初二数学1班-分式反比例全章复习314

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八年级数学分式总复习

分式总复习上节课我们讲了分式方程应用题，利用方程是等式这一性质，找到题内各数量关系之间的等量关系，根据等量关系去列方程。

学完了方程这一节，其实分式这一章就已经学完了，咱们这节课的主要任务，就是把整章知识点做一个回顾总结，再通过一些练习巩固，把这章内容画上一个句号，这章结束以后，就开始八年级上册的系统复习。

这节课我们把分式这一章，做一个总复习。

来看下分式这一章的知识框架，第一是分式的概念，第二是分式的基本性质，第三是分式的运算，第四是分式方程，第五是列方程解应用题。

下边我们就按照知识顺序，把这章内容过一遍。

一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

这里边一定要注意aπ，它是一个整式。

2、分式有意义：分式没有意义的条件是分母等于零，【B=0】；分式值为零的条件分子为零且分母不为零，【B ≠0且A=0 即子零母不零】。

例：下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。

A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x + 例：当时，成立，则( ) 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（问：表达式怎么写________________________)例：不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） 2、约分：把分子、分母的公因式约去，约到最简分式为止通分：找分子分母的最简公分母，有系数的找系数的最小公倍数例：若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是A. B. C. D.三、分式的运算1、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

2、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

3、分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

中考数学反比例总结知识点

中考数学反比例总结知识点反比例是数学中的一个重要概念，特别是在中考数学中，反比例的相关知识点经常会出现在试题中。

了解反比例的性质和运用方法对提高数学成绩至关重要。

在本文中，我们将对中考数学中的反比例相关知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地掌握反比例的相关知识。

一、反比例的概念反比例是指当一个量的变化导致另一个量的变化时，两者之间的关系是成反比的。

通常情况下，如果一个量的增加导致另一个量的减少，或者一个量的减少导致另一个量的增加，那么这两个量之间就是成反比的关系。

例如，如果一个人跑步的速度增加，那么完成一段距离所需的时间就会减少，这两个量之间就是成反比的关系。

二、反比例的表示方法在数学中，反比例可以使用比例式表示。

如果两个变量x和y成反比，那么它们之间的关系可以用以下比例式表示：y = k / x其中，k是一个常数，通常称为反比例常数。

例如，如果一个物体从地面向上抛，它的高度和时间之间的关系就可以用反比例表示：高度h = k / t，其中k是一个常数，t是时间。

除了比例式表示，反比例还可以用图像表示。

如果将反比例式y = k / x在坐标平面上进行绘制，得到的曲线就是反比例函数的图像。

通常情况下，反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线。

三、反比例的性质在中考数学中，常常会遇到关于反比例性质的试题。

了解反比例的性质对解题至关重要。

1. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线。

当x接近0时，y会变得非常大，但是y永远不会等于0。

反比例函数的图像关于y轴对称。

2. 反比例常数在反比例式y = k / x中，k被称为反比例常数。

k越大，两个变量之间的反比例关系越明显；k越小，反比例关系越不明显。

3. 反比例的倍数关系如果一对变量x和y成反比例关系，那么它们之间存在倍数关系。

例如，如果y = k / x，那么y1 = k / (ax)，y2 = k / (bx)，这时y1和y2之间的关系是成反比例的。

八年级数学正反比例知识点

八年级数学正反比例知识点数学是一门需要长期积累和探索的科学，正反比例是其中一个重要的知识点。

在八年级的数学学习中，正反比例占有重要位置。

本文将从定义、性质、图像以及应用方面等多角度深入探讨正反比例的相关知识点。

一、定义正比例关系是指两个变量之间的比例关系一直保持不变，即一个变大，另一个也跟着变大，一个变小，另一个也跟着变小，也就是说，两个变量之间存在一个固定的比例因子。

例如：如果每增加一个小时的学习，成绩就会增加5分，那么时间和成绩之间就是正比例关系。

反比例关系是指两个变量之间的积一直保持不变，即一个变大，另一个就跟着变小，一个变小，另一个也跟着变大。

也就是说，两个变量之间的比例因子不是固定的。

例如：一个工厂生产一件商品需要的时间和工人数量之间就是反比例关系。

二、性质正比例关系具有以下性质：1. xy=k，当x或y有一个不同时，k不再相等。

2. k=0时，x、y必有一个为03. 若k>0，x、y同为正数或同为负数，若k<0，x、y一正一负4. 当k>1时，变化越大，比例因子越大，相关性越强5. 当k=1时，成比例关系，x和y具有相同的变化趋势。

