第1课数列的概念及其通项公式

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高二数学数列公式(201911新)

题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数列;d=0是常数列．在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前几项)间的关系可以一个公式来表示
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机械可靠性基础（2学时）掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto

数列概念及通项公式1

本例的关键是应用an= 本例的关键是应用
S1
(n=1)
题型三利用递推公式求数列的通项例3 根据下列条件写出数列的通项公式：根据下列条件,写出数列的通项公式写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n；），；（2）a1=1，an-1=2n-1an. ），）将递推关系写成n-1个等式累分析（1）将递推关系写成个等式累累加法” 加，即“累加法”. 个等式相乘，（2）将递推关系写成个等式相乘，即）将递推关系写成n-1个等式相乘累积法”或用逐项迭代法. “累积法”或用逐项迭代法
点评
Sn-Sn-1 (n≥2)求求数列的通项，特别要注意验证a 数列的通项，特别要注意验证 1 的值是否满足 “ n≥2” 的通项公式；同时认清 “ an+1-an=d（常数） (n≥2)”与 “ an-an-1=d （常数）与为常数，（d为常数，n≥2）”的细微差别为常数）的细微差别.
满足: 变式练习已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式的通项公式.
3, n=1, an= n 2 , n≥2.
走进高考
湖北卷)古希腊人常用小石子湖北卷学例1 (2009·湖北卷古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：
例4 求满足条件 a1 = 1, an +1 的数列{a 的通项公式的数列 n}的通项公式
an = (n ∈ N *) 1 + nan
分析：两边取倒数，分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式

人教版必修5第二章数列第一节数列的概念及通项公式

S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
第1页共6页
20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17

第一节数列的概念及通项公式

答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)．答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)．又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)．答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2，不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2

第一课数列概念及通项公式1

2
= n2 n 4 .
2
(所相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，

数列概念是什么通项公式是怎样的

1数列概念是什么通项公式是怎样的数列的通项公式数列的通项公式：Sn=A1+A2+a3+……+An，按肯定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个详细式子(含有参数n)表示出来，(an=f(n))称作该数列的通项公式。

正如函数的解析式一样，通过代入详细的n值便可求知相应an项的值。

而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

对于一个数列{an}，假如任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这肯定值差为公差,记为d;从第一项a1到第n 项an的总和，记为Sn。

数列的相关学问内容1、数列极限的求法：利用定积分求极限，利用幂级数求极限;利用简洁的初等函数，常能求得一些特别形式的数列极限，利用级数收敛性判定极限，存在由于级数与数列在形式上可以相互转化等。

