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copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
r语言copula函数
r语言copula函数R语言中的copula函数是用来对数据进行相关性分析的工具。
它能够帮助我们理解不同变量之间的关系，并提供了一种可视化的方式来展示这种关系。
copula函数在金融、统计学、风险管理等领域中被广泛应用。
在R语言中，copula函数的基本语法如下所示：```copula(x, method = c("spearman", "kendall", "pearson"), plot = FALSE)```其中，x表示要分析的数据集，method参数表示要使用的相关性系数的类型，plot参数表示是否绘制相关性矩阵的图形。
copula函数返回的结果是一个相关性矩阵，它展示了数据集中各个变量之间的相关性。
矩阵的对角线上的元素表示每个变量自身的相关性，而其他位置上的元素表示两个变量之间的相关性。
为了更好地理解copula函数的使用，我们以一个实际的例子来说明。
假设我们有一个数据集，包含了三个变量：A、B和C。
我们想要分析这三个变量之间的相关性。
我们需要加载R语言中的copula包，并导入我们的数据集。
然后，我们可以使用copula函数来计算相关性矩阵。
在这个例子中，我们选择使用spearman方法来计算相关性系数。
下面是完整的代码：```library(copula)data <- read.csv("data.csv")corMatrix <- copula(data, method = "spearman")```运行这段代码后，我们将得到一个相关性矩阵corMatrix。
为了更好地理解这个矩阵，我们可以使用R语言中的heatmap函数来绘制相关性矩阵的图形。
下面是绘制相关性矩阵图形的代码：```heatmap(corMatrix)```运行这段代码后，我们将得到一个热力图，它展示了数据集中各个变量之间的相关性。
Copula函数
Copula函数理论Copula理论的是由Sklar在1959年提出的，Sklar指出，可以将任意一个n维联合累积分布函数分解为n个边缘累积分布和一个Copula函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula函数的性质定理1 (Sklar定理1959)令F为一个n维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i，那么存在一个n维Copula函数C,使得F(g ,0 C(F1(X1), ,F n(X.)) (1) 若边缘累积分布函数F i是连续的，贝U Copula函数C是唯一的。
不然，Copula函数C只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的u [0,1]n,均有C(u) F(F I W), ,F n1(u n)) ⑵在有非减的边缘变换绝大多数的从Sklar定理可以看出，Copula函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构，从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理：变量间的相关性结构和变量的边缘分布，其中相关性结构用Copula函数来描述。
Copula函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布，任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布，由于变量的所有信息都包含在边缘分布里，在转换过程中不会产生信息失真。
Copula函数总体上可以划分为三类：椭圆型、Archimedean (阿基米德)型和二次型，其中含一个参数的Archimedean Copula函数应用最为广泛，多维Archimedean Copula函数的构造通常是基于二维的，根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种.三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula函数:Frank Archimedean Copula函数,Clayton Archimedean Copula函数,Gumbe Archimedean Copula 函数表1三印常用的A兽非时就*Afctwred即n CopUa医曲名器Copuld C (也A2MFrank或、J*)-1(1-? )(J-e )] ' )(1^ )|M)HJIChyton+ < -t *IM[(U| —1} *llj "1]阳■)[OJIG<岫a A * "J't 4 1 化[L*>［岫Copula函数的应用Copula函数的应用具体包括以下几个步骤：①确定各变量的边缘分布；② 确定Copula函数的参数"；③根据评价指标选取Copula函数，建立联合分布；④根据所建分布进行相应的统计分析。
copula
copula函数的定义
• 1959年Sklar提出copula理论，他提出可以将一个多维联合
分布函数分解为多个边缘分布函数和一个copula函数，这
个copula函数描述了变量间的相关性。
• Nelson(1998)首先系统地说明了 Copula 函数的定义，
copula函数是把随机向量所对应的联合分布函数与这些随
• 基于copula函数的辽西地区气候干旱频率分析 引言 研究方法 1、干旱的定义 2、copula理论（参数选取，边缘函 数的建立，相关性检验，copula函数的选取，拟合检验合适 的copula函数模型，联合重现期的计算） 应用实例 辽西地区 结论
• 干旱要素：干旱烈度，干旱历时，干旱间隔时间
常所讲“多少年一遇”，重现期用T表示。
• 目前，copula函数多被应用于金融应用领域，现也多用于 水文领域，同一水文事件中的各个变量往往并不是服从同 一种边缘分布，而Copulas 函数一般不受变量的边缘分布 类型限制，可以构建不同类型边缘分布的水文变量的联合 分布。 • 其中，有学者用copula函数建立洪峰、洪量、洪水历时的 三变量联合分布；构建降水历时、降水强度的联合分布； 建立了干旱历时、干旱烈度和干旱间隔时间的联合分布， 构建暴雨量、暴雨日数、暴雨强度的联合分布，对极端降 水量、极端降水强度、极端降水频次、极端降水贡献率进 行联合概率分析和重现期测算等方面。
• 几种copula函数:正态copula，t-copula，阿基米德copula；最常用的阿 基米德copula函数有Gumbel-Hougaraard、Clayton和Frank Copula.