6. 当k<1时，变化越大，比例因子越小，相关性越弱。

反比例关系具有以下性质：1. xy=k，当x或y有一个不同时，k不再相等。

2. 若k>0，x、y同时增大或同时减小；若k<0，则x、y反向变化。

3. k>1，x、y的变化越弱，k<1则变化越强。

4. x,y不能同时为0.三、图像正比例关系的图像可以用直线来表示，斜率为正值，越陡峭，相关性越强。

通过图像可以直观地反映出两个变量之间的比例关系。

反比例关系的图像可以用双曲线来表示。

短轴与x轴平行，长轴与y轴平行。

反比例函数的图像与x轴有渐近线，分别在负半轴和正半轴上，及y轴。

通过图像可以看出，当一个变量增大时，另一个变量就会变小。

四、应用正反比例关系在实际生活中有广泛的应用，例如：1.比例尺。

初二数学分式}全章复习与巩固(基础)

分式全章复习与巩固（基础）学习目标1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识网络要点梳理要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.典型例题类型一、分式及其基本性质1、在中，分式的个数是（）A.2B.3C.4D.5答案与解析2、当为何值时，分式的值为0？【变式】（1）若分式的值等于零，则＝_______；（2）当________时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：【变式】计算：（1）；（2）；（3）．类型三、分式方程的解法4、解方程【变式】类型四、分式方程的应用5、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的产品48件，乙厂有合格的产品45件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率是多少？【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?巩固练习一.选择题1．下列变形从左到右一定正确的是( )．A. B. C. D.2. 把分式中的都扩大3倍，则分式的值( )．A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的D.不变3．下列各式中，正确的是( )．A. B.C. D.4. 式子的值为0，那么的值是（）A．2 B．－2 C．±2 D．不存在5．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍6. 下列分式中，最简分式是( )．A. B.C. D.7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（）．A． B．C． D．8. 方程的解是（）A．0 B．2 C．3 D．无解二.填空题9．若x＞，那么的值是______________．10．当______时，分式有意义．11．当______时，分式的值为正．12．＝______．13. ＝______．14. 写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）．15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______．16．方程的解是______．三.解答题17. 计算；（2）．18. 已知，求．19. 已知，求的值．20. 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元．信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的．信息三：甲班比乙班多2人．请根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元．。

初中反比例知识点总结

稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊初中反比例这个有趣的知识点哟！你知道吗？反比例关系那可是很神奇的存在！比如说，如果两个变量 x 和 y ，当 x 增大时，y 反而减小，而且它们的乘积始终是一个定值，那这俩家伙就是反比例关系啦！就像你去买苹果，假设苹果的总价是固定的，如果单价越高，那能买到的苹果数量就越少；单价越低，能买到的苹果数量就越多。

这就是反比例在生活中的体现哟！反比例函数的表达式一般是 y = k/x ，这里的 k 就是那个不变的定值，叫做比例系数。

要记住，k 可不能等于 0 哟，不然就没啥意思啦。

画反比例函数的图像也有小窍门呢！它的图像是两条曲线，叫做双曲线。

而且这两条曲线永远不会和坐标轴相交，是不是很特别？在解决反比例的题目时，一定要找准那个定值 k ，然后根据条件去分析 x 和 y 的变化关系。

怎么样，小伙伴们，反比例是不是没有那么难啦？加油哦，相信大家都能掌握得棒棒的！稿子二嗨呀，小伙伴们！今天咱们一起唠唠初中反比例的那些事儿！先来说说啥是反比例，简单说就是两个量，一个变大，另一个就变小，它们乘积不变。

比如说，你走路的速度和所用的时间，如果速度快了，那用的时间就短；速度慢了，时间就长，而走过的路程是不变的，这就是反比例。

反比例函数的图像可有意思啦，像个弯弯的香蕉，哈哈，开个玩笑，其实是双曲线。

而且这两条线关于原点对称，是不是很神奇？还有哦，在判断两个量是不是反比例关系的时候，一定要看清楚它们的乘积是不是一定的。

别被一些表面现象迷惑啦。

再来讲讲怎么求反比例函数的解析式，通常就是找到一组对应的x 和 y 的值，代入 y = k/x 中，就能求出 k ，解析式就出来啦。

做题的时候可别马虎，要认真分析题目中的条件，找到关键的信息。

相信聪明的你们一定没问题的！好啦，关于反比例就说到这儿，大家好好复习，争取考试都拿高分哟！。

反比例知识点总结

反比例是数学中一种重要的函数关系，主要出现在初中数学的学习内容中。

以下是反比例函数的相关知识点总结：1. 定义：两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么我们就称这两种量成反比例关系。

