指数函数经典例题和课后习题
指数函数习题及答案(经典)
指数函数习题一、选择题1．定义运算a?b＝，则函数f(x)＝1?2x的图象大致为()2．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是() A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1,1) D．(0,2)4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(－1)的定义域是B，若A?B，则正数a的取值范围()A．a>3 B．a≥3C．a> D．a≥5．已知函数f(x)＝若数列{a n}满足a n＝f(n)(n∈N*)，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．[，3) B．(，3)C．(2,3) D．(1,3)6．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－a x，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是() A．(0，]∪[2，＋∞)B．[，1)∪(1,4]C．[，1)∪(1,2] D．(0，)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝211．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a?b＝得f(x)＝1?2x＝答案：A2.解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4.解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ?B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5.解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以，解得2<a <3.答案：C 6.解析：f (x )<?x 2－a x <?x 2－<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－的图象，当a >1时，必有a －1≥，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥，即≤a <1，综上，≤a <1或1<a ≤2.答案：C7.解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝，得a ＝.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝，得a ＝.故a ＝或.答案：或8.解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]9.解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.答案：110.解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋)2＋，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝，此时x ＝－，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤.∴0≤≤.∴函数y ＝1()2的值域为[，1]． 由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋)2＋(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－时，t 是增函数，当－≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．11.解：令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，y max＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．②若0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a x∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，y max＝(＋1)2－2＝14.∴a＝或－(舍去)．综上可得a＝3或.12.解：法一：(1)由已知得3a＋2＝18?3a＝2?a＝log32.(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．由于2x2＋2x1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)此时g(x)＝λ·2x－4x，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。
指数函数习题(经典含答案及详细解析)
指数函数习题一、选择题1．概念运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，那么函数x x f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 知足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，那么f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的概念域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的概念域是B ，假设A ⊆B ，那么正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，假设数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3)D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14)∪[4，＋∞) 二、填空题7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，那么a 的值是________． 8．假设曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 的取值范围是________．9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的概念域为[a ，b ]，值域为[1,2]，那么区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2342x x ---+的概念域、值域和单调区间．11．(2020·银川模拟)假设函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的概念域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≤b b a >b 得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0，1 x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，那么3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，那么3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，那么u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，因此函数u (x )在(1,2)上单调递增，那么u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2， 当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1， 综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32. 答案：12或328. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得：若是|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 应知足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图知足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数成心义，那么只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的概念域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，那么t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254， ∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，现在x ＝－32，t min ＝0，现在x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52. ∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知， 当－4≤x ≤－32时，t 是增函数， 当－32≤x ≤1时，t 是减函数． 依照复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数． ∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]． 11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，那么y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②假设0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a ＝13或－15(舍去)． 综上可得a ＝3或13. 12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，因此实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，因此实数λ的取值范围是λ≤2.。
指数函数典型例题详细解析
指数函数·例题解析第一课时【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 31.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞）2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0)3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例2】（基础题）指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．【例3】（基础题）比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．例题4（中档题）【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，a a a aan n n n n n nn n nn n -+-+-=-11111111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aa a n n aa a n n n n n n n n n n n n 1111111111()()()--+--+-1a 1n 101【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(1)y (2)y 22x ＝＝－，()121x +(3)y ＝2|x-1|(4)y ＝|1－3x |解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121x x+解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)例6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a ＞1时，y = a x是增函数.【解析】设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h∈R)，很独特的方式则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a＞1，h ＞0，∴1,01>>h x a a ， ∴012>-x x a a ，即故y = a x(a ＞1)为R 上的增函数，同理可证0＜a ＜1时，y = a x21x x a a <是R 上的减函数.【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5xx 25x 622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+5252345252例题7 中档题）指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析） 二次函数为内层函数，指数函数为外层函数又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋u x 5x 6y u y 2x 25x 6()()[)()(]x u ----+5214143414340108324变式1求函数y=（21）xx 22-的单调区间，并证明之.解法一（在解答题）：在R 上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则12y y =12122222)21()21(x x x x --=（21）（x 2－x 1）（x 2+x 1－2） 【（21）为底数，红色部分为指数】 ，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.