2、数列求和的方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差X等比)、公式法、迭加法。

以及分组求和法个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

3、通项公式和递推公式的区分：通项公式是把项数直接代入可以1求得项值的公式。

递推公式指第n项，与数列的前n项和存在肯定的关系，把n代入后，并不能直接求和an的值的一种公式。

数列和函数的关系1.联系：他们的变量都满意函数定义，都是函数。

可以有an=f(n).函数和数列的问题可以相互转化。

函数问题转化成数列问题来解决，就是数列法。

如，先熟悉数列极限，再熟悉函数极限。

数列的问题转化成函数问题来解决，就是函数法。

如，用求函数最值的方法来求数列的最值。

又如，an=n^2的图象是分布在抛物线y=x^2右支上的点。

2.区分：数列是离散型函数，自变量是正整数。

定义域是正整数集及其子集。

图象是孤立的点。

函数是连续型函数居多，尤其是初等函数。

自变量是实数。

定义域是实数及其子集。

图象是不间断的曲线(有间断点的除外)。

第1课时数列的概念及通项公式

《第1课时数列的概念及通项公式》一、学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．二、导学指导与检测课前预习课本（1-3）页知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第个位置上的数叫做这个数列的第项，用a n表示．其中第1项也叫做．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{ }．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列知识点三函数与数列的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为a n＝f(n)．课前预习课本（4-5）页知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项都的数列知识点五通项公式1．如果数列{a n}的第n项a n与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的．2．通项公式就是数列的，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？1．1,1,1,1是一个数列．()2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．()3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()4．a n与{a n}表达不同的含义．()课内探究一、数列的有关概念和分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)13，19，127，181，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－1，12，－13，14；(2)12，2，92，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.三、数列通项公式的简单应用三、巩固诊断1．(多选)下列说法正确的是()A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*3．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617 B.1819 C.2021 D.22234．设a n＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n2(n∈N*)，则a2等于()A.14 B.12＋13 C.12＋13＋14 D.12＋13＋14＋155．323是数列{n(n＋2)}的第________项．6．若数列{a n}的通项公式是a n＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；a2a3＝________.7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 020－3n，则使a n>0成立的正整数n的最大值为________．8.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，85，－157，249，….9.在数列{a n}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a2 020；(3)2 020是否为数列{a n}中的项？四、堂清、日清记录今日之事今日毕日积月累成大器。

必修五2-1第1课时数列的概念与通项公式

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表示无穷数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．数列的通项公式
序号n 之间的关系可以用一个式子来如果数列{an}的第n项与______ 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
题型一

数列的有关概念
【例1】下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列； (4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1. [思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．数列的概念一定顺序排列的一列数称为数列；数列的一般形 (1)数列：按照_________ 式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数 (2)项：数列中的_________ 首项，排在第n位的数称为称为这个数列的第1项(通常也叫做_____) 第n项．这个数列的_______
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课堂讲练互动
活页规范训练
(1)数列的项与项数数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列表示法的理解数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．

数列的概念与通项公式

数列的概念与通项公式数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所构成。

数列可以有无限项，也可以有有限项。

在数列中，每一项都有一个对应的位置，称为项号。

数列中的每一项按照次序排列，通常用字母表示。

数列的一般形式是：a1, a2, a3, ..., an，其中a1表示第一项，an表示第n项。

为了便于描述数列的规律，我们引入了通项公式的概念。

通项公式是指描述数列中第n项与项号n之间的关系式。

它可以帮助我们轻松地计算数列中的各项数值。

根据数列的规律和特点，可以找出适合该数列的通项公式。

一、等差数列的概念与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

差值通常被称为公差，用字母d表示。

等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

例如，考虑等差数列1, 4, 7, 10, 13...，首项a1为1，公差d为3。

根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 + (n-1)3通过计算，可以得到等差数列的通项公式为：an = 3n - 2二、等比数列的概念与通项公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

比值通常被称为公比，用字母q表示。

等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，q表示公比。

例如，考虑等比数列1, 2, 4, 8, 16...，首项a1为1，公比q为2。

根据通项公式，可以得到第n项的值：an = 1 * 2^(n-1)通过计算，可以得到等比数列的通项公式为：an = 2^(n-1)三、斐波那契数列的概念与通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式可以表示为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，an表示斐波那契数列中的第n项。

例如，考虑斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5...，可以根据通项公式计算出后续项的值。

高中数学知识点归纳数列与数列的通项公式

高中数学知识点归纳数列与数列的通项公式高中数学知识点归纳：数列与数列的通项公式数列是数学中常见的一种序列，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。

在高中数学中，学生需要了解数列的概念、性质以及数列的通项公式等知识点。

本文将对这些知识进行详细归纳与讲解。

一、数列的概念与性质数列是按照一定次序排列而成的一列数的集合。

它可以用下列形式来表示：\[a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\]其中，\(a_1, a_2, a_3, \ldots\)称为数列的项，\(a_n\)表示数列的第\(n\)项。

数列的前\(n\)项可以用希腊字母\(S_n\)表示。

数列有许多不同的分类方式，如等差数列、等比数列、等差数列、等比数列等。

不同类型的数列具有不同的性质，下面分别进行介绍。

1. 等差数列等差数列是每一项与它的前一项之差都相等的数列。

设等差数列的公差为\(d\)，首项为\(a_1\)，则数列的通项公式为：\[a_n = a_1 + (n-1)d\]2. 等比数列等比数列是每一项与它的前一项之比都相等的数列。

