空间里的垂直关系PPT课件
高中数学必修二《空间中的垂直关系》课件
(2) 由 (1) 知∠ EDC 为二面角 E－ BD － C 的平面角，又 △SAC∽△DEC ，∴∠ EDC ＝ ∠ASC，在Rt△SAB中，∠A＝90° ，设SA＝AB＝1，则SB＝. 由SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，SB＝BC＝， ∠ SBC ＝ 90° ， 则 SC ＝ 2 ， 在 Rt△SAC 中 ， ∠ A ＝ 90° ， SA ＝ 1 ， SC ＝ 2 ，
足，则∠AOB是α－l－β的平面角．
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互 相垂直的平面． 7．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直． 8．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们的交线的直线垂直于另一个平面．
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O⊥平面MAC.
证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1，
由AB1＝CB1，又O为AC的中点， ∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1， 可证，∴B1O⊥OM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.
1.平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决． 2．利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂 线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是 立体几何中最重要的辅助线之一．
解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等． 【例3】如右图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直
空间中的垂直关系PPT教学课件
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
空间向量与垂直关系-ppt课件
(2)A→1E＝(1,1，－2) A→C1·A→1E＝(2,2,2)·(1,1，－2) ＝2×1＋2×1＋2×(－2) ＝0 ∴A→C1⊥A→1E，∴AC1⊥A1E.
如 下 图 ， 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， M 、 N 分 别 为 AB 、 B1C 的 中 点．试用向量法判别MN与平面A1BD的位置 关系．
证法二：设AB中点为O，作OO1∥AA1. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系． 由已知得A －12，0，0 ，B 12，0，0 ， C0， 23，0，N0， 23，14， B112，0，1，
∵M为BC中点， ∴M14， 43，0. ∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1， ∴AB1⊥MN.
证明： 以A为原点，AB，AD，AA1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系A－xyz.设正方体的棱长为2，则 A(0,0,0)，
B(2,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(1，1,0)，C1(2,2,2)． (1)A→C1＝(2,2,2)，B→D＝(－2,2,0) A→C1·B→D＝(2,2,2)·(－2,2,0) ＝2×(－2)＋2×2＋2×0＝0 ∴A→C1⊥B→D，∴AC1⊥BD.
[解题过程] 证法一：如图，建立空间直角坐标 系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)， ∵D为BC的中点， ∴D点坐标为(1,1,0)， ∴B→C＝(－2,2,0)，A→D＝(1,1,0)， A→A1＝(0,0， 3)，
∵B→C·A→D＝－2＋2＋0＝0，B→C·A→A1＝0＋0＋0＝0， ∴B→C⊥A→D，B→C⊥A→A1，∴BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1， 而BC⊂平面BCC1B1. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
高中数学人教A版必修二 2章专题研究 空间中的垂直关系 课件(30张)
(4)利用面面垂直的性质定理证明，即若α⊥β，α∩β＝l， a⊂β，a⊥l，则 a⊥α；
(5)利用面面平行的重要结论证明，即若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β；
(6)利用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平 面，那么两平面的交线垂直于第三个平面.
例 1 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 BB1 的中 点，O 是底面正方形 ABCD 的中心，求证：OE⊥平面 ACD1.
例 2 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC ＝4，PB＝ 34.
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)过 C 作 CF⊥PB 交 PB 于 F，在线段 AB 上找一点 E，使 得 PB⊥平面 CEF.
【思路分析】 证明 PA⊥平面 ABC，即证 PA⊥AC 且 PA⊥AB，可由勾股定理的逆定理通过计算证明．若 PB⊥平面 CEF，则有 PB⊥CE，进而有 CE⊥AB，转化为共面垂直问题， 在三角形 ABC 内通过计算即可．
【解析】 (1)由已知得 PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋ AB2＝34，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，又 AB∩AC＝A， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)∵CF⊥PB，只要 PB⊥CE，则有 PB⊥平面 . ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥CE，又 PA∩PB＝P， ∴CE⊥平面 PAB，∴CE⊥AB. 设 BE＝x，∵△ACB 是直角三角形， ∴BC2＝BE·AB，即 9＝5x. ∴x＝95，故 E 点在 AB 上且距 B 点95.
∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD. 又 EF⊂平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ABCD.
例 6 某几何体的三视图如图所示，P 是正方形 ABCD 对角 线的交点，G 是 PB 的中点．
空间中的垂直关系学习课件PPT
a
③符号语言：a α ，b l⊥b， l⊥α.
