哈工大2015年概率统计试题及答案

2015年哈工大概率统计试题

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设()()0.7P A P B +=，且,A B 只发生一个的概率为0.5，则,A B 都发生的概率为 ________________ ．

2．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=0

,00e )(-x x x f x X ，，则随机变量X

Y e =的概率密度为

()Y f y =

______________ _ _ ．

3．设随机变量, X Y 的相关系数为0.5，2

2

0,2EX EY EX EY ====，则

2

()E X Y += ． 4．生产一个零件所需时间2(,)X

N μσ，观察25个零件的生产时间得 5.5x =秒，样本

标准差 1.73s =秒，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __． 5．设随机变量, X Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则

{max(,)1}P X Y ≤=______ ．

注：可选用的部分数值：0.050.0250.025(24) 1.7109, (24) 2.0639, (25) 2.0595,t t t ===

.95.0645.1975.096.1=Φ=Φ）（，）（

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设()01,P B <<(|)(|)1P A B P A B +=，则

（A ）,A B 互不相容 . （B ）,A B 互为对立事件.

（C ）,A B 相互独立 . （D ）,A B 不独立. 【 】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是

（A ）()2

1,1F x x x =-∞<<+∞+． （B ）, 0() 1 0, 0

x

x F x x x ⎧≥⎪

=+⎨

⎪<⎩． （C ）∞<<-∞=x x F x

,e )(-． （D ）∞<<-∞+=

x x x F ,arctan 2143)(π

． 【 】 3．设12, , , n X X X 为来自总体2(1,2)N 的一个样本， 其中X 为样本均值，则下列结论中正确

的是

（A ）()()22

111~4n i i X n χ=-∑． （B ）()21

11~(,1)4n i i X F n =-∑．

（C

()~0,1X N ． （D

~()X t n ． 【 】 4．设随机变量~[0, 6]X U ，1

~(12, )4

Y B ，且,X Y 相互独立，则根据切比雪夫不等式有

(33)P X Y X -<<+≥__________．

（A ）

41． （B ）53． （C ） 43 ． （D ）12

5． 【 】 5．设12, ,

, n X X X 是来自总体2(, )N μσ的简单随机样本，X 与2

S

分别为其样本均值和

样本方差，则下列结论正确的是 （A ）2

2

12~(,)X X N μσ-． （B ）

()

2

2

~(1,1)n X F n S μ

--．

（C ）

()2

22

~1S n χσ-． （D ~(1)X t n -． 【 】

三、（9分）某人外出可以乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，其概率依次为5.0,30.0,15.0,05.0，

而乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为90.0,60.0,70.0,80.0，求： （1）该人如期到达的概率；（2）已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。

四、（9分）设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥=+-其它，）（,00

,0e 61),(32y x y x f y

x ，

求：（1）(,)X Y 的边缘概率密度，并问,X Y 是否相互独立？ 为什么？ （2）Z X Y =+的概率密度.)(),(y f x f Y X

五、（9分）设随机向量),(Y X 服从区域{}

20,20),(≤≤≤≤=y x y x G 上二维均匀分布， Y X U -=，求（1）U 的概率密度)(u f U ；（2）U 的期望EU 和方差DU .

六、（9分）设总体X 的概率密度为

1

, 1(;)10,

x f x θθθ⎧≤≤⎪

=-⎨⎪⎩其他

其中θ为未知参数，12, ,

, n X X X 为来自总体X 的简单随机样本。求：

（1）θ的矩估计量1θ∧

和最大似然估计量2θ∧

;（2）讨论12,θθ∧

∧

无偏性。

七、(4分)设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为6的泊松分布，问在月初要库存多少此种商品才能保证当月不脱销的概率为0.99117？ (泊松分布表见下图表)

!k

k m

e k λ

λ∞

-

=∑

2015

年哈工大概率统计试题及答案

一、填空题：（15分）

1.0.1

2. 20,

1()1

,1

Y y f y y y ≤⎧⎪

=⎨>⎪⎩

3.6

4.(4.786, 6.214). 5．1

9

二、选择题：（15分） 1C 2B 3A 4D 5B

三、解：（1）设1234,,,A A A A 分别表示乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，B

表示如期到达事件。

利用全概率公式：

775.09.05.06.03.07.015.080.005.0)()()(4

1=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P

5分 （2） 利用Bayes 公式：

2.0225.0045

.0775.01)7.01(15.0)

()()()(222==--⨯==

B P A B P A P B A P

4分

四、解：（1）（1）当0x ≥时，232011

()62x y x

X f x e dy e --+∞

-==⎰，所以 2

1, 0

()20, x

X e x f x -⎧≥⎪=⎨⎪⎩

其他

当0y ≥时23

3

11()6

3

x y y Y f y e dx e

---+∞=

=⎰

，所以3

1, 0

()3 0, y

Y e y f y -⎧≥⎪=⎨⎪⎩

其他

由于(,)()()X Y f x y f x f y =，故X 与Y 相互独立. 4分 （2）由于X 与Y 相互独立，故可利用卷积公式