二次函数的含参计算练习

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解答题压轴题纯含参二次函数问题(解析版)-中考数学专项训练

解答题压轴题纯含参二次函数问题模块一2022中考真题集训1.(2022•北京)在平面直角坐标系xOy 中，点(1，m )，(3，n )在抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)上，设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)当c =2，m =n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点(x 0，m )(x 0≠1)在抛物线上．若m <n <c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．思路引领：(1)将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，再根据m =n 得出b =-4a ，再求对称轴即可；(2)再根据m <n <c ，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x 0的取值范围．解：(1)法一、将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，∴m =a +b +c n =9a +3b +c，∵m =n ，∴a +b +c =9a +3b +c ，整理得，b =-4a ，∴抛物线的对称轴为直线x =-b 2a =--4a 2a=2；∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．法二、当m =n 时，点A (1，m )，B (3，n )的纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x =1+32，∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．(2)∵m <n <c ，∴a +b +c <9a +3b +c <c ，解得-4a <b <-3a ，∴3a <-b <4a ，∴3a 2a <-b 2a <4a 2a ，即32<t <2．由题意可知，点(x 0，m )与点(1，m )关于x =t 对称；∴t =x 0+12；当t =32时，x 0=2；当t =2时，x 0=3．∴x 0的取值范围2<x 0<3．综上，t 的取值范围为：32<t <2；x 0的取值范围2<x 0<3．总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52 是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．3.(2022•长沙)若关于x 的函数y ，当t -12≤x ≤t +12时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h =M -N 2，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y =4044x ，当t =1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y =kx +b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y =2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y =-x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)①由题意求出M =6066，N =2022，再由定义可求h 的值；②分两种情况讨论：②当k >0时，M =kt +12k +b ，N =kt -12k +b ，h =12k ；当k <0时，M =kt -12k +b ，有N =kt +12k +b ，h =-12k ；(2)由题意t -12≥1，M =2t -12，N =2t +12，则h =44t 2-1，所以h 有最大值12；(3)分四种情况讨论：①当2≤t -12时，M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，h =t -2；②当t +12≤2时，N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，h =2-t ，；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -32 2；④当t <2≤t +12，N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -52 2，画出h 的函数图象，结合图象可得18=4+k ，解得k =-318．解：(1)①∵t =1，∴12≤x ≤32，∵函数y =4044x ，∴函数的最大值M =6066，函数的最小值N =2022，∴h =2022；②当k >0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt +12k +b ，有最小值N =kt -12k +b ，∴h =12k ；当k <0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt -12k +b ，有最小值N =kt +12k +b ，∴h =-12k ；综上所述：h =12k；(2)t -12≥1，即t ≥32，函数y =2x (x ≥1)最大值M =2t -12，最小值N =2t +12，∴h =44t 2-1，当t =32时，h 有最大值12；(3)存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值，理由如下：∵y =-x 2+4x +k =-(x -2)2+4+k ，∴函数的对称轴为直线x =2，y 的最大值为4+k ，①当2≤t -12时，即t ≥52，此时M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，∴h =t -2，此时h 的最小值为12；②当t +12≤2时，即t ≤32，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，∴h =2-t ，此时h 的最小值为12；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，此时N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -32 2，∴h 的最小值为18；④当t <2≤t +12，即32≤t <2，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -52 2，∴h 的最小值为18；h 的函数图象如图所示：h 的最小值为18，由题意可得18=4+k ，解得k =-318；综上所述：k 的值为-318．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．4.(2022•广州)已知直线l ：y =kx +b 经过点(0，7)和点(1，6)．(1)求直线l 的解析式；(2)若点P (m ，n )在直线l 上，以P 为顶点的抛物线G 过点(0，-3)，且开口向下．①求m 的取值范围；②设抛物线G 与直线l 的另一个交点为Q ，当点Q 向左平移1个单位长度后得到的点Q ′也在G 上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求解析式即可；(2)①设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，将点(0，-3)代入可得am2+7-m=-3，再由a= m-10m2<0，求m的取值即可；②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m-1a，可求a=-2，从而可求m=2或m=-52，确定抛物线的解析式后即可求解．解：(1)将点(0，7)和点(1，6)代入y=kx+b，∴b=7k+b=6 ，解得k=-1 b=7 ，∴y=-x+7；(2)①∵点P(m，n)在直线l上，∴n=-m+7，设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，∵抛物线经过点(0，-3)，∴am2+7-m=-3，∴a=m-10m2，∵抛物线开口向下，∴a<0，∴a=m-10m2<0，∴m<10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x=m，∴Q点与Q'关于x=m对称，∴Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m ，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+12=2m-1a，∴a=-2，∴y=-2(x-m)2+7-m，∴-2m2+7-m=-3，解得m=2或m=-5 2，当m=2时，y=-2(x-2)2+5，此时抛物线的对称轴为直线x=2，图象在85≤x≤135上的最高点坐标为(2，5)；当m=-52时，y=-2x+522+192，此时抛物线的对称轴为直线x=-5 2，图象在-2≤x≤-1上的最高点坐标为(-2，9)；综上所述：G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标为(-2，9)或(2，5)．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．5.(2022•贵阳)已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(-1，e)，(-3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当-2≤m≤1时，n的取值范围是-1≤n≤1，求二次函数的表达式．思路引领：(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．(2)分类讨论a>0，a<0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．(3)分类讨论a>0，a<0，由抛物线开口向上可得m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，由抛物线开口向下可得m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，进而求解．解：(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2-4a+b，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，-4a+b)．(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2，当a>0时，抛物线开口向上，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d>c>e=f．当a<0时，抛物线开口向下，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d<c<e=f．(3)当a>0时，抛物线开口向上，x>-2时，y随x增大而增大，∴m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，∴-1=4a-8a+b 1=a+4a+b，解得a=29b=-19，∴y=29x2+89x-19．当a<0时，抛物线开口向下，x>-2时，y随x增大而减小，∴m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，∴b-4a=1a+4a+b=-1 ，解得a=-29b=19．∴y=-29x2-89x+19．综上所述，y=29x2+89x-19或y=-29x2-89x+19．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．6.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A( -1，0)和点B．(Ⅰ)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(Ⅱ)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．思路引领：(Ⅰ)①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M(m，m2-2m-3)，则G(m，2m-6)，表示出MG的长，可得关于m 的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；(Ⅱ)由3b=2c得b=-2a，c=-3a，抛物线的解析式为y=ax2-2a-3a．可得顶点P的坐标为(1，-4a)，点N的坐标为(2，-3a)，作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为(-1，-4a)，点N'的坐标为(2，3a)，当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+ EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P'N'=5延长P'P与直线x=2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H=3，HN'=3a-(-4a)=7a．由勾股定理可得P'N′2=P'H2+HN2=9+49a2=25．解得a1=47，a2=-47(舍)．可得点P'的坐标为-1，-167，点N′的坐标为2，127．利用待定系数法得直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．即可得点E ，F 的坐标．解：(Ⅰ)①若b =-2，c =-3，则抛物线y =ax 2+bx +c =ax 2-2x -3，∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a +2-3=0，解得a =1，∴抛物线为y =x 2-2x -3=(x -1)2-4，∴顶点P 的坐标为(1，-4)；②当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，∴B (3，0)，设直线BP 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0k +n =-4，解得k =2n =-6 ，∴直线BP 的解析式为y =2x -6，∵直线x =m (m 是常数，1<m <3)与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，设点M (m ，m 2-2m -3)，则G (m ，2m -6)，∴MG =2m -6-(m 2-2m -3)=-m 2+4m -3=-(m -2)2+1，∴当m =2时，MG 取得最大值1，此时，点M (2，-3)，则G (2，-2)；(Ⅱ)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a -b +c =0，又3b =2c ，b =-2a ，c =-3a (a >0)，∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -3a ．∴y =ax 2-2ax -3a =a (x -1)2-4a ，∴顶点P 的坐标为(1，-4a )，∵直线x =2与抛物线相交于点N ，∴点N 的坐标为(2，-3a )，作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，得点P ′的坐标为(-1，-4a )，点N '的坐标为(2，3a )，当满足条件的点E ，F 落在直线P 'N '上时，PF +FE +EN 取得最小值，此时，PF +FE +EN =P 'N '=5．延长P 'P 与直线x =2相交于点H ，则P 'H ⊥N 'H ．在Rt △P 'HN '中，P 'H =3，HN '=3a -(-4a )=7a ．∴P 'N ′2=P 'H 2+HN ′2=9+49a 2=25．解得a 1=47，a 2=-47(舍)．∴点P '的坐标为-1，-167 ，点N ′的坐标为2，127．∴直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．∴点E 57，0 ，点F 0，-2021．总结提升：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．7.(2022•嘉兴)已知抛物线L 1：y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)．(1)求抛物线L 1的函数表达式．(2)将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 1上，求m 的值．(3)把抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，若点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，且y 1>y 2，求n 的取值范围．思路引领：(1)把(1，0)代入抛物线的解析式求出a 即可；(2)求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，根据y 1>y 2，构建不等式求解即可．解：(1)∵y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)，∴4a -4=0，∴a =1，∴抛物线L 1的函数表达式为y =x 2+2x -3；(2)∵y =(x +1)2-4，∴抛物线的顶点(-1，-4)，将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点(-1，-4+m )，而(-1，-4+m )关于原点的对称点为(1，4-m )，把(1，4-m )代入y =x 2+2x -3得到，1+2-3=4-m ，∴m =4；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，∵点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，∴y 1=(2-n )2-4，y 2=(4-n )2-4，∵y 1>y 2，∴(2-n )2-4>(4-n )2-4，解得n >3，∴n 的取值范围为n >3．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.(2022•杭州)设二次函数y 1=2x 2+bx +c (b ，c 是常数)的图象与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y 1的表达式及其图象的对称轴．(2)若函数y 1的表达式可以写成y 1=2(x -h )2-2(h 是常数)的形式，求b +c 的最小值．(3)设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y 1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．思路引领：(1)根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1=2(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；(2)把函数y1=2(x-h)2-2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；(3)把y1，y2代入y=y1-y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点(x0，0)，把(x0，0)代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．解：(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1，0)、B(2，0)，∴y1=2(x-1)(x-2)，即y1=2x2-6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a =32．(2)把y1=2(x-h)2-2化成一般式得，y1=2x2-4hx+2h2-2．∴b=-4h，c=2h2-2．∴b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h=1时，b+c的最小值是-4．(3)由题意得，y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5]．∵函数y的图象经过点(x0，0)，∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0．∴x0-m=0，或2(x0-m)-5=0．即x0-m=0或x0-m=5 2．总结提升：本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a(x-h)2 +k，交点式：y=a(x-x1)(x-x2)．9.(2022•连云港)已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4，其中m>2．(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．思路引领：(1)把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4可得y =x 2+2x =(x +1)2-1，即得函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204，根据m >2，-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，可知二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得c =b 2+2b -84，可得OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，有S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18(b +1)2+98，由二次函数性质得△AOB 面积的最大值是98．(1)解：把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4得：m -4=0，解得m =4，∴y =x 2+2x =(x +1)2-1，∴函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204 ，∵m >2，∴2-m <0，∴2-m 2<0，∵-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，∴二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，当x =0时，B (0，c )，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得：4c -b 24=b2-2，∴c =b 2+2b -84，∵B (0，c )在y 轴的负半轴，∴c <0，∴OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：∵A (-1，-1)，∴AH =1，在△AOB 中，S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18b 2-14b +1=-18(b +1)2+98，∵-18<0，∴当b =-1时，此时c <0，S △AOB 取最大值，最大值为98，答：△AOB 面积的最大值是98．总结提升：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图像上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．10.(2022•赛罕区校级一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =2(x -m )2+2m (m 为常数)的顶点为A ．