设等比数列的公比为\(q\)，首项为\(a_1\)，则数列的通项公式为：\[a_n = a_1 \times q^{(n-1)}\]3. 调和数列调和数列是每一项与它的前一项的倒数之和都相等的数列。

调和数列的通项公式为：\[a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots +\frac{1}{a_n-1} + \frac{1}{a_n}}\]4. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有意思的数列，它的前两项为1，以后的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为：\[F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\]二、数列的求和公式在数列的学习中，求和公式也是一项重要的知识。

它可以帮助我们方便快捷地计算数列的前\(n\)项和。

2.1.1 数列的概念与通项公式

2.1 数列的概念与通项公式第1课时数列的概念与通项公式人民币从小到大：0.1, 0.5, 1, 5, 10, 20, 50, 1000，1，2，3，…1，3，5，7，…2，4，6，8，…1，4，8，16，…21，41，81，… 1，1，1，1，…2，0，2，0，…一、数列的概念：二、数列的分类：三、数列的通项公式：1.数列的概念及分类例1.1．已知下列数列：(1) 0，0，0，0，0，0；(2) 0，－1，2，－3，4，－5，…；(3) 0，12，23，…，n －1n ，…；(4) 1，0.2，0.22，0.23，…；(5) 0，－1，0，…，cos n 2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．变式1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1，3－1，3－2，…，3－63；(3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)10，20，40，…，1 280；(5)－1，2，－1，2，…；(6)6，6，6，….2.根据数列的前几项写出通项公式例2.写出下列数列的一个通项公式：(链接教材P29－例1)(1)12，2，92，8，252，…；(2)9，99，999，9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….变式2.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….3.数列通项公式的应用例3.已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．变式3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2n 2＋1. (1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断 910 和 110 是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．课堂练习：1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N *B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *C ．a n ＝n ＋2，n ∈N *D ．a n ＝2n ，n ∈N *3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n 2n －1，n ∈N *，则a 1＝________；1+n a ＝________.课后作业一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,02．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋14．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617 B.1819 C.2021 D.22235．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为().A．a n＝n，n∈N*B．a n＝n＋1，n∈N*C．a n＝n，n∈N*D．a n＝n2，n∈N*7．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)，那么an＋1－a n等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2二、填空题8．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，________，11，…. 9．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．10．323是数列{n(n＋2)}的第________项．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？13．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N *. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．。

4.2.1 第1课时等差数列的概念及通项公式课件ppt

变式训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,
而a2-a1=0不满足an-an-1=2,
∴{an}不是等差数列.
(2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2,
是首项为2,公差为2的等差数列,
1
1
(n-1)=2n,故
2
1
2
2
an= .
a1=2,
素养形成
构造等差数列解题
中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是
.
(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=
答案 (1)an=10-5n (2)4
解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9,…;
②9,6,3,0,-3,…;
③1,3,4,5,6,…;
④7,7,7,7,7,…;
1 1 1 1
⑤1, , , , ,….
2 3 4 5
解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.
2
2
1
a=2,
所以这个等差数列的每一项均为 1.故选 B.
(2)因为 a,b,c 成等差数列, , , 也成等差数列,
2 = + ,

数列的知识点公式总结

数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。

数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。

通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。

例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。

数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。

当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。

数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。

当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。

数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。

而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。

等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。

例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。

这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。

如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。

等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。

即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。

三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。

等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。

数列：第1讲数列的概念及表示

数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有、、、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、 .(2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（ n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________；(7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1 B ．a n ＝(－1)n n 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 3－2n 2n －12 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.19904 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.【典例】类型一数列的通项公式例一已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解．变式写出下列数列的一个通项公式：(1) －1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…；(3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，….类型二由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________．【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三由递推公式求通项公式例三写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)；(2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n .类型四数列通项的性质例四在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512 B.133C ．4D ．53．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394B ．9380C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7777，…； (2)4，－52，2，－74，85，…；(3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项．。

