3.4线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性分析实验报告
线性系统的稳定性分析实验报告本实验旨在对线性系统的稳定性进行分析，包括定义稳定性、利用极点分布法分析稳定性、利用本征模态分析稳定性、以及使用Matlab进行稳定性分析等内容。
一、实验背景稳定性是控制系统研究中一个非常重要的概念，它与系统的性能、可靠性、控制策略等密切相关。
简而言之，稳定性就是指当输入信号发生变化时，系统能否在一定时间范围内维持稳定状态。
对于线性系统，稳定性的分析可以通过系统的传递函数、本征模态等途径进行求解。
二、实验设备（1）计算机（2）Matlab软件三、实验过程及结果1.定义稳定性在控制系统稳定性分析中，一般都是针对线性时不变系统进行讨论。
对于线性时不变系统，我们可以采用两种常用的定义方法来判断其稳定性：（1）定义1：系统是稳定的，当且仅当系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
（2）定义2：系统是稳定的，当且仅当系统的特征方程所有极点的实部均小于0。
2.利用极点分布法分析稳定性极点分布法是一种常用的线性时不变系统稳定性分析方法，通过计算系统的特征方程的极点分布来判断系统的稳定性。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/ (s+1)(s-2)的系统，可以写出系统的特征方程：s^2-s-2=0求解特征方程，得到系统的两个极点为s1=2,s2=-1，其中s2=-1的实部小于0，符合定义2的稳定性判断标准，因此该系统是稳定的。
3.利用本征模态分析稳定性本征模态是指一组特定的正交基，通过它们可以表示出系统的任意初始状态和任意输入下的响应。
因此，本征模态分解法是一种可以用来分析线性可逆系统稳定性的工具。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/(s+3)的系统，对应的状态空间方程为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，A=[-3]，B=[1]，C=[1]，D=0。
求解系统的本征值，得到该系统的特征根为-3，证明该系统是非常稳定的。
因此，该系统满足定义2的稳定性判断标准。
第3章第1-3节线性系统的稳定性及稳定判据
s1 s0
a n ,1
a n +1,1
14
2、劳斯稳定判据
线性系统稳定 劳斯表中第一列元素各值全部为正。 如果劳斯表第一列中的元素出现小于零的数值，则系统不稳定， 且第一列各元素符号的改变次数，等于特征方程的正实部根的数目。 例3-6 设系统特征方程为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
sin( γ t + ϕ )
lim e βt sin(γt + ϕ ) = 0
t →∞
( β < 0) ( β > 0)
运动模态
lim e βt sin(γt + ϕ ) = ∞
3）重根：设 α 为q重根
t →∞
eαt ,
te α t , L t q −1e α t
lim t r eαt = 0
t →∞
2 0 0 （0）0 8
4 12 8
8
设： F ( s ) = 2 s 4＋8＝0 可以求出以原点对称的根为
−1 ± j ， 1 ± j
×
ε
64
1
Im
×
ε
1 -1
×
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
s0
Re
8
-1 ×
第一列数值有两次符号变化，故本例 系统不稳定，且有两个正实部根。
20
二、劳斯稳定判据的应用
3 4 5
5
s3 s2
s1
s0
5
1 ai−2,1 ai−2, j＋1 aij = − ai−1,1 ai−1,1 ai−1, j+1
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
线性系统的稳定性分析 图文
? 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件, 而非必要条件。
?
也就是说,若找到满足上述条件
的一个李雅普诺夫函数,则系统是一致渐近稳
定或大范围一致渐近稳定的。
?
但是,如果我们一时找不到这样
的李雅普诺夫函数,也并不意味着平衡态就不
是渐近稳定的。
?
此时,我们或者
1) V'(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不 稳定的;
2) 若V'(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的
x(t0)? 0, V'(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不
稳定的。
□
V(x)
V'(x)
结论
? 下正定面(>将0) 前面讨论的负定李(<0雅) 普诺夫稳该定平衡性态的渐近判稳定定
? (1) 渐近稳定性定理
? 定理 设系统的状态方程为
? x'=f(x,t)
? 其中xe=0为其平衡态。
? 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满 足下述条件:
?
1) 若V'(x,t)为负定的,则该系统
在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
?
2) 更进一步，若随着||x||→? ,
有V(x,t)→? ,那么该系统在原点处的平衡态是
?
继续寻找满足条
件的李雅普诺夫函数,或者
?