当x 1、x 2∈（－∞，1］时，x 1+x 2－2＜0.这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＜0，则12y y ＞1.∴y 2＞y 1，函数在（－∞，1］上单调递增.当x 1、x 2∈［1，+∞）时，x 1+x 2－2＞0，这时（x 2－x 1）（x 2+x 1－2）＞0，即12y y ＜1.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）∴y 2＜y 1，函数在［1，+∞上单调递减.综上，函数y 在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）： 设：x x u 22-=则：uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21对任意的211x x <<，有21u u <，又∵uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21是减函数∴21y y < ∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是减函数对任意的121≤<x x ，有21u u >又∵uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21是减函数∴21y y < ∴xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是增函数在该问题中先确定内层函数（x x u 22-=）和外层函数（uy ⎪⎭⎫⎝⎛=21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2 已知0>a 且1≠a ，讨论232)(++-=x x ax f 的单调性.【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数417)23(2322+--=++-x x x ，当x ≥23时是减函数，x ≤23时是增函数，而)(x f 的单调性又与10<<a 和1>a 两种范围有关，应分类讨论. 【解析】设232u x x =-++2317()24x =--+，则当x ≥23时，u 是减函数， 当x ≤23时，u 是增函数， 又当1>a 时，u a y =是增函数， 当10<<a 时，u a y =是减函数， 所以当1>a 时，原函数232)(++-=x x a x f 在),23[+∞上是减函数，在]23,(-∞上是增函数.当10<<a 时，原函数232)(++-=x x a x f 在),23[+∞上是增函数，在]23,(-∞上是减函数.【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数； ；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.第二课时例题8：（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u 的范围)【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222x x x x x x x u --+=-+-+-3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01](][()()()()[x x x x当x ＝0时，函数y 有最大值为1．内层指数函数u=(1/2)x 为减，当u 在（0，1/2】时，此时外层二次f （u)为减函数，即x 在【1，正无穷大），，则复合函数为增（画草图分析法）点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x2≥0; ax>0（2）上述证明过程中，在两次求x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。
指数函数复习的经典例题讲解和习题练习
指数函数复习的经典例题讲解和习题练习典型例题比较大小例1、比较下列各组数的大小:(1)和 ; (2)和 ;根据条件比较字母的大小例2、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．分析：设均为正数，则，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对；对．用语言叙述即在y轴右侧，底越大其图象越远离x轴；在y轴左侧，底越大，其图象越接近x轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y 轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．根据图象比较底数大小例1、(1)指数函数①②满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解:由可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是或,进而再判断①②与和的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令,①②对应的函数值分别为和 ,由可知应选 .(2)曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.化简例1、已知 ,试把用含的式子表示出来,并化简.分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.解: 由可知 ,= ,当时,若 ,则 ,此时 ,若 ,则 ,此时 .当时, .当时, 若 ,则 ,此时 ,若 ,则 ,此时 .小结:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特别是对和的讨论要分清楚.利用换元法求最值例1、设，求函数的最大值和最小值．分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．解：设，由知，，函数成为，，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为．小结：换元法是一种常用的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到诸如，等．二次函数在有界区间上求最值时，可以借助于图形求解．指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[ ]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】比较大小：(3)4.54.1________3.73.6解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．【例5】作出下列函数的图像：(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x|解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)当x＝0时，函数y有最大值为1．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．</PGN0095A.TXT/PGN>∴函数f(x)为奇函数． 即f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)经典习题集合指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()xf c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意xxb c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321xx ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x<<，∴(3)(2)x xf f >． 综上可得(3)(2)xxf f ≥，即()()xxf c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)xx a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)xy a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数216x y -=-的定义域和值域． 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则1y t =-，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)xx y aa a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令xt a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x⨯-⨯-=，令3(0)xt t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数935xy =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535xx y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy =⨯+的图象，故选（C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较与 ；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若，且，比较a 与b ．解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故．（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有．因若 ，则 ．又 ，故，这样 ．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2曲线 分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y ＝4x+2x+1+1＝(2x )2+2·2x+1＝(2x+1)2>1. ∴y ＝4x+2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数 高中数学例题课后习题详解
第四章指数函数与对数函数4.2指数函数例1已知指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠），且(3)πf =，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值.分析：要求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值，应先求出()x f x a =的解析式，即先求a 的值.解：因为()x f x a =，且(3)πf =，则3πa =，解得13πa =，于是3()πxf x =.所以，0(0)π1f ==，13(1)πf ==11(3)ππf --==.例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为150元，比较这15年间A ，B 两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：（1）设经过x 年，游客给A ，B 两地带来的收入分别为()f x 和()g x ，则()1150(10600)f x x =⨯+，()10002781.11x g x =⨯⨯.利用计算工具可得，当0x =时，(0)(0)412000f g -=.当10.22x ≈时，(10.22)(10.22)f g ≈.结合图可知：当10.22x <时，()()f x g x >，当10.22x >时， ()()f x g x <.当14x =时，(14)(14)347303g f -≈.这说明，在2001年，游客给A 地带来的收入比B 地多412000万元；随后10年，虽然()()f x g x >，但()g x 的增长速度大于()f x ；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有()()f x g x =，这时游客给A 地带来的收入和B 地差不多；此后，()()f x g x <，游客给B 地带来的收入超过了A 地；由于()g x 增长得越来越快，在2015年，B 地的收入已经比A 地多347303万元了.（2）设生物死亡x 年后，它体内碳14含量为()h x .如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么157301()2xh x ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当10000x =时，利用计算工具求得1000057301(10000)0.302h ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭.所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.例3比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.51.7，31.7；（2）0.80.8；（3）0.31.7， 3.10.9.分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），0.31.7和 3.10.9不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数 1.7x y =和0.9x y =的单调性，以及“0x =时，1y =”这条性质把它们联系起来.解：（1） 2.51.7和31.7可看作函数 1.7x y =当x 分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数1.71>，所以指数函数 1.7x y =是增函数.因为2.53<，所以 2.531.7 1.7<.（2）同（1）理，因为00.81<<，所以指数函数0.8x y =是减函数.因为>0.80.8<.（3）由指数函数的性质知0.301.7 1.71>=， 3.100.90.91<=，所以0.3 3.11.70.9>.