作差法与作商法比较大小

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实数大小比较的常用方法

六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较与的大小。
析解：设，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较与的大小。
析解：设，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

高中数学—指对数比较大小方法

高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。

然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。

指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。

因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。

一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。

简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。

对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。

其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。

二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。

因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。

同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。

2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。

如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。

反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。

3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。

假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。

三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。

如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。

这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。

总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。

我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。

通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。

在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。

人教版七年级上册有理数的比较大小的八种方法.docx

专训2 有理数的比较大小的八种方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.【导学号：11972021】利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071.点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115，所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.初中数学试卷马鸣风萧萧。

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071. 点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115，所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.。

比较两个代数式大小

比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果>1,那么a<b;这种比放缩法：如果到：老大比老三大。

体验题1如果体验思路因体验过程∵∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。

看看我们的方法行不行？体验题2体验题2如1>a>b>0 ,试比较ab,ab2,b2a的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab2>0,ab2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程方法一，作差法.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a2b∵ab-a2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a2b∵ab2-a2b=ab(b-a)<0, ∴ab2<a2b∴ab> a2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0. ∵21ab ab b=>1, ∴ab>ab 2. ∵21ab a b a =>1, ∴ab>a 2b. ∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b. ∴ab> a 2b>ab 2体验题3体验题3如果体验思路 ∵体验过程 ∵a<b<0, ∵b a 11--b a b a 题是分数形式的代数式，且上述代数式与0的大小关系已知.另外，易确b a，2a b ,2b a 与1的大小关系，故也可考虑放缩法.∵1>a>b>0, ∴a b >1, b a <1, ∴a b >b a; ∴2a b =a b .a>a b .1=a b>1 (这一步中间过程将a 放缩到1) ∴2b a =b a .b<b a .1=b a<1. (这一步中间过程将b 放缩到1)∴2ba<ba<ab<2ab方法二：作商法∵22bbaa ab=<1,∴ba<ab∵22baab=33ba<1, ∴2ba<2ab,∵2 a ba b∵2 b a b a∴2ba<小结：作差法，..毕竟实践出真知！祝你成功！实践题实践题1 如果a+2b>a+b+1,比较a与b的大小关系 .实践题2 有一个两位数，个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这两位数的个位与十位上的数对调，新得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大？实践题答案实践题1实践详解∵a+2b-(a+b+1)=a-(b+1)>0,所以a>b+1b+1>b∴a>b实践题2实践详解原来的两位数是10b+a,新的两位数是10a+b, ∵10a+b-(10b+a)=9(b-a)<0，∴b<a。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解:由于,且,所以。

说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。

例2 比较与的大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。

例4 比较与的大小。

析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有:例5 比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b有:例6 比较与的大小。

析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据就是:对任意正数a、b有:例7 比较与的大小。

析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法就是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。

作差法与作商法比较大小精选文档

当0<a<1时，a<1a.
5
2、比较代数式的大小
把整体看着实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴上的一个 b
? 例：试比较 6x2 +3x+5与5x2+3x+的2 大小
?解： 6x2 +3x+5– ( 5x 2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5– 5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
Q
2 x
?
0
?
2 x
?
3
?
3
?
0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0
定号
∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
下结论
6
类型三利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．
[分析]
因为a >0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
7
[ 解]
a a
abbbba＝a
a
－b·bb－
a
＝(ab)a
－b，
当a >b>0时， ab>1，且 a －b>0，∴ (ab)a －b>1.
即aabb>abba；
当b>a >0时， 0<ab<1，且 a －b<0，
∴(ab)a －b>1.即a a bb>a b ba .
综上知： aabb>abba.

作差法与作商法比较大小教学文案

变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小．解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1，则(a3)a<1，aa<3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
类型二利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
[解] a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 Qx 0
2 x
3
3
0
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
定号下结论
类型三利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．
[分析]
因为a>0，b>0，所以我们只要比较
B．M＝NC．M<N NhomakorabeaD．与x有关
3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．

作差法与作商法比较大小

因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
精选ppt
7
[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b，当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba；当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
精选ppt
10
3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
精选ppt
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精选ppt
8
变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小．解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1，则(a3)a<1，aa<3a；当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a；当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
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1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
类型二利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
精选ppt
1
[解] a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.

解答不等式问题的几个技巧

解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。

比较二次根式大小的8种方法

比较二次根式大小的8种方法比较大小是学习数学过程中经常会遇到的，通常用到的方法就是作差法，但是有时要对两个数进行大小的比较，仅仅用作差法是不行的，那怎么办呢？别担心，本节整理的8种比较大小的方法，如果你能全掌握，那就可以对比较大小的题目通吃”了，这8种方法不仅适用于二次根式大小的比较，对于其他数的大小比较也适用。

当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小的比较，又掌握了8种比较大小的方法，可谓收获良多。

接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一：平方法……根号内的数相加为同一个数时。

平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法一乎方法1・比较拓+ /T与/14+V3的大小.解:yTT)z = 17 + 2 766,(/l4 + v*3)z = 17 + 217 + 2 俪＞17 + 2 屈*方法二：作商法向1靠拢，化同类项。