α，a∩b=O，l⊥a，
实验：过△ABC 的顶后的纸片竖起
放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.
A
B
D
C
推论1 ：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面．
已知： a ， a /． /b 求证： b ．
证明：设m是α内的任意一条直线．
a a m m b m b a / /b m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。 证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM
α,
A
l P M
所以l⊥AM，
又已知AP⊥l，于是在平面β内， 过点A有两条直线垂直于l，
这是不可能的， 所以AP一定在α内。
l P
A
M
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任 何一条直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内 的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平 面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
A B
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
第07讲、空间中的垂直关系(讲义)
第07讲、空间中的垂直关系（讲义）在这一讲中，我们讨论空间中的垂直关系. 主线依旧是从线线关系到线面、面面关系，并且将后者转化为前者来解决.一、线线垂直我们还是从平面几何谈起. 下面列出了平面几何中与垂线概念相关的一些重要信息： ① 定义：交角为直角（即平角的一半）的两条直线互相垂直；② 存在唯一性定理：过（直线上或者直线外）一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； 如何将两直线的垂直关系推广到空间呢？一个预备性的定理，角的平移不变性，保证了这一推广的有效性. 事实上，角的平移不变性可以使我们谈论更为一般的空间中直线位置关系，即两条异面直线的夹角问题.定义：如果两条直线相交于一点，或者经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直先来看一种基于平面图形的直观构造，如下图，直线l 是线段AB 的垂直平分线，并且它们在同一平面内；如何由此产生一个与线段AB 垂直的平面呢？一种自然的想法是令直线l 绕垂足旋转一周，从而产生出一个平面. 就直觉而言，直线l 转过的每个位置都是线段AB 的垂直平分线，反过来说，如果有一条直线稍稍偏离了垂直平分线的位置，那它也就不会被包含于这个平面之中.也许你会奇怪为什么要令AB 是线段，其实这只是为了便于讨论了引入的一种简化处理，我们知道直线上任意一点都是其对称点，相应地也可以在该点两侧截取等长线段，因此前述图景中并未包含任何可能丧失一般性的限制. 相反，它提示我们可以从直线上对称地截取等长线段，从而构造出有限图形而更便于深入讨论.定义：如果一条直线（AB ）与一个平面α相交于点O ，并且与这个平面内所有过交点O 的直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足. 垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段. 垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.从这个定义出发，我们很自然地会追问一些问题. 例如，平面α内的直线并不都是经过垂足O 的，那些不过O 点的直线也与垂线垂直吗？线面垂直性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直.已知：如图①，αα⊂⊥m l ,；证明：m l ⊥.证：若直线m 经过垂足，则根据线面垂直定义有m l ⊥；若m 不过垂足，则可过垂足作m 的平行线a ，线面垂直定义保证a l ⊥，而根据线线垂直定义，此时仍有m l ⊥. 综合两种情况，原命题得证.接下来我们看看判定问题，线面垂直的定义其实不具有可用性，因为“与所有过交点的直线都垂直”是难以实现的，因此，我们要找到一种通过有限次操作就能确认的方法. 很显① 画图提示：画线面垂直时，通常把直线化成和表示平面的平行四边形的一边垂直.然，只与一条过交点的直线垂直是不能保证线面垂直的（你能举出反例吗？），而两条相交直线可以唯一确定一个平面，因此我们将希望寄托于此.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直.分析：我们的目标是由“与平面内的两条相交直线都垂直”推出“与平面内所有过交点的直线都垂直”，从而符合线面垂直定义. 为了进一步的讨论我们做两点处理，同时要注意不失一般性（请你自己确认一下理由）. 