(1)若点A 在第一象限，且OA =5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(2)当x ≤2m 时，若函数y =2(x -m )2+2m 的最小值为3，求m 的值；(3)分别过点P (4，2)、Q (4，2-2m )作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M ，N ．当抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B ，点C ，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到x 轴的距离相等，则m 的值是多少？思路引领：(1)运用勾股定理建立方程求解即可；(2)分两种情况进行讨论：①当m <0时，2(2m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；②当m >0时，2(m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；(3)分情况讨论：①当m >1时，如图1，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边没有交点；②当m =1时，如图2，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边只有一个交点；③当12≤m <1时，如图3，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点，若点B 在PM 边上，点C 在MN 边上，令y =2，则2=2(x -m )2+2m ，得出B (m +1-m ，2)，C (m ，2m )，根据题意，得2m =m+1-m ，求解即可；④当0≤m <12时，如图4，可得B (m +1-m ，2)，C (m +1-2m ，2-2m )，则2-2m =m +1-m ，求解即可；⑤当m <0时，如图5，B (m +1-2m ，2-2m )，C (m +1-m ，2)，则|m +1-2m |=2，求解即可．解：(1)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；(2)∵当x≤2m时，若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m<m，即m<0时，或2m>m，即m>0时，①当m<0时，2(2m-m)2+2m=3，解得：m=-1+72(舍)或m=-1+72，②当m>0时，2(m-m)2+2m=3，解得：m=3 2，综上所述，m的值为32或-1+72；(3)P(4，2)、Q(4，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m，①当m>1时，如图1，∵2m>2，2-2m<0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边没有交点；②当m=1时，如图2，∵2m=2，2-2m=0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m的顶点在边PM边上，即抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；③当12≤m<1时，如图3，∵1≤2m<2，0<2-2m≤1，P(4，2)、Q(4，2-2m)，∴M(m，2)，N(m，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y=2，则2=2(x-m)2+2m，∴x=m+1-m或x=m-1-m(不合题意，应舍去)，∴B(m+1-m，2)，C(m，2m)，根据题意得：2m=m+1-m，解得：m=5-12或m=-5-12(不合题意，应舍去)；④当0≤m<12时，如图4，∴点B在PM边上，点C在NQ边上，∴B(m+1-m，2)，C(m+1-2m，2-2m)，则2-2m=m+1-m，解得：m=11±1318，∵0≤m<12，∴m=11-1318，⑤当m<0时，如图5，∵2m<0，2-2m>2，∴点B在NQ边上，点C在PM边上，B(m+1-2m，2-2m)，C(m+1-m，2)，则|m+1-2m|=2，当m+1-2m=2时，得m2-2m+3=0，∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴该方程无解；当m+1-2m=-2时，得m2+6m+3=0，解得：m=-3-6或m=-3+6，当m=-3+6时，|m+1-2m|=|-3+6+1-2(-3+6)|=26-4≠2，不符合题意，舍去，综上所述，m的值为5-12或11-1318或-3-6．总结提升：本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．11.(2022•婺城区校级模拟)在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=-12x2+mx+2m+2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间(包括A，B两点)的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m-1．(1)当m=1时，①图象G对应的函数y的值随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)，自变量x的取值范围为x≤1；②图象G 最高点的坐标为　1，92　．(2)当m <0时，若图象G 与x 轴只有一个交点，求m 的取值范围．(3)当m >0时，设图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，直接写出h 与m 之间的函数关系式．思路引领：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +2，当函数y 的值随x 的增大而增大时，则图象在对称轴的左侧，即可求解；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =92，即点G 的坐标为1，92；(2)求出点A 、B 的坐标，确定点A 在点B 的上方，进而求解；(3)分m ≤0，0<m ≤12，12<m ≤1，m >1四种情况，分别确定点A 、B 、H 的位置，进而求解．解：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +4，∵-12<0，故抛物线开口向下，当函数y 的值随x 的增大而增大时，图象在对称轴的左侧，即x ≤1，故答案为：增大，x ≤1；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =-12x 2+x +4=92，即点G 的坐标为1，92 ，故答案为：1，92 ；(2)当x =2m -1时，y =-12x 2+mx +2m +2=3m +32，则点B 的坐标为2m -1，3m +32，所以，点A 的坐标为(0，2m +2)，∵m <0，则y B -y A =3m +32-2m -2=m -12<0，即点A 在点B 的上方，故当y A >0且y B ≤0时，符合题意，即2m +2>0且3m +32≤0，解得-1<m ≤-12，当抛物线顶点落在x 轴上时，此时m 2-4×-12×(2m +2)=0，解得：m =-2，此时抛物线对称轴为直线x =-2，B 点横坐标为-5，符合题意，综上，-1<m ≤-12或m =-2；(3)设抛物线的顶点为H，则点H m，12m2+2m+2，由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为(0，2m+2)，2m-1，3m+3 2，①当0<m≤12时，此时点A、B分别是G的最高和最低点，则h=y A-y B=(2m+2)-3m+3 2=-m+12；②当12<m≤1时，此时点B、A分别是G的最高和最低点，则h=y B-y A=m-1 2；③当m>1时，此时点H、A分别是G的最高和最低点，则h=y H-y A=12m2；∴h=-m+120<m≤12m-1212<m≤112m2(m>1)．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，掌握一次和二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，确定图象上点的位置关系和分类求解是解题的关键．12.(2022•保定二模)已知：如图，点O(0，0)，A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，点B在点A的右侧，抛物线l：y=kx2-2kx-3k(k≠0)．(1)当k=1时，求该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)当0≤x≤3时，求y的最大值(用含k的代数式表示)；(3)当抛物线l经过点C(0，3)时，l的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标为(1，4)，点B不(填“是”或“不”)在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t(秒)①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围；②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．思路引领：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，令y=0时，得x2-2x-3=0，解方程即可得出答案；(2)先确定出对称轴直线x=--2k2k =1，再分k大于0和小于0两种情况讨论即可得出答案；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，A(-4，-1)，将x =-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，点B不在l上；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-5，当抛物线经过点A 时，有y=-21，l与线段AB总有公共点，则-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，于是-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．解：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)抛物线y=kx2-2kx-3k的对称轴直线x=--2k2k=1，∵k<0，∴x=1时，y有最大值，y最大值=k-2k-3k=-4k；当k>0时，x=3时，y有最大值，y最大值=9k-6k-3k=0；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，-3k=3，k=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，∵A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，∴B(-2，-1)，将x=-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，∴点B不在l上，故答案为：y=-x2+2x+3，(1，4)，不；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5，当抛物线经过点A时，有y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21，∵l与线段AB总有公共点，∴-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键．13.(2022•都安县校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m)2+2m(m为常数)顶点为A．(1)当m=12时，点A的坐标是　12，1　，抛物线与y轴交点的坐标是　0，32　；(2)若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x 的取值范围；(3)抛物线y =2(x -m )2+2n (m 的常数)的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，其中x 1<x 2．若对于x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．求m 的取值范围．思路引领：(1)将m =12代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x =0，即可求得答案；(2)运用勾股定理建立方程求解即可；(3)由题意点(x 1，0)，(x 2，0)连线的中垂线与x 轴的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．解：(1)当m =12时，y =2x -12 2+1，∴顶点A 12，1，令x =0，得y =32，∴抛物线与y 轴交点的坐标为0，32，故答案为：12，1 ，0，32 ；(2)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y =2(x -1)2+2，当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小；(3)∵y =2(x -m )2+2n 的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，∵x 1<x 2，x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．∴x 1+x22>m ，∴m <32．总结提升：本题考查考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.(2022•香洲区校级三模)直线y =-12x +1与x ，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线的解析式为y =2x 2-4ax +2a 2+a ．(1)求出点A ，B 的坐标，用a 表示抛物线的对称轴；(2)若函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，求a 的值；(3)取a =-1，将线段AB 平移得到线段A 'B '，若抛物线y =2x 2-4ax +2a 2+a 与线段A 'B '有两个交点，求直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围．思路引领：(1)根据坐标轴上点的特征分别令x =0，y =0即可求得点A ，B 的坐标，利用公式或运用配方法即可求得抛物线的对称轴；(2)利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案；(3)求出直线A ′B ′与抛物线相切时与y 轴交点的纵坐标，再求出线段A ′B ′两个端点均落在抛物线上时直线A ′B ′与y 轴交点的纵坐标，即可得出答案．解：(1)在y =-12x +1中，令x =0，得y =1，∴B (0，1)，令y =0，得-12x +1=0，解得：x =2，∴A (2，0)，∵y =2x 2-4ax +2a 2+a =2(x -a )2+a ，∴抛物线的对称轴为直线x =a ；(2)函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，当a ≤72时，32-16a +2a 2+a =a +2，解得：a =3或a =5(不符合题意，舍去)；当a >72时，18-12a +2a 2+a =a +2，解得：a =4或a =2(不符合题意，舍去)；综上所述，a 的值为3或4；(3)当a =-1时，y =2x 2+4x +1=2(x +1)2-1，∵直线AB 的解析式为y =-12x +1，∴设直线A ′B ′的解析式为y =-12x +b ，与抛物线解析式联立，得：2x 2+4x +1=-12x +b ，整理得：4x 2+9x +2-2b =0，当直线y =-12x +b 与抛物线只有一个公共点时，Δ=81-16(2-2b )=0，解得：b =-4932，当线段A ′B ′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x 1-x 2|=2，即(x 1-x 2)2=4，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4，∵x 1+x 2=-94，x 1x 2=1-b2，∴8116-2(1-b )=4，解得：b =1532，∴直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围为-4932<b ≤1532．总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，平移变换的性质，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系的应用等，属于中档题．15.(2022•柘城县校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，点(2，m )和点(6，n )在抛物线y =ax 2+bx (a <0)上．(1)若m =4，n =-12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)已知点A (1，y 1)，B (4，y 2)在该抛物线上，且mn =0．①比较y 1，y 2，0的大小，并说明理由；②将线段AB 沿水平方向平移得到线段A 'B '，若线段A 'B '与抛物线有交点，直接写出点A '的横坐标x 的取值范围．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)①利用分类讨论的方法分m=0和n=0两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可；②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．解：(1)∵m=4，n=-12，∴点(2，4)和点(6，-12)在抛物线y=ax2+bx(a<0)上．∴4a+2b=436a+6b=-12 ，解得：a=-1 b=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x．∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)；(2)①∵mn=0，∴m=0或n=0．当m=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(2，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，∴A(1，y1)为抛物线的顶点，∴y1为函数的最大值且大于0，∵点(2，0)在x轴上，∴点B(4，y2)在x轴的下方，∴y2<0，∴y1，y2，0的大小关系为：y1>0>y2；当n=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(6，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+62=3，∴当x<3时，y随x的增大而增大，由抛物线的对称性可知：(2，y2)在抛物线上，∵0<1<2，∴0<y1<y2．综上，当m=0时，y1>0>y2，当n=0时，0<y1<y2；②A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．理由：由①知：当m=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(1，y1)，B′(-2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-6=-5，而最大值为1，∴A'的横坐标x的取值范围为：-5<x<1；由①知：当n=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=3，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(5，y1)，B′(2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-2=-1，∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，∴A'的横坐标x的最大值为1+4=5，∴A'的横坐标x的取值范围为：-1<x<5．综上，A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．总结提升：本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．16.(2022•新兴县校级模拟)已知抛物线y=ax2-4ax-2a+3与x轴的两个交点分别为A，B(点A 在点B的左侧)．(1)若点A，B均在x轴正半轴上，求OA+OB的值；(2)若AB=6，求a的值；(3)过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点．若CD≥4，请直接写出a的取值范围．思路引领：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，A，B在x轴正半轴，由跟与系数的关系得出OA+ OB=x1+x2=4；(2)根据跟与系数的关系得出x1+x2=4，x1•x2=-2+3a，然后由AB=6解出a的值；(3)联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3，化简得ax2-4ax-2a+2=0，然后x C+x D=4，x C•x D=-2a+2a，再由CD≥4求出a的取值范围．解：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，由根与系数的关系得：x1+x2=--4aa=4，∵点A，B均在x轴正半轴上，∴OA=x1，OB=x2，∴OA+OB=x1+x2=4；(2)由(1)知，x1+x2=4，x1•x2=-2a+3a =-2+3a，AB=|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4-2+3a=6，化简得：24-12a=6，解得a=-1，经检验a=-1符合题意，∴a=-1；(3)∵过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，∴联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3 ，化简得ax 2-4ax -2a +2=0，∴x C +x D =4，x C •x D =-2a +2a，∴CD =|x C -x D |=(x C +x D )2-4x C ⋅x D =16-4-2+2a =24-8a，∵CD ≥4，∴24-8a ≥4，化简得：1a≤1，∴a ≥1或a <0．总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是对二次函数图象和性质的综合运用．17.(2022•柘城县校级四模)如图，抛物线y =mx 2-2mx +4经过点A ，B ，C ，点A 的坐标为(-2，0)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，求y 的最大值与最小值的差；(3)若点P 的坐标为(2，2)，连接AP ，并将线段AP 向上平移a (a ≥0)个单位得到线段A 1P 1，若线段A 1P 1与抛物线只有一个交点，请直接写出a 的取值范围．思路引领：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，可求函数的解析式及顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，即可求解；(3)由题意可求A 1(-2，a )，P 1(2，2+a )，当P 1在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则0≤a <2时，线段A 1P 1与抛物线只有一个交点；求出平移后直线A 1P 1的解析式y =12x +1+a ，当直线与抛物线有一个交点时，求出a 的值．解：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，∴4m +4m +4=0，解得m =-12，∴y =-12x 2+x +4，∵y =-12x 2+x +4=-12(x -1)2+92，∴顶点为1，92；(2)当x =-2时，y =0，∴当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，。