• 在使用copula函数解决问题时，copula函数模型选择很重要。对于最
14Copula函数及其应用
这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。 此外，
X ,Y C 12
[0,1]2
uvdC (u, v) 3 12
[0,1]2
C (u, v)dudv 3
即可将 X ,Y 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平 均距离。
Kendall’s tau及Spearman’s rho作为度量相关性指标的合理性
t-分布Copula函数
t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 定义5 正态分布随机变量 X1 , , X n 的均值分别为 0， 2 方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量， ( X1 , , X n ) 自由度为 ，与 独立。则随机变量 U t ( X ),i I 的分布函数 C (u , , u )为Copula函数， Y 称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。
LY (t ) : E[etY ] ety dG( y) ety g ( y)dy : Lg (t ),t 0
0 0
L (t ) : e ( y)dy (t ),t 0
ty 0
(14.10)
（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
几种不同生成元的Copula函数：
定义9 （1）Clayton Copula:
(t ) (t 1),
经验copula函数
经验copula函数
Copula函数是一种概率模型，它可以用于数据统计，风险分析和制定策略等应用中，以更好地衡量多变量相关性，处理多元数据及其关系的多变量概率模型。
Copula函数由许多不同的子函数组成，每个子函数都可以用来衡量特定变量之间的相关性。
Copula函数还可以使用另一种方式来衡量变量之间的相关性，即采用马尔可夫链来表示变量关系。
在该模型中，每个变量的准确性及其关系被精确地确定，从而更容易确定多变量之间的关系。
马尔可夫链经常用来研究数据集之间的联系，因为其可以更好地模拟多变量之间的关系，并且可以用于分析复杂的数据结构，以达到更好的结果。
Copula函数也被用于多维分析，这也是用于风险估计和策略策划的重要工具。
通过对变量之间的关联性和变量之间的相互作用进行检验，可以更准确地测量多变量相互依赖之间的关系，从而更好地制定有效的策略。
总之，Copula函数是一种有用的概率模型，它可以加强数据分析和风险分析，帮助我们更准确地分析数据和了解多变量关系的层级，进而利用这种模型进行有效的数据预测和策略制定，从而有效地提高业务绩效。
第四章补充2 Copula函数介绍
（2）多元t-Copula函数(Multivariate Student Copula） （3）阿基米德Copula函数(Archimedean Copula)
（4）极值Copula函数(Extreme Value Copula)
四、相关性度量：线性相关
( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
那么存在一个n维的copula函数对于所有在的x满足如果边缘分布函数是连续函数那么该copula函利用sklar定理风险管理者可以自由地把任意n个一元边际分布函数其可以相同也可以互不相同构成一个n元的联合分布函数
补充2：Copula函数
内容提要： 背景问题； Copula函数介绍； Copula函数的类型； 相关性度量； Copula函数在风险管理中的应用。
二、 Copula函数介绍：简史
Copula函数的基本思想是将多元分布（组合模型）的相 依结构和边缘分布予以分离； 1940年，Hoeffding研究了多元分布的性质； 1959年， 单词“Copula”在Sklar发表的学术论文中第一 次出现； 1998年，在风险管理中如何运用Copula的研究 论文出现； 2004年，保险公司和金融机构开始用Copula作为风险管 理工具； 2002年，张尧庭在国内最早在理论上探讨了Copula在金 融上应用的可行性 。
n 1 ( X ,Y ) ( xi x)( yi y) (n 1) i 1
（1）对奇异点敏感； （2）测度X与Y之间的平均相关性； （3）在严格递增线性变换下不变。
四、相关性度量：秩相关
定义1：两组(x,y)和 ( x, y ) 被称为协同 (concordant)是指 ( x x)( y y) 0 ；被称为不 协同(discordant)是指 ( x x)( y y) 0 。 X 定义2：Kendall tau：设 ( , Y )与（X,Y）相互 ( X X 独立同分布，x, Y ) P[( X )(Y Y ) 0] P[( X )(Y Y ) 0] 它可由下式估计： 总的协同对数与总的非 协同对数之差除以总的对数。
正态copula函数
正态copula函数
正态copula函数是当今研究概率结构的一种有效工具，它主要用于检验多元
数据之间的相关性或不确定性的度量。
正态copula函数通常被用在多元条件下的
分布拟合中，将概率融合作为一种单一的模型来估计，它允许构建更复杂的非线性模型，更方便地探索相关性。
正态copula函数在互联网场景中有着广泛的应用，这些应用涉及用户行为预测，联合广告投放等。
其中，用户行为预测是利用先进的数据挖掘技术，通过正态Copula函数来自动预测用户偏好，优化分析对象及洞察潜在用户价值，以达到更
具针对性的目标。
此外，正态Copula函数也被广泛用于策略决策场景中，例如，
联合广告投放，可以利用不确定性变量剔除和补空，从而根据投放状况和整合模型，最大化投放有效性，实现最优投放效果。
正态Copula函数的出现，显著提高了互联网数据处理的精度和效率，是提升
数据质量和优化数据获取的有力工具。
未来，正态Copula函数将更好地满足数据
处理和管理领域用户的需求，实现更有效的数据利用。
第六讲相关性与Copula函数
协方差和相关系数
变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
SD(V1)SD(V2 ) 变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
cov(V1,V2 ) E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