第一个处理是将平面内直线n m ,平移到使其交点与线面交点重合，第二个处理是在直线与平面的交点两侧截取等长的线段.已知：如上中图，线段F AB =α 且FB AF =，过F 点的直线n m ,均与AB 垂直，l 是经过F 点的任一直线；证明：l 是线段AB 的垂直平分线.证：任取点l E ∈，过E 作直线分别交n m ,于点D C ,，连接BE AE BD AD BC AC ,,,,,； 为便于识别将ACD ∆和BCD ∆置于同一平面内，由SSS 全等判据得BCD ACD ∆∆≌，从而BCD ACD ∠=∠，接着BCE ACE ∆∆≌，所以BE AE =. 结合BE AE BF AF ==,可知l 是线段AB 的垂直平分线（理由是什么？）.现在我们证明了“过线面交点的任一直线都与该直线垂直”，根据定义可以知道，该直线与平面垂直. 这样，我们就将判定线面垂直的问题转化为判定线线垂直问题.接着我们来看该判据的两条推论.推论1、两条平行直线中，如果有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：α⊥l m l ,∥；求证：α⊥m证：根据线面垂直性质定理，α⊥l 意味着可以在α内找到两条相交直线，例如b a ,，使得b l a l ⊥⊥,. 空间中线线垂直的定义表明垂直关系在平移变换下保持不变，因此由m l ∥我们有b m a m ⊥⊥,，由线面垂直判定定理可知α⊥m . 推论2、如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行.已知：αα⊥⊥m l ,；求证：m l ∥.证：反证. 设l m ,不平行，则由平行公理，过m 与α的交点存在唯一直线l m ∥'，根据推论1可知α⊥'m . 接着，考由相交直线m m ',所决定的平面β，记βα =a ，α m m B '=，则a B =∈βα ，于是，在平面β内，过直线a 上一点B 存在两条垂线m 和m '，与平面内（这个限制条件很重要！）垂线的存在唯一性矛盾. 因此假设不成立，即必有m l ∥.点评：（1）上述两条推论可以看做是哪两条平面几何定理向空间的推广？请你对比一下.（2）在证明推论2时，我们实际上证明了“过平面内一点有且仅有一条垂线”，再补充上“过平面外一点有且仅有一条垂线”，就完成了将“过点作垂线的存在唯一性”的空间定理的证明. 现在我们来具体看看.如图，假设过平面外一点P 可以作两条平面的垂线，垂足分别为点B A ,；则在点B A P ,,所决定的平面内，由直线AB 外一点P 可以向它引两条垂线（线面垂直性质定理！），与平面内垂线存在唯一性矛盾.综合上述两种情况，我们有：空间中，过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条.例1、一根旗杆AB 高8米，它的顶端A 挂着两根长10米的绳子.拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的C B ,两点（和旗杆脚不在同一直线上），并且这两点都与旗杆脚的距离是6米.解答：依题意6,10,8=====BD BC AD AC AB ，由勾股定理逆定理AD AB AC AB ⊥⊥，，根据线面垂直的判定定理可知BCD AB ⊥.点评：（1）这是“由线段度量确定角度关系”的一个空间版的呈现，也许你还记得，古代埃及人用长绳构造直角的方法是在绳子上标记12个等长的段，接着拉出一个边长为()5,4,3的三角形从而得到直角. 这个问题提示我们：在确定足量的线段长度之后，就可以确定角度.（2）如果你听到诸如“求三棱锥BCD A -的体积”这样的问题时，会不会觉得奇怪？事实上你应该记得，在定义直棱柱和锥、台等立体的高时，我们都明确用到了线面垂直概念.例2、已知：如图，l AP l A l ⊥=⊥,,αα求证：α⊂AP .证：反证，设α⊄AP ，则设相交直线AP l ,所决定的平面为β，由βα ∈A ，设βα =AM . 根据线面垂直性质定理，αα⊂⊥AM l ,，得到AM l ⊥，但同时有AP l ⊥，于是在平面β内，过直线l 上点A 有两条垂线AP AM ,，导致矛盾. 因此必有α⊂AP .点评：线面垂直保证了“平面内过交点的每条直线都与该直线垂直”，现在我们证明了“过交点的每条垂线都在平面内”，这是对于前述直观感觉“垂面是由过交点的全体垂线构成的”的精确化表述. 公理化论证模式并不是要推翻直观，而是不断努力将直观精确化，提出其中的谬误，使剩余部分更准确也更有力.例3、正方体中的线面垂直（1）证明：11B BDD AC ⊥；（2）证明：BD A AC 11⊥；分析：证明线面垂直的关键就是在面内找到两条相交垂线，而寻找线线垂直的方法有两种，平面内的相关证明，或者是作为线面垂直的性质.解答：仅给出思路，请自己补充细节；（1）在平面ABCD 内证明BD AC ⊥，由线面垂直关系得到1BB AC ⊥；（2）由（1）中结论同理得11A ACC BD ⊥，从而有BD AC ⊥1；同理可得B A AC 11⊥.三、面面垂直从直观上看，我们之前建立的印象“包含平面的一条垂线的面与该平面垂直”（如下左图）是简明清晰而合乎直觉的，但是如果把它作为面面垂直的定义会有什么不足呢？