2023中考数学重难点练习专题03 二次函数含参解析式问题(学生版+解析版)

专题03二次函数含参解析式问题一、E知识回顾】(1）二次函数的一般形式：丘且主且正怡，b,c是常数，a手。

）注：未知数的最高次数是2,a,;c:0,b, c是任意实数。

(2）二次函数的国i象与性质二次函数y=ax2+b x+c(a,b, c为常数，a学0)图象开口方向对称输顶点坐标增减。

｜全故值y＼：／x(a>O)开口向七b直线x＝－一2a（」4a c一2a’4a当x<-2a时，y随x的增大而减尘：当x＞一丢.：a时，y｜施x的瞅而增大2ba’＿：4ac-b2当x＝一' y有最尘直4a(3）二次函数阁像与系数的关系Y,队。

＼x(a<O)开口向下b直线x＝－一2a(-!. 4a c-b引2a’4ab当x<-2a时，y随x的增大而盟主：b当x>-2a时，d罐x的增大而温尘当x＝一一时，y有最本值4a…c-b22a 4a某1比特别t形式代数式的决定抛物线的当a>O时，抛物线开口向上；a开口方向及开口大小当a<O时，抛物线开口向下．符号．a±b+c即为x=+l时一，y 当a,b问号，二＜O，对称轴在泱定对称轴的值：②4a±2b+c1111为x=±2时，y的值a、y轴左边：(x＝一一〉的位2a2a吨的符号，需判置当时时，斗o，对称轴为y b对称轴τ..；；与1tt飞！大小．轴：b当a,b异号，τ.；aγ＞O，对称输布，y轴�边．当c>O时，抛物线与y轴的交点决定抛物线与在夜半轴上．c y轴的交点的当c=O时，抛物线经过原点：位置当c<O时，抛物线与y轴的交点在1这半轴上．b2-4ac>O时，抛物线与且铀有2个交点；决定抛物线与b2-4ac=O时，抛物线与x轴有l b2-4ac x轴的交点个个交点；数b2-4a c<O时，抛物线与x轴i立主交点(4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系〈福建常考i在择题10)方法技巧g 若对称粉1在直线x=l的b左边，贝tl2a>l，再根据a的符号即可得出络果．④2a-b的符号，需步I]断对称轴与－1的大小．①已知点A Ca. b）为二次函数图像上一点，对称轴已失U x=c，则A点对称点B(2c-a b)②己知点A(a, c）、B( b, c）为二次函数图像上一点，则根据网点纵坐标相等，可知A、B为对称点，那么对称轴x干③不等式解读：la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＞b到对称输的距离l a-cJ=lb-cj a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＜b到对称铀的距离二、E考点类型】考点1：二次函数函数图像与系数的关系典例1:( 2022福建商｜到校考一模〉二次函数y=a).-2＋你＋c（α，b, c是常数，但0）的图象如阁所示，对称轴为直线x=-1.有以下结论：①abc>O；①a(/!+2) 2+b （仇2)<a (k2+1) 2+b （的1)(k为实数〉：①m (am+b) �，。

2023年广东省中考数学复习二次函数含参问题

二次函数含参问题1. 含参函数过定点含参项相加=0，约去参数求解x例1. 函数23y mx m =-+经过定点例2. 二次函数22(1)2y x m x m =-++，无论m 取何值，始终经过点A ，求A例3. 函数2(23)33y mx m x m =-+--与坐标轴的一个交点为定点，求该定点。

2. 含参二次方程求解含参十字相乘或者求根公式法例1. 经过点(4,5)的直线，一次项系数为k ，求该直线与抛物线223y x x =--的另一个交点，用含k 的式子表示。

例2. 抛物线22y x mx m =+-与44y x =-交于A ，B 两点，其中A 不随m 变化，求A3. 动点所在轨迹函数动点坐标含参数，横坐标为x ，纵坐标为y ，消去参数用x 表示y ，则为动点所在函数解析式例1. 抛物线21212y x x m =++-向右移m 个单位后得到抛物线2y ，则2y 的顶点始终在一条直线上运动，求该直线解析式。

例2. 抛物线2221y x ax a a =-+-+的顶点P 随a 的变化而变化，Q （5，0）求线段PQ 长度最小值。

例3．（2021广州一模）如图矩形ABCD 中，26AB AD ==，点E 为AB 的中点，点F 为EC 上一个动点，点P 为DF 的中点，连接PB ，求PB 的最小值（建系设元后表示动点坐标）考题综合练习1．（2021·广东广州·中考真题）已知抛物线()2123y x m x m =-+++（1）当0m =时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．2．（2019·广东广州·中考真题）已知抛物线G ：2y 23mx mx =--有最低点．（1）求二次函数2y 23mx mx =--的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图像交于点P ，结合图像，求点P 的纵坐标的取值范围.3.（2018·广东广州·中考真题）已知抛物线y ＝x 2+mx ﹣2m ﹣4（m ＞0）．（1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，A ，B ，C 三点都在⊙P 上．①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C 关于直线x 2m =-的对称点为点E ，点D （0，1），连接BE ，BD ，DE ，△BDE 的周长记为l ，⊙P 的半径记为r ，求l r的值．4．（2016·广东广州·中考真题）已知抛物线2y＝mx＋(1－2m)x＋1－3m与x轴相交于不同的两点A B、．（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当1＜m≤84时，由（2）求出的点P和点A B、构成的ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由．过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B．(1)求点A的坐标；(2)求直线l的解析式；(3)已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标．y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．(1)当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；(2)求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；(3)在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线'G，试结合图象探究：若在抛物线G 与直线h，抛物线'G与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．。

(完整版)二次函数含参问题

二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。

课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间[0,2]上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为；1. 若函数f(x)=4x−12−a ·2x +272在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式(2−α)x2−2(a−2)x+4>0对于一切实数x都成立，求α的取值范围；2.若不等式x2−2αx+a2−a>0，当x∈[0,1]时恒成立，求 α的取值范围；当堂练习：1.求对于−1≤α≤1，不等式x2+(α−2)x+1−a>0恒成立的x的取值范围；)恒成立，则α的取值范围是多少；2. 若不等式 x2+αx+1≥0对于一切x∈(0，123.不等式αx2+2x+1>0在x∈[−2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2−2x−a+1<0对于满足|α|≤2的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数f(x)=αx2−2x+2 (a∈R)，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数α的取值范围；>0 对任意2.已知f(x)是定义在区间[−1,1]上的函数，且f(1)=1，若m，n∈[−1,1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n x∈[−1,1]，f(−x)=−f(x)都成立。