可利用后续定理
的结论来判别平衡态的渐近稳定性。
2) 对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的,但并不唯一。
3) 对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但 并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;
线性和非线性系统的稳定性和控制
线性和非线性系统的稳定性和控制在控制系统中，线性和非线性系统是常见的两种形式。
线性系统具有可加性和比例性质，非线性系统则不满足这些性质。
在这篇文章中，我们将探讨线性和非线性系统的稳定性和控制，以及它们之间的差异。
1. 线性系统的稳定性和控制在线性系统中，当系统的输入和输出之间的关系满足线性方程时，我们可以使用线性的控制方法来调节其行为。
例如，当我们使用一个比例控制器来调节温度时，我们假设系统的响应是线性的。
这意味着，如果我们两倍地增加控制器的输出，系统的响应也会两倍增加。
线性系统的稳定性可以用传输函数的极点和零点来分析。
当传输函数的所有极点实部都小于零时，系统是稳定的。
如果有任何一个极点的实部大于零，系统就是不稳定的。
我们可以使用各种线性控制器来稳定系统，例如比例控制器、积分控制器和微分控制器。
2. 非线性系统的稳定性和控制对于非线性系统，它们的行为是更加复杂的。
它们不具有可加性和比例性质，这意味着我们无法使用线性控制方法来调节系统行为。
例如，在一个非线性电路中，如果我们将输入信号的幅度加倍，输出信号的幅度可能会非常不同。
非线性系统的稳定性也比线性系统更加复杂。
我们不能简单地使用传输函数的极点和零点来分析系统的稳定性。
相反，我们需要使用更高级的数学工具，例如李雅普诺夫稳定性理论。
该理论使用能量函数来分析系统的行为，从而判断系统是否稳定。
我们可以使用各种非线性控制器来调节非线性系统，例如反馈线性化控制和滑动模态控制。
3. 线性系统和非线性系统的不同在稳定性和控制方面，线性系统和非线性系统之间存在显著的差异。
线性系统具有可加性和比例性质，可以方便地使用传输函数来分析稳定性和设计控制器。
然而，非线性系统不具备这些特性，需要使用更高级的数学工具来分析稳定性和设计控制器。
此外，非线性系统可能会表现出一些奇异的行为，例如混沌和周期性振荡。
这些行为是线性系统所不具有的，因为线性系统的行为是可预测的和稳定的。
对于非线性系统，我们需要更加小心地分析其行为，以确保系统的稳定性和符合我们的预期。
实验三_线性系统的稳定性和根轨迹分析
实验三 线性系统的稳定性和根轨迹分析
一、实验目的
1、学会用MATLAB 求取系统根轨迹和暂态响应的方法。
2、掌握利用根轨迹分析系统性能的方法。
3、掌握线性定常系统暂态性能指标的测试方法。
4、研究线性定常系统的参数对其暂态性能和稳定性的影响。
二、实验内容
系统的开环传递函数为
()()(2)(10)
K G s H s s s s =++ 1、画出系统根轨迹，求出系统的临界开环增益和对应的闭环极点。
2、求出阻尼比为0.707时系统的开环增益和对应的闭环极点。
3、选取不同的K 值，观察系统在稳定、临界稳定、不稳定时的单位阶跃响应。
4、观察阻尼比为0.707时系统的单位阶跃响应，求出最大超调量和调整时间。
三、实验报告要求
1、预习报告写出各实验内容相应的程序，计算出相关的理论值。
2、实验报告记录各实验结果，并进行分析。
3、实验中存在的问题分析、讨论或建议。
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
线性系统稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
g1
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1aΒιβλιοθήκη 1an an4b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
s
例：P70 稳定程度应用
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
线性系统稳定性分析
线性系统稳定性分析1.系统的稳定性：（1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
（2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。
当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。
对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。
2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。
如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。
对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。
系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。
3. Lyapunov 稳定性分析（1）Lyapunov 稳定性定义设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。
设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。
线性系统的稳定性分析
关于线性系统稳定性的进一步探究任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。
显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。
此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。
近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。
系统的稳定性在控制中是一个很重要的问题。
在学习完稳定性理论之后，对此有了更为深刻的理解，不单单停留在输出跟踪输入的浅显印象之上，获益匪浅。
因此，本文根据黄琳院士较为精炼的数学讲解，描述了一些自己对该问题的直观思考，并且结合线性系统和具体实例对稳定性作进一步分析，使内容不再过于抽象，更为深入地理解其应用价值。
1 预备理论1.1 微分方程解的表示考虑微分方程00(,)()xf x t x t x =⎧⎨=⎩ 其解()x t 是自变量t 的函数，而0t ，0x 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值0t 、0x 的函数, 可记为00(;,)x t t x 。
例如：000000(;,)()t t t t xx x x t t x e x t e x --=⇒=== 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
1.2 Lipschitz 条件001212(,)()(,)(,)(,):x f x t x t x t t t t t I x W R==∈⊂-∞+∞=∈⊂ (,)f x t 的定义域记为⨯W I 。
若存在常数L ，使得对任何I,,Wt x y ∈∈都有(,)(,)f x t f y t L x y -≤-则称f 在W I ⨯上满足Lipschitz 条件。
线性系统的稳定性和稳态误差分析