表达式为：y = k/x (k ≠0)，其中，k 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

2. 图像特征：反比例函数的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，具体分布取决于k的正负。

函数图像关于原点成中心对称。

3. 性质：在每个象限内，从左到右，y随x的增大而减小；反之，y随x 的减小而增大。

图像永远不会与坐标轴相交。

如果点（x1, y1）在反比例函数图像上，那么点(-x1, -y1)、(y1, x1)也在该图像上。

4. 应用：反比例关系广泛存在于现实生活中的各种问题，如物理学中的功率与时间的关系，化学中的反应速率与反应物浓度的关系，经济学中的价格与需求量的关系等。

5. 解题方法：遇到求反比例函数解析式的问题，通常可以通过找出满足函数关系的两个对应值，代入公式求解k值。

对于图像和性质的分析，可以根据上述性质进行判断和解答。

反比例函数在数学中的意义主要体现在它描述了一种特殊的变量关系，这种关系是两个变量之间乘积恒定的规律。

具体来说：1. 定义与形式：如果两个变量x和y之间的关系可以表示为y = k/x（其中k是不为零的常数），那么我们称y是x的反比例函数。

这里的k是比例系数，决定了曲线的形状和位置。

2. 关系特征：反比例函数反映的是两个变量成反向变化的关系，即一个变量增大时，另一个变量会按相同的比例减小，以保持它们乘积的不变性。

3. 几何意义：反比例函数在坐标平面上的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，取决于系数k的正负。

双曲线具有对称性，并且永远不会与坐标轴相交。

4. 实际应用：反比例函数关系广泛存在于现实生活中的多个领域，如物理学中的力矩和力臂的关系、电流强度与电阻的关系（欧姆定律）、经济学中的价格和需求量的关系等。

初二数学知识点归纳初二数学笔记整理大全

初二数学知识点归纳初二数学笔记整理大全初中数学是我们学习数学的一个重要阶段。

在初二阶段，我们需要掌握更加深入的数学知识，为进一步的学习打下坚实的基础。

在本文中，我们将对初二数学知识点归纳，帮助大家更好地理解数学知识，提高数学成绩。

第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算（1）分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/某（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳(重点)

人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

八年级数学下册反比例函数知识点归纳

反比例函数。
反比例函数图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，图像位
于第二、四象限。
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内具有单调性，当 $k > 0$ 时，在每个象限内单调递减；当 $k < 0$ 时，
在每个象限内单调递增。
易错难点总结
对称变换规律
反比例函数图像关于原点对称，即如果点(x,y)在反比例函数图像上，那么点(-x,-y)也在反比例函数图像上。
反比例函数图像关于直线y=x对称，即如果点(x,y)在反比例函数图像上，那么点(y,x)也在反比例函数图像上。
伸缩变换规律
当k>0时，反比例函数图像在第一、三象限，在每个象限内，从左到右，y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数图像在第二、四象限，在每个象限内，从左到右，y随x的增大而增大。
通过绘制反比例函数的图像，观察其形状和位置，加深对反比例函数性质的理解。
多做练习
及时总结
通过大量的练习，熟练掌握反比例函数的性质和解题方法，提高解题速度和准确性。
在学习过程中，及时总结归纳反比例函数的知识点和解题方法，形成完整的知识体系。
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感谢观看
反比例函数与一次函数交点
反比例函数与一次函数的交点可以通过联立两个函数的解析式求解得到。
交点个数取决于两个函数的图像在坐标系中的相对位置，可能有一个交点、两个交点或无交点。
求解交点坐标方法
联立方程法
将反比例函数和一次函数的解析式联立起来，解方程组得到交点
坐标。
图像法
在坐标系中分别画出反比例函数和一次函数的图像，通过观察图像确定交点的位置，并估算交点坐标。

初二数学体系讲义第11讲分式和反比例函数总复习

（下半讲测试卷另附）【上半讲分式和反比例函数总复习】一、知识点归纳分式： 1．分式：形如AB（即A B ÷）的形式，其中分子A 与分母B 都是整式，并且B 中都含有_______。

2．分式AB 中，当________时，分式有意义；当_________时，分式无意义；当______________时，分式AB的值为0。

3．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个__________的整式，分式的值不变。

4．分式的约分：（1）分子分母同时约去公因式，这种分式的变形叫分式的约分；（2）约分时分式的分子与分母没有公因式，叫做_____________分式；（3）分式约分的结果为最简分式或整式。

5．分式的通分：（1）对分式的分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式化成为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

（2）通分时先确定分式之间的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，此公分母叫做_________________。

6．分式的运算法则——先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号里面的。

分式间相乘除，进．．．．．．．．行约分运算；分式间相加减，进行通分运算．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7．整数指数幂：0a = (0a ≠)；na-= (0)a ≠8．分式方程：中含有未知数的有理方程叫做分式方程。