第一部分第二章 2.1 第一课时数列的概念与通项公式

列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数
值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．
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5．已知数列{an}的通项公式是则 a2·3＝ a A．70 C．20 B．28 D．8
3n＋1n是奇数， an＝ 2n－2n是偶数，
(
)
解析：a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10.∴a2·3＝20. a 答案：C
－
－2,
返回
1 2 1 2 －1 1 3 2 －1 1 (3)2＝ 21 ＝1－21，4＝ 22 ＝1－22， 3 7 2 －1 1 8＝ 23 ＝1－23， 4 15 2 －1 1 ＝ 24 ＝1－24， 16
2n－1 1 故 an＝ 2n ＝1－2n(n∈N*)． (4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24，故 an＝1＋2n(n∈N*)．
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[一点通]
此类问题虽无固定模式，但也有规律可
循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
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[思路点拨]
观察各项的特点，寻找数列的项an与序号n
的关系，得出一个合适的函数解析式，然后再进行验算，
从而得出答案．
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[精解详析] (1)0.9＝1－0.1＝1－10 1,0.99＝1－10 0.999＝1－10－3， 0．999 9＝1－10－4，故 an＝1－10－n(n∈N*)． 1 1 4 22 (2)12＝1＋ 2 ，25＝2＋ 2 ， 1 ＋1 2 ＋1 9 32 16 42 310＝3＋ 2 ，417＝4＋ 2 ， 3 ＋1 4 ＋1 n2 故 an＝n＋ 2 (n∈N*)． n ＋1

数列的概念及通项公式

数列的概念及通项公式数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

它是数学中重要的基础概念之一，被广泛应用于各个领域。

数列的通项公式是指能够确定数列中第n项的公式。

通常使用字母an表示数列的第n项，使用n表示项数。

数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。

一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。

这个固定的差值称为公差，通常用d表示。

例如，1，4，7，10，13就是一个等差数列，公差为3等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d其中a1为数列的首项，d为公差。

通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。

等差数列的一些基本性质包括：1. 任意项和：等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1+an)/2 * n，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。

2. 项与项之和：等差数列中的每一项与它的对称项之和等于首项与末项之和。

即an + an-1 = a1 + an。

3. 对称性：等差数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。

二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。

这个固定的比值称为公比，通常用q表示。

例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)其中a1为数列的首项，q为公比。

通过这个公式，我们可以根据已知条件计算出数列的任意一项。

等比数列的一些基本性质包括：1.任意项和：等比数列的前n项和Sn可以表示为Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 项与项之比：等比数列中的两个相邻项之比等于公比。

即an /an-1 = q。

3. 对称性：等比数列中，关于中间项(an/2)对称的项相等。

三、其他类型的数列除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列。

1.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

第1课时数列的概念与通项公式

就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函
数值f(1),f(2),…,f(n),…就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x),如果
f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}.
与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.
数列的一个通项公式为 an= 3(2-1) = 6-3.
(3)原数列可变形为
1
an=1-10 .
1
1
1
1
1-10 ,1-102 ,1-103 ,1-104 ,…,故数列的一个通项公式为
(4)数列给出前 4 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,故通项公式的一种表示
3(为奇数),
方法为 an=
事物.
2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列的概念及数列的特点.对
于递增数列、递减数列、常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷数列
还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
【变式训练1】下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列;
(2)所有自然数能构成数列;
(2)上述数能交换次序排列吗?
提示:不能.
2.填空:
(1)数列
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
(2)数列的项
数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的第一个位置上的数叫做这
个数列的第1项,常用符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2
项,用 a2 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中
物的规律,解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关
系.具体可参考以下几个思路: