ) − ∑ ai t i |2 dt 取最小值。怎样取 ai ？
i =0 n
n
（2） 为使
∫
1
−1
| x(t ) − ∑ ai t i |2 (1 − t 2 ) −1/ 2 dt 达到最小， ai 又如何来取？
i =0
{cnm |1 ≤ n ≤ N ,1 ≤ m ≤ M } 。分析正交系 {φnm ( x, y ) | n = 1, 2," , N , m = 1, 2," , M } 如
何选，使残余量最小？