实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)dc=Gctf.dendens=poly2str(dc{1},'s')运行结果如下：dens=s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]p=roots(den)运行结果如下：p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v')pzmap(Gctf)grid运行结果如下：z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图3-1所示。
线性系统的稳定性
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
线性系统的稳定性
设控制系统的特征方程式为
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an = 0
必要条件是 （1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： ） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 均为 正值，且特征方程式不缺项。 正值，且特征方程式不缺项。 （2）列劳斯表。 ）列劳斯表。
s ( s 2 + s + 1)( s + 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C (s) K = 2 R( s ) s ( s + s + 1)( s + 2) + K
所以系统的特征方程为
D( s) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
4 3 2
列劳斯表如下: 列劳斯表如下
D( s ) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5 0
由于该表第一列系数的符号变化了两 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方 不稳定的 程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定 程中有两个根 右半平面 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的 的取 ：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取 值范围。 值范围。 K
ε
→ −∞ < 0
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 在劳斯表的某一行中， 在劳斯表的某一行中 情况。 情况。 (1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行 (2)再将上述辅助方程对 求导 再将上述辅助方程对s求导 再将上述辅助方程对 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 用求导后的方程系数代替全零行的元素， 用求导后的方程系数代替全零行的元素 续完成劳斯表。 续完成劳斯表。
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
自控理论 3-5线性系统的稳定性分析
a1 Dn =
a3
a5 a4 a3
a7 a6 a5
L 0 L L L L M 0 0 0 0 M
a0 a2 0 a1 0 a0 0 0 M M 0 0
a2 a4 a1 a3 M M 0 0
L an
即
Di > 0
( i = 1, 2,Ln )
其中 D1 = a1 > 0 , D2 = a1 D3 = a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 > 0 a3
• 线性系统的稳定性只取决于系统的结构及 参数，而与初始条件、 参数，而与初始条件、外作用大小及形式 无关。 无关。 • 稳定性只取决于系统闭环极点，而与系统 稳定性只取决于系统闭环极点， 零点无关。 零点无关。
作业： － － 作业： 3－A－8 3－A－9 － －
§3-5 线性系统的稳定性分析 一、稳定的概念 稳定性是指扰动消失后， 稳定性是指扰动消失后，系统由初始偏 差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统 差状态恢复到原平衡状态的性能。 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的， 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否 则不稳定。 则不稳定。
线性系统稳定性的定义： 线性系统稳定性的定义： 若线性控制系统在扰动作用下， 若线性控制系统在扰动作用下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称 系统渐近稳定，简称稳定。反之， 系统渐近稳定，简称稳定。反之，若在扰动 作用下， 作用下，系统的动态过程随时间的推移而发 则称系统不稳定。 散，则称系统不稳定。
【例3-5】D(s)= s4 + 2s3 +3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯 】 判据判别系统是否稳定, 若不稳, 确定正实部根的数目。 判据判别系统是否稳定 若不稳 确定正实部根的数目。
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此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距 离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
s1
例3-8 用劳斯判据检验下列特征方程
2S 3 10S 2 13S 4 0
a 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
（2）劳思-赫尔维茨稳定判据的历史条件和现状
理论上还有一定的地位 在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用 由于数值求根已经非常方便，该判据在直接判断系统稳定性 上的作用几乎消退。
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
赫尔维茨(Hurwitz)判据
a1a 2a 3
a
0
a
2 3
a
2 1
a
4
C(s)
K
R(s) s(s2 s 1)(s 2) K
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
各项系数均为正数 K 0
2 3 3 K 32 1 22
K值的稳定范围
14 K 0 9
单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：
系统方程在不受任何外界输入的条件下，系统方程的 解在时间趋于无穷时的渐进行为。 对于线性系统只有大范围稳定的问题 对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的
线性控制系统的稳定性
线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的 推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定，简称稳定。 如动态过程随时间的推移而发散，称为不稳定。
K G(s)
(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)