二次函数含参问题1

二次函数含参问题 (1)姓名________ 班级________ 学号____________1.“动轴定区间”型的二次函数最值例函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

例函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值2“动区间定轴”型的二次函数最值例求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

3.“动轴动区间”型的二次函数最值已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1[,]3b -上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b 的范围．巩固习题1．已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2．已知函数2()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。

3．已知k 为非零实数，求二次函数,122++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。

4．已知3a ≤，若函数()221f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

5. 已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

6. 当20≤≤x 时，函数()()3142-++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围。

7. 已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

8. 已知函数()122+-=px x x f ，当0≥x 时，有()0≥x f 恒成立，求实数p 的取值范围。

9. 方程0122=++x ax 至少的一个负数根，求实数a 的取值范围。

含有参数的二次函数最值的几种形式

数学研究性学习含有参数的二次函数最值的几种形式【问题探讨】含有参数的二次函数在闭区间上最值问题的类型和解题依据【知识链接】1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像是，抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线。

2、当0>a 时，抛物线开口向，函数在处取最小值=min y ；在区间上是减函数，在区间上是增函数。

3、当0<a 时，抛物线开口向，函数在处取最大值=m a x y ；在区间上是增函数，在区间上是减函数。

【典型例题】例1、已知二次函数32)(2+-=x x x f ，求该函数在下列区间上的最值。

（1）()+∞∞-, （2）[]0,2- （3）[]3,2- （4）[]3,2探讨：1、在什么样的区间上二次函数既有最大值又有最小值，取最值时相应x 的取值都有几种可能？ 2、解决此类问题的关键点在哪里？3、如果将其中的区间改成[]1,+t t ，请写出相应的计算过程。

例2、求二次函数1222)(2---=a ax x x f 在[]1,1-上的最小值，并将它表示成a 的函数。

探讨：本题的解题体现了什么样的数学思想？例3、已知函数214)(2+-+-=a ax x x f 在区间]21,1[a a --上的最大值是2，求a 的值。

探讨：当对称轴和区间都运动时，如何探讨对称轴和区间的位置关系？【合作学习】1、已知]1,[,53)(2+∈-+=t t x x x x f ，求该函数的最小值)(t h 。

2、若函数21321)(2+-=x x f 在区间],[b a 上的最小值为a 2，最大值为b 2，求区间],[b a 。

3、已知二次函数x x x f +-=221)(，是否存在实数),(,n m n m <使得)(x f 的定义域和值域分别为],[n m 何]3,3[n m ，若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由。

含参数的二次函数参数取值范围-答案

参考答案与试题解析一．选择题（共 4 小题）1．二次函数 y＝x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2C．a＝3 或﹣≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程 x2+（a﹣2）x+3＝x 在 1≤x≤2 上只有一个解，即 x2+（a﹣3）x+3＝0 在 1≤x≤2 上只有一个解，当△＝0 时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当 a＝3+2 时，此时 x＝﹣，不满足题意，当 a＝3﹣2 时，此时 x＝，满足题意，当△＞0 时，令 y＝x2+（a﹣3）x+3，令 x＝1，y＝a+1，令 x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当 a＝﹣1 时，此时 x＝1 或 3，满足题意；当 a＝﹣时，此时 x＝2 或 x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c＝1，乙的结果是 c＝3 或 4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点∴①如图 1，抛物线与直线相切，联立解析式得 x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得 c＝1②如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0≤x≤3 上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c 的最小值＝2，但取不到，c 的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c 为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（）A．a≤﹣1 或≤a＜B．≤a＜C．a≤或 a＞D．a≤﹣1 或 a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当 a＜0 时，x＝﹣1 时，y≤2 时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得 a≤﹣1；当 a＞0 时，x＝2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣≤2 满足条件，∴a≥，∵直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+ ，由，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 过点 C，顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上．若抛物线与线段 AB 无公共点，则 k 的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2 B．0＜k＜2 或 k＞C．k＞D．0＜k＜2 或 k＞【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上，且点 A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段 AB 无公共点分两种情况：当点 M 在线段 AB 下方时，∵点 M 的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点 M 在线段 AB 上方时，有，解得：k＞．综上所述：k 的取值范围为 0＜k＜2 或 k＞．故选：B．二．填空题（共 3 小题）5．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线 OA 的解析式为 y＝x，联立消掉 y 得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即 k＝时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1，∵点 B 的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点 B（2，0）时，×4+k＝0，解得 k＝﹣2，∴要使抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线 C1：y＝x2﹣2x﹣8 及抛物线 C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a 为常数），当﹣2＜x＜2a+3 时，C1，C2 图象都在 x 轴下方，则 a 的取值范围为﹣＜a≤﹣1 ．【解答】解：当 y＝0 时，有 x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当 y＝0 时，有 x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3 时，C 1，C2 图象都在 x 轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），若抛物线 y＝x2﹣2x+n﹣1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为﹣2≤n＜1 或 n＝2 ．【解答】解：∵点 A 的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2 与线段OA 有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0 或，解得，﹣2≤n＜1 或 n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1 或 n＝2．三．解答题（共 11 小题）8．已知抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3 的顶点 P 在一条定直线 l 上．（1）直接写出直线 l 的解析式；（2）对于任意非零实数 a，存在确定的 n 的值，使抛物线与 x 轴有唯一的公共点，求此时 n 的值；（3）当点 P 在 x 轴上时，抛物线与直线 l 的另一个交点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线 P（n，n+3），∵顶点 P 在一条定直线 l 上，令 n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线 l 的解析式为 y＝x+3，（2）抛物线与 x 轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令 y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数 a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与 x 轴有唯一的公共点，此时 n 的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点 P 在 x 轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线 y＝a（x+3）2，①∵直线 l 的解析式为 y＝x+3②，联立①②得 Q（﹣3+ ，），∵过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，∴BQ＝| |，∵过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+ ，），∴AQ＝|﹣3+ ﹣（﹣3﹣）|＝| |∴＝2．9．如图 1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m＞0，E（0，n）为 y 轴上一动点，以 BC 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，使 AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点 C 逆时针旋转 90°得△A′D′C′，连接 ED′，抛物线 y＝ax2+bx+n （a≠0）过 E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45 °，用 m 表示点 A′的坐标：A′（m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为 A′，抛物线与线段 AB 交于点 P，且＝时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若 E 与原点 O 重合，抛物线与射线 OA 的另一个交点为点 M，过 M 作 MN⊥y 轴，垂足为 N：①求 a，b，m 满足的关系式；②当 m 为定值，抛物线与四边形 ABCD 有公共点，线段 MN 的最大值为 10，请你探究 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即 BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即 A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点 E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即 m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点 E 与点 O 重合时，E（0，0），∵抛物线 y＝ax2+bx+n 过点 E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即 b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形 ABCD 有公共点，∴抛物线过点 C 时的开口最大，过点 A 时的开口最小，若抛物线过点 C（3m，0），此时MN 的最大值为 10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为 y＝x2﹣x，由 A（2m，2m），可得直线 OA 解析式为 y＝x，联立抛物线与直线 OA 解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即 M（5m，5m），令 5m＝10，即 m＝2，当 m＝2 时，a＝；若抛物线过点 A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形 ABCD 有公共点时 a 的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴交于点 C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4）．把 C（0，8）代入，得 a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点 D（1，9）；（2 分）（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P（2，t）．由 C（0，8），D（1，9）求得直线 CD 的解析式为 y＝x+8，它与 x 轴的夹角为 45°．设 OB 的中垂线交 CD 于 H，则 H（2，10）．则 PH＝|10﹣t|，点 P 到 CD 的距离为．又．（4 分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得 t＝﹣10±8 ．∴存在满足条件的点 P，P 的坐标为（2，﹣10±8 ）．（6 分）（3）由上求得 E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当 x＝﹣8 时，y＝﹣72+m．当 x＝4 时，y＝m．∴﹣72+m≤0 或 m≤12．∴0＜m≤72．（8 分）②若抛物线向下平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移个单位长．