独立性
两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另 一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立
还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构 一种可能是二元学生t-分布
二元正态分布的5000个随机样本
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
二元学生t-分布的5000个随机样本
5
4
3
2
1
0
-5-4Leabharlann -3-2-10
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
多元Copula函数
covn varx,n vary,n
协方差
第n天的协方差为
E(xn yn ) E xn E yn
经常被简化为
E(xn yn )
监测相关系数（续）
EWMA：
covn covn1 (1 )xn1 yn1
GARCH（1，1）：
covn xn1 yn1 covn1
类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，…，Vn 的边际分布 我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射
Copula函数
一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。
copulas函数
copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。
它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。
Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。
一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。
Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。
1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。
（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。
（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。
（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。
二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。
Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。
Copula系列(一)-什么是Copula函数
最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。
本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。
我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。
此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。
什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。
最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。
反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。
Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。
其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。
上证综指深证成指的相关性分析--基于Copula连接函数.doc
上证综指深证成指的相关性分析■■基于Copula连接函数摘要：本文研究了对于给定的4种Copula模型，通过CML方法进行参数估计，由边缘分布二元直方图与在求出的估计参数下绘制的密度函数图形加以对比分析，再由样木与经验Copula分布进行肓观的Q・Q图检验，然示用负对数似然函数值、AIC信息准则进行了拟合优度检验，认为Symmetrised Joe-Clayton copula能够更好的刻1師上证指数和深证指数的相依结构。
关键词：Copula函数，Q・Q图检验，AIC1•引言金融市场之间的相互依赖、相互影响与L1倶增，这促进了对金融间相关性如相关程度、协同运动、波动的传导和溢出等问题的研究。
经典的线性相关系数是刻曲金融市场相关程度的有力工具，但由于金融资产Z间的相依结构往往是非线性的以及资产的联合分布往往不是正态分布，其不足便呈现出来，一种全新的相关性度量工具Copula也随之产生。
Copula建立了多维随机变量的联合分布与其一维分布的育接关系，可以把复杂的市场风险分解为容易控制的边际风险，能准确地反应出金融市场的相依结构。
2.Copula函数理论2.1 Copula函数的类型Nelscnt给出了Copula连接函数严格的数学定义。
下面介Copula函数的主要类型。
(1)二元正态Copula函数其中，P为相关系数，①为标准正态分布函数。
(2)二元t-Copula 函数其屮，R为相关系数，t为服从白由度为的分布函数。
(3)Clayton Copula阿基米徳族Copula的形式由不同的算了生成，不同的算了选择，会产生不同类别的阿基米德族Copula o当算了①(t)=t- S -1时，所得的Copula定义为Clayton Copula,形式为：其屮，0V6V+8。
(4)Symmetrised Joe-Clayton copula设，其屮，定义为：2.2Copula函数参数估计方法Copula函数参数估计方法主要有三种：MLE（最大似然估计）,IFM（分布估计），CML（半参数估计）。
copula函数
copula函数1、Sklar定理Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。