例4如图，某城市人口呈指数增长.（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.4.2.1指数函数的概念练习1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质选择．【详解】由于0x y a =>（0a >，且1a ≠），所以A ，B ，D 都不正确，故选C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点(0,1)，值域是(0,)+∞．2.已知函数(),y f x x =∈R ，且(0.5)(1)(0.5)(0)3,2,2,,2(0)(0.5)(0.5(1))f f f n f f f f n ====- ，*n ∈N ，求函数()y f x =的一个解析式.【答案】()34x f x =⨯【解析】【分析】用连乘法求(1),(2),(3)f f f ，然后用归纳法归纳一个结论．【详解】由己知得，(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，()4(0)x f x f ∴=，又(0)3,()34x f f x =∴=⨯.【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）【答案】6.16倍【解析】【分析】根据平均增长率问题可得．【详解】设现在的蓝藻量为a ，经过30天后的蓝藻量为y ，则30(1 6.25%)y a =+，301.0625 6.16ya∴=≈，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是(1%)x y a p =+．4.2.2指数函数的图象和性质练习4.在同一直角坐标系中画出函数3xy =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性．【详解】3xy =和13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图，3x y =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题．5.比较下列各题中两个值的大小：（1）226,7；（2） 3.5 2.30.3,0.3--；（3）0.5 1.21.2,0.5.【答案】（1）<；（2）>；（3）>【解析】【分析】（1）由函数2y x =的单调性比较；（2）由函数0.3x y =的单调性比较；（3）与中间值1比较．【详解】（1）函数2y x =在(0,)+∞上是增函数，22067,67<<∴< .（2）函数0.3x y =在R 上为减函数，3.5 2.33.5 2.3,0.30.3---<-∴> .（3）0.50 1.200.5 1.21.2 1.21;0.50.51, 1.20.5>=<=∴> .【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．6.体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.【答案】见解析【解析】【分析】定义域是[0,)+∞．是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得．【详解】经时间x ，癌细胞数量为y ，图象如图.【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用．习题4.2复习巩固7.求下列函数的定义域：（1）32x y -=；（2）213x y +=；（3）512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）10.7x y =.【答案】（1）R ；（2）R ；（3）R ；（4）{|0}x x ≠.【解析】【分析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域．【详解】解：（1）函数32x y -=的定义域为R ；（2）函数213x y +=的定义域为R ；（3）函数512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ；（4）要使函数10.7x y =有意义，则0x ≠，则函数10.7x y =的定义域为{|0}x x ≠．【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题．8.一种产品原来的年产量是a 件，今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加%p ，写出年产量y （单位：件）关于经过的年数x 的函数解析式.【答案】()*(1%),x y a p x x m=+∈≤N 【解析】【分析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式．【详解】解：由题意，今后m 年内，年产量随时间变化的增长率为1%p +，又原来的年产量是a 件，∴()*(1%),x y a p x x m =+∈≤N ．【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题．9.比较满足下列条件的m ，n 的大小：（1）22m n <；（2）m n 0.20.2<；（3）(01)n m a a a <<<；（4）(1)m n a a a >>.【答案】（1）m n <；（2）m n >；（3）m n >；（4）m n >.【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小．【详解】解：（1）∵函数2x y =在R 上单调递增，且22m n <，∴m n <；（2）∵函数0.2x y =在R 上单调递减，且m n 0.20.2<，∴m n >；（3）∵函数()01xy a a =<<在R 上单调递减，且(01)n m a a a <<<，∴m n >；（4）∵函数()1xy a a =>在R 上单调递增，且(1)m n a a a >>，∴m n >．【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．10.设函数0()(1)xf x Q r =+，且(10)20.23,(11)23.26f f ==.（1）求函数()f x 的增长率r ；（2）求(12)f 的值.【答案】（1）0.15；（2）26.75.【解析】【分析】（1）由题意得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，由此可求得答案；（2）代入解析式即可求出(12)f ．【详解】解：（1）由已知得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，解得00.155r Q ≈⎧⎨≈⎩.所以增长率r 约为0.15.（2）由（1）知，()5(10.15)x f x =+，∴1212(12)5(10.15)51.1526.75f =⨯+=⨯≈.【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题．综合运用11.求下列函数可能的一个解析式：（1）函数()f x 的数据如下表：x012()f x3.504.205.04（2）函数()g x 的图象如图：【答案】（1）()0.70 3.50f x x =+；（2）1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设()f x ax b =+，再代入其中两点即可算出答案；（2）由图象可知函数模型为指数型，设()x g x k a =⋅，代入两点坐标即可求出答案．【详解】解：（1）设()f x ax b =+.把(0,3.50),(1,4.20)代入得，3.504.20b a b =⎧⎨=+⎩，解得0.703.50a b =⎧⎨=⎩，()0.70 3.50f x x ∴=+为可能的解析式；（2）设()x g x k a =⋅，将(1,2),(1,8)-代入，得128ka ka -=⎧⎨=⎩，解得124a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭为一个可能的解析式．【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．12.比较下列各题中两个值的大小：（1）0.83，0.73；（2）0.10.75-，0.10.75；（3） 2.71.01， 3.51.01；（4） 3.30.99， 4.50.99.【答案】（1）0.830.73>；（2）0.10.75-0.10.75>；（3） 2.71.01< 3.51.01；（4） 3.30.99 4.50.99>.【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）由3x y =单调递增，0.80.7>，所以0.830.73>；（2）由0.75x y =单调递减，0.10.1-<，所以0.10.75-0.10.75>；（3）由 1.01x y =单调递增，2.7 3.5<，所以 2.71.01< 3.51.01；（4）由0.99x y =单调递减，3.3 4.5<，所以 3.30.99 4.50.99>.13.当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论．【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为911125121000⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以能探测到．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．14.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a （单位：元），每期利率为r ，本利和为y （单位：元），存期数为x .（1）写出本利和y 关于存期数x 的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.【答案】（1）(1)x y a r =+.（2）1117.68y ≈（元）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和y 随x 变化的函数关系式；（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．【详解】解：（1）根据题意可得(1)x y a r =+；（2）由（1）可知，当5x =时，51000(1 2.25%)y =+51000 1.022111.5768≈=⨯，∴5期后的本利和约为1117.68元．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．拓广探索15.已知函数()||12x f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.【答案】（1）||2122x y ⎛⎫=- ⎪⎭+⎝，图象见解析；（2）()f x 为偶函数，()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数.【解析】【分析】（1）由函数图象过原点可得0a b +=，又由图象无限接近直线2y =可得2b =，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．【详解】解：（1）由题意知，0,2a b b +==，2a ∴=-，()||1222x f x ⎛⎫∴=- ⎪⎝+⎭，∴()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，图象如图：（2）∵||1()222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1()222x f x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭122()2xf x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴为偶函数，又()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．16.已知f (x )=a x ，g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭(a >0，且a ≠1).（1）讨论函数f (x )和g (x )的单调性；（2）如果f (x )<g (x )，那么x 的取值范围是多少？【答案】（1）答案见解析；（2）当a >1时，x 的取值范围是(,0)-∞；当0<a <1时，x 的取值范围是(0,)+∞.【解析】【分析】（1）由题意按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解；（2）由题意转化条件得0()()1x f x g x a a <⇔<=，按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解.【详解】（1）当a >1时，f (x )=a x 是R 上的增函数，由于0<1a <1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的减函数；当0<a <1时，f (x )=a x 是R 上的减函数，由于1a >1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的增函数；（2）()201()()11xx x x f x g x a a a a a ⎛⎫<⇔<⇔<⇔<= ⎪⎝⎭，当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0.-∞；∴当a>1时，x的取值范围是(,0)+∞.当0<a<1时，x的取值范围是(0,)【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.。
指数函数及应用经典练习及答案