关键在于可推广性. 在平面几何中，我们是把“垂直”作为相交的特例来处理的，也就是说，一般地，两条直线可以有一个交角，而垂直不过是交角恰为直角的情况. 这样，在定义面面垂直时，我们其实真正希望做的是先定义“面面交角”，然后把垂直作为特例.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直②.至于我们最初的那个简明清晰的直觉，它就成为判定定理；或者更一般地说，判定定理总要具有相对简单、好用的形式.面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.已知：βα⊂⊥l l ,；求证：αβ⊥.证明：如右图，记P a l a == ,βα，在平面α内过P 点作a 的垂线m ，记相交直线m l ,所决定的平面为γ；由线面垂直性质定理可知m l a l ⊥⊥,，结合a m ⊥可知γ⊥a （第三个面与两面交线垂直），注意到m l m l ⊥==,,γαγβ ，符合面面垂直定义，因此有αβ⊥.这次的性质定理指向性比较明确，它与判定定理在逻辑上很密切.② 从这个定义中，你是否看到了一般的“两平面交角”（即“二面角”）的推广定义？或者更具体地，如果我们要定义“两个相交平面的交角为α”，该如何修改上述定义？面面垂直性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一平面.已知：a l l a ⊥⊂=⊥,,,ββααβ ；求证：β⊥m .证：如右图，记P a l = ，在平面α内过P 点作a 的垂线m ，记相交直线m l ,所决定的平面为γ；由线面垂直判定定理可知γ⊥a ，且γαγβ ==m l ,，根据面面垂直的定义可知m l ⊥. 由l m a m a l P ⊥⊥=,, ，根据线面垂直判定定理得β⊥m .上述两个命题的证明过程具有高度的相关性（甚至连图都差不多！），这是因为证明的核心在于构造出定义所要求的“第三个平面与交线垂直且两条交线彼此垂直”，并且将面面关系转化为线面关系问题.例4、如图，平面βα⊥，在两面交线上取线段4=AB ，BD AC ,分别在平面α和β内，它们都垂直于交线AB ，且3=AC ，12=BD ，求CD 的长.解答：由于AB DB AB ⊥=⊥,,βαβα ，根据面面垂直性质定理可知α⊥DB ，而α⊂CB ，由线面垂直性质定理得BC DB ⊥；在ABC Rt ∆中，4,3==AB AC ，因此5=BC ；在BCD Rt ∆中，12,5==BD BC ，因此13=CD .点评：事实上，题中利用线面关系的语言描述了一个三棱锥的构造过程，例如，根据题中信息，你能画出三棱锥ABD C -的三视图吗？例5、已知ABC Rt ∆中，a AC AB ==，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使BDC ∠成直角.（1）证明：BDC ACD BDC ABD ⊥⊥,；（2）︒=∠60BAC ；解答：（1）根据线面垂直判定定理，CD AD BD AD ⊥⊥,，因此有BCD AD ⊥；再根据面面垂直判定定理，经过垂线AD 的平面ACD ABD ,都与底面BCD 垂直；（2）对BCD Rt ∆使用勾股定理得a BC =，从而有正ABC ∆.点评：实际上，对于三棱锥BCD A -，我们该问的是“还有什么是不能知道的”. 有兴趣的同学不妨在这里尝试一下你前面推广得到的“二面角”的概念，看能否计算出平面ABD 与ABC 的夹角？作为对本讲的总结，让我们回顾一下多面体：请你试着用空间中线面关系的语言，重新定义常见的多面体.。
《空间中的垂直关系》课件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直课件ppt
1
- 2 ,0,-1
,F
1
,1,0
2
,于是1 =
,
1
-2
+
1
-2
+1×0+
1
-2
×(-1)=0,故1 ⊥ 1 .
因此1 ·1 =1×0+1×
1
-2
1
1, ,0
2
×(-1)=0,故1 ⊥ 1 ;
又1 , 1 不共线,因此 D1M⊥平面 EFB1.
1
1,1,2
1
= (0-1+1+0+0+0)=0,
2
因此 ⊥ .故无论点 E 在边 BC 上的何处,都有 PE⊥AF.
反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量
的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条
直线的方向向量互相垂直;
,
(方法3)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间
直角坐标系,
则 D1(0,0,1),M
于是1 =
1
1,1,
2
1
1,1,- 2
,B1(1,1,1),E
, 1 =
1
1, ,0
2
1
0,- 2 ,-1
,F
, 1 =
向量为 n=(x,y,z),于是 n⊥1 ,n⊥1 ,因此
·=(-4)×0+2√2×0+0×4=0,所以 BD⊥AC,BD⊥AP.
