三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点

1.特殊角的三角函数值：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

==

）

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±−−−→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβ

αβαβαβααα

αααβααβααβα

αα

αα

=±=−−−→=-↓=-=-±±=

⇒-↓=

-

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβαβ++=⋅

，()(

)

222αββ

ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

α

α-=与升幂

公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(；

(3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅

tan sin 42

ππ===

等），.

。

（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和

()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T π

ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡

⎤=-+∈⎢⎥⎣

⎦在上单调递增，在

()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣

⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！

(6)、形如sin()y A x ωϕ=+的函数：

1几个物理量：A ―振幅；1

f T

=―频率（周期的倒数）；

x ωϕ+―

相位；ϕ―初相；

2函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A

由周

期确定；ϕ由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2

πϕ<()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

3函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222

ππ

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

，得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。要特别注意，若由

()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|

|ϕ

ω

个单位，如 （1）函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π

=-的图象，再向左平移

8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2

即得sin y x =的图象）；

★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨

⎪

⎪

=⎪⎩

注意变形应用 ②面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ∆=

== ③余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