反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。
Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。
在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]2、什么是copula函数？copula函数实际上是一个概率。
假设我们有n个变量（U1,U2,…,UN），这n个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u1,u2,…,un)即是P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}，（这里的n个变量是相互关联的）。
(1)copula是最全面的相关性(2)copula可以有尾部相依性(3)copula定义的C(u1,u2,…,un)=P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}对应的概率密度函数为c(u1,u2,…,un)=∂n C(u1,u2,… ,un)/∂u1∂u2…∂un，fi(x1,x2,…,xn)为联合分布函数F i (x1,x2,…,xn)= Ui的概率密度函数，fi(x1,x2,…,xn)为Ui的概率密度函数，则有：f(x1,x2,…,xn)= c(u1,u2,…,un)*[ f1(x1,x2,…,xn)*…*fn(x1,x2,…,xn)]3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1](2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤14、copula函数的种类（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）（2）多元t分布的copula：t-copula（3）阿基米德copula（人工构造）令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。
Copula理论简介学习
★定理
对随机变量 x1, x2 ,, x做n 严格的单调增变换，相应的 Copula函数不变。
①Kendall秩相关系数τ
②Spearman秩相关系数ρ ③Gini关联系数γ
第七页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
①Kendall秩相关系数τ
考察两个变量的相关性时，最直观的方法是考察它们的变 化趋势是否一致。若一致，表明变量间存在正相关；若不一 致，表明变量间是负相关的。
int
1 n2
2
n i1
n
ri si n 1
i 1
ri si
◆Gini系数可以扩展到无限样本的情形，并有相应的 Copula函数给出：
1 1
2u 00
v
1
u
v
dCu, v
第十二页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
◆ 在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相 关性，这一特性用Copula函数来处理十分方便。考虑条
lim
u1
PY
G 1 u|
X
F 1u
U
若U 0,1，X,Y称为上尾相关；若 U ，0 X,Y称为上尾独立。
下尾相关系数为
lim
u0
P
Y
G1u|
X
F 1 u
L
若L 0,1，X,Y称为下尾相关；若L 0，X,Y称为下尾独立。
第十四页，编辑于星期五：十四点 五十五分。
由于
P Y
若 x ~ N 0,1, y x2 （x，y显然关系密切）
则Covx, y Exy ExEy Ex3 ExEx2 0
即x，y的相关系数为0。
因此，当变量间的关系是非线性时，用相关系数来度 量其关系是不可靠的。而Copula函数在一定的范围内就 可以避免这个问题。
copula函数 计算
copula函数计算
Copula函数是用于描述多元随机变量边际分布和联合分布之间关系的一种数学工具。
它是一种函数，将每个边际分布中的随机变量映射到[0,1]区间上，使得它们可以统一起来进行联合分析。
Copula函数通常被用于金融学、保险学、气象学、环境科学、工程学等领域中的风险评估和依赖关系建模。
计算Copula函数需要先根据数据估计出每个随机变量的边际分布函数。
然后，通过对数据进行统计分析，可以得到随机变量之间的依赖关系（如相关系数或协方差矩阵）。
最后，在考虑到依赖关系的条件下，通过使用Copula函数来估计联合分布。
常用的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula、Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula等。
不同的Copula函数适用于不同类型的依赖关系。
例如，高斯Copula适用于线性依赖关系，而t-Copula适用于具有重尾分布的数据。
Copula函数
2.1 高斯Copula
Hunan University of Science and Technology
xi Fi1[(zi )] zi 1[Fi (xi )]
（6）
F(X ) 1[F1(x1)],...,1[Fi (xi )],...,1[Fm (xm)] （7）
Hunan University of Science and Technology
xi Fi1[(zi )] zi 1[Fi (xi )]
F(X ) 1[F1(x1)],...,1[Fi (xi )],...,1[Fm(xm)]
College of Mechanical and Electrical Engineering
3.2 构筑方式
Hunan University of Science and Technology
Clayton Copula
C
(u1,
u2
,
u3
,
u4
)
u12
u22
1 1 /2
u33 u43 1 1 /3 11/1
Hale Waihona Puke 2.2 T-CopulaHunan University of Science and Technology
1,1
1, j
1,m
i,1
i, j
i,m
m,1
m, j
m,m
i, j 2 sin[r(i, j)]
i, j
(t1
Copula函数
Copula函数
Copula函数
1. Copula介绍
Copula函数把边缘分布函数与联合分布函数联系起来，是研究变量间相依性的⼀种有效⼯具。
参考⽂献：赵梦婷. [D].华中科技⼤学,2016.
