大气科学专业流体力学第二章(基本方程)
第二章_大气运动基本方程组
数值天气预报第二章大气运动基本方程组兰州大学大气科学学院数值天气预报数值天气预报：在给定的初始条件和边界条件下，数值求解大气运动基本方程组，有已知的初始时刻的大气状态预报未来时刻的大气状态。
构建数值天气预报的方程组要根据大气运动所遵循的基本物理规律给出相应的数学表达式，并进行必要的相应简化。
大气运动遵循牛顿第二定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律和水汽守恒定律，它们的数学表达式分别称为动量方程、连续方程、热力学方程、状态方程和水汽方程等。
此外在实际的数值预报和模拟中还可以针对实际的问题，给出其他相应的预报方程，比如污染物方程，各种水质方程等。
大气遵循的基本物理定理数学方程离散化数学物理方程组计算机程序核心：大气运动基本方程组数值天气预报的制作是一个计划详尽细致的系统工程，它是天气预报从定性描述到定量预报的一个重要的手段、技术和方法基本物理规律地球表面上空环绕着的厚度为10～20多公里的大气层中大气的运动变化，遵循1. 牛顿运动定理实际观测到的大气实际上都是相对地球表面的运动。
地球以常值角速度自西向东绕地轴自转。
因此建立在地球上的坐标系是一个非惯性系。
需要把运动方程由惯性系转换到非惯性系。
F dtVd r r=Ωx y z A A i A j A k=++r r r r''''''x y z A A i A j A k=++r r r r a y a a x a z d A d A d A d A i j k dt dt dt dt=++r rr r 惯性系中的任意矢量：非惯性系中的任意矢量：其微商的表达式为：''''''''''''y ax zx y z dA d A dAdA di dj dk i j k A A A dtdt dt dt dt dt dt=+++++r rr r r r r ''''''''''''y x r z dA dA d A dA i j k dt dt dt dt dii dt djj dt dk k dt ≡++=Ω×=Ω×=Ω×r r r r r r r r r r r r r 其微商的表达式为：旋转坐标系中的全微商：单位矢量的全微商是地球自转的结果，因此有：（1）旋转坐标系和惯性系中的全微商惯性系中适量的全微商与旋转坐标系中的全微商的关系为：ard A d AAdtdt=+Ω×r r rr（2）相对速度和绝对速度之间的关系2()()2a r a r a a a a r a r a r d r d r r dt dtd r d rV V dt dtV V rd V d V d V V r V r dt dt dt d V V R dt=+Ω×≡≡=+Ω×=+Ω×=+Ω×+Ω×+Ω×=+Ω×−Ωr r r rr r rr r r r r r rr r r r rr r r r rr r r 气块的绝对速度等于该气块相对于地球的速度与地球自转引起的牵连速度之和绝对加速度相对加速度Coriolis 加速度向心加速度（3）作用在空气微团上的外力(a)气压梯度力(b) 摩擦力(c) 万有引力(d)惯性力心力(e)重力128312332724341 6.668105.97610F p F GM F rG cm g s r M KgF R g F F ρ−−−=−∇=−=×=×=Ω=+r r r r r r r r r 力包括气压梯度力，科氏力，重力，摩擦力Fg V p dtV d r vr r r++∧Ω−∇−=21ρ（4）旋转坐标系中的运动方程（1）2.质量守衡定理（连续方程）3.大气状态方程（大气是一个热力系统）在气象学要求范围内，中可以把大气看成理想气体，因此有0)(=dtm d δRTP ρ=0=∇•+V dtd r ρρ),,(=T V P f 0V tρρ∂+∇•=∂r （2）（3）4.热力学定理设大气是理想气体，则热力学第一定律为：ln p d Q dt C Tθ=&•=−Qdtdp dt dT C p ρ1dE w Qdt •+=非绝热加热项长波辐射，短波辐射，蒸发潜热，感热，地表热通量等大气内能的变化大气膨胀对外界所作的功率外界对空气微团的加热率1()v E C Td w p dtααρ===内能做功位温定义为：1000()pR C T Pθ=热力学方程可以写成：如果对于绝热过程而言：位温是个守恒的量0d dtθ=（4）5. 水汽守衡定理ρ•=S dt dq ρ•=∇•+∂∂S q V t q r 源汇项此外还可以类似写出大气中云水、雪、雨水、冰晶、霰、雹等方程这样就得到旋转坐标系中的基本方程组:(1) (2) (3) (4) (5)（5）将上述运动方程写成分量形式,则以上共有六个方程.若摩擦力和外界加热律为已知函数,则其中包含六个未知数,在z 坐标中为: 因而方程组是闭合的.原则上说,当给定初始条件和边界条件时,此方程组应能求解,从而得到未来时刻的大气状态。
《大气科学基础》课件第2章 大气动力学基础
✓ 一个名叫古斯塔·加斯佩德·科里奥利的法国人在 1835年最先用数学方法描述了这种效应，所以科学界 用他的姓氏来命名此种力。我们通常也称它为地转偏 向力。在北半球，科里奥利力使风向右偏离其原始的 路线；在南半球，这种力使风向左偏离。风速越大， 产生的偏离越大。于是，在北半球，当空气向低压中 心辐合时会向右弯曲，形成了一个逆时针方向的旋转 气流。从高压中心辐散出来的空气，则因为向右弯曲 而形成了顺时针方向的旋风。我们把逆时针旋转的叫 做气旋，把顺时针旋转的叫做反气旋。在南半球，上 述的情形正好相反。
✓ The green guy will have to run faster than the orange guy to keep up.
• 产生的原因
✓ 物体为保持水平惯性运动， 经纬网因随地球自转而产生相 对加速度。 地转偏向力向右是 在北半球，在南半球则都向左；
✓ 由于除南北两极外，各纬度 的角速度都一样，从北向南飞 的时候，南边的圈大，即越向 南纬线越长，所以线速度大， 所以在北边的时候具有的一个 小的线速度与南边的线速度相 比就显的慢了。，
like this;
Dv F Dt
“The rate of change of velocity with time is equal to the sum of the forces acting on the parcel”
Frame of Reference
• For a non-rotating Earth, these forces are:
the earth; ✓ Not a real force in the sense that it cannot cause
a motion; ✓ As an earth-bound observer, we are not aware
大气科学专业流体力学第二章(基本方程)
包围的体积为
质量力
的流体块
流体的作用力
表面力
27
质量力
1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。 如重力、万有引力、电磁力等。 2特征：
（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之 间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离 而言，质量力均能显示出来。
（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内 ，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。 通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。
右端项为21???????00000hhhhhhhuyzxzuyzxuyxxxhxyzzuuuxxx????????????????????????????????????????????????????????????????hhhuxhzxuzxuyx?00????????????yx?thyx?z?thh???????????0?????????xzyuxzyx?thh????????????????0022考虑到与z无关并消掉等式两端公共项可得
6
对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，应有，此 时流体的连续性方程为：
d 0 dt
0 V
7
例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u xt 2 y (1) v xt 2 yt u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xy 2 z 1 w x 2 z 2 x3 y 4 2
u
y
x
u
( u ) x x
y
x
单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：
[ u
( u ) x] y z u y z = ( u ) x y z x x
大气流体力学第2章(4-5节)
11
12
13
14
-E 恒为负值，表示由于粘性摩擦总是动能减少（损耗）。
15
A13
16
17
18
热流量方程
用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程
1 dq d 2 cT V / 2 F V P V dt dt
p d V 2 1 V F V P V E dt 2
1 d V 2 1 F V P V P V dt 2
9
看书上附录A.13，点乘运算法则： 或： 或：
d V 2 1 F V P V dt 2
可以改写为：
1 dq d 2 dt cT V / 2 F V P V dt d 0
1 dq d 2 cT V / 2 F V P V dt dt
理想流体的动能方程
2
d V V F V p dt 2
假设质量力是有势力 且为定常场
d V V p dt 2
2
24
理想流体微团的动能方程： 2 d V V p dt 2 定常
vnI vnII
另外，如果不考虑毛细现象的表面张力（微观），两种流体质点在 边界面上的法向应力应该相等，即:
pnn I pnn 动
（Plane Couette Flow）
考虑如下简单流动，设 流体在两相距为2h的无 界平行平板间，沿 x 轴 作定常直线平面运动， 此时满足： z 上平板匀速运动 U
流体力学第二章(20151017)
2.2欧拉平衡微分方程
2.2.2流体平衡微分方程的积分
2.2 欧拉平衡微分方程
2.2.3 等压面、帕斯卡定律
2.3 流体静力学基本方程
2.3.1 重力作用下的流体平衡方程
2.3 流体静力学基本方程
2.3.2 压强的计量单位和表示方法
1、三种计量单位 （1）从定义出发，单位面积上的力Pa （2）大气压的倍数 标准大气压 1 atm=1.013 X 10^5 Pa 工程大气压：1 at=9.8 X 10^4Pa （3）水柱或水银高 mH2O或mmHg 1 at=10mH2O或736mmHg 2、表示方法 绝对和相对压强 真空压强（大气-绝对）
2.5.1 图解法（底边水平）
2.5 作用在平面上的液体总压力
2.5.2 解析法（任意平面）
2.6 作用在曲面上的液体总压力
总压力的大小和方向 dP pdA hdA 总压力的作用线
Px的作用线通过Ax的压力中心；
Pz的作用线通过VP的重心；
P的作用线由Px、Pz作用线的交点和α 确定 将P的作用线延长至受压面，其交点 D即为总压力在曲面上的作用点。
2.3 流体静力学基本方程
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
2.3 流体静力学基本方程
2.3.4 静压强分布图
1、表示出各占静压强大小和向的图称静压强分布 图 2、当液体密度ρ为常数时，静压强p只随淹没深度h 而变化，两者成直线关系。因此在绘制压强分布图 时，只需在两端点上绘出静压强后，连以直线即可。
第二章 流体静力学
王浩 1251934
本章概论
2.1 流体静压强特性 2.2 流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程
2.3 流体静力学基本方程
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
流体力学基本方程
连续方程两边同时除以 0U0 L0 整理 得
L0 * *vi*
U0t0 t*
xi*
0
（3-2）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
运动方程两边同时除以
U
2 0
L0
整理得
L0 U0t0
vi* t*Βιβλιοθήκη v*jvi* x*j
L0 g0 U02
g*
p0
0U02
1
*
p* xi*
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
不可压缩平行流动是流动问题中最简 单的情况，它只有一个速度分量不为零， 所有流体质点均沿一个方向流动，即vy= vz=0，且vx沿x轴方向不变化。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
当质量力只考虑重力且y轴竖直向上 时，N-S方程（2-28）简化为
* *
2vi* x*jx*j
（3-3）
式中由特征量组成了几个重要的无量纲参 数，即
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
L0 U0t0
St，称为斯特劳哈尔（Strouhal）数
U0 Fr，称为弗劳德（Froude）数 g0 L0
p0 Eu，称为欧拉（Eular）数
0U
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
在基本方程中，若各种物理量均以相 应的具有某种特征的同类物理量度量，则 有量纲的物理量均变为无量纲的物理量， 有量纲的方程组就可以表示为无量纲的方 程组。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
各物理量的无量纲量为
流体力学课件：Chapter 2 基本方程
x
uxdydz
••
( 2）在y方向上流体质量差为：
u
y
y
)
dxdydz
3）在z方向上流体质量差为：
(u
z
z
)
dxdyd
z
y
4）六面体内流体质量减少量为
：
t
dxdydz
dx
O
微元体流动
dz
•
dy
u
x
(ux x
)
dx
dydz
x
根据质量守恒定律：质量减少量应等于流出流入六面体的流体质量差即：
t
dxdydz
若对上板施加力F，并使上板以速度U保持匀速直线运动， 则内摩擦力T = F。通过牛顿平板实验得出：
T AU h
其中h为两平板间的距离，A为平板面积。
因流体质点粘附于固体壁上，故下板上流体质点的速度为 零，紧贴上板的液体质点速度为U。当h及U不太大时，板 间沿法线方向的点流速可看成线性分布，即：
u y
根据牛顿第二定律 F = m a
有哪些力？ 如何推导？
随体导数
作用在流体上的力
一、质量力 质量力指作用在流体全部质点上并与受作用的流体质量
成比例的力。如重力、惯性力等。 在流体力学中，往往不直接用质量力，而用单位质量流体上 的质量力，简称单位质量力 。则：
f F m
二. 表面力 表面力是指作用于流体表面上并与作用表面积成比例的力。
擦力来抗拒此相对运动。
切应力τ的大小与流体的粘性以及沿运动垂直方向上的
速度梯度du/dy成正比——牛顿粘性定律
du
dy
3、牛顿流体与非牛顿流体 凡遵守牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，反之称为
工学大气科学专业流体力学基础概念
①不可压缩流体 按压缩性，通常可把流体分为
②可压缩流体
18
不同流体的压缩性：
①在常温常压的条件下液体压缩性很小，大多数情况下可以 看作不可压缩流体来处理； ②气体的压缩性明显比液体大，通常需要看作可压缩性流体 来处理;
19
流体模型分类
流体模型
按粘性分类
无粘性流体 粘性流体
牛顿流体 非牛顿流体
按可压缩性分类
若研究对象扩大到包含大量分子的流体团，则流体团物理性质表 现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大，统计平 均值在时间和空间是连续，这种特性成为流体团的宏观特性。
22
流体团的宏观特性
流体团分子 速度的统计
平均值
流体团 的体积
23
※※流点的定义
微观足够大，其统计平均可以反映稳定的宏观值的大量 的流体分子所组成的流体微团称之为流点。 流点的特性： 流点的线尺度大于分子运动的线尺度； 宏观上充分小，流点的线尺度小于流体运动的线尺度。 注意：流点、流体微团、流体微元
y
y x0 ,
y0 ,
z0, t
z zx0, y0, z0 , t
？
Euler变量
u ux, y, z, t v vx, y, z, t w wx, y, z, t
38
三、两种变量之间的转换
1、Lagrange变量转化为Euler变量
Lagrange观点下有：
x xx0, y0, z0, t
个别流点的运动特征
整个流体运动特征
29
2、欧拉(Euler)方法 （场的观点）
又称局地法，着眼于空间点，是从分析流场中每一个
空间点上的流点的运动着手，研究流点通过固定空间
流体力学第二章 基本方程
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
流体力学基本方程
流体力学基本方程概述流体力学是研究流体的运动和力学性质的学科。
在复杂的流体运动中，我们需要基本方程来描述和求解物质的运动状态。
本文将介绍流体力学基本方程的概念、应用和求解方法。
基本概念在流体力学中，基本方程是用来描述流体运动和变形的物理和数学关系的方程。
这些方程基于守恒定律和质量、动量和能量守恒的原理。
根据流体的性质和具体情况，我们可以建立不同的基本方程。
质量守恒方程质量守恒方程描述了流体流动过程中质量的保持不变。
它可以用以下形式表示：∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂∂t 表示时间的偏导数，∇⋅表示散度运算。
这个方程表示了单位时间内流经某一体积元的质量变化与该体积元的质量流出量之和为零。
动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动中动量的变化。
它可以用以下形式表示：∂(ρv)∂t+∇⋅(ρv⊗v)=−∇p+∇⋅τ+ρf其中，p是流体的压力，f是外力矢量，τ是应力张量，符号⊗表示张量积。
这个方程表示了单位时间内流体动量的变化与压力、应力和外力的作用之和。
能量守恒方程能量守恒方程描述了流体运动中能量的变化。
根据流体的热力学性质和具体情况，能量守恒方程可以有不同的形式。
最常用的形式是Navier-Stokes方程。
例如在不可压流体情况下，能量守恒方程可以写作：∂(ρE)+∇⋅(ρvE)=−∇⋅q+∇⋅(τ⋅v)+ρf⋅v∂t其中，E是单位质量流体的总能量，q是单位面积的能量通量。
这个方程表示了单位时间内流体能量的变化与能量通量、应力和外力的作用之和。
基本方程的求解对于复杂的流体运动问题，基本方程的求解常常是挑战性的。
我们通常需要结合实际情况和数值方法来求解基本方程。
解析方法对于简单的流动情况，可以使用解析方法求解基本方程。
这些方法通常基于一些简化假设和边界条件，例如定常流动、恒定密度等。
解析方法可以得到精确的解析解，但通常只适用于简单的情况。
数值方法数值方法是对基本方程进行离散化和数值逼近的方法。
第二章 描写大气运动的基本方程组 动力气象学课件(共46张PPT)
假设t时刻位于〔x，y，z〕处，经过＆t时刻
后移至x x .y y ,z z 处，那么温度在运动中
的变化为： T T x x , y y , z z , t t T x , y , z , t
利用泰勒(tài lè)〔Taylor)级数展开，得：
T T tt T xx T yy T zz 2 tT 22 t! 2
上式除以＆t，略去高阶项，取极限，那么有：
d T TuTvTwT dt t x y z
第九页，共46页。
dT TuTvTwT 〔1〕 dt t x y z
等式左边：温度的个别变化，表示个别空 气微团的温度在运动(yùndòng)中随时间 的变化率； 等式右边：第1项为温度的局地变化，表 示固定的空间点温度随时间的变化；右方 第2、3项称之为平流变化项，是因水平面 上温度分布不均匀，而大气运动 (yùndòng)产生的变化；右方第4项为对 流变化项，是因大气垂直运动(yùndòng) 及垂直方向上温度分布不均匀产生的变化。
1. 概念
2.
在地球外某一固定点观测地球上的
大气运动，是“绝对运动〞，可以(kěyǐ)
看到大气随地球一起旋转。
3.
在地球上观测大气运动，是“相
对运动〞，观测者与地球一起旋转，感
觉不到地球自转。
第十二页，共46页。
2. 坐标系
为了(wèi le)确定物体位置和描述物体运 动，应采用适当的坐标系。根据观测方式的不同， 坐标系分为： 惯性坐标系：原点位于地球中心，坐标轴方向相对 于太阳是固定的坐标系。惯性坐标系下，可以看 到大气随地球一起旋转，是“绝对运动〞； 旋转坐标系：原点位于地球中心，坐标轴固定在地 球上的坐标系。旋转坐标系下，感觉不到地球自 转，观察到的大气运动是“相对运动〞。
第二章 流体力学的基本方程(3)ppt课件
.
8
（二）伯努利方程式的意义
1、几何意义
伯努利方程各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来
表示，常称作水Z 头1。P 12v1 g 2 Z2P 22v2 g 2
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定 常流动时，单位质量流体所具有的位置水头，压强水头， 速度水头之和即总水头（或总机械能）为一常数。
.
5
2、外力作功总和
(1)重力做W功1
重力所作的功等于位能的减少。
W 1 E Z 1 2 E Z 1 2 E Z 1 1 E Z 1 2 E Z 1 2 E Z 2 2
E Z 1 1 E Z 2 2 d v d ( q z 1 tz 2 )
(2压 ) 力做W功2
W 2P 1 d1 d A 1 lP 2 d2 d A 2 lp 1 d1 v 1 A d tp 2 d2 v A 2 dt
dvd q P 1 tP 2
(3)摩擦力做W功3
摩擦力对流体作负功， 它等于1-1′微段流体历 经全程运动至2-2′，阻 力所作的功。
.
6
h
—
表示摩擦阻力对微元流段平均按单位重力 流体计算沿全程所作的功。
射出小孔的诸元流都通到大气界面上，小孔中心B处的 元流来自自由界面之上的A处（不必确定一点），对A、 B两点列伯努利方程：
ZAP a2 vg A 2 ZBP a2 vB g 2 h
这里 vAvB vA0 h为小,也 量可略 ,h 去 0
A Pa
h
Bv
.
15
ZAP a2 vg A 2 ZBP a2 vB g 2 h
.
7
2 1v g 2 2 v 1 2 Z 1 Z 2 1P 1 P 2 h
第二章 流体力学的基本方程(2)
由公式
p1 p2 z1 z2 g g
p z 代表单位重力流体的位置势能， g 代表单位重力 流体的压强势能，在平衡流体内部，位置势能和压强 势能可以相互转化，但是总能量保持恒定。
流体静压强基本方程式的意义就是平衡流体中的总能 量是一定的。这也是能量守衡与转化定律在平衡流体 中的体现。
如果容器内的液体是静 止的， 一根测压管测得 的测压管水头也就是容 器内液体中任何一点的 测压管水头 。如接上多 根测压 管， 则各测压管 中的液面都将位于同一 水平面上。
pA /
pB /
zA
O
zB
O
22
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
23
例题：
在大气中之敞口连通容器内, 盛了重度分别为 1和 2 的两种液体, 若 1 7840 N / m3 , 2 11760 N / m3 , 液面 高差h 0.3m, 求高度h1和h2 ?
根据这一特性，我们可以由已知质量力的方向去确 定等压面的形状，或者已知等压面的形状，去确定质量 力的方向。
7
③两种不相混合的静止流体的分界面必为等压面
图中S为两种液体的分界面，在界面上取相邻两点A和B， 两点压差为dp，势函数差值为dU，两点间压差公式为：
dp 1 f x dx f y dy f z dz 1dU
2、液柱高单位
测压计常以水或水银作为工作介质，压强常以水柱高 度（mH2O），或毫米汞柱（mmHg）表示。
3、大气压单位
以1标准大气压（1 atm）为单位表示。 1标准大气压=1.013×105Pa =10.33 mH2O = 760 mmHg
18
三 、静压强的测量
第二章 流体力学的基本方程(3)
2 A
2 B
APahB源自v16P v P v a a Z Z h A B 2 g 2 g 2 vB ZA ZB 2g
2 A
2 B
v 2 g Z Z B A B
2 gh— 托里拆利定理
不能忽略的话 如果 h ,则: vB 2gh
W dq dt Z Z dq dt P P h dq d v 1 2 v 1 2 v
两边同除以流体重量dq ，则得单位重量流体的 vdt 关系式：
1 2 2 v v dq dt W 2 1 v 2
12 2 1 v v Z Z P P h 2 1 1 2 1 2 2g
9
（二）伯努利方程式的意义
1、几何意义
伯努利方程各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来 表示，常称作水头。 2 2
P v P v 1 1 2 2 Z Z 1 2 2 g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定 常流动时，单位质量流体所具有的位置水头，压强水头， 速度水头之和即总水头（或总机械能）为一常数。
v A B
假设 Ⅰ、Ⅱ 管的存 在不扰 动原流 场。
vA v vB 0 zA zB
代 入
pA
伯努利方程
v2 pB 0 2g
v
2 g (p ) Bp A
2 gh
19
Ⅰ管 —— 测压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管 —— 总压管，开口方向迎着流速。
思考为什么？
**************** 毕托管利用两管测得总水头和 测压管水头之差——速度水头， 来测定流场中某点流速。
第2章 流体力学
气体
13
2-4 流体的伯努利方程
2.4.1 理想流体的伯努利方程
p h u pv u
1 2 1 2 1 2 h1 cf 1 gz1 h2 cf 2 gz2 h cf gz 2 2 2 1 2 1 2 1 2 u1 p1v1 cf 1 gz1 u2 p2v2 cf 2 gz2 u pv cf gz 2 2 2 p 1 2 p 1 p 1 u1 1 cf1 gz1 u2 2 cf22 gz2 u cf2 gz 1 2 2 2 2 2 p1 cf21 p2 cf2 gz1 gz2 流体温度不变，u 近似不变 2 2
流线——各点的速度矢量与之相切的有向曲线。 ●定常流动中，流线不随时间变化； ●除在速度为零或无穷大的那些点，流线不能相交。
2.3.3 流管、流束、总流
流管—某一瞬时，通过曲线C上 各点的所有流线构成一管状曲面。 流束—管内所有流线的总和。 总流—全部流体的流动。
C--不是流线的任意封闭曲线
2 cf21 p2 cf2 z1 z2 2g 2g
p1
理想流体伯努利方程
使用条件 (1)理想流体、不可压缩； (2) 流动定常； (3) 质量力仅是重力。
14
讨论：
2 （1） p1 cf21 p2 cf2 z1 z2 2g 2g
cf = 0
z1
2.2.3 流体静力学基本方程
1. 流体静力学基本方程
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z
y
x
d ( m) 0 dt
d V 0 拉格郎日型连续方程 dt
4
Lagrange 观点下连续方程的物理意义
d V 0 dt ？
(1) V 0 流体体积增大 d / dt 0 流体密度减小； (2) V 0 流体体积减小 d / dt 0 流体密度增大； (3) V 0 流体体积不变 d / dt 0 流体密度不变。
V t
单位体积的流体质量通量
(1) （V） 0 有流体净流出 / t 0 流体局地密度减小； (2) （V） 0 有流体净流入 / t 0 流体局地密度增大； (3) （V） 0 流体无净流出或净流入 / t 0 流体局地密度不变。
第二章 基本方程
流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量 守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。 本章将介绍描述流体运动的连续方程、运动方程 和能量方程。
1
第二章 基本方程
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 连续方程 作用于流体的力、应力张量 运动方程 能量方程 简单情况下的N-S方程的准确解
在流体中，选取一个以xy 为底的长方形柱体，该柱 体是一底面固定不动的空 间区域，称为控制区。
z
h O
x
x
y
y
流体可以通过控制区的侧面，沿x轴方向流出、流入该柱体。
16
m x y z 考虑柱体内流体的质量为： 0
h
x , y, z , t
7
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（一） 利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
单位时间内通过左侧面 流入控制体的流体质量为：
z
z
u y z
单位时间内通过右侧面 流出控制体的流体质量为：
[ u ( u ) x] y z x
v 常数
13
3、具有自由表面的流体连续方程 通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。 实际物理现象： 空气 水 当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周散开时，将使得那里的水面降低。 这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
14
交界面
具有自由表面的流体连续方程的导出： 假设流团密度为 x, y, z, t ，考虑流体运动为二维
w 0, 的，即满足：
/ z 0 ，取流向方向为 x 轴。
设流体自由表面高度为 h h x, y, t ，即 h 在各处高低 不同且可以随时间变化。
15
或者 ( V ) 0 t
9
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（二）
拉格郎日型连续方程
d V 0 dt
d V dt t
欧拉型连续方程
V 0 t
10
欧拉型连续方程的物理意义
11
V t
对于流体的定常运动，有
0 t
流体的连续性方程可写为：
V 0
可知，在定常运动中，通过任意控制体表面流体质量 的净流入量等于零，即单位时间内流出控制体表面的 质量等于流进控制体表面的质量。
12
V 0
对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度 和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续方程：
h
柱体内的净流出量
h x u y z u y z 0 0 x
[
( u ) ( v) ( w)] x y z x y z
x y z t
单位时间内，该控制体内的质量减少为：
根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量 应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
经流体柱后侧流入的流体质量应为： 流入质量= 0 u y z
h
同时，经流体柱前侧流出的质量为： 流出质量=
x u y z u y z 0 0 x
h h
z
u
h
O
x
u u x x
x
y
y
量的减少。 流出质量= 流入质量=
5
对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，应有，此 时流体的连续性方程为：
d 0 dt
V 0
6
例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u xt 2 y (1) 2 v xt yt u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xy 2 z 1 w x 2 z 2 x3 y 4 2
2
第一节
连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，它是 在质量守恒定律在流体力学中的应用。 流体运动的连续方程，反映流体运动和质量 分布的关系，
重点讨论几种不同表现形式的流体连续方程。
3
1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程 Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在 运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质 量是守恒不变的。
u
y
x
u
( u ) x x
y
x
单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：
[u
( u ) x] y z u y z = ( u ) x y z x x
8
类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内 通过整个控制体的流体净流出量为：