（10 分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动．抛物线与 y 轴相交于 C 点．（1）当 b＝﹣4 时，求 C 点坐标；（2）抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，当△ABD 为直角三角形时，求 b，c 的值；（3）线段 MN 的端点 M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段 MN 有公共点，求 b 的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动，∴设抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图 1，∵点 D 在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即 c＝﹣+ ．又∵b＝﹣4，c＝﹣+ ＝6，即 c＝6．令 x＝0，则 y＝c＝6，即 C（0，6）；（2）如图 2，连接 AD、BD．∵点 A、B 是抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 D 是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD 中，∠ADB＝90°．设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即 b，c 的值分别是 2、0；（3）如图 3，当点 M（﹣1，1）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即 b＝c，则 b＝﹣+ ，解得 b＝6；当点 N（﹣2，4）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最大值，所以 4＝4﹣2b+c，即 2b＝c，则 2b＝﹣+ ，解得 b＝10，所以 b 的取值范围是 6≤b≤10．第12页（共27页）12．已知抛物线 y＝a（x+1）2+c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，其顶点为 M，已知直线 MC 的函数表达式为 y＝kx﹣3，与x 轴的交点为 N，且 cos∠BCO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由 y＝kx﹣3，可知 OC＝3，在 Rt△OBC 中，∵cos∠BCO ＝，∴BC＝，OB＝＝1，将 B（1，0））、C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，第13页（共27页）解得，∴抛物线解析式为 y＝（x+1）2﹣4；（2）存在．由抛物线解析式得 M（﹣1，﹣4），设直线 MN 解析式为 y＝kx+b，则，解得，∴y＝x﹣3，N（3，0），△OCN 为等腰直角三角形．过 N 点作 CN 的垂线交 y 轴于（0，3），垂线解析式为 y＝﹣x+3．联立，得 P 点坐标为（，）或（，），连接 AC，则 A（﹣3，0）点满足题意，∴P 点坐标为（，）或（，）或（﹣3，0）；（3）设平移后抛物线解析式为 y＝（x+1）2+m，①当抛物线与直线 MN 只有一个交点时，联立，得 x2+x+m+4＝0，当方程组有一个解时，△＝0，即 1﹣4（m+4）＝0，解得 m＝﹣，∴向上平移 4﹣＝个单位，②当抛物线经过 N（3，0）时，（3+1）2+m＝0，解得 m＝﹣16，当抛物线经过 Q（﹣3，﹣6）时，（﹣3+1）2+m＝﹣6，解得 m＝﹣10，∴向下平移 16﹣4＝12 个单位．即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移 12 个单位长度．13．如图，平面直角坐标系中，y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2 的顶点为 P，且 OP2 最小．（1）求 m 的值；（2）直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B．第14页（共27页）①抛物线与直线 l 交于两点，当这两点之间的距离为时，求 a 的值；②若抛物线与线段 AB 有两个公共点，请直接写出 a 的值或取值范围是a≥或 a≤﹣10 ．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝a（x﹣m）2+2m+2，∴P（m，2m+2），∴OP2＝m2+（2m+2）2＝5m2+8m+4＝5（m+ ）2+ ，∵OP2 最小．∴m＝﹣；（2）设抛物线与直线 l 交于两点 C（x 1，y1），D（x2，y2），＝2x1+2，y2＝2x2+2，∴y∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）由（1）知，m＝﹣，∴y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝ax2+ ax+ a+ ①；①∵直线 l：y＝2x+2②，联立①②得，ax2+ ax+ a+ ＝2x+2，化简得，ax2+ x+ ＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[ ﹣4×]，第15页（共27页）∵两点之间的距离为，∴5[ ﹣4×]＝，∴4a2＝25，∴a＝±；②如图，∵直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，∴A（﹣1，0），B（0，2），y＝ax2+ ax+ a+ ＝a（x+ ）2+ ，∴抛物线的顶点 P 坐标（﹣，），把 x＝﹣代入 y＝2x+2 得，y＝，∴点 P 在直线 l：y＝2x+2 上，当 a＞0 时，把 B（0，2）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝2，∴a＝，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≥，当 a＜0 时，把 A（﹣1，0）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝0，∴a＝﹣10，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≤﹣10，即：抛物线与线段 AB 有两个公共点，a 的取值范围为 a≥或 a≤﹣10，故答案为：a≥或 a≤﹣10．第16页（共27页）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c 经过点O 和点P．已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（可用含t 的代数式表示）；（2）当t＞1 时，抛物线与线段AB 交于点M．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）把 x＝0，y＝0 代入 y＝x2+bx+c，得 c＝0，再把 x＝t，y＝0 代入 y＝x2+bx，得 t2+bt＝0，∵t＞0，∴b＝﹣t；（2）不变．第17页（共27页）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且 M 的横坐标为 1，∴当 x＝1 时，y＝1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1，∵OP＝t，∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；（3）＜t＜．①左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解；②左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1 即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4 且＜t＜，解得＜t＜；③左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方：无解；④左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解；⑤左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：＜t＜．15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4，∴B（0，4），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，∴C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1，第18页（共27页）∴A（﹣1，0），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴 x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），①a＞0 时，如图 1，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图 2，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a，解得 a＝﹣1．综上所述，a≥或 a＜﹣或 a＝﹣1．第19页（共27页）16．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．（1）求 b 的值（用 t 的代数式表示）；（2）当 3＜t＜4 时，设抛物线分别与线段 AD，BC 交于点 M，N．①设直线 MP 的解析式为 y＝kx+m，在点P 的运动过程中，你认为 k 的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 k 的值；②在点 P 的运动过程中，当 OM⊥MN 时，求出 t 的值；第20页（共27页）（3）在点 P 的运动过程中，若抛物线与矩形 ABCD 的四条边有四个交点，请直接写出 t 的取值范围．【解答】解：（1）∵点 P 的坐标为（t，0），∴0＝﹣t2+bt，解得：b＝t，（2）①把 x＝1 代入 y＝﹣x2+tx，得 y＝t﹣1，即 M（1，t﹣1），∴，解得 k＝﹣1，②如图，过点 N 作 NH⊥AD 于点 H，求得：BN＝3t﹣9，MH＝8﹣2t，HN＝AB＝2，当 OM⊥MN 时，可证得△OAM∽△MHN，故可得，即，解得，（舍去）从而可得：．（3）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+ ，①因为抛物线的顶点纵坐标大于点 D 和点 C 的纵坐标，所以＞3，解得 b＞2 或 b＜﹣2 ；②当 x＝1 时，y＝﹣1+b＜3，解得：b＜4，综上可得：2 ＜b＜4．第21页（共27页）17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 1、4，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，m）．（1）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，DA′与 OC 交于 H，求证：△OHD 是等腰三角形．（2）求点 A′的坐标；（3）求抛物线的解析式（用含 m 的式子表示）；（4）连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线与线段 CE 相交，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）如图 1，由折叠得：∠ADO＝∠ODH，∵四边形 ABCO 为矩形，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOH，∴∠DOH＝∠ODH，∴△OHD 是等腰三角形；（2）如图 2，过 A′作 A′F⊥x 轴于 F，由折叠得：A′D＝AD＝AB＝2，OA′＝OA＝1，∠OA′H＝90°，设 A′H＝x，则 DH＝OH＝2﹣x，第22页（共27页）由勾股定理得：12+x 2＝（2﹣x ）2，x ＝，即 A ′H ＝，∴DH ＝OH ＝2﹣ ＝，∴S △A ′OH ＝ OA ′•A ′H ＝ OH •A ′F ，∴1× ＝ ×A ′F ，∴A ′F ＝，由勾股定理得：OF ＝＝＝，∴A ′（，﹣ ），（3）设抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，把 A （0，1）、D （2，1）、M （﹣1，m ）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y ＝ + +1，（4）∵A ′F ∥BE ， ∴，∴ ，∴CE ＝3， ∴E （4，﹣3），当 x＝4 时，y＝+ +1，y＝，∵﹣3≤y≤0，∴﹣3≤≤0，第23页（共27页）∴﹣≤m≤．18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y ＝x 的特别对称函数．例如：和为关于直线 y＝x 的特别对称函数．（1）若 y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M（1，m）是y＝3x+2 上一点．①点 M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为（1，﹣3）．②求 k、t 的值．（2）若 y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n 的值．（3）若二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．①直接写出 a、b 的值．②已知点 P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．第24页（共27页）【解答】解：（1）①∵点 M（1，m）是 y＝3x+2 上一点，∴m＝5，∴M（1，5），∴点 M 关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣4），故答案为（1，﹣3）；②∵y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴＝x，∴（1+k）x+（t+2）＝0，∴k＝﹣1，t＝﹣2；（2）设 y＝3x+n①的特别对称函数为 y＝m'x+n'，∴＝x，∴（1+m'）x+n+n'＝0，∴m'＝﹣1，n'＝﹣n，∴y＝3x+n 的特别对称函数为 y＝﹣x﹣n②，联立①②解得，x＝﹣n，y＝﹣n，∵y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|＝2，∴n＝±2；（3）①∵二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴，∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d；②由①知，a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d，∴二次函数 y＝﹣x2+2x﹣d 和 y＝x2+d，第25页（共27页）∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0，∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0 时，如图 1，当抛物线 C2：y＝x2+d 恰好过点 P（﹣3，1）时，即：9+d＝1，∴d＝﹣8，当抛物线 C1：y＝﹣x2+2x﹣d 恰好过点 Q（2，1）时，即：﹣4+2﹣d＝1，∴d＝﹣3，y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8≤d ＜﹣3，如图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C1 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C2 与线段 PQ 没有交点，∴y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为 0≤d ＜1，即：y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8 ≤d＜﹣3 或 0≤d＜1．第26页（共27页）1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。

(完整版)含参数的二次函数问题

杭九年级数学校本作业编制人：含参数的二次函数问题姓名_________1、将二次函数2()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-2、关于x 的二次函数2()1y x m =--的图象与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C.下列说法正确的是（）A ．点C 的坐标是（0，-1）B ．点(1, -2m )在该二次函数的图象上C ．线段AB 的长为2mD ．若当1≤x 时，y 随x 的增大而减小，则1≥m3、如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-4），且顶点在第三象限，设P =c b a +-，则P 的取值范围是（） A ．-8＜P ＜0B ．-8＜P ＜-4C ．-4＜P ＜0D ．-2＜P ＜04、下列四个说法：①已知反比例函数6y x =，则当32y ≤时自变量x 的取值范围是4x ≥； ②点11(,)x y 和点22(,)x y 在反比例函数3y x=-的图象上，若12x x <，则12y y <； ③二次函数228+13-30)y x x x =+≤≤（的最大值为13，最小值为7；④已知函数2213y x mx =++的图象当24x ≤时，y 随着x 的增大而减小，则m =23-．其中正确的是（）A ．④B ．①②C ．③④D ．四个说法都不对 5、已知下列命题：①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ；②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；④函数y = kx 2+(3k +2)x +1，对于任意负实数k ，当x <m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-.其中真命题为（）A ．①③B ．③C ．②④D ．③④6、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列结论：（1）c a＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）4=x 是方程ax 2+（b +1）x +c =0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜4时，ax 2+（b +1）x +c ＞0．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7、设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是． 8、已知抛物线)2)(1(kx x k y -+=与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为． 9、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=k x x k y 31，下列说法：①方程()3-31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k x x k 必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k >3时，抛物线顶点在第三象限；④若k <0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大. 其中正确的序号是 . 10、如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B )2,4(，一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积. 若关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为 .11、已知函数()n mx x n y m-+++=11（m ，n 为实数）(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设，那么：①当时，y 随x 的增大而减小. 请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定过哪个点？请说明理由.12、已知抛物线p ：123)1(2-++-=kx k x y 和直线l :2k kx y +=：（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：①无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点； ②无论k 取何实数值，直线l 与y 轴的负半轴没有交点；（2）设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.13、我们知道，x y =的图象向右平移1个单位得到1-=x y 的图象.类似的，xky = ）0（≠k 的图象向左平移2个单位得到）0（2≠+=k x ky 的图象.请运用这一知识解决问题.如图，xy 2=的图象C 与y =ax （a ≠0）的图象L 相交于点A （1，m ）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数xy 2=的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位，得到的图象分别记为C 1和L 1，已知图象C 1经过点M （3，2）．①分别写出平移后的两个图象C 1和L 1对应的函数关系式； ②直接写出不等式 ax x ≤+-422的解集.14、已知二次函数22(21)h x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）.（1）证明：不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）若A 2(3,2)n n -+、B 2(1,2)n n -++是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n 的值；（3）设二次函数22(21)h x m x m m =--+-与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），若y 是关于m 的函数，且2122x y x =-，请结合函数的图象回答：当y <m 时，求m 的取值范围.15、如图，抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴相交于点A ，P （a ，m a a ++-272）（a 为任意实数）在抛物线上，直线b kx y +=经过A 、B 两点，平行于y 轴的直线2=x 交直线AB 于点D ，交抛物线于点E .(1)若2=m ，①求直线AB 的解析式；②直线t x =0(≤t ≤)4与直线AB 相交于点F ，与抛物线相交于点G . 若FG :DE =3:4，求t 的值；(2)当EO 平分AED ∠时，求m 的值.（第14题）16、已知抛物线n m x a y +-=2)(与y 轴交于点A ，它的顶点为B ，点A 、B 关于原点O 的对称点分别是点C 、D .若点A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线.（1）如图1，求抛物线1)2(2+-=x y 的伴随直线的解析式；（2）如图2，若n m x a y +-=2)(（m>0）的伴随直线是3-=x y ，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线n m x a y +-=2)(的伴随直线是b x y +-=2（b>0），且伴随四边形ABCD 是矩形.①用含b 的代数式表示m,n 的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由.答案与评分标准 1.C 2. D 3.C 4.D 5.D 6.C 7. 21021≥<≤-a a 或 8. 2,215,34+ 9. 10.21-1-0或或=m 11.（1）①当m=1，n ≠-2时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y=0时，（n+1）xm+mx+1-n=0，∴x=1-nn+2，∴函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m=2，n≠-1时，函数y=（n+1）xm+mx+1-n （m ，n 为实数）是二次函数，当y=0时，y=（n+1）xm+mx+1-n=0，即：（n+1）x2+2x+1-n=0， △=22-4（1+n ）（1-n ）=n2≥0；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m=2，函数y=（n+1）x2+2x+1-n ， ∵n ＞-1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：-b2a=-22(n+1)=-1n+1＜0，∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1-n=4．当x=-1时，y=0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．12.(1)①正确∵0123)1(2=-++-kx k x 的解是抛物线与x 轴的交点，由判别式△＝)123(4)1(2--+k k ＝542+-k k ＝01)2(2>+-k∴无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点； ②正确∵直线2k kx y +=与y 轴交点坐标是(0，2k )而无论k 取何实数值2k ≥0，∴直线与y 轴的负半轴没有交点（2）∵|OD|＝|―k | ,|AB |＝542+-k k ∴OD 2＝4AB 2 ⇒2016422+-=k k k解得310k 2==或k 又∵OC 1＝2k ，OC ＝123-k ＞0，∴2k ＝123-k ＋2，解得21k 2-==或k 综上得k ＝2，∴抛物线解析式为232+-=x x y ，最小值为41-（3）1≤x ＜2或x ≥3 …………3分14.（1）由题意有△=[-（2m-1）]2-4（m2-m ）=1＞0．即不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）∵A （n-， ∴m=-12，∴抛物线解析式为h=x2+2x+34；（3）令h=x2-（2m-1）x+m2-m=0，解得x1=m ，x2=m-3，n2+2）、B （-n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点， ∴抛物线的对称轴x=n-3-n+12=-1， ∴2m-12=-1即y=2-2x2x1=2m ，作出图象如右：当2m=m 时，解得m=±2，当y ＜m 时，m 的取值范围为m ＞2或m ＜-2．15.(1)若2=m ，①则抛物线的解析式为2272++-=x x y ，得)2,0(A ，)0,4(B ，)0,21(-C 所以直线AB 的解析式为221+-=x y . ②易得)5,2(E ,)1,2(D ,)227,(2++-t t t G ，)221,(+-t t F ，所以DE=4,FG=t t 42+-，因FG:DE=3:4，所以t t 42+-=3，解得3,121==t t . (2) 抛物线的解析式为m x x y ++-=272，易得),0(m A ，)3,2(+m E ，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，可得),2(m H .因EO 平分AED ∠，所以DEO AEO ∠=∠，又因为DE ∥AO ，所以AOE DEO ∠=∠，即AOE AEO ∠=∠，所以AO=AE.在直角AHE ∆中，222EH AH AE +==133222=+，即=m AO=AE=13.16.（1）解：（1）由已知得B （2，1），A （0，5），设所求直线的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=b b k 521，解得⎩⎨⎧=-=52b k ，∴所求直线的解析式为y=-2x+5；（2）如图1，作BE ⊥AC 于点E ，由题意得四边形ABCD 是平行四边形，点A 的坐标为（0，-3），点C 的坐标为（0，3），可得AC=6， ∵□ABCD 的面积为12，∴S △ABC =6，即S △ABC =21AC ·BE=6，∴BE=2， ∵m ＞0，即顶点B 在y 轴的右侧，且在直线y=x-3上，∴顶点B 的坐标为B （2，-1）又抛物线经过点A （0，-3），∴a=21-，∴y=-21（x-2）2-1；（3）①如图2，作BF ⊥x 轴于点F ，由已知得：A 的坐标为（0，b ），C 的坐标为（0，-b ），∵顶点B （m ，n ）在直线y=-2x+b 上，∴n=-2m+b ，即点B 的坐标为（m ，-2m+b ），在矩形ABCD 中，OC=OB ，OC 2=OB 2，即b 2=m 2+（-2m+b ）2，∴5m 2-4mb=0，∴m （5m-4b ）=0， ∴m 1=0（不合题意，舍去），m 2=54b ， ∴n=-2m+b=-2×54b+b=-53b ；②存在，共四个点如下： P 1（54b ，57b ），P 2（54b ，59b ），P 3（54b ，1516b ），P 4（54b ，513-b ）。

含参的二元二次方程组训练题

含参的二元二次方程组训练题问题描述求解以下含参的二元二次方程组：方程1：$a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0$方程2：$a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0$解法为了求解该二元二次方程组，我们可以使用配方法或代入法，具体方法如下：1. 配方法1) 如果方程的二次项系数$a_1$和$a_2$都是非零常数，则可以通过配方法求解。

首先，将方程1和方程2两侧同时乘以$a_2$和$a_1$的乘积，得到新的方程组：$a_2(a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1) = 0$$a_1(a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2) = 0$2) 接下来，把方程1中的一次项和方程2中的一次项移到等式左边，同时把常数移到等式右边，得到新的方程组：$(a_1a_2)x^2 + (a_1b_2+b_1a_2)xy + (b_1b_2)y^2 +(a_1d_2+d_1a_2)x + (b_1e_2+e_1b_2)y = -(a_1f_2+f_1a_2)$ $(a_1d_2+d_1a_2)x + (b_1e_2+e_1b_2)y + (d_1d_2)x^2 +(d_1e_2+e_1d_2)xy + (e_1e_2)y^2 = -(d_1f_2+f_1d_2)$3) 对新的方程组应用配方法，即将方程组转化为完全平方的形式。

2. 代入法1) 如果方程组中的一个方程可以表示成另一个方程中的某个变量（如$x$或$y$）的函数形式，那么可以使用代入法求解。

2) 选择其中一个方程（如方程1）将其表示成另一个方程中的一个变量的函数形式（如$x$），代入到另一个方程中（如方程2）。

3) 解方程得到一个方程中的变量值（如$y$），然后代入到第一个方程中求解另一个变量值（如$x$）。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。

含参二次函数的最值问题

变式作业上第9题已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？
第2类:函数对称轴固定，动区间
例2：
t, t 2上的最大值求函数f ( x) x2 2x 5在区间
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
y
x (2)
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减，当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2&
(1)
y
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
1
若0 a 2，则函数f(x)的最小值为 f (a) a 2 若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
f ( x) min
1, (a 0) 2 a 1, (0 a 2) 3 4a, ( a 2)
二次函数含参问题
求最值
第一类：：函数对称轴不固定，区间固定
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间 [0,2]上的最小值？ y
分析：对称轴 x=a是个动直线，有可能位于0的左侧，有可能位于0与2之间，有可能位于2的右侧

数学《二次函数的含参问题》专题训练含答案

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（八）《二次函数的含参问题》专题训练班级姓名座号成绩1. 已知:抛物线）（0142≠+-=k k kx y ，无论k 取何值，都过某定点，则定点坐标为 2. 已知:抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为3. 已知点A (－4，m )，B (1，6)，C (2，m )在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，则该抛物线的解析式为______________．4. 已知：二次函数322+-=x x y 的图像，当m x ≤≤0时，函数有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是5. 已知：抛物线122+-=mx x y ，当1≤x 时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是6. 已知：抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程032=-++t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有实数根，则t 的的取值范围是7.如图抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a )，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．作业思考：1. 如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．7.（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m ＜1时，h ＝﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+2m ；当1≤m ≤2时，h ＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m 2﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m 2+2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m 2﹣2m +1＝9，则m ＝4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．8.解：(1)在y ＝ax 2＋bx －1a 中，当x ＝0时，y ＝－1a. ∴A (0，－1a)． ∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ，∴B (2，－1a)； (2)∵点B (2，－1a)在抛物线上， ∴－1a ＝a ×22＋b ×2－1a. ∴b ＝－2a .∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－2a 2a＝1； (3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a. 若a ＞0，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a. ∵－34a －1a＜－1a ， ∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a. ∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，舍去．若a ＜0，∵－34a －1a ＞－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的下方． ∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上，a 的取值范围是a ≤－12.数学思考：1.（2020•河西区二模）如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B 的坐标，根据图象写出函数f 的值y 随x 的增大而增大（即呈上升趋势）的x 的取值；②如图2，作辅助线，构建对称点F 和直角角三角形AQE ，根据S △ABQ ＝2S △ABP ，得QE ＝2PD ，证明△PAD ∽△QAE ，则，得AE ＝2AD ，设AD ＝a ，根据QE ＝2FD 列方程可求得a 的值，并计算P 的坐标；（2）先令y ＝0求抛物线与x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h 的取值．【解答】解：（1）①把A （1，0）代入抛物线y ＝（x ﹣h ）2﹣2中得：（x﹣h）2﹣2＝0，解得：h＝3或h＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h＝3，∴抛物线l的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x＝3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数f的值y随x的增大而增大；②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，由对称性得：DF＝PD，∵S△ABQ＝2S△ABP，∴AB•QE＝2×AB•PD，∴QE＝2PD，∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE＝2AD，设AD＝a，则OD＝1+a，OE＝1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），∵点F、Q在抛物线l上，∴PD＝DF＝﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE＝（1+2a﹣3）2﹣2，∴（1+2a﹣3）2﹣2＝﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，解得：a＝或a＝0（舍），∴P（，）；（2）当y＝0时，（x﹣h）2﹣2＝0，解得：x＝h+2或h﹣2，∵点A在点B的左侧，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，分两种情况：①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，则，∴3≤h≤4，②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，即：h+2≤2，h≤0，综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．。

数学《二次函数的含参问题》专题训练及答案

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（九）《二次函数的含参问题》专题训练○2班级姓名座号成绩1.（2019秋•台州期中）已知：在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为2.（2020•永嘉县模拟）已知：抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是3．（2020•宁波模拟）已知：点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为4．（2020•厦门模拟）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是5．（2021•闽侯县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．6. （2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．作业思考：1．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．1.（2019秋•台州期中）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【分析】先求出a＜0和对称轴是直线x＝1，根据二次函数的性质得出当x＞1时，y随x的增大而减小，再根据点的坐标和二次函数的性质比较即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴的交点在正半轴上，∴﹣3a＞0，∴a＜0，即抛物线的开口向下，∵抛物线的解析式是y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点A（﹣0.5，y1）关于直线x＝1的对称点的坐标是（2.5，y1）∵图象过点（2.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3），又∵2＜2.5＜3，∴y2＞y1＞y3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．2.（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A和点B在对称轴两侧，从而可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，∴1＜m＜2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2020•宁波模拟）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n ＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】依解析式可知顶点坐标，根据当7＜m＜8时，总有n＜1，可知a＜0，由增减性可列不等式组，解出即可．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m＜8时，总有n＜1，∴a不可能大于0，则a＜0，∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，∴，∴4a+9＝1，∴a＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握增减性，理解“3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1”的意义．4．（2020•厦门模拟）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（）A．m＝2b+5 B．m＝4b+8 C．m＝6b+15 D．m＝﹣b2+4【分析】由韦达定理得：x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，求出x1、x2的值，函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＜3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即可求解．【解答】解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2+，∵x1+x2＝﹣2b，∴b＝﹣；函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，故选：C．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是利用韦达定理处理根和系数之间的关系．5.（2021•闽侯县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标；（用含b的代数式表示）（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A，B，与x轴交于点K．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知E（﹣2，0），F（0，4），设△AOB的外心为M，当点K在线段EF上时，求点M的纵坐标m的取值范围．【分析】（1）y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y＝x2，联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝k2+2，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx＝（x+b）2﹣b2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣b，﹣b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝b2﹣4××0＝0，解得b＝0，∴抛物线的表达式为y＝x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设经过点（0，2）的直线的表达式为y＝kx+2，联立y＝x2和y＝kx+2并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4，∴y1＝x12，y2＝x22，则y1y2＝x12x22＝4＝﹣x1x2，∵AD＝y1，DO＝﹣x2，BE＝y2，OE＝x1，∴，∴∠ADO＝∠BEO＝90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠BOE+∠DOD＝90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交BE的延长线于点H，过点M与y轴的平行线于点N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MN是Rt△ABH的中位线，∴MN＝BH＝（y2﹣y1），则m＝y1﹣MN＝（y1+y2）＝（kx1+2+kx2+2）＝[k（x1+x2）+4]＝k2+2，令y＝kx+2＝0，解得x＝﹣，即点K的坐标为（﹣，0），由题意得：2≤﹣≤4，解得﹣1≤k≤且k≠0，∴≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围≤m≤3．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0，∵对称轴x＝1，∴M，N关于x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．（2）①当x1≥t时，恒成立．②当x1＜x2≤t时，恒不成立．③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x＝，∴满足条件的值为：t≤．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作业思考：1．（2021•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y＝2x+1上运动；（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，∴顶点A（m，2m+1）；（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，∴A在直线y＝2x+1上运动，∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，∴可以分两类讨论，①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，解得m＝﹣1，②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，解得m＝，∴m＝﹣1或；（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，则Q（4，1），且PQ∥x轴∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，∴m＝2或8，当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点【点评】此题考查的是二次函数综合题，主要考查的是数形结合思想，根据题意，充分挖掘题目中的数据参数，是画图的关键，根据图像，判断临界位置，即可解决问题．。

3.含参二次函数(10道)

含参二次函数类型一函数类型确定型1. 已知抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c .(1)若a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若a ＝13，c ＝2＋b ，且抛物线在－2≤x ≤2区间上的最小值是－3，求b 的值；(3)若a ＋b ＋c ＝1，是否存在实数x ，使得相应的y 值为1，请说明理由．解：(1)∵a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝k ＋1，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝9kx 2＋10kx ＋k ＋1＝(9x 2＋10x ＋1)k ＋1，∴令9x 2＋10x ＋1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－19，∴图象必过点(－1，1)，(－19，1)，∴对称轴为直线x ＝－10k 2×9k＝－59；(2)∵a ＝13，c ＝2＋b ，∴抛物线y ＝3ax 2＋2bx ＋c 可化为y ＝x 2＋2bx ＋2＋b ，∴对称轴为直线x ＝－2b 2＝－b ，当－b ＞2时，即b ＜－2，∴x ＝2时，y 取到最小值为－3.∴4＋4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝－95(不符合题意，舍去)，当－b ＜－2时即b ＞2，∴x ＝－2时，y 取到最小值为－3.∴4－4b ＋2＋b ＝－3，解得b ＝3；当－2＜－b ＜2时，即－2＜b ＜2，当x ＝－b 时，y 取到最小值为－3，∴4（2＋b ）－4b 24＝－3，解得b 1＝1＋212(不符合题意，舍去)，b 2＝1－212，综上所述，b ＝3或1－212；(3)存在．理由如下：∵a ＋b ＋c ＝1，∴c －1＝－a －b ，令y＝1，则3ax2＋2bx＋c＝1.∴Δ＝4b2－4(3a)(c－1)＝4b2＋4(3a)(a＋b)＝9a2＋12ab＋4b2＋3a2＝(3a＋2b)2＋3a2，∵a≠0，∴(3a＋2b)2＋3a2＞0，∴Δ＞0，∴必存在实数x，使得相应的y值为1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别相交于A(－3，0)、B(0，－3)两点，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)若二次函数y＝x2＋mx＋n的图象顶点在直线AB上，求m，n的值；(3)①设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n 的最小值；②若当－3≤x≤0时，二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值为－4，求m，n的值．解：(1)将点A(－3，0)，B(0，－3)代入y＝kx＋b得⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝－3. ∴一次函数y ＝kx ＋b 的表达式为y ＝－x －3；(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象顶点坐标为(－m 2，4n －m 24)，∵顶点在直线AB 上，∴4n －m 24＝m 2－3，又∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A (－3，0)， ∴9－3m ＋n ＝0，∴组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝m 2－39－3m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4n ＝3或⎩⎨⎧m ＝6n ＝9； (3)①当m ＝－2时，由(2)得9－3m ＋n ＝0，解得 n ＝－15，∴y ＝x 2－2x －15.∵二次函数对称轴为直线x ＝1，在－3≤x ≤0右侧， ∴当x ＝0时，y 取得最小值是－15.②∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴9－3m ＋n ＝0，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝－m 2，i)如解图①，当对称轴－3＜－m 2＜0时，最小值为4n －m 24＝－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧4n －m 24＝－49－3m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝2n ＝－3或⎩⎨⎧m ＝10n ＝21(由－3＜－m 2＜0知不符合题意舍去) ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝－3； ii)如解图②，当对称轴－m 2＞0时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝0时，y 有最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n ，得n ＝－4，把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53.∵－m 2＞0，∴m ＜0，∴此种情况不成立；iii)当对称轴－m 2＝0时，y ＝x 2＋mx ＋n 当x ＝0时，取得最小值为－4，把(0，－4)代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n ＝－4，把n ＝－4代入9－3m ＋n ＝0，得m ＝53.∵－m 2＝0，∴m ＝0，∴此种情况不成立；iiii)当对称轴－m 2≤－3时，∵－3≤x ≤0，∴当x ＝－3时，y取得最小值－4，∵当x ＝－3时，y ＝0，不成立．综上所述，m ＝2，n ＝－3.第2题解图3. 在平面直角坐标系中，二次函数y1＝x2＋2(k－2)x＋k2－4k ＋5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数y2＝kx＋3经过y1图象的顶点，求函数y1的表达式；(3)当1≤x≤3时，二次函数的最小值是2，求k的值．(1)证明：∵b2－4ac＝4(k－2)2－4(k2－4k＋5)＝－4<0，∴函数图象与x轴没有交点，当x＝0时，y1＝k2－4k＋5＝(k－2)2＋1>0，∴二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解：∵y1＝(x＋k－2)2＋1，∴函数y1的顶点坐标为(2－k，1)，代入函数y2＝kx＋3得(2－k)k＋3＝1，解得k＝1＋3或k＝1－3，∴y1＝x2＋2(3－1)x＋5－23或y1＝x2－2(3＋1)x＋5＋23；(3)解：①当对称轴x ＝－b 2a ＝2－k ≤1时，k ≥1，当x ＝1时，y 1取得最小值2，即1＋2(k －2)＋k 2－4k ＋5＝2，解得k ＝0(舍去)或k ＝2； ②当对称轴1<2－k <3时，－1<k <1，当x ＝2－k 时，最小值恒为1，无解；③当对称轴x ＝2－k ≥3时，k ≤－1，当x ＝3时，y 1取得最小值2，即9＋6(k －2)＋k 2－4k ＋5＝2，化简得k 2＋2k ＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝－2.综上所述，k 的值为2或－2.4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过A (1，1)、B (2，4)和C 三点．(1)用含a 的代数式分别表示b 、c ；(2)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(p ，q )，用含a 的代数式分别表示p 、q ；(3)当a ＞0时，求证：p ＜32，q ≤1.(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1，1)、B (2，4)两点，∴⎩⎨⎧1＝a ＋b ＋c 4＝4a ＋2b ＋c，化解得3＝3a ＋b ，∴b ＝3－3a ，∴1＝a ＋3－3a ＋c ，∴c ＝2a －2；(2)解：由(1)得b ＝3－3a ，c ＝2a －2，∴p ＝－b 2a ＝3a －32a ；∴q ＝4a （2a －2）－（3－3a ）24a ＝－a 2＋10a －94a； (3)证明：∵a ＞0，∴－32a ＜0，∴p ＝3a －32a ＝32－32a ＜32；∵－（a －3）24a≤0，∴q ＝－a 2＋6a －94a ＋4a 4a ＝－（a －3）24a＋1≤1. 5. 已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．(1)用含a 、c 的代数式表示b ；(2)判断点B 所在象限，并说明理由；(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C (c a ，b ＋8)，求当x ≥1时，y 1的取值范围．解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )经过点A (1，0)，把点A (1，0)代入即可得到a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ；(2)点B 在第四象限．理由如下：∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)， ∴抛物线y 1与x 轴至少有1个交点，令ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x 1·x 2＝c a ，∴x 1＝1，x 2＝c a ，∵a ≠c ，∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，又∵抛物线不经过第三象限，∴a ＞0，且顶点B 在第四象限；(3)∵点C (c a ，b ＋8)在抛物线上，令b ＋8＝0，得b ＝－8，由(1)得a ＋c ＝－b ，∴a ＋c ＝8，把B (－b 2a ，4ac －b 24a )、C (c a ，b ＋8)两点代入直线解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧4ac －b 24a ＝2×（－b 2a ）＋m b ＋8＝2×c a ＋m a ＋c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8c ＝6m ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－8c ＝4m ＝－2(a ≠c ，舍去)，如解图所示，C 在A 的右侧，∴当x ≥1时，y 1≥4ac －b 24a ＝－2.第5题解图6. 在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3(a ≠0)．(1)若函数y 1的图象经过点(－1，4)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝bx ＋a (b ≠0)的图象经过y 1图象的顶点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (1，m )和Q (x 0，n )在函数y 1的图象上，若m ＞n ，求x 0的取值范围．解：(1)∵二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3的图象经过点(－1，4)，∴4＝a －2a ＋3，∴a ＝－1，∴函数y 1的表达式为y 1＝－x 2－2x ＋3；(2)∵y 1＝ax 2＋2ax ＋3＝a (x ＋1)2＋3－a ，∴y 1图象的顶点坐标为(－1，3－a )．∵一次函数y 2＝bx ＋a (b ≠0)的图象经过y 1图象的顶点，∴3－a ＝－b ＋a ，∴实数a 、b 满足的关系式为b ＝2a －3；(3)∵二次函数y 1＝ax 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a2a ＝－1，∴当m ＝n 时，x 0＝－3.当a ＞0时，如解图①所示，第6题解图∵m ＞n ，∴－3＜x 0＜1；当a ＜0时，如解图②所示，∵m ＞0，∴x 0＜－3或x 0＞1.综上所述：x 0的取值范围为⎩⎨⎧－3＜x 0＜1 （a ＞0）x 0＜－3或x 0＞1 （a ＜0）. 类型二函数类型不确定型1. 已知函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)．(1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是一个二次函数，假设n ＞－1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m ＝1，n ≠－2时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0，∴x ＝n －1n ＋2， ∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；②当m ＝2，n ≠－1时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)是二次函数，当y ＝0时，(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n ＝0，即(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ＝0，∴Δ＝22－4(n ＋1)(1－n )＝4n 2≥0，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；③当n ＝－1，m ≠0时，函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n 是一次函数，当y ＝0时，x ＝n －1m ，∴函数y ＝(n ＋1)x m ＋mx ＋1－n (m ，n 为实数)与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m ＝2，函数y ＝(n ＋1)x 2＋2x ＋1－n ，∵n ＞－1，∴n ＋1＞0，抛物线开口向上，对称轴：x ＝－b 2a ＝－22（n ＋1）＝－1n ＋1＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小，故为假命题；②它一定过点(1，4)和(－1，0)，理由如下：当x ＝1时，y ＝n ＋1＋2＋1－n ＝4.当x ＝－1时，y ＝0.∴它一定经过点(1，4)和(－1，0)．2. 设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求m的取值范围．第2题图解：(1)令k＝0，k＝1，则这两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x ＋1，描点法画函数图象如解图所示；第2题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点．证明：①∵当x＝0时，y＝1；当x＝－2时，y＝－1.∴函数图象必过(0，1)，(－2，－1)；②∵当k＝0时，函数为一次函数，∴y＝x＋1的图象是一条直线，且与x轴有一个交点；∵当k≠0时，函数为二次函数，y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象是一条抛物线．Δ＝(2k＋1)2－4×k×1＝4k2＋4k＋1－4k＝4k2＋1＞0，∴抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋1与x轴有两个交点．综上所述，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)与x 轴至少有一个交点；(3)∵k ＜0，∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴直线x ＝－2k ＋12k 的左侧时，y 随x 的增大而增大．根据题意，得m ≤－2k ＋12k ，而当k ＜0时，－2k ＋12k ＝－1－12k ＞－1，∴m ≤－1.3. 已知函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4. (1)求证：无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)当k ≠0时，A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点．①求抛物线的表达式；②求n 的值．(1)证明：当k ＝0时，函数为一次函数，即y ＝43x －4，与x轴交于点(3，0)；当k ≠0时，函数为二次函数，∵Δ＝(43－3k )2－4k ×(－4)＝(3k ＋43)2≥0，∴函数与x 轴有一个或两个交点；综上可知，无论k 为何值，函数图象与x 轴总有交点；(2)解：①当k ≠0时，函数y ＝kx 2＋(43－3k )x －4为二次函数， ∵A (n －3，n －7)、B (－n ＋1，n －7)是抛物线上的两个不同点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝n －3－n ＋12＝－1， ∴－43－3k 2k ＝－1，解得k ＝415，∴抛物线的表达式为y ＝415x 2＋815x －4；②∵(n －3，n －7)是抛物线y ＝415x 2＋815x －4上的点，∴n －7＝415(n －3)2＋815(n －3)－4，解得n1＝19，n2＝3.44. 已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x 轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x21＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x 轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0.Δ＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1，函数图象与x轴有两个交点，∴由题意得(k －1)x 21＋(k ＋2)＝2kx 1①，将①代入(k －1)x 21＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2中得：2k (x 1＋x 2)＝4x 1x 2.令(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0，则x 1＋x 2＝2k k －1，x 1x 2＝k ＋2k －1， ∴2k ·2k k －1＝4·k ＋2k －1. 解得k 1＝－1，k 2＝2(不合题意，舍去)．∴所求k 的值为－1；第4题解图②如解图，∵k ＝－1，∴y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2(x －12)2＋32.且－1≤x ≤1.由图象知：当x ＝－1时，y 最小＝－3；当x ＝12时，y 最大＝32.，最小值为－3.∴y的最大值为325. 设函数y1＝(x－k)2＋k和y2＝(x＋k)2－k的图象相交于点A，函数y1，y2的图象的顶点分别为B和C.(1)画出当k＝0，1时，函数y1，y2在直角坐标系中的图象；(2)观察(1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3)设A(x，y)，求证：x是与k无关的常数，并求y的最小值．第5题图(1)解：画出图象如解图所示；第5题解图(2)解：∵当k＝0时，函数y1＝y2＝x2的顶点为(0，0)，当k＝1时，函数y1＝(x－1)2＋1的顶点为(1，1)，函数y2＝(x＋1)2－1的顶点为(－1，－1)，∴它们的顶点都在直线y＝x的图象上，因为它们的坐标均满足解析式y＝x；(3)证明：令(x－k)2＋k＝(x＋k)2－k，整理得4kx＝2k，∵函数y1＝(x－k)2＋k和y2＝(x＋k)2－k的图象相交于点A，∴k≠0，解得x＝1，2∴x 是与k 无关的常数；此时y ＝(12＋k )2－k ＝k 2＋14≥14，即y 的最小值为14.。

二次函数含参综合专题

二次函数综合专题含参不简单，只因特征藏，找寻关键点，看它难不难。

（不等关系类）例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与()02342≠-+-=a a ax axy x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；a （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线上一点，（点C 在对称轴的右侧），过243(0)y ax ax a a =-+>点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当时，求此时抛物线的表达式；CD AD =②当时，求t 的取值范围．CD AD >（翻折类）例2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的最高点的纵坐标是2．243y ax ax a =-+（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．（平移类）例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点在 x 轴上，22y x ax b =-+（）是此抛物线上的两点．1(,)P x m 2(,)Q x m 12x x <（1）若，1a =①当时，求，的值；m b =1x 2x ②将抛物线沿轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；y x（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是．c 11x c ≤-27x c ≥+m 巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中,抛物线，与y22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>轴交于点C ，与x 轴交于点A ,B ，且1(,0)x 2(,0)x 12x x <（1）求的值；3221+-x x （2）当m=时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛1223-+x x 物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．考题再现：（2016南通中考）1.平面直角坐标系中，已知抛物线，经过xOy c bx x y ++=2、两点，其中为常数.)12,1(2++-m m )22,0(2++m m m （1）求的值，并用含的代数式表示；b mc （2）若抛物线与轴有公共点，求的值；c bx x y ++=2x m （3）设、是抛物线两点，请比较与的大小，),(1y a ),2(2y a +c bx x y ++=212y y -0并说明理由.（2018北京一模）2.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为， (点B 在点A 的右侧)；(1,0)A 22(,)B x y ②对称轴是；3x =③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，2x x ＞平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点、、（），33(,)C x y 44(,)D x y 55(,)E x y 345x x x <<结合画出的函数图象求的取值范围.345x x x ++。

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二次函数的含参计算
1、如果一条抛物线y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”。

（1）“抛物线三角形”一定是__________三角形；
（2）直接写出抛物线y=x ²+bx(b ＞0)的顶点A 坐标__________；若“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；
（3）如图，△OAB 是抛物线y=x ²+b ’x(b ’＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？如存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y=ax ²+bx+c(a ≠0)的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，-3）。

（1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；
（2）在抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；
（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由。

3、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y=ax ²+bx+5经过点M （1,3）和N x y A B O x y A B
O
（3,5）
（1）试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A （-2,0），且与y 轴交于点B ，同时满足以A 、O 、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由。

4、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A （1,0）、B （3,0）两点。

（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D ，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AC 、DE 和DB ，当△AOC 与△DEB 相似时，求这个函数的表达式。

练习1：抛物线y=x ²+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。

已知A （-3,0），该抛物线的对称轴是直线x=-21. （1）求抛物线解析式及B 、C 的坐标；（2）将BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条
抛物线上，另一个端点在x 轴上，并将B 、C 对应的点记作D 、E ，求以B 、C 、D 、E 为顶点四边形面积的最大值。

x y O 1234123
4
5
-1-2-3-1-2-3
2、已知抛物线l:y=ax²+bx+c(a≠0)经过A（3,0）、B（-1,0）、C（0,3）三点。

（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）将l平移到l’，若l’经过点C时，那么在l’上是否存在点D，使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将l如何平移；若不存在，请说明理由。

3、抛物线y=ax²+bx+1经过点A（1,0）、B（-1,3）两点。

（1）求a、b值；
（2）以线段AB为边作正方形ABB'A'，能否将已知抛物线平移使其经过A'、B'两点？若能，求出平移后A'、B’两点的抛物线解析式；若不能，请说明理由。