2. 常见的Copula 函数（⼆元）
作为联系边际分布与联合分布的纽带，Copula 函数可以选择多种样式，关键取决于随机变量间相关关系符合什么样的类型。
Copula 函数
与边际分布可以分开处理，先通过⼀定⽅式获取每⼀维度上的边际分布，再通过⼀定⽅式选取合适的Copula函数，再将两者相乘，即可得到最终的联合分布。
3. ⾼斯混合Copula函数
参考⽂献：
[1] Tewari A , Giering M J , Raghunathan A . Parametric Characterization of Multimodal Distributions with Non-gaussian Modes[C]// Data Mining Workshops (ICDMW), 2011 IEEE 11th International Conference on, Vancouver, BC, Canada, December 11, 2011. IEEE, 2011.。
为Copula的密度函数
Copula觀念
第二節 何謂Gaussian Copula與t Copula函數 一般的常態分配又可稱為Gaussian(高斯)分配，其雙變數標 準常態分配之聯合累積機率分配函數(相關係數為 )
Copula與Rainbow Option
假設 有3個標的資產，報酬率分別為R1,R2,R3。在風險中立機 率測度Q下，報酬率均服從常態分配 結構債之到期報酬型態 CT = M x { 1+ 10% - 9% x I[Max(R1,R2,R3)<g] }
如果D事件發生，I[D]=1。在風險中立機率測度Q下
C0 = Me-rT x EQ { [1+10% - 9% x I[Max(R1,R2,R3)<g] }
Copula與Rainbow Option
C0 = 1.1Me-rT - Me-rT x EQ [9% x I[Max(R1,R2,R3)<g]] = 1.1Me-rT - 0.09Me-rT x PQ[Max(R1,R2,R3)<g] 其中 PQ[Max(R1,R2,R3)<g] = ?? = PQ[R1<g,R2<g,R3<g] = C [ Prob(R1<g), Prob(R2<g), Prob(R3<g)] = C [ N(d1), N(d2), N(d3)]
x
y
Copula觀念
若令v=FX(x)，u= FY(y)，亦即x= FX-1(v)，y=FY-1(z)，則 可得Gaussian Copula等於
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copula函数
1、Sklar定理
Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。
反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。
Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。
在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：
C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]
2、什么是copula函数？
copula函数实际上是一个概率。
假设我们有n个变量（U
1,U
2
,…,U
N
），这n
个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u
1,u
2
,…,u
n
)即是P{U
1
<u
1
,U
2
<u
2
,…,U
n
<u
n
}，
（这里的n个变量是相互关联的）。
(1)copula是最全面的相关性
(2)copula可以有尾部相依性
(3)copula定义的C(u
1,u
2
,…,u
n
)=P{U
1
<u
1
,U
2
<u
2
,…,U
n
<u
n
}对应的概率密度函数为
c(u
1,u
2
,…,u
n
)=∂n C(u
1
,u
2
,… ,u
n
)/∂u
1
∂u
2
…∂u
n
，f
i
(x
1
,x
2
,…,x
n
)为联合分布函数
F i (x
1
,x
2
,…,x
n
)= U
i
的概率密度函数，f
i
(x
1
,x
2
,…,x
n
)为U
i
的概率密度函数，则有：
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)= c(u
1
,u
2
,…,u
n
)*[ f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
)*…*f
n
(x
1
,x
2
,…,x
n
)]
3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）
(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1]
(2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v
(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤1
4、copula函数的种类
（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）
（2）多元t分布的copula：t-copula
（3）阿基米德copula（人工构造）
令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函
数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。
只要找到合适的生成函数，那么就可以构造出对应的阿基米德类copula。
5、为什么金融风险管理中常用copula？
不同的两个资产会始终同时达到最糟的状况吗？因为有资产相关性的影响，可以使两个资产之间在一定程度上同向变动或反向变动，可能发生对冲，从而减少风险，因此我们需要知道资产之间的相关性，然而金融中的分布，大多都不是
常见的分布，比如股价报酬率的分布、零息债券这种价格有上限的资产，而相关系数是有局限性的，这时对于两个资产只能用copula结合起来。
阿基米德类函数。