[基础巩固]1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5解析 因为函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.答案 D2．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2) 解析 f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，则f (－2)>f (－1)． 答案 A3．(多选)以下关于数的大小的结论正确的是( )3．(多选)以下关于数的大小的结论正确的是( )A ．1.72.5＜1.73B ．0.8－0.1＜0.8－0.2C ．1.70.3＜0.93.1D ．⎝⎛⎭⎫13 13 ＞⎝⎛⎭⎫14 14解析 y ＝1.7x 单调递增，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，A 正确；y ＝0.8x 单调递减，－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2，B 正确；又1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，C 错误；⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1313 12 ＝⎝⎛⎭⎫13 4 ＝181 ， ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1414 12 ＝⎝⎛⎭⎫14 3＝164 ， ∵181 ＜164，∴⎝⎛⎭⎫13 13 ＜⎝⎛⎭⎫14 14 ，D 错误． 答案 AB4．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数．∴x >1－x .即x >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 5．已知2x ≤⎝⎛⎭⎫14x －3，则函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的值域为 ________________ .解析 由2x ≤⎝⎛⎭⎫14x －3，得2x ≤2－2x ＋6， ∴x ≤－2x ＋6，∴x ≤2.∴⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫122＝14，即y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的值域为⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞6．已知函数.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间．(2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. [能力提升]7．已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．答案 A8．若函数的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． 解析 令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19， 所以g (x )的值域是[2，＋∞)．因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －44a ＝2，解得a ＝1， 这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．答案 (－∞，－1]9．已知函数，则f (x )的单调递增区间为________，值域为________．解析 令x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴f (x )的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，令t ＝x 2－2x －1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为减函数，故f (x )的增区间为(－∞，0]．∵t ＝x 2－2x －1≥－1，∴⎝⎛⎭⎫12t ∈(0,2]．故f (x )的值域为(0,2]．答案 (－∞，0] (0,2]10．已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上总为增函数．(2)若f (x )为奇函数，求a 的值．(3)在(2)的条件下，求f (x )在区间[1,5]上的最小值．解析 (1)因为f (x )的定义域为R ，任取x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上总为增函数． (2)因为f (x )在R 上为奇函数，所以f (0)＝0，即a －120＋1＝0，解得a ＝12. 经检验，a ＝12时，f (x )＝12－12x ＋1是奇函数． (3)由(2)知，f (x )＝12－12x ＋1， 由(1)知，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1)．因为f (1)＝12－13＝16， 所以f (x )在区间[1,5]上的最小值为16. [探索创新]11．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值与最小值之差为32. (1)求实数a 的值；(2)若g (x )＝f (x )－f (－x )，当a ＞1时，解不等式g (x 2＋2x )＋g (x －4)＞0.解析 (1)当a ＞1时，f (x )max ＝a ，f (x )min ＝1a， 则a －1a ＝32，解得a ＝2， 当0＜a ＜1时，f (x )max ＝1a，f (x )min ＝a ， 则1a －a ＝32，解得a ＝12. 综上得：a ＝2或a ＝12. (2)当a ＞1时，由(1)知a ＝2，g (x )＝2x －2－x 为奇函数且在R 上是增函数，所以g (x 2＋2x )＋g (x －4)＞0⇒g (x 2＋2x )＞－g (x －4)＝g (4－x )⇒x 2＋2x ＞4－x ⇒x ＞1或x ＜－4.所以，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．。
指数函数练习题含答案
例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． [f(a-x)=f(b+x)的对称轴为啥是x=(a+b)/2? 可设对称轴为x=c,不妨令a-x<c<b+x. 易知a-x 到c 的距离等于b+x 到c 的距离. 于是 c-(a-x)=(b+x)-c, 解得c=(a+b)/2. 即对称轴为x=(a+b)/2.]例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3.若10x =3，10y =4，则10x-y =例4 求函数y =解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1， ∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.6．若函数是奇函数，求 的值． ．解：为奇函数， ，即，则 ， 7.求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31为减函数 ∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减， 当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 8.已知函数f （x ）=a －122+x （a ∈R ）， （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。
指数函数习题（经典含答案及详细解析）
2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且A ．f (b x )≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) lg(a x －2x－5 ≥5 [9，(9，1，，1[1，[1，，1)上的最大值比最小值大，则234x x ---+11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．的取值范围．指数函数答案指数函数答案1.1.解析：由解析：由a ⊗b ＝îïíïìa a ≤bba >b得f (x )＝1⊗2x＝îïíïì2xx，1x答案：答案：A A 2. 2. 解析：∵解析：∵f (1(1＋＋x )＝f (1(1－－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)(0)＝＝3，∴c ＝3.3.∴∴f (x )在(－∞，－∞，1)1)1)上递减，在上递减，在上递减，在(1(1(1，＋∞)上递增．，＋∞)上递增．，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x)．若x <0<0，则，则3x<2x<1<1，∴，∴f (3x)>f (2x)． ∴f (3x )≥f (2x )． 答案：答案：A A3.3.解析：由于函数解析：由于函数y ＝|2x－1|1|在在(－∞，－∞，0)0)0)内单调递减，在内单调递减，在内单调递减，在(0(0(0，＋∞)内单调递增，而函数在，＋∞)内单调递增，而函数在区间区间((k －1，k ＋1)1)内不单调，所以有内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－，解得－1<1<k <1. 答案：答案：C C4. 4. 解析：由题意得：解析：由题意得：A ＝(1,2)(1,2)，，a x －2x >1且a >2>2，由，由A ⊆B 知a x －2x>1在(1,2)(1,2)上恒成立，即上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)(1,2)上恒成立，令上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0ln2>0，所以函数，所以函数u (x )在(1,2)(1,2)上单调递增，则上单调递增，则u (x )>u (1)(1)＝＝a －3，即a ≥3.≥3. 答案：答案：B B5. 5. 解析：数列解析：数列解析：数列{{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，为增函数，注意a 8－6>(3>(3－－a )×7－)×7－33，所以îïíïìa >13－a >0a8－6－a －3，解得2<a <3.答案：答案：C C6. 6. 解析：解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1<1，，综上，12≤a <1或1<a ≤2.≤2.答案：答案：C C7. 7. 解析：当解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2][1,2]上单调递增，故上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝ax 在[1,2][1,2]上单调递减，故上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线曲线||y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果的图象如图所示，由图象可得：如果||y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]1,1]．． 答案：答案：[[－1,1]9. 9. 解析：如图满足条件的区间解析：如图满足条件的区间解析：如图满足条件的区间[[a ，b ]，当a ＝－＝－11，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－＝－11，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：答案：1 110. 10. 解：要使函数有意义，则只需－解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.≤1. ∴函数的定义域为∴函数的定义域为{{x |－4≤x ≤1}．≤1}． 令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－＝－((x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－＝－44或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x ---+的值域为的值域为[[28，1]1]．．＋)＋(≤－时，≤234()2x x ---+在，－32]－32，－32，，－32][1a，，1a ]＝1a，即(1a＋＝13或－15(或13.。
指数函数经典例题和课后习题
5、经典例题重现【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1________3.73.6【例4】已知函数f(x)＝a －12x＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【例5】函数0()(>=a a x f x且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值比最小值大2a，求a 的值。
【例6】函数xx y -=22的单调递增区间为【例7】设20≤≤x ，求函数523421+∙-=-x x y 的最大值和最小值。
【例8】已知函数1762)21(+-=x xy（1）求函数的定义域及值域；（2）确定函数的单调区间。
指数函数·经典例题解析(重在解题方法)【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）||2()3x y =；（2）1241++=+x xy ；【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b及时演练 指数函数①②满足不等式,则它们的图象是 ( ).【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1________3.73.6及时演练（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3与 0.93.1（４）5.31.2和7.20.2【例５】已知函数f(x)＝a －12x＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5xx 25x 622()()3434u及时演练【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222x x x x x x x u --+=-+-+-3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01](][()()()()[x x x x当x ＝0时，函数y 有最大值为1．【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212 备选例题1．比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ； （2）若，比较与；（3）若 ，比较 与 ；2.已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．3. 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度4. 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值5. 函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( )指数函数练习题一．选择题：2．在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与xa x g =)(的图像可能是（ ）3 函数xa x f )1()(2-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）1.>a A2.<a B 2.<a C 21.<<a D4．函数121-=x y 的值域是（ ） )1,.(-∞A ),0()0,.(+∞-∞ B ),1.(+∞-C ),0()1,.(+∞--∞ D5．函数0.(12>+=-a ay x 且)1≠a 的图像必经过点（ ）)1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D6．某厂1998年的产值为a 万元，预计产值每年以n ％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ）n a A +1(.％13) n a B +1(.％12) n a C +1(.％11) n D -1(910.％12) 二．填空题：1． 已知)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则=)3(f2． 设10<<a ，使不等式531222+-+->x xx xa a 成立的x 的集合是3． 函数x x y 28)13(0-+-=的定义域为 4． 函数xx y -=22的单调递增区间为三、解答题：1．设20≤≤x ，求函数523421+∙-=-x x y 的最大值和最小值。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
指数函数典型例题详细解析
指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1：求下列函数的定义域与值域：1) $y=\frac{3}{2-x}$解：定义域为$x\in R$且$x\neq 2$，值域为$y>0$且$y\neq1$。
2) $y=2x+2-1$解：由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$，得定义域为$x\geq -2$，值域为$|y|\geq 0$。
3) $y=3-3x-1$解：由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$，得定义域为$x\leq 2$，由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$，得值域为$y<3$。
1.指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）的定义域是$R$，值域是$(0,+\infty)$。
2.求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为$0$③形如$a^0$，($a\neq 0$)3.求函数的值域：①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。
例如：$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$)，先换元，再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）。
例2：指数函数$y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$的图像如图2.6-2所示，则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是？解：选$(c)$，在$x$轴上任取一点$(x,0)$，则得$b<a<1<d<c$。
例3：比较大小：1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是：$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。
2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$，$2$的大小关系是：$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。
(完整版)指数函数练习题(包含详细答案)
g 1．给出下列结论：＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；nan ④若2x ＝16,3y ＝，则x ＋y ＝7.127其中正确的是( )A ．①② B ．②③C ．③④D ．②④答案 B 解析 ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝，∴y ＝－3.127∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，故④错．2．函数y ＝的值域是( )16－4x A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)答案 C3．函数f (x )＝3－x －1的定义域、值域是( )A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域是(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上都不对答案 C解析 f (x )＝()x －1，13∵()x >0，∴f (x )>－1.134．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝()－1.5，则( )12A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数，∴y 1>y 3>y 2.5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0答案 D6．(2014·成都二诊)若函数f (x )＝(a ＋)cos x 是奇函数，则常数a 的值1e x －1等于( )A ．－1B ．1C ．－D.1212答案 D7．(2014·山东师大附中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B8．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( )A ．－B ．0112C ．2D ．10答案 C解析 设t ＝2x ，∵x ∈[0，＋∞)，∴t ≥1.∵y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2，∴函数f (x )的最小值为2.9．已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＋2x －k ＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(－1,2]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)答案 A解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝－2x ＋k 的图像，数形结合即可．10．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变化时，函数b ＝g (a )的图像可以是( )答案 B解析 函数y ＝2|x |的图像如图．当a ＝－4时，0≤b ≤4；当b ＝4时，－4≤a ≤0.11．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－，－1)∪(1，)22解析 函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <或－<a <－1.2212．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.答案 2解析 ∵y ＝a x 在[0,1]上为单调函数，∴a 0＋a 1＝3，∴a ＝2.13．(2014·沧州七校联考)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝，则19f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 f (1)＝a 2＝，a ＝，1913f (x )＝Error!∴单调递减区间为[2，＋∞)．14．若0<a <1,0<b <1，且，则x 的取值范围是________．答案 (3,4)解析 log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.15．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是______．答案 m ≤－216．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]，∴a x ∈[，a ]，即t ∈[，a ]．1a 1a ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<)．1a 1a ∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14.∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3.(2)当0<a <1时，t ∈[a ，]．1a ∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，]上是增函数，1a ∴y max ＝(＋1)2－2＝14.1a ∴a ＝或a ＝－.∵0<a <1，∴a ＝.131513综上，a ＝3或a ＝.1317．(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中a ，b 满足a ·b ≠0.(1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．答案 (1)a >0，b >0时，f (x )增函数；a <0，b <0时，f (x )减函数(2)a <0，b >0时，x >log 1.5；a >0，b <0时，x <log 1.5(－a2b )(－a2b )解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.当a <0，b >0时，x >－，则x >log 1.5；(32)a2b (－a2b )当a >0，b <0时，x<－，则x <log1.5.(32)a 2b (－a2b )18．已知函数f (x )＝－.2x2x ＋1(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(2)若x ∈[1,2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝＋f (x )，且当x ∈[1,2]时g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范a2围．答案 (1)略 (2)[－，－] (3)a ≥452385(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f (x )的值域为[－，－]．4523(3)当x ∈[1,2]时，g (x )∈[－，－]．a245a 223∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，a 24585∴－≥0，∴a≥.。
指数函数及其性质(含解析、答案)
A 基础练习2.1.2指数函数（1时） 1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝2－x D ．y ＝1x【解析】 y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x，符合指数函数的定义，故选C.【答案】 C 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．a>0且a ≠1B ．a>3C ．a<3D ．2<a<3【解析】 由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，∴a －2>1，∴a>3，故选B. 【答案】 B 3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a ＝5－12∈(0,1)， 故a m >a n ⇒m<n. 【答案】 m<n4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．【解析】 设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，由题意得a 2＝4，∴a ＝2，∴f(x)＝2x ， ∴f(－3)＝2－3＝18.B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)【解析】 由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x－2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．【答案】 D2．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 【解析】因为函数f(x)= |x|= 图象如右图． 由图象可知答案显然是D. 【答案】 D3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝21x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫122－x【解析】 在A 中，∵1x ≠0，∴21x≠1，即y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0，∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)． 在C中，∵2x >0，∴2x ＋1>1.∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)． 在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x>0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D 4．方程4x －1＝116的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.【答案】 (0,1)6．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫132≤⎝⎛⎭⎫13x ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3， 于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.【答案】 [－89，2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域． 【解析】 (1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，19， 所以a 4－2＝19＝⎝⎛⎭⎫132，∴a ＝13，(2)f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －2(x ≥0)， 由x ≥0，得x －2≥－2， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －2≤⎝⎛⎭⎫13－2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]． 8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|； (4)y ＝－2x .【解析】 如图所示．y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的；y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.2.1.2指数函数（2时） A 基础练习1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 【解析】 因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝⎛⎭⎫14b <⎝⎛⎭⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】 由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x是R 上的减函数， 得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a .由0<a<b<1知0<a b <1.∵⎝⎛⎭⎫a b a <⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C. 也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】 对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 2，∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a ≥6. ∴a 的取值范围是a ≥6. B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.()1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】 因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】 依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1.又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝⎛⎭⎫1a 1－2x(a>0且a ≠1)．【解析】 原不等式可以化为a 2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174， 则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x . (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x＋3x ＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增， 即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。
指数函数经典练习及答案
[基础巩固]1．函数y ＝12x －1的定义域为( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．{x |x ≠0，x ∈R }解析 因为2x －1≠0，所以x ≠0.答案 D2．函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )解析 f (x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，故由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移1个单位得到f (x )的图象，又f (0)＝2，故选A ．答案 A3．(多选)若f (x )＝3x ＋1，则下列选项中不正确的是( )A ．f (x )在[－1,1]上单调递减B ．y ＝3x ＋1与y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0,1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)解析 f (x )＝3x ＋1在R 上单调递增，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0,2)，则C 错误；由3x >0，可得f (x )>1，则D 错误．故选A 、C 、D.答案 ACD4．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________.解析 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案 645．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x ＋b 的图象一定不经过第________象限． 解析 函数y ＝a x 的图象过点(0,1)，向下平移|b |个单位长度，超过一个单位长度，所以函数f (x )＝a x ＋b 的图象不过第一象限．答案 一6．已知函数f (x )＝a x (x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．解析 (1)因为函数f (x )＝a x (x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，所以a 2＝14，a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥0)，函数为减函数，当x ＝0时，函数取最大值1，故f (x )∈(0,1]，所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1(x ≥0)∈(1,2]，故函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域为(1,2]．[能力提升]7．函数y ＝a x －1a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 A ，B 选项中，a ＞1，于是0＜1－1a＜1，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在(0,1)之间，显然A ，B 的图象均不正确；C ，D 选项中，0＜a ＜1，于是1－1a＜0，所以D 项符合． 答案 D 8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是____________ . 解析 由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案 (－1,0)∪(0,1)9．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，给出下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中，不可能成立的有________个．解析 作y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(图略)． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ＝1；当a ＜b ＜0时，可以使⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ；当a ＞b ＞0时，也可以使⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b .故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系是③④.答案 210．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大14，求a 的值． 解析 ①当a >1时，f (x )＝a x 在区间[0,2]上为增函数，此时f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (0)＝1，所以a 2－1＝14，所以a ＝52； ②当0<a <1时，f (x )＝a x 在区间[0,2]上为减函数，此时f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (2)＝a 2，所以1－a 2＝14，所以a ＝32. 综上所述，a ＝52或a ＝32. [探索创新]11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．解析 (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为 (0,1)，又f (0)＝1＋b ＜0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)．(2)y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.。
指数函数(带答案)
3.12指数函数一、选择题1．若函数y ＝(2a －1)x ＋a －2为指数函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2[答案] D[解析] 要使函数y ＝(2a －1)x ＋a －2为指数函数，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＞02a －1≠1a －2＝0 ，解得a ＝2.2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有( ) A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )[答案] C[解析] ∵f (x )＝a x ，∴f (x ＋y )＝a x ＋y ，f (x )·f (y )＝a x ·a y ＝a x ＋y ，∴f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9[答案] C[解析] ∵f (0)＝20＋1＝2，∴f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.4．若函数y ＝(1－a )x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)[答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1.5．下图是指数函数：①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c[答案] B[解析] 直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 [答案] B[解析] f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，g (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，故选B.7．函数f (x )＝3x －x －4的零点，所在的大致区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)[答案] C[解析] ∵f (－1)＝3－1－1－4＝13－1－4＝－143<0，f (0)＝30－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝3－1－4＝－2<0， f (2)＝32－2－4＝9－2－4＝3>0，∴函数f (x )的零点所在的大致区间为(1,2)．8．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b b ，a >b ，则函数f (x )＝1*(12)x 的图象为( )[答案] D[解析] 由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≤0)(12)x (x >0).∵x ≤0时，f (x )＝1，排除A 、C ， 又∵x >0时，f (x )＝(12)x ，∴f (1)＝12<1，排除B ，故选D.9．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}[答案] B[解析] 解法一：验证排除法：由题意可知0∉M ∩N ，故排除C 、D ；又1∉N ，∴1∉M ∩N ，故排除A ，故选B.解法二：M ＝{－1,1}，N ＝{x |－1<x ＋1<2，x ∈Z }＝{x |－2<x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}． 10．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x≤1x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x >－3，∴f (x )定义域为(－3,0]．11．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] A[解析] 令u ＝1－x ，则y ＝(12)u .∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 又∵y ＝(12)u 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝(12)1－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.12．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B ．154C. 174D ．a 2[答案] B[解析] ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154.13．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对． y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数， 但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对． D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数， 但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．14．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象，知0<a <1，b <－1，所以g (x )的图象可以看作是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移|b |个单位得到的，所以选A.15．(2014·陕西文，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝(12)x[答案] B[解析] 当f (x )＝3x 时，f (x ＋y )＝3x ＋y ，f (x )f (y )＝3x ·3y ＝3x ＋y ，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )；当f (x )＝(12)x 时，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ，f (x )f (y )＝(12)x ·(12)y ＝(12)x ＋y，∴f (x ＋y )＝f (x )f (y )，又f (x )＝(12)x 为单调递减函数，f (x )＝3x 为单调递增函数，故选B.二、填空题16．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)；②g (x )≠0.若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．[答案] 2或12[解析] 由f (x )＝a x ·g (x )，得f (x )g (x )＝a x .∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，∴a ＋a －1＝52.解得a ＝2或12.17．已知a ＞b ，ab ≠0，下列不等式①a 2＞b 2；②2a ＞2b ； ③0.2－a ＞0.2－b ；④(13)a ＜(13)b 中恒成立的有________．[答案] ②③④[解析] ①若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，故①不正确； ②y ＝2x 为增函数，∴2a ＞2b ，②正确； ③y ＝0.2x 为减函数，∴0.2－a ＞0.2－b ，③正确；④y ＝(13)x 为减函数，∴(13)a ＜(13)b ，④正确．18．函数y ＝2x －12x ＋1的奇偶性是__________．[答案] 奇函数[解析] f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 19．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2定义域是__________，值域为__________．[答案] [－1,2] [24，1] [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2， 此时－x 2＋x ＋2∈[0，94]，∴u ＝－x 2＋x ＋2∈[0，32]，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12u ∈[24，1]． 20．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时， f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是______________． [答案] (－∞，－1)[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1. 当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (x )＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知不等式的解集为(－∞，－1)． 三、解答题21．函数f (x )＝12(a x ＋a －x )，(a >0且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)若函数f (x )的图象过点(2，419)，求f (x )．[解析] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f (－x )＝12(a －x ＋a x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． (2)∵函数f (x )的图象过点(2，419)， ∴419＝12(a 2＋a －2)＝12(a 2＋1a 2)， 整理得9a 4－82a 2＋9＝0， ∴a 2＝19或a 2＝9.∴a ＝13或a ＝3.故f (x )＝12(3x ＋3－x ).22．已知a >0且a ≠1，y 1＝a 3x ＋1，y 2＝a－2x，问当x 取何范围内的值时，①y 1＝y 2；②y 1>y 2.[解析] (1)若y 1＝y 2，则a 3x ＋1＝a－2x，即3x ＋1＝－2x ，解得x ＝－15，因此当x ＝－15时，y 1＝y 2.(2)由y 1>y 2得a 3x ＋1>a－2x，当a >1时，由3x ＋1>－2x ，得x >－15，当0<a <1时，由3x ＋1<－2x ，得x <－15，综上可知：当a >1，x >－15时，y 1>y 2；0<a <1，x <－15时，y 1>y 2.23．已知f (x )＝x (12x －1＋12)(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )>0. [解析] (1)f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋1＋12＝－x ⎝⎛⎭⎫2x1－2x ＋12＝x ⎝⎛⎭⎫2x2x －1－12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－1＋12x－1－12 ＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12＝f (x )∴f (x )是偶函数． (2)当x >0时，2x －1>0， ∴f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12>0，又∵函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴当x ≠0时，总有f (x )>0. 24．已知函数f (x )＝1－23x ＋1.(1)求函数f (x )的定义域，判断并证明f (x )的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数f (x )在其定义域上是增函数； (3)解不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0. [解析] (1)∵3x >0，∴3x ＋1≠0， 函数f (x )的定义域为R .f (x )＝1－23x ＋1＝3x ＋1－23x ＋1＝3x －13x ＋1，∴f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝1－3x3x 1＋3x 3x ＝1－3x1＋3x＝－f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－23x 1＋1－(1－23x 2＋1)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1＋1)－2(3x 2＋1)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴3x 1<3x 2，∴3x 1－3x 2<0， 又3x 1＋1>0,3x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在其定义域内是增函数．(3)由f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0得f (3m ＋1)<－f (2m －3)，∵函数f (x )为奇函数，∴－f (2m －3)＝f (3－2m )，∴f (3m ＋1)<f (3－2m )． 由(2)已证得函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (3m ＋1)<f (3－2m )⇔3m ＋1<3－2m ，∴m <25.不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0的解集为{m |m <25}．。
指数函数经典例题(答案)
指数函数1．指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小 例1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____． 分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内． 解：∵， ∴函数的对称轴是． 故，又，∴． ∴函数在上递减，在上递增． 若，则，∴； 若，则，∴． 综上可得，即． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵， ∴函数在上是增函数， ∴，解得．∴x的取值范围是． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域． 解：由题意可得，即， ∴，故．∴函数的定义域是． 令，则， 又∵，∴．∴，即． ∴，即． ∴函数的值域是． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为． ∴当时，∵， ∴，即． ∴当时，． 解得或（舍去）； 当时，∵， ∴，即， ∴时，， 解得或（舍去），∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程． 解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小： （1）若，比较与； （2）若，比较与； （3）若，比较与； （4）若，且，比较a与b； （5）若，且，比较a与b． 解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故． （2）由，故，故．从而． （3）由，因，故．又，故．从而． （4）应有．因若，则．又，故，这样，故．从而，这与已知矛盾． （5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是 ( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选. 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数经典例题(答案)
指数函数1．指数函数的定义：函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101的图象.我们观察y=x2，y=x⎪⎭⎫⎝⎛21，y=x10，y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征，就可以得到)1(≠>=aaay x且的图象和性质。