作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1,或小于1。

方法二作商法2•比噜|与闿的大小Uu 十乙VCJ "rJ4 十1 . Jo +2_ + 1〉（血 + 3）_ o 十4 Ja解弓十十3\a + 3 《Jn +2）?<1,+3方法三：分子有理化法... 根号内的数差为同一个数时，将分子化1，比分母。

分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。

方法三分子有理化法3.比较/IK—/N与A/TJ—/T5的大小*解：715 _ /14 = 5-少佟+心）/15+ /14715+ x/14/14 （<14-、13）£?14+ 713）14+ v T3/14+ /13vyi5+14十/13. /15 + /14>0, /14二』15一十/13>0, • •质+ 厢<厢+履/14</14-方法四分母有理化法比校厂石与用二血的人小*1 1解+③吉M+雄2+V3>V3+A/2*…2_兀迈方法四：分母有理化法方法六倒数法6■已知 T = x/n+3— J rt+1 •$= J 科+2—比较 x y 的大小. 方法六：倒数法倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。

比较二次根式大小的8种方法

当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小的比较，又掌握了8种比较大小的方法，可谓收获良多。

平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法一平方法L比较>用+/7与√14+√3的大小. 解:T(√⅛+ √TΓ)2 = 17 + 2 V66, (∕14÷√⅛)2 = 17÷2 √42,17÷2 √66>17 + 2 /42÷Λ(√6 + √TΓ)a>( √14÷√3)^/-√6+ √11 >√14+vX方法二：作商法向1靠拢，化同类项。

作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1 ,等于1,或小于1。

方法二作商法>Q UL + 2>0 ΛV ^±1 ⅛∕c +2 M+3 V z o ÷2 方法三：分子有理化法... 根号内的数差为同一个数时，将分子化 1 ,比分母。

分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。

2.比较7?石+2 忘“与石后的大小解 √<ι + 1 . √Z Λ + 21 ）（、d +3） « + 4 √Λ ÷3 皿+2 .« ÷3方法三分子有理化法3.比较J15—∖A1 与√ 14一√33的大小.解：√115 - ./14 =-/15-->∕14) ( y^15+ √^14) _λ∕l5÷ /41/5 +√l4t√14 --√13 = J吊-/Hb(√⅞¾+√⅞)=1√14÷ /13√14÷13*V√15+ √14>√14+ /13, √15+ √14>0^κΛ4十帀>°√i5+√i4*^√14+√i3,'^'2+√3>√3+√2∙” 1 、11 _ ............. ”一： k Szs三: aaassa—^BBaSaaSsa⅛⅛⅛2 — J3 \^3—庞方法四：分母有理化法方法分母有理化法丄比较的大小*解二詁乃聖厉"谆... 根号内的数相似，化同为目标。

2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训4 有理数比较大小的方法

1，｜ a － b ｜＝｜2－(－1)｜＝3，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜
2｜＋｜－1｜＝3；当 a ＝－1， b ＝2时，｜ a ＋ b ｜＝｜
－1＋2｜＝1，｜ a － b ｜＝｜－1－2｜＝3，｜ a ｜＋｜
b ｜＝｜－1｜＋｜2｜＝3.
所以｜ a ＋ b ｜＜｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜.

－

＜－＜－＜－，

所以－＜－＜－＜－ .

【点拨】
此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的
数，再进行比较.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
阶段拔尖特训
数轴法比较大小
【高分秘籍】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.根据这一特点可把需要比较的有理数在数轴上表示出
｜ a ＋ b ｜＜
－ b ｜，｜ a ｜＋｜ b ｜的大小关系为
｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜
1
2
3
4
5
6
.
⁠
7
8
9
10
⁠
阶段拔尖特训
【点拨】
已知 a ， b 异号，不妨取 a ＝2， b ＝－1或 a ＝－1，
b ＝2.当 a ＝2， b ＝－1时，｜ a ＋ b ｜＝｜2＋(－1)｜＝
.

因为10
＞10
，所以
＜
.

不等式证明的常见方法

2.3 不等式证明的常见方法
（1）比较法：
1°、作差法（两数同号为负）
①一般步骤：作差→变形→判号（与0比较大小）→定论。

②理论依据：.0;0;0b a b a b a b a b a b a =⇒=-<⇒<->⇒>-2°、作商法（两数同号为正）
①一般步骤：作商→变形→与1比较大小→定论。

②理论依据：.1;01;010b a b
a b a b b a b a b b
a b =⇒=<⇒<>>⇒>>≠若且若且若时，
当（2）综合法：由因及果-----即由已知条件或某些证明过的基本不等式→结论。