G(s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
K G(s)
s2 (T1s 1)
判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环 积分环节数目对系统稳定性的影响。
系统1的闭环特征方程为：
D(s) T1T2T3s3 (T1T2 T1T3 T2T3 )s 2 (T1 T2 T3 )s 1 K 0
0
S4
2
12
16
F (s) 2s 4 12s 2 16s
S3
0
0
0
8
24
dF(s) 8s3 24s
S2
6
16
ds
S1
8
0
3
S0
16
j 2 , j2
显然这个系统 处于临界(不) 稳定状态。
F (s) 2s 4 12s 2 16s 2(s 4 6s 2 8) 2(s 2 2)(s 2 4) 0
0 0 a43 0
0 a0 a2 a4
a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0 (全部系数数同号)
a1a2a3 a0a32 a12a4
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
归纳：a0>0时 一阶系统 a1>0(全部系数数同号)
K的稳定域为： 0 K T2 T3 T1 T3 T2 T1 2
T1
T2
T3
系统2的闭环特征方程为： 结论：增加系统开环积
D(s) T1T2s3 (T1 T2 )s2 s K 0 分环节的数目对系统稳
K的稳定域为：0 K T2 T1
T1T2
j 1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。
对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。
B(s)
k
C(s) R(s)
ci
r
a js bj
D(s)
i1 s pi j1 [s ( j jj )][s ( j jj )]
k
r
c(t) ciepit ejt (A j cos jt B j sin jt)
二阶系统 a1>0, a2>0(全部系数数同号)
三阶系统 四阶系统
a1>0, a2>0, a3>0(全部系数数同号) a1a2> a0 a3 a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0(全部系数数同号)
a1a 2a 3
a
0
a
2 3
a
2 1
a
4
例
a0>0时,
a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0
特殊情况2：某一行元素均为0
D(s) s5 s4 5s3 5s2 6s 6 0
各项系数均为正数
特殊情况：某一行元素均为0
s5
1
5
6 解决方法：全0行的上一行
s4
1
5
6 元素构成辅助方程，求导
s3 s2 s1
04 5/2 2/5
0 10 6
0 后方程系数构成一个辅助 方程。 Nhomakorabea(a)大范围稳定
否则系统就是小范围稳定的。
(b)小范围稳定 注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
(a)不稳定
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的 平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡， 则系统处于临界稳定状态。
注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。
运动稳定性（线性系统）
0 a1 a3
a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0(全部系数同号)
a1a2> a0 a3
四阶系统
D(s) a 0s 4 a1s3 .a 2s 2 a 3s a 4 0
1
a1 a0 0 n 0
a0>0时
2 3
a3 a5 a2 a4 a1 a3
S 1 的右方。
解：列劳斯表
S3 S2
S1
n
0 0 0
a n1 0
0 0 a n2 a n
1 a1 0
a1 a3 3 a0 a2
0 a1
2
a1 a0
a3 a2
a1a 2 a 0a3 0
0
a4
a1a 2a 3
a
4
a
2 1
a
0
a
2 3
0
a3
a1 a3 0 0
4
a0 0
a2 a1
a4 a3
控制系统稳定的充分必要条件： 劳思阵列第一列元素不改变符号。
注：通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为 劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。
四、劳思稳定判据的特殊情况
特殊情况1：某行的第一列出现0 特殊情况2：某一行元素均为0
特殊情况1：某行的第一列出现0
D(s) s3 3s 2 0
§3-5线性系统的稳定性分析
一、稳定性的基本概念
二、线性系统稳定的充分必要条件
三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）
四、劳思稳定判据的特殊情况 五、劳思稳定判据的应用
一、稳定性的基本概念
（1）稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定 的前提下进行。 （2）自动控制理论的基本任务(之一) 分析系统的稳定性问题； 提出保证系统稳定的措施。
s 2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
| a0 a2 |
| a0 a4 |
b1
a1 a3 a1
b2
a1 a5 a1
| a1 a3 |
c1
b1 b2 b1
| a1 a5 |
c1
b1 b3 b1
| b1 b2 |
d1
c1 c2 c1
| b1 b3 |
d2
c1 c3 c1
性质：第一列符号改变次数== 系统特征方程含有
正实部根的个数。
特征方程： 劳斯阵列：
劳斯(routh)判据
“第一列中各数”
如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于 零系统稳定； 如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正 实部特征根的个数系统不稳定。
例
稳
不
定
稳
的
定
摆
的
摆
(a)稳定
(b)临界稳定 (c)不稳定
稳定性的定义
控制系统在外部扰动消失后，由初始偏差状态恢 复到原平衡状态的性能。
注意：控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。
大范围稳定:
不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。
i1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O 注意：稳定性与零点无关
Pn
P4
例 结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。
三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）
（1）该判据出现的历史条件
在十九世纪后叶，由于无法解析求解高阶多项式的根 由于计算工具所限，数值求解也较难 把‘求根的具体值’问题放松为‘判断根是否小于零’问题。
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
... bm1s bm ... an1s an
B(s) D(s)
K
B(s)
k
a0 (s pi ) [s ( j j j )][s ( j j j )]