9．解分式方程一定要检验：把整式方程的解代入最简公分母中，若值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；若值为0，则不是原分式方程的解。

反比例函数： 1．一般地，形如：ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数称为反比例函数（其中x 是自变量，y 是函数），自变量x 的取值范围是__________的一切实数。

※反比例函数解析式还可以表示为：1y kx -=(0)k ≠和_____________(0)k ≠。

初二数学（新课）班讲义（57期）第十一讲上半讲分式和反比例函数总复习下半讲期末测试2二、巩固与提高A 巩固练习1．在代数式32x -，4x y -，x y +，53b a，21x π+中，分式有（）A ．2个B ．3个C ．4 个D ．5个2．当分式31x -有意义时，字母x 应满足（） A ．1x ≠- B ．0x = C ．1x ≠ D ．0x ≠3．小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（）A ．22a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．32a a a ÷= C ．112a b a b +=+ D ．1x y x y --=-- 4．当路程一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．以上都不是 5．反比例函数图象经过点P （2，3），则下列各点中，在该函数图象上的是（）A ．(B ．29,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()6,1-D ．392⎛⎫- ⎪⎝⎭, 6．成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m ，保留三个有效数字的近似数，可以用科学记数法表示为（）A ．57.2510m -⨯ B ．67.2510m ⨯ C ．67.2510m -⨯ D ．67.2410m -⨯7．如图，函数()1ky k x y x=+=与在同一坐标系中，图象只能是下图中的（）A BCxD（第10题）8．现要装配30台机器，在装配完6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天就完成任务，求原来每天装配机器的台数x ，下列所列方程中正确的是（）A ．62432x x+= B ．62432x x +=+ C ．63032x x+= D ．303032x x+= 9．填入适当的整式：()2a baba b+=；3223yx ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题． 2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系． 3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型 1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等. 2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合 1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即 ∴ ∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

八年级数学反比例函数单元复习与巩固

反比例函数单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法——列表法、解析式法和图象法及各自特点；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；4．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5．使学生在学习反比例函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．重点反比例函数的概念、图象和性质．难点对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握．三、知识要点梳理知识点一、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数．知识点二、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．知识点三、反比例函数的性质1．的变形形式为（常数）；2．其图象的位置当时，x、y同号，图象在第一、三象限，当时，x、y异号，图象在第二、四象限；3．若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；4．当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大.知识点四、反比例函数解析式的确定．反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式．四、规律方法指导1.反比例函数的概念需注意的问题(1)k是常数，且k不为零；(2)中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是的一切实数；(4)自变量y的取值范围是的一切实数．2.画反比例函数的图象时要注意的问题(1)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．3.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤(1)设所求的反比例函数为：（）；(2)根据已知条件，列出含k的方程；(3)解出待定系数k的值.(4)把k值代入函数关系式中．4. 用反比例函数解决实际问题须注意以下几点：（1）反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题；（2）针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系；（3）列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．。

初二数学全套知识点总结

初二数学全套知识点总结在现实学习生活中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

哪些才是我们真正需要的知识点呢？以下是小编帮大家整理的初二数学全套知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

初二数学全套知识点总结1一.定义1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a叫做被开方数。

2.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

3.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

4.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

5.无限不循环小数又叫无理数。

6.有理数和无理数统称实数。

7.数轴上的点与实数一一对应.平面直角坐标系中与有序实数对之间也是一一对应的。

二.重点1.平方与开平方互为逆运算。

2.正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。

3.当被开方数的小数点向右每移动两位，它的算术平方根的小数点就向右移动一位。

4.当被平方数小数点每向右移动三位，它的立方根小数点向右移动一位。

5.数a的相反数是-a[a为任意实数]，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

三.注意1.被开方数一定是非负数。

2.0，1的算术平方根是它本身；0的平方根是0，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

3.带根号的无理数的整数倍或几分之几仍是无理数；带根号的数若开之后是有理数则是有理数；任何一个有理数都能写成分数的形式。

初二数学全套知识点总结2一、算术平方根的概念正数a有两个平方根(表示为?根，表示为a。

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0。

”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。

八年级下册数学辅导知识点总结

八年级下册数学主要有分式、反比例函数、勾股定理、四边形和数据的分析五个章节，小编总结了几个比较重要的知识点。

分式
分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变。

分式的运算：
(1)分式的乘除
乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

(2) 分式的加减
加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

反比例函数
1、反比例函数的图像
（1）属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线。

（2）反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与
坐标轴相交（K≠0）。

2、反比例函数的性质
（1）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

（2）当k>0时，函数在x<0上同为减函数，在x>0上同为减函数；
当k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）。

勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

以上为小编整理的八年级下册数学知识点，希望能够帮到你。