变速问题(带答案)

变速问题

教学目标

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”

知识精讲

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

⑶比例法

行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．

模块一、变速问题

【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52 米，小强每分走70 米，二人在途中的A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走90 米，则两人仍在 A 处相遇。小

红和小强两人的家相距多少米？

【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少4 分钟。（70×4）÷（90-70）=14 分钟可知小强第二次走了14分钟，他第一次走了14＋4=18 分钟；两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）．

【例 2】甲、乙两人沿400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后

甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了24 秒的路程与以（V +2 ）跑了24 秒的

路程之和等于400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V =

1

7

3

米/秒

【例 3】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分,

甲，乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点分．

【解析】8点20分相遇，此时甲距离A地的距离是甲走了20分钟的路程，8点30分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了10分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的3倍时，此时甲的速度是乙速度的1.5倍，甲从相遇点走到B点花了10分钟，因此乙原先花了10 1.515

⨯=（分钟），所以乙是8点5分出发的．

【例 4】（难度等级※※※）A、 B 两地相距7200 米，甲、乙分别从A， B 两地同时出发，结果在距 B 地2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了

全程的

33

325

=

+

．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10 分

钟，所以甲的速度为

33

6000()9150

58

⨯-÷=(米/分)．

【例 5】（难度等级※※※）甲、乙两车分别从A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5 千米，则相遇地点

距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？

【解析】设乙增加速度后，两车在D 处相遇，所用时间为T 小时。甲增加速度后，两车在E 处相遇。

由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经T 小时分别到达D、E。DE＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时5 千米，两车在D

或E 相遇，所以用每小时5 千米的速度，T 小时走过28 千米，从而T＝28÷5＝28

5

小时,甲

用6－28

5

＝

2

5

（小时），走过12 千米，所以甲原来每小时行12÷

2

5

＝30（千米）

【巩固】（难度等级※※※）甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在C 点。

如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从A、B 两地同时出发相向而行，则相遇

点 D 距 C 点lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从A、B 两地

同时出发相向而行，则相遇点E距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？

【解析】当乙每小时多行4 千米时，5 小时可以多行20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到5 小时，甲可以走到C 点，乙可以走到 C 点前面20 千米。而相遇点D 距C 点lO 千米，因此两人各走了10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。

(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时11 千米。

【例 6】A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相

遇．如果甲延迟0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则A、B 两地相距