（3）分析法：执果锁因-----即由结论→已知条件。

（4）数学归纳法：主要适用于与自然数有关的不等式的证明。

（5）反证法：否定结论→推出矛盾→肯定结论。

（6）其他方法：有换元法、放缩法、函数法、判别式法等。

用放缩法证明不等式的放缩技巧：
1°、往往采用以下技巧：
1）添项或减项的添舍放缩；
2）拆项对比的分项放缩；
3）函数的单调性放缩；
4）均值不等式放缩等。

2°、放缩时要注意适度，否则不能通向传递。

采用的是均值定理。

而法，
采用的是缩小因子的方如2
122)1()1()1(2+=++<+=>+n n n n n n n n n。

实数比较大小常用的基本方法与策略

og５２＜l
og５５＝
y＝l
２５
聚焦新课程
１
１
１,
１
z＝e－２＞４－２＝ ,所以 y＜z＜x,故选 D．
２
２
１
解法２ x＝l
nπ＞l
ne＝１,
og５２＝
＜
y＝l
l
og２５
１
１,
１１１
z＝e－２＝ , ＜＜１,所以 y＜z＜x,选 D

２
e２ e
画函数 y＝l
og４x,
og５x 的图象,再取x＝
l
n３
解法１ a －b＝l
－
＝
＝
２
３
６
l
n８－l
n９ ,则
＜０ a＜b,同理可得c＜a,故c＜a＜b．
６
l
n３
解法２ b ＝２
＝l
og８９＞１,且 a＞０,
b＞０,所
a ３
l
n２
l
n２
以b＞a;又a ＝５
＝l
og２５３２＞１,且c＞０,
a＞０,所
c ２
l
n５
以 a＞c,综上,
b＞a＞c．
合理构造函数,再运用函数的奇偶性、对称性等性质
abc
２０１４２０１４
．
１
令 f(
x)＝l
n x －x,则 f
′(
x)＝－１＝
x
１－x 当
．０＜x＜１时,
′(
x)＞０,即 f(
x)在(
０,
１)上单
f
x
调递增．因为１＞１＞１＞１＞０,所以 a＞

作差法与作商法比较大小

(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0. ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
证明: (a3 b3 ) (a2b ab2 )
(a3 a2b) (ab2用骤作为b差：3 )比作较差法—变证形明—不定等号式.的常步用
a2 (a b) b2 (a的变b形) 方法有：配方法，通分
(a2 b2 )(a b) 法形，为(a因常式数b分或)(解变a法形，为b)有常2 时数把与差几变个
三、例题讲解
例1 求证 : x2 3 3x.
证明: x2 3 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3 22
(x 3)2 3 0 24
x2 3 3x.
上面的证明方法称比差法. 其步骤是:作差--变形--判断--结论
三、例题讲解
例3 已知a,b是正数,且a b,求证 : a3 b3 a2b ab2.
a, b是正数,且a b数,的平方和的形式或变形为几 a b 0, (a b)2 个符因号0式为, 积止的. 形式.变形到可判断
即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
a3 b3 a2b ab2.
[悟一法] (1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．
[悟一法] (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

差法与作商法比较

大，那么可以更准确地判断该数较大。
总结
差法和作商法的应用效果各有优劣，需要根据具体情况选择使用哪种方法。
04 差法与作商法的优缺点分析
差法的优缺点分析优点 01
它能够快速地比较两个数的大小关系，不需要复杂的计算过程。
03
02
差法是一种简单直观的方法，易于理解和操作。
04 缺点
差法只能比较两个数的大小关系，无法得出精确的数值结果。
05
06
当两个数的差值很小时，差法可能会产生较大的误差。
作商法的优缺点分析
优点
作商法能够得出精确的数值结
它适用于比较任意两个数的大
01
果，通过比较两个数的商来得
出大小关系。
02
小关系，不受数的大小和单位
限制。
03
缺点
作商法需要计算两个数的商，
当两个数的比值很小时，作商
04
计算过程相对复杂，容易出错
数的大小关系。
总结
03
差法和作商法的操作过程不同，差法需要计算差值，而作商法
需要计算商值。
应用效果比较
差法
在某些情况下，差法可能更直观、更易于理解。例如，在比较两个数的大小时，如果它们的差值较大，那么可以直观地判断
其中一个数较大。
作商法
在某些情况下，作商法可能更准确、更具有说服力。例如，在比较两个接近的数的大小时，如果一个数除以另一个数的商较
VS
作商法需要先找到两个相邻项的比值，然后通过连乘或连除的方式计算出通项公式。
注意事项和建议
在使用差法时，需要注意初始项的选择，确保起始项的差为已知，否则无法使用差法。
在使用作商法时，需要注意比值的准确性，因为比值稍有偏差会导致最终结果的巨大误差。

洋葱数学做差比较法

洋葱数学做差比较法
作差法：比较两数大小的常用方法
应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小，这就是“作差法”,既要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断。

作差法和作商法是比较两数(两式)大小的两种常用方法。

作差变形（提公因式、通分、作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论
优处：1.用作差法比较两数(两式)大小与直接比较相比，更容易简便。

2.对于作商法来说，作差法对于难以通分的两数(两式)更易于化简。

劣处：1.对于刚使用作差法的人来说，很容易得错结论。

2.相比于作商法，有时需对两数(两式)进行通分，较为繁琐。