a>10<a<1]图象00性质(1)定义域：R,（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小~例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． (2．求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ^∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =，又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．|∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 ￥例5 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t =-（舍去），∴39x =，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断． :解：∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935x y =⨯+的图象，故选（C ）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题1、比较下列各组数的大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较与；（4）若 ，且，比较a 与b ； （5）若 ，且，比较a 与b ．解：（1）由 ，故 ，此时函数为减函数．由，故 ．， （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故 ，这样 ．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线 分别是指数函数,和的图象,则 与1的大小关系是 ( ). &(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝231-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵31-x ≠0，∴231-x ≠1，^∴y ＝231-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.(2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝. 4，已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以931≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
指数函数经典例题(答案)
指数函数1．指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。
a>1 0<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例 1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．解：∵，∴函数的对称轴是．故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；若，则，∴．综上可得，即．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2 已知，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3 求函数的定义域和值域．解：由题意可得，即，∴，故．∴函数的定义域是．令，则，又∵，∴．∴，即．∴，即．∴函数的值域是．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．∴当时，∵，∴，即．∴当时，．解得或（舍去）；当时，∵，∴，即，∴时，，解得或（舍去），∴a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5 解方程．解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（2）由，故．又，故．从而．（3）由，因，故．又，故．从而．（4）应有．因若，则．又，故，这样．又因，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有．因若，则．又，故，这样有．又因，且，故．从而，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3，求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我指数函数及其基本性质指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如21,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,xa 无意义）(3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .指数函数的图像及性质函数值的分布情况如下：指数函数平移问题（引导学生作图理解）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略），⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .f (x )的图象向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象.指数函数·经典例题解析(重在解题方法)【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）412-=x y ； （2）||2()3x y =；（3）1241++=+x xy ；【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是[ ]A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ． b ＜a ＜1＜d ＜cD ．c ＜d ＜1＜a ＜b解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．及时演练指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()(3)4.54.1解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()()解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y 1＝，y 2＝的图像如图2．6－3，取x ＝，得 4.54.1＞说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)． 及时演练（1） 与( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 )与（４）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，a a a aan n n n n n nn n nn n -+-+-=-11111111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n aa a n n n n n n n n n n n n 1111111111()()()--+--+-1a 1n 101【例５】已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即a －12－x＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 12【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5xx 25x 622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+5252345252又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋u x 5x 6y u y 2x 25x 6()()[)()(]x u ----+5214143414340108324及时演练【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222x x x x x x x u --+=-+-+-3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01](][()()()()[x x x x当x ＝0时，函数y 有最大值为1．【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数f(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212 备选例题1．比较下列各组数的大小：（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较与；（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若，且，比较a 与b ．解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故．从而，这与已知矛盾．（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．,2.已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 3. 解方程223380x x +--=．解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为298090t t --=，解得9t =或19t=-（舍去），∴39x=，∴2x=，经检验原方程的解是2x=．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．4. 为了得到函数935xy=⨯+的图象，可以把函数3xy=的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数935xy=⨯+转化为235xt+=+，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵293535x xy+=⨯+=+，∴把函数3xy=的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy=⨯+的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．5. 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以931≤≤t，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5. 函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是( )分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥).()1(),(xaxaxx又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝a x是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.∴应选B.指数函数练习题一．选择题：1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。
经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）511.A个512.B个1023.C个1024.D个2．在统一平面直角坐标系中，函数axxf=)(与x axg=)(的图像可能是（）y1y1y1y13．设d c b a ,,,都是不等于1的正数，xxxxd y c y b y a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是（ ）d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D <<<.4.若01<<-x ，那么下列各不等式成立的是（ ）x x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x xx C 222.0.<<- x x x D 2.022.<<-5函数xa x f )1()(2-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）1.>a A2.<a B 2.<a C 21.<<a D6．函数121-=xy 的值域是（ ） )1,.(-∞A ),0()0,.(+∞-∞ B ),1.(+∞-C ),0()1,.(+∞--∞ D 7．当1>a 时，函数11-+=x x a a y 是（ ）.A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数8．函数0.(12>+=-a ay x 且)1≠a 的图像必经过点（ ）)1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D9．若0x 是方程xx12=的解，则∈0x （ ） )2.0,1.0.(A )4.0,3.0.(B )7.0,5.0.(C )1,9.0.(D10．某厂1998年的产值为a 万元，预计产值每年以n ％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ）n a A +1(.％13) n a B +1(.％12) n a C +1(.％11) n D -1(910.％12) 二．填空题：1． 已知)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则=)3(f 2． 设10<<a ，使不等式531222+-+->x x x x aa 成立的x 的集合是3． 若方程0)21()41(=++a xx有正数解，则实数a 的取值范围是 4． 函数x x y 28)13(0-+-=的定义域为xa =xby =xc y =xd y =xyo5． 函数xx y -=22的单调递增区间为三、解答题：1．设20≤≤x ，求函数523421+•-=-x x y 的最大值和最小值。