因为 AP∩AC=A,AC⊂平面 PAC,AP⊂平面 PAC,
_空间中的垂直关系课件
4、判定定理应用：
问题2、在长方体 ABCD A1 B1C1D1 中，指出与底面ABCD 垂直的 直线，指出与 AA1 垂直的平面，你能发现什么结论？ 推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么 另一条也垂直于这个平面。 推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 简述为：垂直于同一个平面的两条直线平行
B
A
B B1 C1 C
探究2：直线与平面垂直定义
形成概念： 如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O， 并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直。 记作AB ． 点到平面的距离
A
平面 的垂线 直线 AB 的垂面
垂足
画法：直线与平 面的一条边垂直
O
B
观察下面四个图，有什么结论？
D′
C′ B′
A′
D
A B
C
练习题
5. 已知 : = CD, EA , EB . 求证 : CD AB .
E A
D
B
C
例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P D A B
C
例2 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作 AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
这个平面垂直。
l
图形语言：
符号语言：
线不在多，相交就灵 m
P
n
α
m, n m n P l lm ln
线线垂直 线面垂直
4、判定定理应用：
空间中的垂直关系 PPT课件 人教课标版
A 平行
B 垂直 C 相交 D 不确定
A
C B
2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
练习
E A
D
B
C
作业.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆
O 的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB,求证：（1）PA BC
A
C
BD
解 :如 图,旗 杆 AB 8m,两 绳 长 AC AD 10m
BC BD 6m 由勾股定理得：
AB2 BC 2 AC 2,AB2 BD 2 AD 2
AB BC,AB BD
B,C ,D三 点 不 共 线
A
B,C ,D三 点 确 定 平 面 BCD
尝试探究
1、直线l 与平面 内的一条直线垂直，能否
保证 l ？
2、直线 l 与平面 内的两条平行直线垂直，能
否保证 l ？
3、直线 l 与平面 内两条相交直线垂直，能
否保证 l ？
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
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56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
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57、理想的路总是为有信心的人预备着。
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58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
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59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
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60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
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61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
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62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
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又∵ 平面AB1平面经过AB，
∴ 平面AB1⊥平面 BC1 ， 同理平面 A1C1 ⊥平面BC1。
（2）过点C和平面AD1垂直的棱 是的平C面D是，平过面点DCC和1平和面平A面DA1C垂直。
2020年10月2日
C1 B1
C B
9
演讲完毕，谢谢观看！
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ι
o
α
6
平面与平面垂直
一般地，如果平面β经过平面α的一条垂线ι ，我们 就说这两个平面互相垂直。
记作： α⊥β或β⊥α 。
2020年10月2日
7
例：在右图的长方体中，
哪些棱和平面AC垂直， 哪些面所在的平面和平 面AC垂直？
D1 A1
D A
C1 B1
C B
分析：由A1A⊥AB，A1A⊥AD，为什么？），可得A1A⊥ 平面AC（为什么？）。由平面AB1经过A1A，可得平面 AB1⊥平面AC（为什么？）。其余同理可得。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
解：和平面AC垂直的棱是A1A，B1B，C1C，D1D。
长方体各面所在的平面中，和平面AC垂直的平面AB1，
平面BC1，平面CD1，平面DA1。
2020年10月2日
8
练习：
D1 A1
1、填空：已知立方体如图。
（1）∵ AB⊥BC，AB⊥BB1，
D
BC ， BB1 在平面BC1内。
∴ AB⊥平面 BC1 。 A
空间里的 垂直关系
2020年10月2日
Байду номын сангаас
施教老师：
1
空间里的 垂直关系
2020年10月2日
施教老师：莫益群
2
问题：
在同一平面内，两条直线之间有 哪两种位置关系？
（平行、相交）
2020年10月2日
3
(1)每星期二我们学校都要举 行升旗仪式，大家看到的旗 杆和地面给我们一种怎样的 印象？
(2)教室里的墙面和地面给我们一种什么印象？
2020年10月2日
4
ι
α
α
Ｏ
直线与平面垂直
一般地，如果一条直线ι和一个平面α相交于点
O，并且与平面α内经过交点的两条相交直线都垂直，
我们就说直线ι和这个平面α互相垂直，直线ι叫做平
面α的垂线。
记作： ι⊥α或α⊥ι ，垂线ι和平面α的交点叫做
垂足。 2020年10月2日
5
2020年10月2日
β